1.पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Picard Method),साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Ordinary Differential Equations):

Numerical Solution by Picard Method

पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Picard Method) के इस आर्टिकल में साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल ज्ञात करने वाले सवालों को पिकार्ड विधि से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल के उदाहरण (Numerical Solution by Picard Method Illustrations):

Illustration:1.पिकार्ड की उत्तरोत्तर सन्निकट विधि का उपयोग करके अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=x+y^2 के तीसरे सन्निकटन तक हल प्राप्त करें,जहाँ y=0 जब x=0.
(Using Picard’s method of successive approximation obtain a solution upto third approximation of the differential equation \frac{d y}{d x}=x+y^2 ,where y=0 when x=0.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=x+y^2 , x_0=0, y_0=0 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) d x \\ =0+\int_0^x\left(x+y^2\right) d x=\int_0^x \left(x+0^2\right) d x \\ \Rightarrow y_1=\frac{1}{2} x^2
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_0^x\left(x, y_1\right) d x=0+\int_0^x\left(x+y_1^2\right) d x \\ =\int_0^x \left[x+ \left(\frac{1}{2} x^2\right)^2\right] d x \\ =\int_0^x\left(x+\frac{1}{4} x^4\right) d x \\ \Rightarrow y_2 =\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{20} x^5
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_0^x f\left(x, y_2\right) dx \\ =0+\int_0^x\left(x+y_2^2\right) d x \\ =\int_0^x \left[x+\left(\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{20} x^5\right)^2\right] \\ =\int_0^x\left(x+\frac{1}{4} x^4+\frac{1}{20} x^7+\frac{1}{400} x^{10}\right) d x \\ \Rightarrow y_3 =\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{20} x^5+\frac{1}{160} x^8+\frac{1}{4400} x^{11}
Illustration:2.समीकरण \frac{d y}{d x}=x+y^2 को हल कीजिए शर्त y=0 के अधीन,जब x=0।
(Solve the equation \frac{d y}{d x}=x+y^2 subject to the condition y=1 when x=0.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=x+y^2, x_0=0, y_0=1 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1 =y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) dx \\=1+\int_0^x\left(x+y_0^2\right) d x=1+ \int_0^x \left(x+1^2\right) d x \\ =1+\frac{1}{2} x^2+x \\ \Rightarrow y_1=\frac{1}{2} x^2+x+1 \cdots(2)
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_0^x f\left(x, y_1\right) dx \\ =1+\int_0^x\left(x+y_1^2\right) d x \\=1+\int_0^x \left[x+\left(\frac{1}{2} x^2+x+1\right)^2\right] d x \\ =1+\int_0^x\left[x+\frac{1}{4} x^4+x^2+1+x^3 +x^2 +2 x\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(\frac{1}{4} x^4+x^3+2 x^2+3 x+1\right) d x \\ \Rightarrow y_3=1+\frac{1}{20} x^5+\frac{1}{4} x^4+\frac{2}{3} x^3+\frac{3}{2} x^2+x
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_2\right) d x=1+\int_0^x\left(x+y_2^2\right) d x \\ =1+\int_0^x \left[x+\left(\frac{1}{20} x^5+\frac{1}{4} x^4+\frac{2}{3} x^3+\frac{3}{2} x^2+x\right)^2\right] d x \\ =1+\int_0^x [x+\frac{1}{400} x^{10}+\frac{1}{16} x^8+\frac{4}{9} x^6+\frac{9}{4} x^4+x^2+1+\frac{1}{40} x^9+\frac{1}{3} x^7+2 x^5+3 x^2+\frac{1}{15} x^8+\frac{3}{20} x^7+\frac{1}{10} x^5+\frac{3}{4} x^6+\frac{1}{2} x^4+\frac{4}{3} x^3+ \frac{1}{20} x^6+\frac{1}{2} x^5+\frac{4}{3} x^4+3 x^3+2 x] d x \\ =1+\int_0^x [\frac{1}{400} x^{10}+\frac{1}{40} x^9+\frac{31}{240} x^8+\frac{29}{60} x^7 +\frac{233}{180} x^6+\frac{13}{5} x^5+\frac{49}{12} x^4+\frac{13}{3} x^3+4 x^2+3 x+1 ] d x \\ \Rightarrow y_3=\frac{x^{11}}{4400}+\frac{x^{10}}{400}+\frac{31}{2160} x^9+\frac{29}{480} x^8+\frac{233}{1260} x^7+\frac{13}{30} x^6+\frac{49}{60} x^5+\frac{13}{12} x^4+\frac{4}{3} x^3+\frac{3}{2} x^2+x+1
Illustration:3.पिकार्ड की विधि का उपयोग करके \frac{d y}{d x}=x+x^4 y, y(0)=3 का हल प्राप्त करें।
(Using Picard’s method,obtain a solution of \frac{d y}{d x}=x+x^4 y, y(0)=3.)
