1.बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume of Cylinder):

बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume of Cylinder):मापन जार,गोल खम्भे,गोल पाइप,टेस्ट ट्यूब इत्यादि ऐसी वस्तुएं हैं जिसमें एक पार्श्व वक्र पृष्ठ (Lateral Curved Surface) और सर्वांगसम वृत्तीय अनुप्रस्थ काट (Cross Section) हो, वृत्तीय बेलन (Circular Cylinder) कहलाता है।वृत्तीय अनुप्रस्थ काटों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा को बेलन का अक्ष कहते हैं।यदि बेलन का अक्ष वृत्तीय अनुप्रस्थ काट पर लम्ब है,तो उस बेलन को लम्बवृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder) कहते हैं।

Surface Area and Volume of Cylinder

एक उर्ध्वाधर रेखाखण्ड OA लीजिए।इसके समान एक अन्य रेखाखंड CB इस प्रकार लीजिए कि बिंदुओं O,A,B,C से मिलाने पर एक आयत बनता है।माना कि रेखाखण्ड CB रेखाखण्ड OA के चारों ओर एक चक्कर लगाकर पुनः अपनी प्रारंभिक स्थिति में आ जावे।इस परिक्रमण से त्रिज्या AB और ऊंचाई OA का एक बेलनीय पृष्ठ जनित होता है,जो खोखला और दोनों सिरों से खुला है।

Surface Area and Volume of Cylinder

यदि रेखाखंड ABCD एक आयताकार क्षेत्र है,यह रेखाखण्ड OA के चारों ओर परिक्रमा करता है तो हमें AB त्रिज्या का तथा OA ऊंचाई का ठोस बेलन प्राप्त होता है।यह आकृति में दर्शाया गया है।

Surface Area and Volume of Cylinder

वे रेखाएं जो OA के समांतर है और बेलन के पार्श्व पृष्ठ पर स्थित हैं जनक (Generates ) कहलाती हैं।यहाँ रेखाएं BC,B’C’ जनक है।बेलन को उर्ध्वाधर स्थिति में रखने पर नीचे के वृत्तीय सिरे को बेलन का आधार कहते हैं।रेखाखण्ड CB की लम्बाई, बेलन की ऊँचाई कही जाती है।वृत्तीय सिरे की त्रिज्या को बेलन की त्रिज्या कहते हैं।
खोखले बेलन में दोनों सिरे खुले होते हैं।ठोस बेलन में दोनों सिरे बंद होते हैं।r त्रिज्या और h ऊंचाई वाला बेलन का वक्र पृष्ठ ज्ञात करने के लिए माना कि बेलन खोखला है कागज (अथवा धातु ) की बारीक चद्दर से बना है।

Surface Area and Volume of Cylinder

यदि वक्रपृष्ठ को रेखाखंड BC के अनुदिश काटकर खोल दिया जाए तो यह आयत BCDE के रूप का हो जाएगा।
जब चद्दर बेलन के वक्र पृष्ठ के रूप में है तो रेखाखंड BC तथा ED संपाती है।
अतः की BC की लंबाई=h बेलन की ऊंचाई
CD की लंबाई=बेलन के की परिधि जिसकी त्रिज्या है आयत का क्षेत्रफल बेलन के एक सिरे की परिधि जिसकी त्रिज्या r है

$CD=2 \pi r$
(1.)अत: बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल (Curved Surface Area of ​​the Cylinder)=आयत BCDE का क्षेत्रफल

=$2 \pi r \times h \\ =2 \pi r h$
(2.)बेलन के आधार का क्षेत्रफल (Area of ​​the Base of the Cylinder)=$\pi r^{2}$
(3.)बेलन के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल (Total Surface Area of ​​the Cylinder)=वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल+2 × आधार का क्षेत्रफल

=$2 \pi r h+2 \pi r^{2} \\ =2 \pi r(h+r)$
(4.)बेलन द्वारा घेरा गया स्थान उसका आयतन होता है। यदि बेलन की त्रिज्या r और ऊंचाई h है तो बेलन का आयतन (Volume of Cylinder)= आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई

