1.सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा (Straight Line Passing Through Two Points):

General Equation of Straight Line

सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of Straight Line) के इस आर्टिकल में दिए हुए बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सरल रेखा का व्यापक समीकरण के साधित उदाहरण (General Equation of Straight Line Solved Illustrations):

Illustration:1.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2,3) से होकर जाती है और x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
Solution:(2,3) से गुजरने वाली रेखा तथा m=\tan 45^{\circ}=1 प्रवणता वाली रेखा का समीकरण:
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-3=1(x-2) \\ \Rightarrow x-y+1=0
Illustration:2.उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (p \cos \alpha, p \sin \alpha) से होकर जाती है और x-अक्ष से 90^{\circ}+\alpha कोण बनाती है।
Solution: m=\tan \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-\cot \alpha
रेखा का समीकरण:
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-p \sin \alpha=-\cot \alpha(x-p \cos \alpha) \\ \Rightarrow y-p \sin \alpha=-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}(x-p \cos \alpha) \\ \Rightarrow y \sin \alpha-p \sin ^2 \alpha=-x \cos \alpha+p \cos ^2 \alpha \\ \Rightarrow x \cos \alpha+y \sin \alpha-p\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)=0 \\ \Rightarrow x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0
Illustration:3.किसी त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1,1),B(-2,0) तथा (6,4) है।सिद्ध कीजिए कि शीर्ष बिन्दु A से होकर जाने वाली माध्यिका का समीकरण x-y=0 है।
Solution:B व C के मध्य बिन्दु के निर्देशांक
=\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \\ =\left(\frac{-2+6}{2}, \frac{0+4}{2}\right)
=(2,2)
माध्यिका जो बिन्दु A(1,1) से गुजरती है,का समीकरण
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-1=\frac{2-1}{2-1}(x-1) \\ \Rightarrow y-1=\frac{1}{1}(x-1) \\ \Rightarrow x-y=0
Illustration:4.उस त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक (1,4),(2,-3) और (-1,-2) है।
Solution:माना A(1,4),B(2,-3),C(-1,-2) हैं।
भुजा AB का समीकरण:
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-4=\frac{-3-4}{2-1}(x-1) \\ \Rightarrow y-4=\frac{-7}{1}(x-1) \\ \Rightarrow 7 x+y-11=0
भुजा BC का समीकरण:
y+3=\frac{-2-(-3)}{-1-2}(x-2) \\ \Rightarrow y+3=\frac{-2+3}{-3}(x-2) \\ \Rightarrow y+3=\frac{1}{-3}(x-2) \\ \Rightarrow x+3 y+7=0
भुजा AC का समीकरण:
y-4=\frac{-2-4}{-1-1}(x-1) \\ \Rightarrow y-4=\frac{-6}{-2}(x-1) \\ \Rightarrow y-4=3(x-1) \\ \Rightarrow 3 x-y+1=0
अतः भुजाओं के समीकरण:
7x+y-11=0,x+3y+7=0,3x-y+1=0
Illustration:5.सिद्ध कीजिए कि निम्न बिन्दु समूह समरेखीय हैं।
Illustration:5(i).(1,4),(3,-2),(-3,16)
Solution:माना A(1,4),B(3,-2),C(-3,16)
AB की प्रवणता =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-4}{3-1}=\frac{-6}{2}=-3
BC की प्रवणता=\frac{16-(-2)}{-3-3}=\frac{16+2}{-6}=\frac{18}{-6}=-3
AB की प्रवणता=BC की प्रवणता
अतः A,B,C समरेखीय हैं।
Illustration:5(ii).(3a,0),(0,3b),(a,2b)
Solution:A(3a,0),B(0,3b),C(a,2b)
AB की समीकरण:
y-y_1=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-0=\frac{3 b-0}{0-3 a}(x-3 a) \\ \Rightarrow -3 a y=3 b x-9 a b \\ \Rightarrow 3(b x+a y)=9 a b \\ \Rightarrow b x+a y=3 a b
C (a,2b) के बिन्दु उपर्युक्त रेखा में रखने परः
\Rightarrow a b+2 a b=3 a b \\ \Rightarrow 3 a b=3 a b
सन्तुष्ट हो जाती हैं।अतः तीनों बिन्दु समरेखीय हैं।
Illustration:5(iii).(a,b+c),(b,c+a),(c,a+b)
Solution:माना \left(x_1, y_1\right)=(a, b+c),\left(x_2, y_2\right)=(b, c+a), \left(x_3, y_3\right)=\left(c, a+b\right)
\triangle ABC का क्षेत्रफल:
=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1 \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1 \rightarrow R_2, R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया सेः
=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} a-b & -(a-b) & 0 \\ b-c & -(b-c) & 0 \\ c & a+b & 1 \end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ c & a+b & 1 \end{array}\right|
[ R_1 , R_2 Identical है अतः]
=0
त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है अतः तीनों बिन्दु समरेखीय हैं।

