1.फलनों का संयोजन पर प्रमेय का परिचय (Introduction to Theorems on Composition of Functions),फलनों पर महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems on Functions):

Theorems on Composition of Functions

फलनों का संयोजन पर प्रमेय (Theorems on Composition of Functions) के इस आर्टिकल में फलनों की कुछ महत्त्वपूर्ण प्रमेयों के बारे में अध्ययन करके फलनों के संयोजन के गुणधर्मों को समझने का प्रयास करेंगे।
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2.फलनों का संयोजन पर प्रमेय (Theorems on Composition of Functions):

प्रमेय (Theorem):3.यदि f: X \rightarrow Y एक एकैकी आच्छादक फलन है तथा f^{-1}: Y \rightarrow X ,इसका प्रतिलोम फलन है,तब (i) f^{-1} o f=I_x तथा (ii) f o f^{-1}=I_y ;जहाँ I_x तथा I_y क्रमशः समुच्चयों X तथा Y पर तत्समक फलन हैं।
(If f: X \rightarrow Y is one-one onto function and f^{-1}: Y \rightarrow X is its inverse,then (i) f^{-1} o f=I_x and (ii) f o f^{-1}=I_y ;where I_x and I_y are the identity functions on the sets X and Y respectively.)
उपपत्ति (Proof):चूँकि f: X \rightarrow Y तथा f^{-1} : Y \rightarrow X
अतः f^{-1} o f=X \rightarrow X तथा f^{-1} o f=Y \rightarrow Y परिभाषित हैं।
अब माना कि x,समुच्चय X का कोई स्वेच्छ अवयव है जो इस प्रकार है कि f(x)=y तब f^{-1}(y)=x
अतः \forall x \in X, तथा \left(f^{-1} o f\right)(x)=f^{-1}(f(x)) \\ =f^{-1}(y) \\ =x
\Rightarrow f ^{-1} o f समुच्चय X पर तत्समक फलन है
i.e. f^{-1} o f=I_x
पुनः \forall x \in y तथा (f o f^{-1})(y)=f\left(f^{-1}(y)\right) \\ =f(x) \\ =y
\therefore f \circ f^{-1}, समुच्चय Y पर तत्समक फलन है
i.e., f \circ f^{-1}=I_y
प्रमेय (Theorem):4.यदि फलन f: X \rightarrow Y तथा g : Y \rightarrow X इस प्रकार हैं कि तथा तब f तथा g एकैकी आच्छादक फलन हैं तथा g=f^{-1}
(If f: X \rightarrow Y and g : Y \rightarrow X are the functions such that gof =I_x and f o g=I_y then f and g are one-one onto and g=f^{-1} .)
उपपत्ति (Proof):माना x_1, x_2 \in X ,
तब f\left(x_1\right), f\left(x_2\right) \in Y
अब f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \\ \Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right) =g\left(f\left(x_2 \right)\right) \\ \Rightarrow(g o f)\left(x_1\right)=go f\left(x_2\right) \\ \Rightarrow I_x\left(x_1\right) =I_x\left(x_2\right)\left[\because g o f=I_x\right] \\ \Rightarrow x_1=x_2
\therefore f एकैकी है।
अब माना कि y \in Y तथा g(y)=x
तब g(y)=x \Rightarrow f(g(y))=f(x) \\ \Rightarrow(f o g)(y)=f(x) \\ \Rightarrow I_y(y)=f(x) \quad[\because f o g=I_y] \\ \Rightarrow y=f(x)
अतः प्रत्येक y \in Y के लिए एक अवयव x \in X इस प्रकार है कि y=f(x) इसलिए,f आच्छादक है।