=$\pi r^{2} \times h \\ =\pi r^{2} h$
(5.)यदि एक खोखले बेलन की बाह्य त्रिज्या $r_{1}$ तथा अन्त: त्रिज्या $r_{2}$ है तथा उसकी ऊंचाई h है तो

Surface Area and Volume of Cylinder

खोखले बेलन का आयतन (Volume of Hollow Cylinder)=$\pi r_{1}^{2} h-\pi r_{2}^{2} h \\ =\pi (r_{1}^{2} -r_{2}^{2}) h$
खोखले बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area of ​​Hollow Cylinder)=$2 \pi r_{1} h+2 \pi r_{2} h+2 \pi r_{1}^{2}-2 \pi r_{2}^{2} \\ =2 \pi h(r_{1}+r_{2} )+2 \pi (r_{1}^{2} -r_{2}^{2}) \\ =2 \pi h(r_{1}+r_{2} )+2 \pi h(r_{1}+r_{2} )(r_{1}-r_{2} ) \\  =2 \pi h(r_{1}+r_{2} )(h+r_{1}-r_{2} )$
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2.बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन के उदाहरण (Surface Area and Volume of Cylinder Examples):

Example:1.एक बेलन का व्यास 14 सेमी और ऊंचाई 15 सेमी है।बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का व्यास=14 सेमी
त्रिज्या (r)=$\frac{14}{2}$ सेमी=7 सेमी
ऊँचाई (h)=15 सेमी,
बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (15+7) \\ 44 \times 22 \\ 968$ वर्ग सेमी
बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times 7^{2} \times 15 \\=2310$ 
Example:2. एक लंबवृत्तीय बेलन की ऊंचाई 7सेमी और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है।इसका वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल,संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution: बेलन की ऊंचाई (h)= 7 सेमी
बेलन की त्रिज्या (r)=3 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ 2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times 7 \\ =132$ वर्ग सेमी
बेलन का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल=$2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times (7+3) \\ =\frac{2 \times 22 \times 3 \times 10}{7} \\ =188.57$ वर्ग सेमी
बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times 3^{2} \times 7 \\=198$  घन सेमी
Example:3.एक बेलन के सिरे का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है तथा इसकी ऊंचाई 21 सेमी है।बेलन का आयतन एवं वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन के सिरे का क्षेत्रफल=वृत्त का क्षेत्रफल
$\pi r^{2}=154 \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^{2}=154 \\ \Rightarrow r^{2}=\frac{154 \times 7}{22} \\ \Rightarrow r^{2}=7^{2} \\ \Rightarrow r=7$ सेमी
बेलन का आयतन=एक सिरे का क्षेत्रफल × ऊँचाई=$\pi r^{2} h \\ 154 \times 21 \\ =3234$
बेलन का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 21 \\ =44 \times 21 \\ =924$ वर्ग सेमी
Example:4.दो लम्बवृत्तीय की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 तथा ऊंचाइयों का अनुपात 5:4 है तो दोनों बेलनों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों तथा आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution: माना पहले बेलन की त्रिज्या $r_{1}$ तथा ऊंचाई $h_{1}$ है।
तथा दूसरे बेलन की त्रिज्या $r_{2}$ तथा ऊंचाई $h_{2}$ है।