Solution:यहाँ f(x, y)= \frac{d y}{d x}=x+x^4 y, x_0=0, y_0=3 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) d x=3+\int_0^x\left(x+x^4 y_0\right) d x \\ =3+\int_0^x \left(x+3 x^4\right) d x \\ \Rightarrow y_1 =3+\frac{1}{2} x^2+\frac{3}{5} x^5
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_1\right) d x=3+\int_0^x\left(x+x^4 y_1\right) d x \\ =3+\int_0^x\left(x+x^4\left(3+\frac{1}{2} x^2+\frac{3}{5} x^5\right)\right] d x \\=3+\int_0^x\left(x+3 x^4+\frac{1}{2} x^6+\frac{3}{5} x^9\right) d x \\ =3+\int_0^x\left(\frac{3}{5} x^9+\frac{1}{2} x^6+3 x^4+x\right) d x \\ =3+\frac{3}{50} x^{10}+\frac{1}{14} x^7+\frac{3}{5} x^5+\frac{1}{2} x^2 \\ \Rightarrow y_2=\frac{3}{50} x^{10}+\frac{1}{14} x^7+\frac{3}{5} x^5+\frac{1}{2} x^2+3
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_2\right) d x=3+\int_0^x\left(x+x^4 y_2\right) d x \\ =3+\int_0^x\left[x+x^4\left(\frac{3}{50} x^{10}+\frac{1}{14} x^7+\frac{3}{5} x^5+\frac{1}{2} x^2+3\right)\right] d x \\ =3+\int_0^x\left(x+\frac{3}{50} x^{14}+\frac{1}{14} x^{11}+\frac{3}{5} x^9+\frac{1}{2} x^6+3 x^4\right) d x \\ =3+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{250} x^{15}+\frac{1}{168} x^{12}+\frac{3}{50} x^{10}+\frac{1}{14} x^7+\frac{3}{5} x^5 \\ y_3= \frac{1}{25} x^{15}+\frac{1}{168} x^{12}+\frac{3}{50} x^{10}+\frac{1}{14} x^7+\frac{3}{5} x^5+\frac{1}{2} x^2+3
Illustration:4.पिकार्ड की विधि द्वारा \frac{d y}{d x}=1-2 x y को हल करें,x=0 पर y=0 दिया गया है।
(Solve \frac{d y}{d x}=1-2 x y ,by Picard’s method,given y=0 at x=0.)
