1.प्रमाप विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation):

Standard Deviation and Variance

प्रमाप विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance) के इस आर्टिकल में प्रमाप विचलन,विचरण एवं उसका गुणांक और प्रसरण ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.प्रमाप विचलन एवं प्रसरण के साधित उदाहरण (Standard Deviation and Variance Solved Illustrations):

Illustration:1.किसी समूह से सम्बद्ध निम्न मापें दी गई हैं:
(The following measures relate to a group):
\overline{X}=10, \sigma^2=4, N=60
यदि उक्त समूह के एक उप-समूह का
(If the measures of its sub-group are):
\overline{X}_1=11, \sigma_1^2=2.25 and N_1=40
इसके दूसरे उप-समूह का समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(find the mean and standard deviation of its other sub-group):
Solution: \overline{X_1}=11, \sigma_1^2=2.25, N_1=40\\ \overline{X_2}=?, \sigma_2=?, N_2=N-N_1=60-40=20 \\ \overline{X}=10, \sigma^2=4, N=60 \\ \overline{X}_{1 \cdot 2}=\frac{\overline{X}_1 \cdot N_1+\overline{X}_2 \cdot N_2}{N_1+N_2} \\ \Rightarrow 10=\frac{11 \times 40+\overline{X}_2 \times 20}{60} \\ \Rightarrow 600=440+20 \overline{X}_2 \\ \Rightarrow 20 \overline{X}_2=600-440=160 \\ \Rightarrow \overline{X}_2=\frac{160}{20}=8 \\ D_1=\overline{X}_1-\overline{X}=11-10=1 \\ D_2=\overline{X}_2-\overline{X}=8-10=-2
समूहित प्रमाप विचलन
\sigma=\sqrt{\frac{N_1\left(\sigma_1^2+D_1^2\right)+N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right)}{N_1+N_2}} \\ \sqrt{4} =\sqrt{\frac{40\left(2.25+1^2\right)+20\left(\sigma_2^2+(-2)^2\right)}{60}} \\ \Rightarrow 4=\frac{40(3.25)+20 \left(\sigma_2^2+4\right)}{60} \\ \Rightarrow 4 \times 60=130+20 \sigma_2^2+80 \\ \Rightarrow 240=210+20 \sigma_2^2 \\ \Rightarrow 20 \sigma_2^2=240-210 \\ \Rightarrow \sigma_2^2=\frac{30}{20}=1.5 \\ \Rightarrow \sigma_2=\sqrt{1.5} \approx 1.225
Illustration:2.एक विद्यालय में पढ़ने वाले लड़कों और लड़कियों के भार के आँकड़ें इस प्रकार हैं:
(The figures of weights of boys and girls studying in a school as under):

