1.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (How to Write Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या (Duality of Linear Programming Problems):

How to Write Dual of LPP?

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (How to Write Dual of LPP?) क्योंकि द्वैतता रैखिक प्रोग्रामन की जटिल समस्याओं को हल करने में उपयोगी सिद्ध हुआ है।
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2.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें पर आधारित उदाहरण (Examples Based on How to Write Dual of LPP?):

निम्न रैखिक समस्याओं की द्वैती समस्याएँ लिखिए:
(Write the dual of the following L. P. P.):
Example:2.अधिकतम करो (Max.) Z=2 x_1+5 x_2+6 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) 5 x_1+6 x_2-x_3 \leq 3 \\ -2 x_1+x_2+4 x_3 \leq 4 \\ x_1+5 x_2+3 x_3 \leq 1 \\ -3 x_1-3 x_2+7 x_3 \leq 6
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में है क्योंकि समस्या अधिकतमीकरण की है अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq‘ चिन्ह में होने चाहिए,जो हैं।इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 6 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 3 \\ -3 & -3 & 7 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right] \\ C=\left(\begin{array}{lll} 2 & 5 & 6 \end{array}\right)
इस आद्य समस्या की निम्नलिखित द्वैती समस्या होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{\top} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C^{\top}
तथा W \geq 0
या निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llll}3 & 4 & 1 & 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cccc}5 & -2 & 1 & -3 \\ 6 & 1 & 5 & -3 \\ -1 & 4 & 3 & 7 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 6\end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
अतः दी गई समस्या की संगत अभीष्ट द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
निम्नतम करो: Z_D=3 w_1+4 w_2+w_3+6 w_4
प्रतिबन्ध w_1-2 w_2+w_3-3 w_4 \geq 2 \\ 6 w_1+w_2+5 w_3-3 w_4 \geq 5 \\ -w_1+4 w_2+3 w_3+7 w_4 \geq 6
तथा w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
Example:3.अधिकतम करो: Z=x_1+2 x_2-x_3
प्रतिबन्ध 2 x_1-3 x_2+4 x_2 \leq 5 \\ 2 x_1-2 x_2 \leq 6 \\ 3 x_1-x_3 \geq 4
तथा x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:-हम सर्वप्रथम दी गई आद्य समस्या को मानक रूप में परिवर्तित करते हैं।चूँकि यह अधिकतमीकरण की समस्या है अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq‘  चिन्ह में होने चाहिए।दिए हुए प्रतिबन्धों में एक प्रतिबन्ध ‘\geq‘  चिन्ह में है,अतः इस प्रतिबन्ध ‘\leq‘  को चिन्ह में प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करते हैं।अतः दी गई समस्या का मानक रूप निम्न प्रकार होगा:

अधिकतम करो: Z=x_1+2 x_2-x_3
प्रतिबन्ध 2 x_1-3 x_2+4 x_3 \leq 5 \\ 2 x_1-2 x_2 \leq 6 \\ -3 x_1+x_3 \leq-4
तथा x_1, x_2, x_3 \geq 0
इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त करते हैं:
अधिकतम करो: Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4 \\ 2 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & -1 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{\top} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C^{\top}
तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right] \Rightarrow b^{\top}=\left[\begin{array}{lll} 5 & 6 & -4 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{ll} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right], A^{\top} =\left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -3 \\ -3 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \Rightarrow C^T=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{lll} 5 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_3 \\ w_3 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -3 \\ -3 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
निम्नतम करो: Z_D=5 w_1+6 w_2-4 w_3
प्रतिबन्ध 2 w_1+2 w_2-3 w_3 \geq 1 \\ -3 w_1-2 w_2 \geq 2 \\ 4 w_1+w_3 \geq -1
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
Example:4(a).अधिकतम करो (Maximize): Z=3 x_1+5 x_2+4 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x_1+3 x_2 \leq 8 \\ 2 x_2+5 x_3 \leq 10 \\ 3 x_1+2 x_2+4 x_{3} \leq 15 
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में है,क्योंकि समस्या अधिकतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq‘ में होने चाहिए,जो हैं।इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 4\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}8 \\ 10 \\ 15\end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{lll}3 & 5 & 4\end{array}\right]
इस आद्य समस्या की निम्न द्वैती समस्या होगी:
निम्नतम करो: Z_{D}=b^{T}W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C^{\top}
तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{l} 8 \\ 10 \\ 15 \end{array}\right] \Rightarrow b^{\top}=\left[\begin{array}{lll} 8 & 10 & 15 \end{array}\right] \\ w=\left[\begin{array}{lll} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right], A^{\top} =\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 4 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{lll} 3 & 5 & 4 \end{array}\right] \Rightarrow C^{T}=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{lll} 8 & 10 & 15 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
निम्नतम करो: Z_D=8 w_1+10 w_2+15 w_3
प्रतिबन्ध 2 w_1+3 w_3 \geq 3 \\ 3 w_1+2 w_2+2 w_3 \geq 5 \\ 5 w_2+m w_3 \geq 4
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
Example:4(b).अधिकतम करो (Maximize): Z=x_1+x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x_1+x_2 \geq 4 \\ x_1+7 x_2 \geq 7
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में नहीं है।चूँकि यह अधिकतमीकरण की समस्या है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq‘ चिन्ह में होने चाहिए।दिए हुए दोनों प्रतिबन्धों में ‘\geq‘  चिन्ह है,अतः इन दोनों प्रतिबन्धों को ‘\leq‘ चिन्ह प्राप्त करने के लिए -1 से गुणा करते हैं।अतः दी गई समस्या का मानक रूप निम्न प्रकार होगा:
अधिकतम करो: Z=x_1+x_2
प्रतिबन्ध -2 x_1-x_2 \leq -4 \\ -x_1-7 x_2 \leq-7
तथा x_1, x_2 \geq 0
इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं:
अधिकतम करो: Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ll} -2 & -1 \\ -1 & -7 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l} -4 \\-7 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{\top} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C तथा W \geq 0  \\ b=\left[\begin{array}{l} -4 \\ -7 \end{array}\right] \Rightarrow b^{\top}=[-4 \quad -7] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \end{array}\right], A^{\top} =\left[\begin{array}{ll} -2 & -1 \\ -1 & -7 \end{array}\right], \\ C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array}\right] \Rightarrow C^T=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{ll} -4 & -7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{ll} -2 & -1 \\ -1 & -7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
निम्नतम करो: Z_{D}=-4 w_1-7 w_2 \geq 0
प्रतिबन्ध  -2 w_1-w_2 \geq 1 \\ - w_1-7 w_2 \geq 1
तथा  w_1, w_2 \geq 0
Example:4(c).न्यूनतम (Minimize): Z=2 x_1+x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) 3 x_1+x_2 \geq 3 \\ 4 x_1+3 x_2 \geq 6 \\ x_1+2 x_2 \geq 2
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में है क्योंकि समस्या निम्नतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\geq‘  चिन्ह में होने चाहिए,जो हैं।इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
निम्नतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध  A X \geq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की निम्न द्वैती समस्या होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^{\top} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \leq C^T
तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 8 \\ 2\end{array}\right] \Rightarrow b^{T}=\left[\begin{array}{lll} 3 & 6 & 2 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right], A^T=\left[\begin{array}{lll} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \end{array}\right] \Rightarrow C^{T}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा: 
अधिकतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{lll} 3 & 6 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_2 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right] \leq\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: Z_D=3 w_1+6 w_2+2 w_3
प्रतिबन्ध 3 w_1+4 w_2+w_3 \leq 2 \\ w_1+3 w_2+2 w_3 \leq 1
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0

How to Write Dual of LPP?