Solution:यहाँ f(x,y)=\frac{d y}{d x}=1-2 x y, x_0=0, y_0=0 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) d x=0+\int_0^x\left(1-2 x y_0\right) d x \\ =\int_0^x(1-2 x \times 0) d x=\int_0^x d x \\ \Rightarrow y_1=x
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_0^x f\left(x, y_1\right) d x=\int_0^x\left(1-2 x y_1\right) d x \\ =\int_0^x\left(1-2 x^2\right) d x \\ \Rightarrow y_2=x-\frac{2}{3} x^3
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_0^x f\left(x, y_2\right) d x=0+\int_0^x\left(1-2 x y_2\right) d x \\ =\int_0^x\left[1-2 x\left(x-\frac{2}{3} x^3\right)\right] d x \\ =\int_0^x\left(1-2 x^2+\frac{4}{3} x^4\right) d x \\ \Rightarrow y_3=\frac{4}{15} x^5-\frac{2}{3} x^3+x

Numerical Solution by Picard Method

Illustration:5.पिकार्ड की उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि का उपयोग करके अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=2-\frac{y}{x},जहाँ y=2 जब x=1 के तीसरे सन्निकटन तक हल प्राप्त करें।
सामान्य विधि से यतातथ हल भी प्राप्त करें।
(Using Picard’s method of successive approximation obtain the third approximation of the differential equation \frac{d y}{d x}=2-\frac{y}{x}, Where y=2 when x=1.)
Also obtain the exact solution by usual method.)
Solution:यहाँ f(x , y)=\frac{d y}{d x}=2-\frac{y}{x} , x_0=1, y_0=2
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) d x \\ =2+\int_1^x\left(2-\frac{y_0}{x}\right) d x \\=2+ \int_1^x\left(2-\frac{2}{x}\right) d x \\ =2+\left[2 x-2 \log x\right]_1^x \\ =2+2 x-2 \log x-2 \\ \Rightarrow y_1=2 x-2 \log x
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_1^x f\left(x, y_1\right) d x \\ =2+\int_1^x\left(2-\frac{y_1}{x}\right) d x \\ =2+\int_1^x \left(2-\frac{2 x-2 \log x}{x}\right) d x \\=2+\int_1^x\left(2-2+\frac{2}{x} \log x\right) d x \\ =2+\int_1^x \left(\frac{2}{x} \log x\right) d x \\ =2+\left[(\log x)^2\right]_1^x \\ \Rightarrow y_2 =2+(\log x)^2
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_1^x f\left(x, y_2\right) d x \\ =2+\int_1^x\left(2-\frac{y_2}{x}\right) d x \\ =2+\int_1^x\left(2-\frac{2+(\log x)^2}{x}\right) d x \\ =2+\int_1^x\left(2-\frac{2}{x}-\frac{(\log x)^2}{x}\right) d x \\ =2+\left[2 x-2 \log x-\frac{1}{3}(\log x)^3\right]_1^x \\ =2+2 x-2 x \log x-\frac{1}{3}(\log x)^3-2 \\ \Rightarrow y_3=2 x-2 x \log x-\frac{1}{3}(\log x)^3
यथातथ हल (Exact Solution):
\frac{d y}{d x}=2-\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=2
यह रैखिक अवकल समीकरण है अतः
I.F. =e^{\int \frac{1}{x} d x}=e^{\log x}=x
अवकल समीकरण का हल:
y(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) Q d x+c \\ \Rightarrow y \cdot x=\int x \cdot 2 d x+c \\ \Rightarrow x y=x^2+c
जब x=1 तो y=2
\Rightarrow(1)(2)=(1)^2+c \Rightarrow c=1 \\ x y=x^2+1 \\ \Rightarrow y=\frac{1}{x}+x
Illustration:6.पिकार्ड की उत्तरोत्तर सन्निकटन विधि का उपयोग करके अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=y+x के चार सन्निकटन तक हल प्राप्त करें,जहाँ y=1 जब x=0।
(Using Picard’s process of successive approximation, obtain a solution upto the fourth approximation of the equation \frac{d y}{d x}=y+x ,where y=1 when x=0.)
