1.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis),वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System):

Real Number System in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis) के इस आर्टिकल में समुच्चयों का उच्चक व निम्नक,परिमेय संख्या सिद्ध करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय के साधित उदाहरण (Real Number System in Real Analysis Solved Illustrations):

Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के मध्य एक
(Prove that between two different real numbers there lies a)
Illustration:1(i).परिमेय संख्या होती है (rational number),
Solution:सर्वप्रथम माना कि x>0 तथा x<y, x, y \in R, तो y-x>0
अब R में आर्किमिडीय गुणधर्म से \exists q \in N ताकि
q (y-x) > 1 \cdots(1)
पुनः चूँकि x > 0 \Rightarrow q x>0 अतः एक अद्वितीय पूर्णांक p विद्यमान होगा ताकि
p-1 \leq q x < p \cdots(2)
(1) एवं (2) सेः
1 < q(y-x) एवं p-1 \leq q x
जोड़ने पर
1+(p-1) < q(y-x)+y x \\ \Rightarrow p < qy \cdots(3)
(2) एवं (3) सेः
qx < p < qy \Rightarrow x < \frac{p}{q} < y
अतः एक ऐसी परिमेय संख्या r=\frac{p}{q} विद्यमान है ताकि x < r < y अतः एक परिमेय संख्या (वास्तविक संख्याओं) x एवं y के मध्य विद्यमान है।
पुनः माना कि x \leq 0 \Rightarrow -x \geq 0
\exists x \in N ताकि n-1 \leq -x < n \Rightarrow x+x>0
तथा x < y \Rightarrow n+x< x+y
उपपत्ति के प्रथम भाग से एक परिमेय संख्या S \in Q विद्यमान है ताकि
n+x < S < n+y \Rightarrow x < S-n < y
अतः s-n अभीष्ट परिमेय संख्या है।
उक्त विधि से x एवं r तथा r एवं y के मध्य अन्य परिमेय संख्याएँ r_1 और r_2 हैं
जहाँ x < r_1 < r < r_2 < y
इस विधि का बार-बार प्रयोग कर दोनों वास्तविक संख्याओं के मध्य अनन्त परिमेय संख्याएँ प्राप्त होती है।
Illustration:1(ii).अपरिमेय संख्या विद्यमान होती है (irrational number)
Solution:माना कि x < y, x, y \in R ,अब एक ऐसी परिमेय संख्या r विद्यमान है ताकि x < r < y. सर्वप्रथम हम यह सिद्ध करेंगे कि x एवं y के मध्य एक अपरिमेय संख्या z विद्यमान है अर्थात् x < z < y ।इसको सिद्ध करने के लिए इतना ही सिद्ध करना पर्याप्त होगा कि एक अपरिमेय संख्या z इस प्रकार विद्यमान है ताकि
अब या तो (i)x एक अपरिमेय संख्या है या (ii)x एक परिमेय संख्या है।
स्थिति:I.यदि x एक अपरिमेय संख्या है:हम जानते हैं कि एक परिमेय संख्या एवं अपरिमेय संख्या का योग एक अपरिमेय संख्या होती है।अतः हम
z=\frac{1}{2}(x+r) ले सकते हैं जो कि एक अपरिमेय संख्या होगी।
\because x< r, \therefore x< z< r
स्थिति:II.यदि x एक परिमेय संख्या है:
माना कि \alpha एक धनात्मक अपरिमेय संख्या \sqrt{2} या \sqrt{3} जैसी है।चूँकि (r-x) > 0 और R एक आर्किमिडीय क्षेत्र है,अतः एक प्राकृत संख्या n ऐसी विद्यमान है ताकि
n(r-x) > \alpha \Rightarrow r>x+\frac{\alpha}{n}>x
माना कि z=x+\frac{\alpha}{n} तो अपरिमेय संख्या z इस प्रकार विद्यमान है ताकि
x< z< r
अतः x एवं y के मध्य एक अपरिमेय संख्या विद्यमान है।
उपर्युक्त विधि को बार-बार प्रयोग कर वास्तविक संख्याओं x एवं y के मध्य अनन्त अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती है।
Illustration:2.बताइए कि निम्न समुच्चय परिबद्ध है अथवा नहीं।उच्चक तथा निम्नक भी प्राप्त कीजिए यदि वे विद्यमान हों:
(State whether each of the following sets is bounded or not. In each case obtain the supremum and infimum if there is any):
Illustration:2(i). S_1=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n: n \in N\right\}
Solution: S_1=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n ; n \in N\right\} \\ S_1=\left\{2, \frac{9}{4}, \frac{64}{27}, \frac{625}{256}, \cdots \cdot \cdot\right\}
स्पष्ट है कि S_1 परिबद्ध है तथा 2, S_1 का निम्न परिबन्ध है।चूँकि 2 \in S_1 अतः 2 से बड़ी कोई भी वास्तविक संख्या S_1 की निम्न परिबन्ध नहीं हो सकती है।
\therefore S_1 का निम्नक=2
पुनः \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3 \forall n \in N अतः S_1 का 3 उपरि परिबन्ध है।अब उससे छोटी कोई भी वास्तविक संख्या S_1 का उपरि परिबन्ध नहीं हो सकती है।क्योंकि S_1 के अवयव बढ़ते क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो कि 3 की ओर प्रवृत्त हो रही है।ये संख्याएँ 2 से प्रारम्भ हैं तथा 3 की ओर प्रवृत्त हो रही हैं।
अतः S_1 का निम्नक 2 तथा उच्चक 3 होगा।
Illustration:2(ii). S_2=\left\{5-(-5)^n : n \in N\right\}
Solution: S_2=\left\{5-(-5)^n : n \in N\right\} \\ S_2= \{10,-20,130,-620,3130,-15630, \ldots \ldots\} \\ =\{-20,-620,-15630, \ldots\}  \cup\{10,130,3130, \cdots\} \\ = A_1 \cup A_2
जहाँ A_1=\{-20,-620,-15630, \cdots\}
एवं A_2=\{10,130,3130, \cdots\}
इससे स्पष्ट है कि A_2 बढ़ते हुए क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो कि अनन्त की ओर प्रवृत्त है तथा A_1 घटते हुए क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो अनन्त की प्रवृत्त हो रही है।अतः अपरिबद्ध है।
Illustration:2(iii). S_3=\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{3}\right)^n: n \in N\right\}
Solution: S_3=\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{3}\right)^n: n \in N\right\} \\ S_3=\left\{\frac{1}{6}, \frac{13}{36}, \frac{19}{216}, \frac{97}{1296}, \frac{211}{7776}, \frac{793}{46666},\right\} \\ =\left\{\frac{13}{36}, \frac{97}{1296}, \frac{793}{46656} \cdots\right\} \cup\left\{\frac{1}{6}, \frac{19}{216}, \frac{211}{7776} \ldots\right\} \\ =A_1 \cup A_2
जहाँ A_1=\left\{\frac{13}{36}, \frac{97}{1296}, \frac{793}{46656}, \ldots\right\}
एवं A_2=\left\{\frac{1}{6}, \frac{19}{216}, \frac{211}{7776}, \ldots\right\}
इससे स्पष्ट है कि A_1 घटते हुए क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो कि 0 की ओर प्रवृत्त हो रही है तथा A_2 घटते हुए क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।ये संख्याएँ \frac{1}{6} से प्रारम्भ है तथा 0 की ओर प्रवृत्त हो रही है।
अतः  परिबद्ध समुच्चय है तथा
S_{3} का निम्नक 0 तथा उच्चक \frac{1}{6} है।
Illustration:2(iv). \left\{x: x=\frac{1}{2 n}, n \in z, n \neq 0\right\}
Solution: \left\{x: x=\frac{1}{2 n}, n \in z, n \neq 0\right\} \\ =\left\{\cdots-\frac{1}{10},-\frac{1}{8},-\frac{1}{6},-\frac{1}{4},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}\right\} \\ =\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},-\frac{1}{10}, \cdots\right\} \cup\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8} \cdots\right\} \\ =A_1 \cup A_2