अतएव फलन f,एकैकी आच्छादक है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि फलन g भी एकैकी आच्छादक है।
चूँकि f: X \rightarrow Y एकैकी आच्छादक है इसलिए f^{-1} : Y \rightarrow X परिभाषित है तथा एकैकी आच्छादक है।
अब f o g=I_y \Rightarrow f^{-1} o(f o g)=f^{-1} o I_y \\ \Rightarrow \left(f^{-1} o f\right) \circ g=f^{-1} o I_y [साहचर्य नियम से ]
\Rightarrow I_{x} og=f^{-1}\left[\because f^{-1} o I_y=f^{-1} \text { तथा } f^{-1} o f=I_x\right] \Rightarrow g=f^{-1} \left[\because I_x o g=g \right]
प्रमेय (Theorem):5.यदि फलन f: X \rightarrow Y तथा g : Y \rightarrow Z एकैकी आच्छादक फलन gof: X \rightarrow Z हैं तो f और g का संयोजित फलन भी एकैकी आच्छादक है तथा \left(g o f\right)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}
(If f: X \rightarrow Y and g : Y \rightarrow Z are one-one onto functions,then the composite function gof: X \rightarrow Z is also one-one onto and \left(g o f\right)^{-1}=f^{-1} o g^{-1} .)
उपपत्ति (Proof):माना फलन f: X \rightarrow Y तथा g : Y \rightarrow Z एकैकी आच्छादक हैं।तब f^{-1}: Y \rightarrow X तथा g^{-1}: Z \rightarrow Y परिभाषित हैं तथा एकैकी आच्छादक है।
अब x_1, x_2 \in X
तब (g o f)\left(x_1\right)=(g o f)\left(x_2\right) \\ \Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right) =g\left(f\left(x_2\right)\right) \\ \Rightarrow f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) [ \because g एकैकी है]
\Rightarrow x_1=x_2 [ \because f एकैकी है]
\therefore (g o f)\left(x_1\right)=(g o f)\left(x_2\right) \Rightarrow x_1=x_2
अतः gof एकैकी है।
हम सिद्ध करेंगे कि gof आच्छादक भी है।माना z \in Z ,समुच्चय Z का कोई स्वेच्छ अवयव है।तब चूँकि फलन g आच्छादक है अतः प्रत्येक z \in Z के लिए एक y \in Y इस प्रकार अवश्य है कि g(y)=z
पुनः f आच्छादक है,अतः y \in Y के लिए एक अवयव x \in X इस प्रकार है कि f(x)=y अतः z \in Z प्रत्येक के लिए एक अवयव x \in X इस प्रकार है कि
z=g(y)=g(f(x))=(gof)(x)
अतएव gof आच्छादक है।
अतः सिद्ध हुआ कि फलन g o f: X \rightarrow Z एकैकी आच्छादक है।
इसलिए फलन (g o f)^{-1}: Z \rightarrow X परिभाषित है तथा एकैकी आच्छादक है।
अब g(y)=z \Rightarrow y=g^{-1}(z) \\ f(x)=y \Rightarrow x=f^{-1}(y)
तथा (g o f)(x)=z \Rightarrow x=(g o f)^{-1}(z) \\ \left(f^{-1} o g^{-1}\right)(z)=f^{-1}\left( g^{-1}(z)\right) \\ =f^{-1}(y) \quad\left[ \because y=g^{-1}(z)\right] \\ =x\left[\because x=f^{-1}(y)\right] \\ =(g o f)^{-1}(z)\left[\because x=(g o f)^{-1}(z)\right]
अतः \left(f^{-1} o g^{-1}\right)(z)=(g o f)^{-1}(z) \forall z \in Z \\ \Rightarrow(g o f)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}