Check your answer by finding the exact particular solution.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=y+x, x_0=0, y_0=1 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x=0}^x f\left(x, y_0\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(x+y_0\right) d x \\ =1+\int_0^x (x+1) d x \\ =1+\frac{x^2}{2}+x \\ \Rightarrow y_1 =\frac{x^2}{2}+x+1
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_0^x f\left(x, y_1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(x+y_1\right) d x \\ =1+\int_0^x \left(x+\frac{x^2}{2}+x+1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(\frac{1}{2} x^2+2 x+1\right) d x \\ =1+\left[\frac{1}{6} x^3+x^2+x\right]_0^x \\ \Rightarrow y_2=\frac{1}{6} x^3+x^2+x+1
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_0^x f\left(x, y_2\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(x+y_2\right) d x \\ =1+\int_0^x \left(x+ \frac{1}{6} x^3+x^2+x+1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(\frac{1}{6} x^3+x^2+2 x+1\right) d x \\ =1+\frac{1}{24} x^4+\frac{1}{3} x^3+x^2+x \\ \Rightarrow y_3=\frac{1}{24} x^4+\frac{1}{3} x^3+x^2+x+1
सन्निकटन y_4
y_4=y_0+\int_0^x f\left(x, y_3\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(x+y_3\right) d x \\ =1+\int_0^x \left(x+ \frac{1}{24} x^4+\frac{1}{3} x^3+x^2+x+1\right) d x \\=1+\int_0^x\left(\frac{1}{24} x^4+\frac{1}{3} x^3+ x^2+2 x+1\right) d x \\ =1+\frac{1}{120} x^5+\frac{1}{12} x^4+\frac{1}{3} x^3+x^2+x \\ \Rightarrow y_4=\frac{1}{120} x^5+\frac{1}{12} x^4+\frac{1}{3} x^3+x^2+x+1
यतातथ विशिष्ट हल (Exact particular solution)
\frac{d y}{d x}=x+y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-y=x
यह रैखिक अवकल समीकरण है अतः
I.F.=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}
अवकल समीकरण का हल:
y \cdot(\text{I.F.})=\int(\text{I.F.}) Q d x+c \\ \Rightarrow y e^{-x}=\int e^{-x}(x)+c \\ \Rightarrow y e^{-x}=x \int e^{-x} d x-\int \left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x \right] dx+c\\ \Rightarrow y e^{-x}=-x e^{-x}+\int e^{-x} d x+C \\ \Rightarrow y e^{-x}=-x e^{-x}-e^{-x}+c
जब x=0 तो y=1
\Rightarrow 1 e^{-0}=-0\left(e^{-0}\right)-e^{-0}+c \\ \Rightarrow 1+1=c \Rightarrow c=2 \\ \Rightarrow y e^{-x}=-x e^{-x}-e^{-x}+2 \\ \Rightarrow y=-x-1+2 e^x \\ =2\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\right)-x-1 \\ \Rightarrow y=1+x+x^2+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{12}+\frac{1}{60} x^5+\cdots
पिकार्ड विधि से सन्निकटन यथातथ विशिष्ट हल के पद x^4 तक समान है।
Illustration:7.पिकार्ड विधि का उपयोग y का सन्निकट के लिए करें जब x=0.2,दिया गया है कि y=1 जब x=0 तथा \frac{d y}{d x}=x-y
(Use Picard’s method to approximate y when x=0.2,given that y=1 when x=0 and \frac{d y}{d x}=x-y )
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=x-y, x_0=0, y_0=1 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) d x=1+\int_0^x\left(x-y_0\right) d x \\= 1+\int_0^x(x-1) d x \\ =1+\frac{1}{2} x^2-x \\ \Rightarrow y_1=\frac{1}{2} x^2-x+1