General Equation of Straight Line

Illustration:6.सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a,b),(a’,b’),तथा (a-a’,b-b’) एक ही रेखा पर स्थित हैं यदि ab’=a’b
Solution:(a,b),(a’,b’),(a-a’,b-b’)
प्रथम दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाः
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-b=\frac{b^{\prime}-b}{a^{\prime}-a}(x-a) \\ \Rightarrow \left(a^{\prime}-a\right) y-b\left(a^{\prime}-a\right)=\left(b^{\prime}-b\right) x-a \left(b^{\prime}-b\right) \\ \Rightarrow \left(b^{\prime}-b\right) x-\left(a^{\prime}-a\right) y +b \left(a^{\prime}-a\right)-a\left(b^{\prime}-b\right)=0 \\ \Rightarrow(b^{\prime}-b) x-\left(a^{\prime}-a\right)y+a^{\prime} b-ab-ab+ab=0 \\ \Rightarrow \left(b^{\prime}-b\right) x-\left(a^{\prime}-a\right) y+a^{\prime} b-a b^{\prime}=0
समरेखीय होने के लिए तीसरा बिन्दु इस रेखा को सन्तुष्ट करना चाहिए।
\left(b^{\prime}-b\right)\left(a-a^{\prime}\right)-(a-a)\left(b-b^{\prime}\right)+a^{\prime} b-a b^{\prime}=0 \\ \Rightarrow\left(b^{\prime}-b\right)\left(a-a^{\prime}\right)-\left(a-a^{\prime}\right) \left(b^{\prime}-b\right)+a^{\prime} b-a b=0 \\ \Rightarrow a^{\prime} b-a b^{\prime}=0 \\ \Rightarrow a^{\prime} b=a b^{\prime}
Illustration:7.उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए,जो मूल बिन्दु से गुजरे तथा अक्षों द्वारा सरल रेखा 3x+y=12 पर काटे गए अन्तःखण्डों को समत्रिभाजित करे।
Solution: m_1: m_2=2: 1
3x+y=12 द्वारा x व y-अक्ष पर काटा गया अन्तःखण्ड:
\frac{3}{12} x+\frac{y}{12}=1 \\ \Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{12}=1
a=4,b=12
अतः यह अक्षों को (4,0),(0,12) पर काटती है।
x=\frac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}=\frac{2 \times 0+1 \times 4}{2+1}=\frac{4}{3} \\ y=\frac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2}=\frac{2 \times 12+1 \times 0}{2+1}=\frac{24}{3}
अतः (0,0) व से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-0=\frac{\frac{24}{3}-0}{\frac{4}{3}-0}(x-0) \\ \Rightarrow y=\frac{24}{4}(x) \Rightarrow y=6x \\ \Rightarrow 6 x-y=0
इसी प्रकार m_1 : m_2=1: 2 लेने पर रेखा का समीकरण:
3x-2y=0
Illustration:8.बिन्दु (2,3) से होकर जाती हुई x-अक्ष के साथ 30° का कोण बनाती हुई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और उस बिन्दु A और रेखा 2x+3y+4=0 के मध्य कटे हुए अन्तःखण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution: m=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}
(2,3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण:
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \Rightarrow y-3=\frac{1}{\sqrt{3}}(x-2) \\ \Rightarrow \sqrt{3} y-3 \sqrt{3}=x-2
\begin{array}{c} x-\sqrt{3} y+3 \sqrt{3}-2=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow 2 x-2 \sqrt{2} y+6 \sqrt{3}-4=0 \cdots(2) \\ \quad \quad -2x \pm 3 y \quad \quad \quad \quad \pm 4=0 \cdots(3) \\ \hline \end{array} घटाने परः
(-3-2 \sqrt{3}) y=8-6 \sqrt{3} \\ \Rightarrow y=\frac{6 \sqrt{3}-8}{2 \sqrt{3}+3}
y का मान समीकरण (3) में रखने परः
2 x+3\left(\frac{6 \sqrt{3}-8}{2 \sqrt{3}+3}\right)+4=0 \\ \Rightarrow 2 x+\frac{18 \sqrt{3}-24+8 \sqrt{3}+12}{2 \sqrt{3}+3}=0 \\ \Rightarrow 2 x+\frac{26 \sqrt{3}-12}{2 \sqrt{3}+3}=0 \\ \Rightarrow x=\frac{12-26 \sqrt{3}}{2(2 \sqrt{3}+3)} \\ \Rightarrow x=\frac{6-13 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+3}
अतः अन्तःखण्ड की लम्बाई (2,3) तथा \left(\frac{6-13 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+3}, \frac{6 \sqrt{3}-8}{2 \sqrt{3}+3} \right) के बीच की दूरी होगीः
