1.प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? (How to Calculate Standard Deviation?),माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन (Mean Deviation and Standard Deviation):

How to Calculate Standard Deviation?

प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? (How to Calculate Standard Deviation?) के इस आर्टिकल में कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके प्रमाप विचलन तथा माध्य विचलन ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? पर आधारित उदाहरण (Examples Based on How to Calculate Standard Deviation?):

Example:1.निम्न सारणी में दो कारखानों के श्रमिकों की मजदूरी के आँकड़े दिए गए हैं।माध्य विचलन निकालिए और यह बताइए किस कारखाने में मजदूरी में विचरण अधिक है?
(The following table gives the figures of wages earned by workers of two factories. Calculate the mean deviation and state which factory has greater variation in wages?)

Solution:Caculation Table of Mean Deviation
\begin{array}{|cc|} \hline \begin{array}{cc} \begin{array}{ccc} \text{weekly} & \text{Mid} & \text{workers} \\ \text{Wages} & \text{Values(x)} & f \end{array} \\ \hline \left.\begin{array}{cc} 0-5 & 2.5 & \quad \quad 20 \\ 5-10 & 7.5 & \quad \quad 18 \\ 10-15 & 12.5 & \quad \quad 30 \end{array}\right] N_{b}\\ \left.\begin{array}{cc} 15-20 & 17.5 & \quad \quad 25 \\ 20-25 & 22.5 & \quad \quad 20 \\ 25-30 & 27.5 & \quad \quad 15\end{array}\right] N_{a} \\ \text{Total} \quad \quad \quad \quad \quad 128 \end{array} \begin{array}{cccc}& \text{cf} & \text{Dev. from} & f|dx| \\ & & \text{M'=12} \\ \hline & 20 & +2 & 40 \\ & 38 & +1 & 18 \\ & 68 & 0 & 0 \\ & 93 & 1 & 25 \\ & 113 & 2 & 40 \\ & 128 & 3 & 45 \\ & & & 168 \end{array} \\ \hline \end{array} \\ m =\frac{N}{2}=\frac{128}{2}=64
64 से ठीक अधिक संचयी बारम्बारता 68 है अतः मध्यका वर्ग 10-15 है
l_1=10, i=15-10=5, f=30, c=38
मध्यका M=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =10+\frac{5}{30}(64-38) \\ =10+\frac{1}{6} \times 26 \\ \approx 10+4.333 \\ \Rightarrow M \approx 14.33 \\ N_b=20+18+30=68 \\ N_a=25+20+15=60
Mean Deviation from Median
\delta_m=\frac{\sum f |dm| i+\left(M-M^{\prime}\right) \cdot\left(N_b-N_a\right)}{N} \\ =\frac{168 \times 5+(14.33-12.5)(68-60)}{128} \\ =\frac{840+1.83 \times 8}{128} \\ =\frac{840+14.64}{128} \\ =\frac{854.64}{128} \approx 6.676 \\ \Rightarrow \delta_M=6.68
Coefficient of \delta_m=\frac{\delta_m}{M}=\frac{6.68}{14.33} \\ \approx 0.466 \\ \approx 0.47
Factory B
\begin{array}{|cc|} \hline \begin{array}{cc} \begin{array}{ccc} \text{weekly} & \text{Mid} & \text{workers} \\ \text{Wages} & \text{Values(x)} & f \end{array} \\ \hline \left.\begin{array}{cc} 0-5 & 9.5 & \quad \quad 15 \\ 5-10 & 7.5 & \quad \quad 20 \\ 10-15 & 12.5 & \quad \quad 35 \end{array}\right] N_{b}\\ \left.\begin{array}{cc} 15-20 & 17.5 & \quad \quad 30 \\ 20-25 & 22.5 & \quad \quad18 \\ 25-30 & 27.5 & \quad \quad 17 \end{array}\right] N_{a} \\ \text{Total} \quad \quad \quad \quad \quad 135 \end{array} \begin{array}{cccc}& \text{cf} & \text{Dev. from} & f|dm| \\ & & \text{M'=12.5} \\ \hline & 15 & 2 & 30 \\ & 35 & 1 & 20 \\ & 70 & 0 & 0 \\ & 100 & 1 & 30 \\ & 118 & 2 & 36 \\ & 135 & 3 & 51 \\ & & & 167 \end{array} \\ \hline \end{array}
m=\frac{N}{2}=\frac{135}{2}=67.5
67.5 से ठीक अधिक संचयी बारम्बारता 70 है अतः मध्यका वर्ग 10-15 है।
l_1=10, i=15-10=5, f=35, c=35
मध्यका M=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =10+\frac{5}{35}(67.5-35) \\ =10+\frac{1}{7} \times 32.5 \\ \approx 10+4.642 \\ \Rightarrow M \approx 14.64 \\ N_b=15+20+35=70 \\ N_a=30+18+17=65
Mean Deviation from Median
\delta_m=\frac{\sum f |dm| i+\left(M-M^{\prime}\right)\left(N_b-N a\right)}{N} \\ =\frac{167 \times 5+(14.64-12.5)(70-65)}{135} \\ =\frac{835+2.14 \times 5}{135} \\ =\frac{835+10.7}{135}=\frac{845.7}{135} \approx 6.264 \\ \Rightarrow \delta_m \approx 6.26
Coefficient of \delta_m=\frac{\delta_m}{M}=\frac{\delta_m}{M} \\ =\frac{6.26}{14.64} \approx 0.427 \\ \approx 0.43
Example:2.पाँच और सात सदस्यों के दो आय-वर्गो से माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(Calculate the mean deviation and standard deviation from two income group of 5 and 7 members):
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{I} & \text{II} \\ \hline 4000 & 3000 \\ 4200 & 4000 \\ 4400 & 4200 \\ 4600 & 4400 \\ 4800 & 4600 \\ & 4800 \\ & 5800 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean Deviation and Standard Deviation