अतः $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{2}{3}$ तथा $\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{5}{4}$
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात=$\frac{2 \pi r_{1} h_{1}}{2 \pi r_{2} h_{2}} \\ =\frac{r_{1}}{r_{2}} \times \frac{h_{1}}{h_{2}} \\ = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4}=\frac{5}{6}$
अतः वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात=5:6 है।
आयतनों का अनुपात=$\frac{\pi r_{1}^{2} h_{1}}{\pi r_{2}^{2} h_{2}} \\ =\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \times \left(\frac{h_{1}}{h_{2}}\right) \\ =\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{5}{4} \\ =\frac{4}{9} \times \frac{5}{4}=\frac{5}{9}$
अतः आयतनों का अनुपात 5:9 है।
Example:5.एक ठोस बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है।इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक तिहाई है।बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =$\frac{\text {सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{3} \\ \frac{462}{3}=154$ वर्ग सेमी
अतः $2 \pi r h=154$
तथा $2 \pi r(h+r)=462 \\ \Rightarrow 2 \pi r h+2 \pi r^{2}=462 \\ \Rightarrow 154+2 \pi r^{2}=462 \\ \Rightarrow 2 \pi r^{2}=462-154 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r^{2}=308 \\ r^{2}=\frac{308 \times 7}{22 \times 2}=49 \\ r=\sqrt{49}=7$ सेमी
$2 \pi r h=154 \\ 2 \times \frac{22}{7} \times r \times h=154 \\ 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h=154 \\ h=\frac{154}{44}=\frac{7}{2}$ सेमी
बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times \frac{7}{2}=539$ घनसेमी
Example:6.एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 660 वर्ग सेमी है तथा ऊँचाई 15 सेमी है।इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ 2 \pi r h=660 \text { वर्ग सेमी } \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times 72 \times 15=660[\because h=15 \text { सेमी } ]\\ \Rightarrow r=\frac{660 \times 7}{2 \times 22 \times 15}=7 \text { सेमी  }$
बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h \\ =\frac{22}{7} \times(7)^{2} \times 15 \\ =2310$ घन सेमी
Example:7.एक बेलन का आयतन $30 \pi \text{ सेमी }^{3}$ है तथा आधार का क्षेत्रफल  $6 \pi \text{ सेमी }^{2}$ है।बेलन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन के आधार का क्षेत्रफल (वृत्त)=$\pi r^{2} \\ \pi r^{2}=6 \pi \\ \Rightarrow r^{2}=6$
बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h \\ \pi r^{2} h=30 \pi \\ \Rightarrow \pi \times 6 \times h=30 \pi \\ \Rightarrow h=\frac{30 \pi}{6 \pi} \\ \Rightarrow h=5$ सेमी
Example:8.एक बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः1650 घन सेमी और 660 वर्ग सेमी है। बेलन की त्रिज्या और ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h \\ \pi r^{2} h=1650 \cdots(1)$
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ 2 \pi r h=660 \cdots (2)$
समीकरण (1) में (2) का भाग देने पर:

$\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h}=\frac{1650}{660} \\ \Rightarrow r=\frac{1650 \times 2}{660}=5$ सेमी
समीकरण से (2) से:

$2 \pi r h=660 \\ 2 \times \frac{22}{7} \times 5 \times h=660 \\ \Rightarrow h=\frac{660 \times 7}{2 \times 22 \times 5} \\ \Rightarrow h=21$
Example:9.एक बेलन की ऊंचाई व त्रिज्या क्रमशः 7.5 सेमी और 3.5 सेमी है।इसके संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:ऊँचाई (h)=7.5 सेमी
त्रिज्या (r)=3.5 सेमी
$\frac{ \text{ सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल}}{\text{ वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल }}=\frac{ 2 \pi r (h+r)}{2 \pi r h} \\ =\frac{r+h}{h} \\ =\frac{3.5+7.5}{7.5} \\ =\frac{11}{7.5}=\frac{110}{75} \\ =\frac{22}{15}$
अतः सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुपात=22:15 है।
Example:10.20 मीटर गहरा और 7 मीटर व्यास का एक कुआं खोदा गया।इससे निकली मिट्टी से 22 मीटर ×14 मीटर माप का एक चबूतरा बनाया गया।चबूतरे की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:कुएं की गहराई (h)=20 मीटर
कुएं की त्रिज्या (r)=$\frac{7}{2}$ मीटर
चबूतरे (घनाभ) की लंबाई=20 मीटर
चबूतरे की चौड़ाई=14 मीटर
चबूतरे की ऊंचाई=H (माना)
अतः कुएं से निकली मिट्टी का आयतन (बेलन)=चबूतरे का आयतन (घनाभ)
$\pi r^{2} h=l \times b \times H \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 20=20 \times 14 \times H \\ \Rightarrow H=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20 \times \frac{1}{20} \times \frac{1}{14} \\ \Rightarrow H=2.75$ मीटर
Example:11.एक बेलनाकार बर्तन में 30800 घन सेमी पानी भरा जा सकता है।यदि बर्तन की भीतरी त्रिज्या 14 सेमी है तो उसका भीतरी वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का आयतन=$\pi r^{2} h=30800$ घन सेमी
$\Rightarrow \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h=30800[r=14] \\ \Rightarrow h=\frac{30800 \times 7}{22 \times 14 \times 14} \\ \Rightarrow h=50$ सेमी
भीतरी वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल=$2 \pi r h \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 50 \\ =4400$ वर्ग सेमी
Example:12.एक खोखले बेलन की मोटाई 2 सेमी है।इसका भीतरी व्यास 14 सेमी है तथा ऊंचाई 26 सेमी है।बेलन के दोनों सिरे खुले हुए हैं।खोखले बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:भीतरी व्यास=14 सेमी
भीतरी त्रिज्या $(r_{2})=\frac{14}{2}$=7 सेमी
मोटाई =2 सेमी
बाहरी त्रिज्या $(r_{1})$=7+2=9 सेमी
ऊँचाई (h)=26 सेमी
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=$2 \pi\left(r_{1}+r_{2}\right)\left(h+r_{1}-r_{2}\right) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times(9+7)(26+9-7) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 16 \times 28=2816$ वर्ग सेमी
Example:13.एक खोखला बेलन दोनों सिरों से खुला हुआ है।उसकी ऊंचाई 20 सेमी तथा अंत: एवं बाह्य व्यास क्रमशः 26 सेमी तथा 30 सेमी है।इस खोखले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:बाह्य व्यास=30 सेमी
बाह्य त्रिज्या $(r_{1})=\frac{30}{2}=15$ सेमी
अन्त:व्यास =26 सेमी
अन्त:त्रिज्या $(r_{2})=\frac{26}{2}=13$ सेमी
खोखले बेलन का आयतन=$\pi r_{1}^{2} h-\pi r_{2}^{2} h\\ =\pi\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right) h \\ = \pi \left(r_{1}+r_{2} \right) \left(r_{1}-r_{2}\right) h\\ =\frac{22}{7} \times(15+13) \cdot(15-13) \times 20 \\ =\frac{22}{7} \times 28 \times 2 \times 20 \\ =3520$ घन सेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume of Cylinder) को समझ सकते हैं।

3.बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन की समस्याएं (Surface Area and Volume of Cylinder Problems):

(1.)यदि एक बेलन का व्यास 14 सेमी और ऊंचाई 15 सेमी है तो उसका संपूर्ण पृष्ठ और आयतन ज्ञात कीजिए।
(लीजिए $\pi =\frac{22}{7}$)
(2.)एक बेलन की ऊँचाई 11 सेमी है तथा उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 968 वर्गसेमी है।बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
(लीजिए $\pi =\frac{22}{7}$)
(3.)बेलनाकार एक खंभे का आयतन 115.5 घन मीटर है तथा उसका वक्र पृष्ठ 66 वर्ग मीटर है।खंभे की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
(लीजिए $\pi =\frac{22}{7}$)
(4.)एक बेलन की त्रिज्या और ऊंचाई का अनुपात 1:3 है। यदि बेलन का आयतन 3234 घन सेमी हो तो बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=968 वर्ग सेमी,आयतन=2310 घन सेमी
(2.)r=14 सेमी
(3.)h=3 मीटर
(4.)संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=1232 वर्गसेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume of Cylinder) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume of Cylinder) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Surface Area and Volume of Cylinder

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Surface Area and Volume of Cylinder) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।