जहाँ A_1=\left\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{6},-\frac{1}{8},-\frac{1}{10}, \cdots\right\}
एवं A_2=\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8} \cdots\right\}
इससे स्पष्ट है कि A_1 घटते हुए क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो कि 0 की ओर प्रवृत्त हो रही है तथा A_2 घटते हुए क्रम में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
स्पष्ट है कि समुच्चय परिबद्ध है जिसका निम्नक -\frac{1}{2} तथा उच्चक \frac{1}{2} है।
Illustration:2(v). S_4=\left\{-2,-\frac{3}{2},-\frac{4}{3},-\frac{5}{4},\ldots\right\}
Solution: S_4=\left\{-2,-\frac{3}{2},-\frac{4}{3},-\frac{5}{4},\ldots\right\}
स्पष्ट है कि परिबद्ध है जिसका निम्नक -2 तथा उच्चक -1 है।
Illustration:2(vi). S_5=\left\{\frac{3 n+2}{2 n+1} ; n \in N\right\}
Solution: S_5=\left\{\frac{3 n+2}{2 n+1} ; n \in N\right\} \\ S_5=\left\{\frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{11}{7}, \frac{14}{9}, \frac{17}{11}, \frac{20}{13}, \ldots\right\}
स्पष्ट है कि S_5 एक परिबद्ध समुच्चय है।हम स्पष्टतया देखते हैं कि \frac{5}{3} \geq \frac{3 n+2}{2 n+1}>\frac{3}{2} \forall n \in N ,फलतः S_{5} का उच्चक \frac{5}{3} तथा निम्नक \frac{3}{2} है जैसा कि निम्न से स्पष्ट है:
माना S_{n}=\frac{3 n+2}{2 n+1}, n \in N \\ =\frac{\frac{2}{3}(3 n+2)-\frac{1}{3}}{3 n+2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 n+2)} \cdots(1)\\ S_{n+1}-S_n =\left[\frac{2}{3}-\frac{1}{3[3(n+1)+2]}\right]-\left[\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 n+2)}\right] \\ =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3 n+2}-\frac{1}{3 n+5}\right]=\frac{1}{2} \frac{3 n+5-3 n-2}{(3 n+2)(3 n+5)} \\ =\frac{1}{(3 n+2)(3 n+5)}>0 \\ \therefore S_{n+1}>S_{n} \forall n \in N
अतः समुच्चय S_5 नीचे से \frac{3}{5} परिबद्ध है अतः \frac{3}{5} , S_5 का निम्न परिबन्ध है।जबकि \frac{3}{5} \in S_5 ,अतः कोई भी वास्तविक संख्या \frac{3}{5} से अधिक निम्न परिबन्ध नहीं हो सकता है।
\therefore निम्नक S=\frac{3}{5}
(1) से S_{n} < \frac{2}{3} \forall n \in N
अतः S_5 ऊपर से परिबद्ध है और S_5 का ऊपरी परिबन्ध \frac{2}{3} है।
\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 n+2)}\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{n}=\frac{2}{3}-0 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} S_{n}=\frac{2}{3}
अतः उच्चक=\frac{2}{3}
माना k<\frac{2}{3} तथा x \in S_{5}
ताकि x > u \forall n \in N \\ \Rightarrow \frac{2 n+1}{3 n+2}>u \\ \Rightarrow u<\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}-u>0 \\ \frac{1}{3}<\frac{2}{3}-u \\ \Rightarrow \frac{1}{3 n}<\frac{2}{3}-4 \Rightarrow \frac{1}{3 n+2}<\frac{2}{3}-u \\ \Rightarrow \frac{1}{3(3 n+2)}<\frac{2}{3}-u \\ \Rightarrow-\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 n+2)}>u \\ \Rightarrow \frac{2 n+1}{3 n+2}>u
अतः u ऊपरी परिबन्ध नहीं हो सकता अतः S_5 का उच्चक \frac{2}{3} है।
Illustration:3.R के अतिरिक्त परिबद्ध उपसमुच्चय S के लिए एक उदाहरण दीजिए जिसके उच्चक एवं निम्नक के अवयव हो।
(Give an example of a non-empty bounded subset S of R whose supremum and infimum both being to.)