I Income Group
\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{20000}{5} \\ \overline{X}=4400
Mean Deviation from Mean
\delta_{\overline{X}}=\frac{\sum|d \bar{x}|}{N}=\frac{1200}{5}=240
Standard Deviation
\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}}=\sqrt{\frac{400000}{5}}=\sqrt{80000} \\ \approx 282.842 \\ \Rightarrow \sigma \approx 282.84
II Income Group
\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{30800}{7}=4400
Mean Deviation from Mean
\delta_{\overline{X}}=\frac{\Sigma|d \bar{x}|}{N}=\frac{4000}{7} \approx 571.428 \\ \Rightarrow \delta_{\overline{X}} \approx Rs. 571.43
Standard Deviation
\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{4320000}{7}} \\ \approx 785.584 \\ \Rightarrow \sigma \approx 785.58
Example:3.’In the beginning’,said a persian poet,’Allah took a rose a lily,a dove,a serpent, a little honey,a Dead sea apple and a handful of clay. When he looked at the amalgam-it was a woman.’
उपर्युक्त गद्यांश से एक खण्डित आवृत्ति सारणी की रचना कीजिए और समान्तर माध्य तथा प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
(Construct a discrete frequency series from the above passage and find the arithmetic mean and standard deviation.)
Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

समान्तर माध्य (\overline{X}) =\frac{\sum f x}{\sum f} \\ =\frac{139}{39} \approx 3.564 \\ \overline{X} \approx 3.564
Standard Deviation
\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma fdx}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{252}{39}-\left(\frac{-56}{39}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{9828-3136}{1521}}=\sqrt{\frac{6692}{1521}} \\ \approx 2.097\\ \Rightarrow \sigma \approx 2.1
Example:4.निम्न मापों से दो-दो का वर्ग विस्तार लेते हुए और 7 से प्रारम्भ करके अपवर्जी रूप में एक आवृत्ति सारणी की रचना कीजिए।इस प्रकार निर्मित सारणी से माध्य और प्रमाप विचलन के मान ज्ञात कीजिए:
(From the following measurements,taking an interval of 2 and starting from 7 form a frequency table in exclusive form.Calculate the mean and standard deviation from the table thus constructed):
\begin{array}{|ccccccccc|} \hline \text{coller} & 15.6 & 7.2 & 14.8 & 15.9 & 8.2 & 10.1 & 17.5 & 9.8 \\ \hline \text{size} & 16.4 & 13.6 & 15.8 & 16.0 & 12.2 & 13.9 & 19.0 &12 .8 \\ \hline \text{(Inches)} & 13.7 & 10.5 & 11.4 & 11.8 & 11.0 & 12.2 & \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum f x}{\sum f} \\=\frac{292}{22} \approx 13.272 \\ \Rightarrow (\overline{X}) \approx 13.27
मानक विचलन
(\sigma)=\sqrt{\frac{\sum f d^2 x}{N}-\left(\frac{\sum fdx }{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{216}{22}-\left(\frac{-16}{22}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{216 \times 22-256}{484}} \\ =\sqrt{\frac{4752-256}{484}} \\ =\sqrt{\frac{4496}{484}} \\ \approx 3.047 \\ \Rightarrow \sigma \approx 3.05

How to Calculate Standard Deviation?