=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{\left(\frac{6 \sqrt{3}-8}{2 \sqrt{3}+3} -3\right)^2+\left(\frac{6-13 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+3}-2\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{(6 \sqrt{3}-8-6 \sqrt{3}-9)^2+(6-13 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}-6)^2}{(2 \sqrt{3}+3)^2}} \\ =\frac{\sqrt{(-17)^2+(-17 \sqrt{3})^2}}{2 \sqrt{3}+3} \\ =\frac{\sqrt{(289+289 \times 3)}}{2 \sqrt{3+3}}=\frac{\sqrt{289(1+3)}}{2 \sqrt{3+3}} \\ =\frac{17 \times 2}{2 \sqrt{3}+3}=\frac{34}{2 \sqrt{3}+3} \times \frac{(2 \sqrt{3}-3)}{(2 \sqrt{3}-3)}\\ =\frac{34}{12-9}(2 \sqrt{3}-3) \\ =\frac{34}{3}(2 \sqrt{3}-3)
Illustration:9.बिन्दु A(3,4) से होकर जाने वाली तथा x-अक्ष के साथ 30° कोण बनाती हुई सरल रेखा जो दी गई रेखा 12x+5y+10=0 को बिन्दु B पर मिलती है तब सरल रेखा AB का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution: m=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}
रेखा का समीकरण जो A(3,4) से गुजरती है:
y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ \frac{y-4}{\sin 30^{\circ}}=\frac{(x-3)}{\cos 30^{\circ}} \\ \frac{x-3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-4}{\frac{1}{2}}=r(माना )
x=\frac{\sqrt{3}}{2} r+3, y=\frac{r}{2}+4
अतः रेखा पर बिन्दु (\frac{\sqrt{3}}{2} r+3, \frac{r}{2}+4)
यह बिन्दु दी गई रेखा 12x+5y+10=0 पर है अतः
12 x+5y+10=0 \\ 12(\frac{\sqrt{3}}{2} r+3)+5\left(\frac{r}{2}+4\right)+10=0 \\ \Rightarrow \frac{12 \sqrt{3} r}{2}+36+\frac{5 r}{2}+20+10=0 \\ \Rightarrow r \frac{(5+12 \sqrt{3})}{2}=-66 \\ \Rightarrow r=\frac{-66 \times 2}{5+12 \sqrt{3}}=\frac{-132}{5+12 \sqrt{3}}
चूँकि यह लम्बाई है अतः मापांक लेने परः
|r|=\left|-\frac{132}{5+12 \sqrt{3}}\right| , AB की लम्बाई =\frac{132}{5+12 \sqrt{3}}
Illustration:10.वह दिशा ज्ञात कीजिए,जिसमें कोई सरल रेखा बिन्दु (1,2) से खींची जाये,जिससे उसका और रेखा x+y=4 का प्रतिच्छेद बिन्दु इस दिए हुए बिन्दु से \left(\frac{1}{3} \sqrt{6}\right) की दूरी पर हो।
Solution:माना रेखा का समीकरण:
\frac{x-1}{\cos \theta}=\frac{y-2}{\sin \theta}=\frac{1}{3} \sqrt{6} \\ \Rightarrow x=\frac{\sqrt{6} \cos \theta}{3}+1, y=\frac{\sqrt{6} \sin \theta}{3}+2
रेखा पर बिन्दु
\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta+1, \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta+2\right)
ये बिन्दु दी हुई रेखा x+y=4 को सन्तुष्ट करते हैं अतः
\frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta+1+\frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta+2=4 \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta+\sin \theta)=1 \\ \Rightarrow \sin \theta+\cos \theta=\frac{3}{\sqrt{6}}
समीकरण को \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} से भाग देने पर:
\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta=\frac{3}{\sqrt{6}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow\left(\cos 45^{\circ} \sin \theta+\sin 45^{\circ} \cos \theta\right) =\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin \left(\theta+45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin \left(\theta+ 45^{\circ} \right)=\sin 60^{\circ} या \sin 120^{\circ} \\ \Rightarrow \theta+ 45^{\circ}=60^{\circ} या 120^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=60^{\circ}-45^{\circ} या 120^{\circ}-45^{\circ} \\ \Rightarrow \theta=15^{\circ} या 75°
अतः x-अक्ष से \theta=15^{\circ} या 75° के कोण पर।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा (Straight Line Passing Through Two Points) को समझ सकते हैं।