Example:5(a).अधिकतम करो (Maximize): Z=4 x_1+3 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1 \leq 6 \\ x_2 \leq 8 \\ x_1+x_2 \leq 7 \\ 3 x_1+x_2 \leq 15 \\ -x_2 \leq 1
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में है क्योंकि समस्या अधिकतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq‘ चिन्ह में होने चाहिए,जो हैं।इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ -7 \\ 15 \\ 1 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की निम्न द्वैती समस्या होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{\top} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \geq C^{\top}
तथा W \geq 0
अब b=\left[\begin{array}{c} 6 \\ 8 \\ 7 \\ 15 \\ 1 \end{array}\right] \Rightarrow B^{T}= \left[\begin{array}{lllll} 6 & 8 & 7 & 15 & 1 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \\ w_5 \end{array}\right], A^T=\left[\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{ll} 4 & 3 \end{array}\right] \Rightarrow C^{\top}= \left[\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{lllll} 6 & 8 & 7 & 15 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \\ w_0 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3, w_4, w_5 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
निम्नतम करो: Z_D=6 w_{1}+8 w_2+7 w_3+15 w_4+w_5
प्रतिबन्ध w_1+w_3+3 w_4 \geq 4 \\ w_2+w_3+w_4-w_5 \geq 3
तथा w_1, w_2, w_3, w_{4}, w_5 \geq 0
Example:5(b).अधिकतम करो (Maximize): Z_{D}=3 x_1+2 x_2+x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) -3 x_1+2 x_2+2 x_3 \leq 8 \\ 3 x_1+4 x_2+x_3=7
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में नहीं है।चूँकि यह अधिकतमीकरण की समस्या है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq‘ चिन्ह में होने चाहिए।प्रतिबन्ध 3 x_1+4 x_2+x_3=7 समीकरण है,जिसे दो असमिकाओं में व्यक्त कर सकते हैं:
3 x_1+4 x_2+x_3 \leq 7 तथा -3 x_1-4 x_2-x_3 \leq -7
अतः प्रतिबन्ध में समीकरण के स्थान पर उपर्युक्त दो असमिकाएँ लेने पर हम निम्न आद्य समस्या प्राप्त करते हैं:
अधिकतम करो: Z=3 x_1+2 x_1+x_3
प्रतिबन्ध -3 x_1+2 x_2+2 x_3 \leq 8 \\ 3 x_1+4 x_2+x_3 \leq 7 \\ -3 x_1-4 x_2-x_3 \leq-7
तथा x_1, x_2, x_3 \geq 0
इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ -3 & -4 & -1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}8 \\ 7 \\ -7 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की निम्नलिखित द्वैती समस्या होगी:
निम्नतम करो: Z_D=B^{T} W
प्रतिबन्ध A^T W \geq C^T
तथा W \geq 0
या निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{lll} 8 & 7 & -7 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{ccc} -3 & 3 & -3 \\ 2 & 4 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
अतः दी गई समस्या की संगत अभीष्ट द्वैती समस्या निम्नलिखित होगी:
निम्नतम करो: Z_D=8 w_1+7 w_2-7 w_3
प्रतिबन्ध -3 w_1+3 w_2-3 w_3 \geq 3 \\ 2 w_1+4 w_2-4 w_3 \geq 2 \\ 2 w_1+w_2-w_3 \geq 1
तथा w_1, w_2, w_3 \geq 0
Example:5(c).अधिकतम करो (Maximize): Z=3 x_1-2 x_2 
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1 \leq 4 \\ x_2 \leq 6 \\ x_1+x_2 \leq 5 \\ -x_2 \leq-1
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
Solution:दी हुई समस्या मानक रूप में है,क्योंकि समस्या अधिकतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\leq ‘ चिन्ह में होने चाहिए,जो हैं।इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
अधिकतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \leq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 6 \\ 5 \\ -1 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{ll} 3 & -2 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की निम्न द्वैती समस्या होगी:
निम्नतम करो: Z_D=b^{\top} W
प्रतिबन्ध A^T W \geq C^{\top}
अब b=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right] \Rightarrow b^{\top} =\left[\begin{array}{llll} 4 & 6 & 5 & -1 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right], A^T=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \\ C=\left[\begin{array}{ll} 3 & -2 \end{array}\right] \Rightarrow C^T=\left[\begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
निम्नतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{llll} 4 & 6 & 5 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{array}\right] \geq \left[\begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
निम्नतम करो: Z_D=4 w_1+6 w_2+5 w_3-w_4
प्रतिबन्ध w_1+w_3 \geq 3 \\ w_2+w_3-w_4 \geq -2
तथा w_1, w_2, w_3, w_4 \geq 0
Example:6.निम्नतम करो (Minimize): Z=2 x_1+x_2-x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1+4 x_2-x_3 \geq 3 \\ 5 x_1+2 x_2+3 x_3 \geq 4
तथा (and) x_1, x_2, x_3 \geq 0
Solution:दी गई समस्या मानक रूप में है,क्योंकि समस्या निम्नतमीकरण की है,अतः सभी प्रतिबन्ध ‘\geq ‘ चिन्ह में होने चाहिए,जो हैं।इसे मैट्रिक्स रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
निम्नतम करो:Z=CX
प्रतिबन्ध A X \geq b
तथा X \geq 0
जहाँ A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & -1 \\ 5 & 2 & 3 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right]
तथा C=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & -1 \end{array}\right]
इस आद्य समस्या की निम्न द्वैती समस्या होगी:
अधिकतम करो: Z_D=b^{T} W
प्रतिबन्ध A^{\top} W \leq C^T
अब b=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right] \Rightarrow b=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \end{array}\right] \\ W=\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \end{array}\right],A^T=\left[\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right] \\ c=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \Rightarrow C^T= \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right]
इसलिए द्वैती समस्या का निम्न रूप होगा:
अधिकतम करो: Z_D=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \end{array}\right]
प्रतिबन्ध \left[\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ -1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} w_1 \\ w_2 \end{array}\right] \leq \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right]
तथा w_1, w_2 \geq 0
अतः दी गई समस्या के लिए अभीष्ट द्वैती समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: Z_D=3 w_1+4 w_2
प्रतिबन्ध w_1+5 w_2 \leq 2 \\ 4 w_1+2 w_2 \leq 1 \\ -w_1+3 w_2 \leq-1
तथा w_1, w_2 \geq 0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (How to Write Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या (Duality of Linear Programming Problems) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (Questions Based on How to Write Dual of LPP?):