(a)समूहित प्रमाप विचलन निकालिए ।
(Compute the combined standard deviation):
(b)कौन-से बंटन में विचरण अधिक है।
(Which distribution is more variable?)
Solution: N_1=100, \overline{X_1}=60, \sigma_1^2=9 \\ N_2=50 ; \overline{X_2}=45, \sigma_2^2=4
समूहित समान्तर माध्य
\overline{X}_{1 \cdot 2}=\left[\frac{\overline{X}_1 N_1+\overline{X}_2 N_2}{N_1+N_2}\right] \\=\frac{60 \times 100+45 \times 50}{100+50} \\ =\frac{6000+2250}{150} \\ =\frac{8250}{150} \\ =55 \\ \Rightarrow \overline{X}_{1 \cdot 2} =55 \\ D_1=\overline{X}_1-\overline{X}_{1.2}=60-55=5 \\ D_2=\overline{X}_2-\overline{X}_{1.2}=45-55=-10
(a) \sigma=\sqrt{\frac{N_1\left(\sigma_1^2+D_1^2\right)+N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right)}{N_1+N_2}} \\ =\sqrt{\frac{100 \times\left(9+5^2\right)+50\left(4+(-10)^2\right)}{100+50}} \\ =\sqrt{\frac{100(9+25)+50(4+100)}{150}} \\ =\sqrt{\frac{100 \times 34+50 \times 104}{150}} \\ =\sqrt{\frac{3400+5200}{150}} \\ =\sqrt{\frac{8600}{150}} \\ \sigma \approx 7.57 kgms
(b) C.V. of Boys Group=\frac{\sigma_1}{\overline{X}_1} \times 100 \\ =\frac{3}{60} \times 100=\frac{300}{60}=5 \%
C.V. of girls Group=\frac{\sigma_2}{\overline{X}_2} \times 100 \\ =\frac{2}{45} \times 100=\frac{200}{45} \\ \approx 4.44 \%
Boys group में विचरण अधिक है।
Illustration:3.70 श्रमिकों के एक समूह की औसत दैनिक मजदूरी 3.5 रु. है और प्रमाप विचलन 1.4 रु. है।80 श्रमिकों के एक अन्य समूह की औसत दैनिक मजदूरी 5 रु. है और प्रसरण 4 रु. है।सभी 150 श्रमिकों के लिए औसत मजदूरी,प्रसरण और विचरण-गुणांक ज्ञात कीजिए।
(The mean and standard deviation of daily wages of a group of 70 workers are Rs. 3.5 and Rs. 1.4 respectively.The mean and variance of daily wages of another group of 80 workers are Rs. 5 and Rs. 4 respectively.Find the means wages,variance and coefficient of Variation  of all 150 workers.)
Solution: \overline{X_1}=3.5, \sigma_1=1.4, N_1=70\\ N_2=80, \overline{X}_2=5, \sigma_2^2=4 \\ \overline{X}_{1.2}=\frac{N_1 \overline{X}_1+N_2 \overline{X}_2}{N_1+N_2} \\ =\frac{70 \times 3.5+80 \times 5}{70+80} \\ =\frac{245+400}{150} \\ =\frac{645}{150} \\ \overline{X}_{1.2}=4.3 \\ \Rightarrow \overline{X}_{1.2}=Rs. 4.3
D_1=\overline{X}_1- \overline{X}_{1.2}=3.5-4.3=-0.8 \\ D_2=\overline{X}_2- \overline{X}_{1.2}=5-4.3=0.7 \\ \sigma=\sqrt{\frac{N_1\left(\sigma_1^2+D_1^2\right)+N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right)}{N_1+N_2}} \\ =\sqrt{\frac{70\left(1.4^2+(-0.8)^2\right)+80\left(4+0.7^2\right)}{70+80}} \\ =\sqrt{\frac{70(1.96+0.64)+80(4+0.49)}{150}} \\ =\sqrt{\frac{70 \times 2.6+80 \times 4.49}{150}} \\ =\sqrt{\frac{182+359.2}{150}} \\ \sigma=\sqrt{\frac{541.2}{150}} \approx 1.899
Variance \left(\sigma^2\right)=3.608
C.V.=\frac{\sigma}{\overline{X}_{1.2}} \times 100 \\ =\frac{1.8990}{4.3} \times 100 \\ \Rightarrow \text{C.V. } \approx 44.16 \%
Illustration:4.निम्न सारणी में अज्ञात मूल्यों का परिकलन कखग कीजिए:
(From the following table,compute the missing values):

Solution: N=N_1+N_2+N_3 \\ \Rightarrow 750= N_1+250+300\\ \Rightarrow N_1=750-550=200 \\ \overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{\overline{X}_1 \cdot N_1+\overline{X}_2 \cdot N_2+\overline{X}_3 \cdot N_3}{N_1+N_2+N_3} \\ \Rightarrow 16=\frac{25 \times 200+\overline{X}_2 \times 250+15 \times 300}{750} \\ \Rightarrow 16 \times 750=5000+250 \overline{X}_2+4500 \\ \Rightarrow 250 \times \overline{X}_2=12000-9500=2500 \\ \Rightarrow \overline{X}_2=\frac{2500}{250}=10 \\ D_1= \overline{X}_1-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=25-16=9 \\ D_2=\overline{X}_2-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=10-16=-6 \\ D_3=\overline{x_3}-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=15-16=-1 \\ \sigma^2= \frac{N_1\left(\sigma_1^2+D_1^2\right)+ N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right) +N_3\left(\sigma_3^2 +D_3^2\right)}{N_1+N_2+N_3} \\=\frac{200\left(9+9^2\right)+250\left(16+(-6)^2\right) +300\left(\sigma_3^2+(-1)^2\right)}{200+250+300} \\ \Rightarrow 51.733=\frac{200(9+81)+ 250(16+36)+300\left(\sigma_3^2+1\right)}{750} \\ \Rightarrow 51.733 \times 750= 200 \times 90+250 \times 52+300 \sigma_3^2+300 \\ \Rightarrow 38799.75= 18000+13000+300 \sigma_3^2+300 \\ \Rightarrow 38799.75=31300+300 \sigma_3^2 \\ \Rightarrow 38799.75-31300=300 \sigma_3^2 \\ \Rightarrow 7499.75=300 \sigma_3^2 \\ \Rightarrow \sigma_3^2=\frac{7490.75}{300} \approx 25