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_0^x f\left(x, y_1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(x-y_1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left[x-\left(\frac{1}{2} x^2-x+1\right)\right] d x \\ =1+\int_0^x\left(x-\frac{1}{2} x^2+x-1\right) d x \\ =1+ \int_0^x \left(-\frac{1}{2} x^2+2 x-1\right) d x \\ =1+\left[-\frac{1}{6} x^3+x^2-x\right]_0^x \\ \Rightarrow y_2=-\frac{1}{6} x^3+x^2-x+1 \cdots(3)
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_0^x f\left(x, y_2\right) d x \\ =y_0+\int_0^x\left(x-y_2\right) d x \\ =1+\int_0^x\left[x-\left(-\frac{1}{6} x^3+x^2-x+1\right)\right] d x \\ =1+\int_0^x\left(x+\frac{1}{6} x^3-x^2+x-1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(\frac{1}{6} x^3-x^2+2 x-1\right) d x \\ =1+\frac{1}{24} x^4-\frac{1}{3} x^3+x^2-x \\ \Rightarrow y_3=\frac{1}{24} x^4-\frac{1}{3} x^3+x^2-x+1 \cdots(4)
जब x=0.2 तो (2) सेः
y_1=\frac{1}{2}(0.2)^2-0.2+1=0.82
जब x=0.2 तो (3) सेः
y_2=-\frac{1}{6}(0.2)^3+(0.2)^2-0.2+1 \\ \approx-0.0013+0.04-0.2+1 \\ \Rightarrow y_2 \approx 0.8387
जब x=0.2 तो (4) सेः
y_3=\frac{1}{24}(0.2)^4-\frac{1}{3}(0.2)^3+(0.2)^2-0.2+1 \\ =\frac{1}{24} \times 0.0016-\frac{1}{3} \times 0.008+0.04-0.2+1 \\ \approx 0.000066-0.00267+0.04-0.2+1 \\ \Rightarrow y_3 \approx 0.837396 \Rightarrow x=0.2 पर y \approx 0.837
Illustration:8.y का सन्निकट मान लगाने के लिए पिकार्ड की विधि का उपयोग करें जब x=0.1 दिया गया है कि y=1 जब x=0 अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=3 x+y^2 के लिए।
(Use Picard’s method to approximate the value of y when x=0.1 given that y=1 when x=0 for differential equation.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=3 x+y^2, x_0=0 , y_0=1 \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन y_1
y_1=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(3 x+y_0^2\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(3 x+1^2\right) d x \\=1+\int_0^x(3 x+1) d x \\ \Rightarrow y_1=1+\frac{3}{2} x^2+x \cdots(2)
द्वितीय सन्निकटन y_2
y_2=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_1\right) d x \\ =1+\int_0^x\left(3 x+y_1^2\right) d x \\ =1+\int_0^x\left[3 x+\left(\frac{3}{2} x^2+x+1\right)^2\right] d x \\ =1+\int_0^x\left[3 x+\frac{9}{4} x^4+x^2+1+3 x^3+2 x+3 x^2\right] \\ =1+\int_0^x\left[\frac{9}{4} x^4+3 x^3+4 x^2+5 x+1\right) d x \\ =1+\frac{9}{20} x^5+\frac{3}{4} x^4+\frac{4}{3} x^3+\frac{5}{2} x^2+x \\ \Rightarrow y_2=\frac{9}{20} x^5+\frac{3}{4} x^4+\frac{4}{3} x^3+\frac{5}{2} x^2+x+1 \cdots(3)
तृतीय सन्निकटन y_3
y_3=y_0+\int_0^x f\left(x, y_2\right) dx \\ =1+\int_0^x\left(3 x+y_2^2\right) d x \\ =1+\int_0^x \left[3 x+\left(\frac{9}{20} x^5+\frac{3}{4} x^4+\frac{4}{3} x^3+\frac{5}{2} x^2+x+1\right)^2 \right] dx \\ =1+\int_0^x (3 x+\frac{81}{400} x^{10}+\frac{9}{16} x^8+\frac{16}{9} x^6+\frac{25}{4} x^4+x^2 +1+\frac{27}{40} x^9+\frac{6}{5} x^8+\frac{9}{4} x^7+\frac{9}{10} x^6 +\frac{9}{10} x^5+2 x^7+\frac{15}{4} x^6+\frac{3}{2} x^5+\frac{3}{2} x^4 +\frac{20}{3} x^5+\frac{8}{3} x^4+\frac{8}{3} x^3+5 x^3+5 x^2+2 x) dx \\ =1+\int_0^x\left(\frac{81}{400} x^{10}+\frac{27}{40} x^9+\frac{141}{80} x^8+\frac{17}{4} x^7+ \frac{1157}{180}\right. x^6+\frac{136}{15} x^5+\frac{125}{12} x^4+\frac{23}{3} x^3 \\ =1+\frac{81}{4400} x^{11}+\frac{27}{400} x^{10}+\frac{47}{240} x^9+\frac{17}{32} x^8+ \frac{1157}{1260} x^7+\frac{68}{45} x^6+\frac{25}{12} x^5+2 x^3+\frac{5}{2} x^2+x \\ \Rightarrow y_3=\frac{81}{4400} x^{11}+\frac{27}{400} x^{10}+\frac{47}{240} x^9+\frac{17}{22} x^8+ \frac{1157}{1260} x^7+\frac{68}{45} x^6+\frac{25}{12} x^{5} + \frac{23}{12} x^4+2 x^{32}+\frac{5}{2} x^2+x+1 \cdots(4)
जब x=0.1 तो (2) सेः
y_1=1+\frac{3}{2} \times(0.1)^2+0.1 \\ \Rightarrow y_1=1.115
जब x=0.1 तो (3) सेः
y_2=\frac{9}{20} \times(0.1)^5+\frac{3}{4} \times(0.1)^4+\frac{4}{3} \times(0.1)^3+\frac{5}{2} \times(0.1)^2 +0.1+1 \\ \approx 0.0000045+0.000075+0.0013333+0.025+0.1+1 \\ \Rightarrow y_2 \approx 1.1264
जब x=0.1 तो (4) सेः
y_3=\frac{81}{4400} \times(0.1)^{11}+\frac{27}{400}(0.1)^{10}+\frac{47}{240}(0.1)^9+\frac{17}{32} \times(0.1)^8+\frac{1157}{1260}(0.1)^7+\frac{68}{45}(0.1)^6+\frac{25}{12} \times(0.1)^5+\frac{23}{12} \times(0.1)^4+2 \times (0.1)^3+\frac{5}{2} (0.1)^2+ 0.1+1 \\ \approx 0.00000000000018 +0.00000000000625 +0.00000000019583+0.0000000053125 + 0.00000009182539+0.00000151111111 + 0.00002083333333+0.0001916666667 +0.002+0.025+1.1 \\ \Rightarrow y_3 \approx 1.1272
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Picard Method),साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Ordinary Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल के सवाल (Numerical Solution by Picard Method Questions):

Numerical Solution by Picard Method

(1.)पिकार्ड विधि का उपयोग y का सन्निकट करने के लिए करें जब x=0.1 दिया गया है कि y=1 जब x=0 और \frac{d y}{d x} =\frac{y-x}{y+x}
(Use Picard’s method to approximate y when x=0.1 given that y=1 when x=0 and \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x} )
(2.)प्राप्त करने के लिए पिकार्ड विधि को नियोजित करें,दशमलव के चार स्थानों तक सही करें,x=0.4 के लिए अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=x^2+y^2 ,दिया हुआ है कि y=0 जब x=0.
(Employ Picard’s method to obtain,correct to four places of decimals,solution of the differential equation \frac{d y}{d x}=x^2+y^2 , for x=0.4, given that y=0 when x=0.)
उत्तर (Answers): (1.) y_1=1-x+2 \log (1+x), y_1=0.983
(2.) y_{2}=\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{63} x^7+\frac{2}{2079} x^{11}+\frac{1}{59535}x^{15}
y_1=0.213, y_2=0.02135 , y_3=0.02135, y \approx 0.0214
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Picard Method),साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Ordinary Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल (Frequently Asked Questions Related to Numerical Solution by Picard Method),साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Ordinary Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

पिकार्ड विधि से संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Picard Method) के इस आर्टिकल
में साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल ज्ञात करने वाले सवालों को पिकार्ड विधि से
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।