Solution:माना S=(5,7)
अतः S का निम्नक=5 तथा S का उच्चक=7
5 \not \in 5,7 \notin S
अतः 5 \in R \sim S, 7 \in R \sim S

Real Number System in Real Analysis

Illustration:4.सिद्ध कीजिए कि \sqrt{3}, \sqrt{5} तथा \sqrt{7} परिमेय संख्या नहीं है।
(Prove that \sqrt{3}, \sqrt{5} and \sqrt{7} are not rational numbers)
Solution:यदि सम्भव हो,तो माना कि \sqrt{3} एक परिमेय संख्या है,तो \sqrt{3}=\frac{m}{n} जहाँ m, n \in z, x \neq 0 तथा m एवं n परस्पर अभाज्य है अर्थात् इनमें कोई भी खण्ड उभयनिष्ठ नहीं है।
अब \sqrt{3}=\frac{m}{n} \Rightarrow m=\sqrt{3} n \Rightarrow m^2=3 n^2 \cdots(1)
\Rightarrow m^2 एक विषम पूर्णांक है।
m एक विषम पूर्णांक है।…… (A)
[\because 3 एक अविभाज्य संख्या है]
पुनः माना कि m=3 q, q \in Z \cdots(2)
तो (1) एवं (2) से
\Rightarrow 9 q^2=3 n^2 \\ \Rightarrow n^2=3 q^2
\Rightarrow n^2 एक विषम पूर्णांक है।
n एक विषम पूर्णांक है। …… (B)
(A) तथा (B) से m तथा n दोनों ही विषम पूर्णांक है।
m तथा n दोनों का 3 उभयनिष्ठ खण्ड है,जो कि m तथा n के परस्पर अभाज्य होने की मान्यता के विपरीत है।अतः \sqrt{3} को परिमेय संख्या मानना गलत है।
फलतः \sqrt{3} अपरिमेय संख्या है।
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि \sqrt{5} व \sqrt{7} अपरिमेय संख्याएँ हैं।
Illustration:5.किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a,b के लिए सिद्ध कीजिए:
(For any two real numbers a and b, prove that):
Illustration:5(i). |a+b| \geq ||a|-|b||
Solution: |a+b| \geq ||a|-|b|| \\ |a|=|(a-b)+b| \\ \leq |a-b|+|b| (त्रिभुज असमिका से)
\Rightarrow |a|-|b| \leq |a-b| \cdots(1)
पुनः |b|=|(b-a)+a| \\ \leq |b-a|+|a| (त्रिभुज असमिका से)
\Rightarrow-(|a|-|b|) \leq |b-a| \\ -(|a|-|b|) \leq|a-b| \left[ \because| |b-a|=|a-b| \right] \cdots(2)
(1) और (2) सेः
|a-b| \geq \max \left[ |a|-|b|,-(|a|-|b|) \right] \\ |a+b| \geq \left| |a|-|b| \right| \cdots(3)
पुनः |a+b|=|a-(-b)| \\ \geq \left| |a|-|-b| \right| [(3) के प्रयोग से]
\geq \left| |a|-|b| \right| \left[ \because |-b|=|b| \right] \\ \Rightarrow |a+b| \geq \left| |a|-|b| \right|
Illustration:5(ii). |a-b|=0 \Leftrightarrow a=b
Solution: |a-b|=0 \Leftrightarrow a=b \\ |a-b| =\mid-(b-a) \mid \\ \Rightarrow|a-b| =|b-a| \quad \left[ \because|-x|=|x| \right]
Illustration:5(iii). |a-b|=|b-a|
Solution: |a-b|=|b-a| \\ |a-b|=|-(b-a)| \left[ \because |-x|=|x| \right] \\ \Rightarrow |a-b|=|b-a|
Illustration:5(iv). \left|\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{|a|}, a \neq 0
Solution: \left|\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{|a|}, a \neq 0 \\ \left|\frac{1}{a}\right|^2 =\left(\frac{1}{a}\right)^2=\frac{1}{a^2} \\ =\frac{1}{|a|^2} \\ =\left(\frac{1}{|a|}\right)^2 \\ \Rightarrow \left|\frac{1}{a}\right| =\frac{1}{|a|}
\left|\frac{1}{a}\right| तथा \frac{1}{|a|} दोनों धनात्मक हैं।अतः ऋणात्मक राशि असम्भव है फलतः