Standard Deviation and Variance

Illustration:5 (a):एक मौलिक आवृत्ति सारणी जिसमें माध्य 11 और प्रसरण 9.9 था खोया गया परन्तु उस पर आधारित निम्न व्युत्पन्न सारणी मिल गयी।मूल सारणी की रचना कीजिए:
(An original frequency table with mean 11 and variance 9.9 was lost but the following table derived from it was found.Contruct the original table):

Solution: Table

समान्तर माध्य
(\overline{X})=A+\frac{\Sigma d x}{N} \times i\\ \Rightarrow 11 =A+\frac{0}{20} \times i \Rightarrow A=11 \\ \sigma^2 =i \times \frac{\Sigma f d^2 x}{N} \\ 9.9 =i \times \frac{22}{20} \\ \Rightarrow i =\frac{9.9 \times 20}{22}=9
अतः Mid-values
-7  2  11  20  9
Class intervals
-11.5 to -2.5,-2.5 to 6.5,6.5-15.5,15.5-24.5,24.5-33.5
Illustration:5(b).यदि उपर्युक्त व्युत्पन्न सारणी एक दूसरी स्थिति में प्राप्त हो और ऐसी मौलिक सारणी पर आधारित हो जिसमें माध्य 20 प्रसरण 9.9 हो,तो दोनों परिस्थितियों पर आधारित एक समूहित मौलिक सारणी की रचना कीजिए।
(If the above given frequency table was similarly found in another case with mean 20 and variance 9.9,construct the original combined table for both case together.)
Solution:समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma dx}{N} \times i \\ \Rightarrow 20=A+\frac{0}{20} \times i \Rightarrow A=20 तथा i=9
अतः mid-values 2  11   20   29   38
Class intervals -2.5 to 6.5,6.5-15.5,15.5-24.5,24.5-33.5,33.5-42.5
Illustration:6.5 अवलोकनों का माध्य 4.4 और प्रसरण 8.24 है।यदि 5 में से 3 अवलोकनों के मूल्य 1,2 और 6 हों,तो शेष दो के मूल्य ज्ञात कीजिए।
(The, mean and variance of 5 observations are 4.4 and 8.24 respectively. If the value of 3 observations are 1,2 and 6 find the values of the remaining two observations.)
Solution:माना अज्ञात मूल्य x_1, x_2 हैं।

समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\Sigma X}{N}\\ 4.4=\frac{9+x_1+x_2}{5} \\ \Rightarrow 22=9+x_1+x_2 \\ \Rightarrow x_1+x_2=22-9 \\ \Rightarrow x_1+x_2=13 \cdots(1) \\ \sigma^2=\frac{\Sigma X^2}{N}-(\overline{X})^2 \\ \Rightarrow 8.24= \frac{41+x_1^2+x_2^2}{5}-(4.4)^2 \\ \Rightarrow 8.24=\frac{41+x_1^2+x_2^2}{5}-19.36 \\ \Rightarrow \frac{41+x_1^2+x_2^2}{5}=19.36+8.24 \\ \Rightarrow \frac{41+x_1^2+x_2^2}{5}=27.6 \\ \Rightarrow x_1^2+x_2^2+41=27.6 \times 5 \\ \Rightarrow x_1^2+x_2^2=138-41 \\ \Rightarrow x_1^2+x_2^2=97 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) सेः
\Rightarrow x_1^2+\left(13-x_1\right)^2=97 \\ \Rightarrow x_1^2+169-26 x_1+x_1^2=97 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-26 x_1+169-97=0 \\ \Rightarrow 2 x_1^2-26 x_1+72=0 \\ \Rightarrow 2\left(x_1^2-13 x_1+36\right)=0 \\ \Rightarrow x_1^2-13 x_1+36=0 \\ \Rightarrow x_1^2-9 x_1-4 x_1+36=0 \\ \Rightarrow x_1\left(x_1-9\right)-4\left(x_1-9\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x_1-4\right)\left(x_1-9\right)=0 \\ \Rightarrow x_1=4 , 9
जब x_1=4 तो x_2=13-4=9
जब x_1=9 तो x_2=13-9=4
अतः अज्ञात मूल्य=4,9
Illustration:7.नीचे दी गई सतत श्रेणी में वर्गान्तर निकालकर वर्ग-समूह निश्चित कीजिए जबकि समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन के मूल्य क्रमशः 31.15 और 9 किलोग्राम हैः
(Specify the actual class-intervals in the following continuous frequency distribution by finding out the magnitude of interval.If the arithmetic mean and standard deviation are 31.15 and 9 kgms respectively):