How to Write Dual of LPP?

निम्न रैखिक समस्याओं की द्वैती समस्याएँ लिखिए:
(Write the dual of the following L. P. P.):

(1.) Minimize Z=x_1+x_2+x_3
Subject to x_1-3 x_2+4 x_3=5 \\ x_1-2 x_2 \leq 3 \\ 2 x_1-x_2 \geq 4 \\ x_1, x_2 \geq 0, x_3 unrestricted in sign
(2.)Max Z=x_1+3 x_2
Subject to 3 x_1+2 x_2 \leq 6 \\ 3 x_1+x_2=4
and x_1, x_2 \geq 0
उत्तर (Answers): (1.)Max Z_D= 5 w_1-3 w_2+w4 w_3
Subject to w_1-w_2 \leq 1 \\ -3 w_1+2 w_2+2 w_3 \leq 1 \\ 4 w_1-w_3 \leq 1 \\ -4 w_1+w_3 \leq-1 \\ w_1-w_2 \leq 1 \\ -3 w_1+2 w_2+2 w_3 \leq 1 \\ 4 w_1-w_3 \leq 1
and w_2, w_3 \geq 0, w_1 unrestricted in sign
(2.) Min Z_D=6 w_1+w_2
Subject to 3 w_1+3 w_2 \geq 1 \\ 2 w_1+w_2 \geq 3
and w_1 \geq 0, w_2 unrestricted in sign
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (How to Write Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या (Duality of Linear Programming Problems) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- How to Solve LPP by Two Phase Method?

4.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (Frequently Asked Questions Related to How to Write Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या (Duality of Linear Programming Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं की द्वैती समस्या कैसे लिखें? (How to Write Dual of LPP?)
क्योंकि द्वैतता रैखिक प्रोग्रामन की जटिल समस्याओं को हल करने में उपयोगी सिद्ध हुआ है।

Satyam Mathematics

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