Example:5.निम्न आँकड़ों से (i)समान्तर माध्य (ii)प्रमाप विचलन निकालिए:
(From the following data calculate (i)arithmetic mean,(ii)standard deviation):

Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

(i)समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\sum f x}{N}=\frac{1305}{29}=45
(ii)प्रमाप विचलन
(\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}} \\ =\sqrt{\frac{7400}{29}} \approx 15 .974 \\ \Rightarrow \sigma \approx 15.97
Example:6.नीचे दिए हुए आँकड़ों का समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन निकालिए:
(From the following data compute the arithmetic mean and standard deviation):

Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\sum f x}{N} \\ =\frac{20545}{520} \approx 39.509 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 39.51
प्रमाप विचलन
(\sigma)=\sqrt{\frac{\sum f d^2 x}{N}-\left(\frac{\sum f d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{49745}{520}-\left(\frac{1045}{520}\right)^2}\\ =\sqrt{\frac{25867400-1092025}{270400}} \\ =\sqrt{\frac{24775375}{270400}} \approx 9.572\\ \Rightarrow \sigma \approx 9.57
Example:7.एक बड़े कारखाने के 5000 कर्मचारियों की साप्ताहिक मजदूरी के निम्न वितरण से माध्य एवं प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(Calculate the mean and standard deviation from the following distribution of weekly wages of 5000 employees of a factory):

Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\sum f x}{N} \\ =\frac{155750}{5000} \\ \Rightarrow \overline{X}=Rs. 31.15
प्रमाप विचलन
(\sigma)=\sqrt{\frac{\sum f d^2 x}{N}-\left(\frac{\sum fd x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{608750}{5000}-\left(\frac{31750}{5000}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{3043750000-1008062500}{25000000}} \\ =\sqrt{\frac{2035687500}{2500000}}=\sqrt{81.4275} \\ \Rightarrow \sigma \approx 9.023 \approx 9
Example:8.निम्न आँकड़ों से माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(From the following figures find the mean and standard deviation):

Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum f x}{N}=\frac{4395}{125}=35.16 \\ \Rightarrow \overline{X}=35.16 yrs.
प्रमाप विचलन
(\sigma)=\sqrt{\frac{\sum fd^2 x}{N}-\left(\frac{\sum f d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{48800}{125}-\left(\frac{20}{125}\right)^2} \\ =\sqrt{\left(\frac{6160000-400}{15625}\right)} \\ =\sqrt{\frac{6099600}{15625}}=\sqrt{390.3744}\\ \sigma \approx 19.7578 \approx 19.76 yrs.
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? (How to Calculate Standard Deviation?),माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन (Mean Deviation and Standard Deviation) को समझ सकते हैं।

3.प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on How to Calculate Standard Deviation?):

How to Calculate Standard Deviation?

(1.)10 विद्यार्थियों के निम्नांकित भार (किलो० में) के समंकों से प्रमाप विचलन (Standard Deviation) और उसका गुणांक (Coefficient) निकालिए।
41,44,45,49,50,53,55,55,58,60
(2.)निम्न आवृत्ति बंटन में माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{|ccccccc|} \hline \text{वर्गान्तर} & \text{आवृत्ति} \\ 1-5 & 5 \\ 6-10 & 7 \\ 11-15 & 18 \\ 16-20 & 25 \\ 21-25 & 20 \\ 26-30 & 4 \\ 31-35 & 1 \ \\ \hline\end{array}
उत्तर (Answers): (1.) \overline{X}=51 kg, \sigma=5.97, c. of \sigma=0.117
(2.) \overline{X}=17, \sigma=6.44
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? (How to Calculate Standard Deviation?),माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन (Mean Deviation and Standard Deviation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Calculate Standard Deviation?),माध्य विचलन तथा प्रमाप विचलन (Mean Deviation and Standard Deviation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रमाप विचलन कैसे ज्ञात करें? (How to Calculate Standard Deviation?) के इस आर्टिकल
में कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके प्रमाप विचलन तथा माध्य विचलन ज्ञात करना सीखेंगे।