Solution: Distribution table

समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \times i \\ 31.15=A-\frac{635}{500} \times 5 \Rightarrow A=37.50 \\ \sigma=i \times \sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^2} \\  \sigma^2= \frac{i^2}{N^2}\left[2435 \times 500-(-635)^2\right] \\ 9^2=\frac{i^2}{500^2}[1217500-403225] \\ 81 \times 250000=i^2 \times 814275 \\ \Rightarrow i^2=\frac{20250000}{814275} \approx 24.86 \\ \Rightarrow i^2 \approx 25 \Rightarrow i \approx 5
अतः mid-values 22.5,27.5,32.5,37.5,42.5,47.5,52.5
तथा class intervals 20-25,25-30,30-35,35-40,40-45,45-50,50-55
Illustration:8.एक सतत चर के निम्न आवृत्ति बंटन से समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन के मूल्य क्रमशः 135.3 पौंड और 9.6 पौंड प्राप्त हुए:
(The values of the arithmetic mean and standard deviation of the following distribution of a continuous variate are 135.3 and 9.6 pounds respectively):

वास्तविक वर्गान्तर निर्धारित कीजिए:
(Determine the actual class-intervals):
Solution: Distribution Table

समान्तर माध्य
(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d^{\prime} x}{N} \times i \\ \Rightarrow 135.3=A+\left(\frac{-16}{80}\right) \times i \\ \Rightarrow 135.3=A-\frac{16}{80} \times 6 \\ \Rightarrow 135.3=A-1.2 \\ \Rightarrow A=135.3+1.2 \\ \Rightarrow A=136.5 \\ \sigma^2=\frac{i^2}{N^2}\left[\Sigma f {d^{\prime}}^2 x \cdot N-\left(\Sigma f d^{\prime} x\right)^2\right] \\ (9.6)^2=\frac{i^2}{80^2}\left(208 \times 80-(-16)^2\right) \\ \Rightarrow 92.16 \times 6400 =i^2(16640-256) \\ \Rightarrow 589824=i^2 \times 16384 \\ \Rightarrow i^2=\frac{589824}{16384}=36\\ \Rightarrow i=\sqrt{36}=6
अतः class intervals
109.5-115.5,115.5-121.5,121.5-127.5,127.5-133.5,133.5-139.5,139.5-145.5,145.5-151.5
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रमाप विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) को समझ सकते हैं।

3.प्रमाप विचलन एवं प्रसरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Standard Deviation and Variance):

Standard Deviation and Variance

(1.)दो विभिन्न कम्पनियों से क्रय किए गये 60 बल्बों का परीक्षण किया गया जिसका परिणाम निम्न प्रकार है:
विचरण गुणांक का परिकलन कर यह ज्ञात करें कि कौन-सी कम्पनी के बल्ब अधिक स्थिर या समान है?
(Calculate coefficient of variation and state which company’s bulbs are more uniform?)

(2.)प्रमाप विचलन की गणना कीजिए एवं चार्लियर की शुद्धता जाँच के सूत्र का प्रयोग कीजिए:
(Calculate standard deviation and apply Charlier’s check):

उत्तर (Answers):(1.) \sigma=184 hours C.V.=16.62%, \sigma=124 hours , C.V.=11.8%
the bulbs of company B are more uniform as compared to company A
(2.) \sigma=Rs. 11.2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रमाप विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रमाप विचलन एवं प्रसरण (Frequently Asked Questions Related to Standard Deviation and Variance),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रमाप विचलन एवं प्रसरण (Standard Deviation and Variance) के इस आर्टिकल में
प्रमाप विचलन,विचरण एवं उसका गुणांक और प्रसरण ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।