Theorems on Composition of Functions

प्रमेय (Theorem):6.यदि f: X \rightarrow Y तथा g : Y \rightarrow X दो फलन इस प्रकार हैं कि संयोजित फलन gof =I_x ;तब फलन f एकैकी तथा फलन g आच्छादक होता है।
(If functions f: X \rightarrow Y and g : Y \rightarrow X are defined such that the composite function gof =I_x ; then the function f is one-one and function g is onto.)
उपपत्ति (Proof):माना f: X \rightarrow Y तथा g : Y \rightarrow X दो फलन इस प्रकार हैं कि
g o f=I_x
माना x_1, x_2 \in X ,तब
f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right)= g\left(f\left(x_2 \right)\right) [ \because g,Y से X में फलन है]
\Rightarrow (g o f)\left(x_1\right)=(g o f)\left(x_2\right) \\ \Rightarrow I_x\left(x_1\right)=I_x \left(x_2\right) \left[ \because g o f= I_x \right] \\ \Rightarrow x_1=x_2 [ I_x की परिभाषा से]
\therefore f एकैकी है।
अब f: X \rightarrow Y
\therefore प्रत्येक x \in X के लिए एक अवयव y \in Y इस प्रकार है कि f(x)=y
तब , g(y)=g(f(x))=(g o f)(x)=I_x(x)=x
अतः प्रत्येक x \in X के लिए एक अवयव y=f(x) \in Y इस प्रकार है कि g(y)=x
\therefore g आच्छादक है।
प्रमेय (Theorem):7.यदि f: X \rightarrow Y तथा g : Y \rightarrow Z दो फलन हैं,तब gof: X \rightarrow Z में फलन है
(i)gof आच्छादक है \Rightarrow g आच्छादक है।
(ii)gof एकैकी है \Rightarrow f एकैकी है।
(iii)gof आच्छादक तथा g एकैकी है \Rightarrow f आच्छादक है।
(iv)gof एकैकी तथा f आच्छादक है \Rightarrow f एकैकी है।
(If and are the functions,then
(i)gof is onto \Rightarrow g is onto
(ii)gof is one-one \Rightarrow f is one-one
(iii)gof is onto and g is one-one \Rightarrow f is onto
(iv)gof is one-one and f is onto \Rightarrow g is one-one)
उपपत्ति (Proof):(i).दिया है कि gof आच्छादक है।अतः प्रत्येक z \in Z के लिए एक अवयव x \in X इस प्रकार है कि
(g o f)(x)=z \Rightarrow g(f(x))=z \\ \Rightarrow g(y)=z \left[\because f(x)=y \in Y \right]
अतः प्रत्येक z \in Z के लिए एक अवयव y=f(x) \in Y इस प्रकार है कि g(y)=z
\therefore g आच्छादक है।
(ii) दिया है कि gof एकैकी है।
माना x_1, x_2 \in X
तब f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right) =g\left(f\left(x_2 \right)\right) \\ \Rightarrow (g o f)\left(x_1\right)=(g o f)\left(x_2\right) \\ \Rightarrow x_1=x_2 [\because gof एकैकी है]
\therefore f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow f एकैकी है
(iii) दिया है कि gof आच्छादक है तथा g एकैकी है।चूँकि g: Y \rightarrow Z में फलन है अतः प्रत्येक y \in Y के लिए g(y) \in Z ।परन्तु आच्छादक है,अतः प्रत्येक g(y) \in Z के लिए एक अवयव x \in X इस प्रकार है कि (g o f)(x)=g(y) \\ \Rightarrow g(f(x))=g(y) \\ \Rightarrow f(x)=y [ \because g एकैकी है]
अतः प्रत्येक y \in Y के लिए एक अवयव x \in X इस प्रकार है कि f(x)=y
\Rightarrow f आच्छादक है।
(iv).दिया है कि gof एकैकी है तथा f आच्छादक है
माना y_1 तथा y_2 समुच्चय Y के दो स्वेच्छ अवयव इस प्रकार हैं कि
g\left(y_1\right)=g\left(y_2\right)
अब \because y_1, y_2 \in Y तथा f: X \rightarrow Y आच्छादक है;अतः अवयव x_1 x_2 \in X इस प्रकार विद्यमान हैं कि
f\left(x_1\right)=y_1 तथा f\left(x_2\right)=y_2
अब g\left(y_1\right)=g\left(y_2\right) \Rightarrow g\left(f\left(x_1\right)\right) =g\left(f\left(x_2 \right)\right) \\ \Rightarrow(g o f)\left(x_1\right)=(g o f)\left(x_2\right) \\ \Rightarrow x_1=x_2 [ \because gof एकैकी है]
\Rightarrow y_1=y_2 \\ \therefore g\left(y_1\right)=g\left(y_2\right) \Rightarrow y_1=y_2
अतः g एकैकी फलन है। 
उपर्युक्त प्रमेयों के आधार पर फलनों का संयोजन पर प्रमेय (Theorems on Composition of Functions),फलनों पर महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems on Functions) को समझ सकते हैं।

Theorems on Composition of Functions

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3.फलनों का संयोजन पर प्रमेय (Frequently Asked Questions Related to Theorems on Composition of Functions),फलनों पर महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems on Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

फलनों का संयोजन पर प्रमेय (Theorems on Composition of Functions) के इस
आर्टिकल में फलनों की कुछ महत्त्वपूर्ण प्रमेयों के बारे में अध्ययन करके फलनों के संयोजन
के गुणधर्मों को समझने का प्रयास करेंगे।