\left|\frac{1}{a}\right| =\frac{1}{|a|}
Illustration:5(v).-(a-b)=b-a
-(a-b)+(a-b)=0 [-(-a)+-a=0 से]
-(a-b)+(a-b)+b=b
-(a-b)+a+[-b+b]=b
\Rightarrow -(a-b)+a+0=b
\Rightarrow -(a-b)+a-a=b-a
\Rightarrow -(a-b)+0=b-a
\Rightarrow -(a-b)=b-a
Illustration:5(vi). a < b \Leftrightarrow -a >-b
Solution: a < b \Leftrightarrow -a >-b
माना a<b \Rightarrow a+(-a)<b+(-a) \\ \Rightarrow 0<b-a \\ \Rightarrow(-b)<b+(-b)-a \\ \Rightarrow-b<-a \\ \Rightarrow-a>-b \cdots(1)
पुनः माना -a >-b \\ (-a)+a>-b+a \\ \Rightarrow 0 >-b+a \\ \Rightarrow 0+b >(-b)+b+a \\ \Rightarrow b >a \\ \Rightarrow a< b
(1) व (2) से:
a < b \Leftrightarrow -a>-b
Illustration:6.यदि (If) 0< \theta< 1 तथा -1 < x < 1 , सिद्ध कीजिए (Prove that)
\left|\frac{x(1-\theta)}{1+\theta x}\right|< 1
Solution: |x|<1 \Leftrightarrow-1<x<1
यदि x=0,तो \left|\frac{x(1-\theta)}{1+\theta x}\right|=|0|=0<1
पुनः 0 < x < 1 यदि तो 1+\theta x > 1 [\because 0 < 1-\theta < 1]
और 0<x(1-\theta)<1 [\because 0 < 1-\theta< 1] \\ \therefore 0< \frac{x(1-\theta)}{1+\theta x} < 1 \\ \Rightarrow \left|\frac{x(1-\theta)}{1+\theta x}\right|< 1
यदि -1< x < 0 तो -\theta<\theta x<0 \quad \left[ \because \theta>0 \right] \\ \Rightarrow 1-\theta < 1+\theta x \\ \Rightarrow 0<\frac{1-\theta}{1+\theta x}<1 \quad \left[ \because 1-\theta>0 \text { और } 1+\theta x>0 \right] \\ \Rightarrow \left|\frac{1-\theta}{1+\theta x}\right|<1 \\ \Rightarrow |x| \left|\frac{1-\theta}{1+\theta x} \right| < 1 \left[ \because |x|<1 \right] \\ \Rightarrow\left|\frac{x(1-\theta)}{1+\theta x}\right|<1
यदि 0<\theta<1,|x|<1 तो \left|\frac{x(1-\theta)}{1+\theta x}\right|<1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis),वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Real Number System in Real Analysis):

Real Number System in Real Analysis

निम्न समुच्चयों का उच्चक एवं निम्नक ज्ञात कीजिए,यदि विद्यमान हो
(Find the supremum and infimum,if they exist,of the following sets)
(1.) \left\{m+\frac{1}{n}; m, n \in N\right\}
(2.) \left\{\frac{1}{S_{n}} ; n \in z, n \neq 0\right\}
(3.)ऊपर और नीचे से परिबद्ध समुच्चय का एक उदाहरण दीजिए।
(Give an example of a set which is both bounded above and below):
उत्तर (Answers):निम्नक S=1,उच्चक विद्यमान नहीं
(2.)उच्चक S= \frac{1}{5} ,निम्नक S=-\frac{1}{5}
(3.) S=\left\{\frac{1}{n} ; n \in N\right\}

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis),वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Frequently Asked Questions Related to Real Number System in Real Analysis),वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System in Real Analysis) के
इस आर्टिकल में समुच्चयों का उच्चक व निम्नक,परिमेय संख्या सिद्ध करने से सम्बन्धित सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।