3.बिन्दुपथ एवं सरल रेखा की महत्त्वपूर्ण बातें (Important Points of Locus and Straight Line):

General Equation of Straight Line

बिन्दुपथ (Locus):
(1.)जब कोई बिन्दुपथ एक निश्चित नियमानुसार गति करता है तो उस बिन्दु द्वारा चलित पथ उसका बिन्दुपथ कहलाता है।
(2.)बिन्दुओं का समुच्चय जो किसी ज्यामितीय प्रतिबन्ध का पालन करे,बिन्दुपथ कहलाता है।
(3.)चर बिन्दु के निर्देशांक (h,k) मानकर प्रश्न में दिए गए प्रतिबन्ध के अनुसार h,k में सम्बन्ध निकालकर इन्हें चलित निर्देशांक x तथा y में बदलते हैं।
सरल रेखा (Straight Line):
(4.)x एवं y एक घातीय समीकरण सदैव सरल रेखा को प्रदर्शित करता है।
(5.)सरल रेखा का व्यापक समीकरण ax+by+c=0 होता है।
(6.)यदि कोई सरल रेखा मूलबिन्दु से गुजरती है तो उसके समीकरण में अचर पद C शून्य होता है अर्थात् व्यापक समीकरण ax+by=0 होता है।
(7.)x-अक्ष की समीकरण y=0 होता है।
(8.)y-अक्ष की समीकरण x=0 होता है।
(9.)x-अक्ष के समान्तर तथा b दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण y= \pm b होता है।
(10.)y-अक्ष के समान्तर तथा a दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण x=\pm a होता है।
(11.)रेखा की प्रवणता यदि रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा से  \theta कोण बनाती है,तो उसकी प्रवणता m=\tan \theta होगी।
(12.)झुकाव रूप में रेखा का समीकरण y=mx+c है जहाँ m रेखा की प्रवणता तथा c,y-अक्ष पर काटा गया अन्तःखण्ड है।
(13.)अन्तःखण्ड के रूप में रेखा का समीकरण \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 है जहाँ a तथा b रेखा द्वारा क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष पर काटे गए अन्तःखण्ड है।
(14.)लम्ब रूप में रेखा का समीकरण x \cos \alpha+y \sin \alpha=p है।जहाँ p रेखा पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई है तथा यह लम्ब x-अक्ष से \alpha -कोण बनाता है।
(15.)एक बिन्दु (x_1,y_1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y-y_1=m\left(x-x_1\right) है,जहाँ m रेखा की प्रवणता है।
(16.)दो बिन्दुओं (x_1,y_1) तथा  (x_2,y_2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot\left(x-x_1\right)  है।
(17.)दो बिन्दुओं तथा को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\text{कोटियों का अन्तर}}{\text{भुजों का अन्तर}}
(18.)रेखा का सममित रूप में समीकरण \frac{x-x_1}{\cos \theta}=\frac{y-y_1}{\sin \theta}=r है जहाँ (x_1,y_1) रेखा पर स्थित बिन्दु है,रेखा द्वारा x-अक्ष से बनाया हुआ कोण \theta है।रेखा पर स्थित किसी बिन्दु (x,y) की दिये हुए बिन्दु से दूरी है।
(19.)रेखा ax+by+c=0 की प्रवणता =m=-\frac{a}{b}=-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{y का गुणांक}}

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4.सरल रेखा का व्यापक समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on General Equation of Straight Line):

(1.)सरल रेखा \sqrt{3}x-y+2=0 को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए तथा इस रेखा पर मूलबिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई और x-अक्ष से उसका झुकाव भी ज्ञात कीजिए।
(2.)एक सरल रेखा बिन्दु p(1,\sqrt{3}) से होकर जाती है तथा रेखा x+3 \sqrt{y}=8 को Q बिन्दु पर इस प्रकार काटती है कि PQ की लम्बाई 2 इकाई है।उस रेखा का समीकरण और दिशा बताइए।
उत्तर (Answers):(1.)-\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}=1 लम्ब की लम्बाई=1 इकाई तथा x-अक्ष से झुकाव 150° है।
(2.)\sqrt{3}x-y=0, x-अक्ष की धन दिशा से 60° कोण होगा।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा (Straight Line Passing Through Two Points) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.सरल रेखा का व्यापक समीकरण (Frequently Asked Questions Related to General Equation of Straight Line),दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा (Straight Line Passing Through Two Points) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of Straight Line) के इस आर्टिकल
में दिए हुए बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।