1.कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12),समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12):

Equation of Plane in Class 12

कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12) के इस आर्टिकल में रेखाओं का सदिश समीकरण,समतल का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात करने वाले सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 12 में समतल का समीकरण के उदाहरण (Equation of Plane in Class 12 Illustrations):

Illustration:1.दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2,1,1) मिलाने वाली रेखा,बिन्दुओं (3,5,-1) और (4,3,-1) से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
Solution:(0,0,0) तथा (2,1,1) बिन्दुओं से जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात
a_1=2-0, b_1=1-0, c_1=1-0 \\ \Rightarrow a_1, b_1, c_1=2,1,1
इसी प्रकार बिन्दुओं (3,5,-1) और (4,3,-1) से जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात
a_2=4-3, b_2=3-5, c_2=-1-(-1) \\ \Rightarrow a_2=1, b_2=-2, c_2=0 \\ a_2, b_2, c_2=1,-2,0
यदि दोनों रेखाएँ लम्बवत हैं तो
a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow (2) \times(1)+(1) \times(-2)+(1)(0)=2-2+0=0
अतः दोनों रेखाएँ लम्बवत हैं।
Illustration:2.यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक्-कोसाइन l_1, m_1, l_1 और l_2, m_2, n_2 हों,तो दिखाइए कि इन दोनों पर लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m_1 n_2-m_2 n_1, n_1 l_2-n_2 l_1, l_1 m_2-l_2 m_1 हैं।
Solution:माना दोनों रेखाओं पर लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन l,m,n है।
अब लम्बवत रेखाओं के प्रतिबन्ध सेः
l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0 \cdots(1)
तथा l_1^2+m_1^2+n_1^2=1 \ldots(2) \\ l_2^2+m_2^2+n_2^2=1 \ldots(3) \\ l l_1+m m_1+n n_1=0 \\ l l_2+m m_2+n n_2=0
दोनों को हल करने पर:
\frac{l}{m_1 n_2-m_2 n_1}=\frac{m}{n_1 l_2-n_2 l_1}=\frac{n}{l_1 m_2-l_2 m_1} \\ \Rightarrow \frac{l}{m_1 n_2-m_2 n_1}=\frac{m}{n_1 l_2-n_2 l_1}=\frac{n}{l_1 m_2-l_2 m_1}=\frac{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}{\sqrt{\left(m_1 n_2-m_2 n_1\right)^2+\left(n_1 l_2-n_2 l_1\right)^2+\left(l_1 m_2-l_2 m_1\right)^2}} \\ \Rightarrow \frac{l}{m_1 n_2-m_2 n_1}=\frac{m}{n_1 l_2-n_2 l_1}=\frac{n}{l_1 m_2-l_2 m_1}=\frac{1}{\sqrt{\left(m_1 n_2-m_2 n_1\right)^2+\left(n_1 l_2-n_2 l_1\right)^2+\left(l_1 m_2-l_2 m_1\right)^2}} \cdots(4)
अब \left(l_1^2+m_1^2+n_1^2\right)\left(l_2^2+m_2^2+n_2^2\right)-\left(l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2\right)^2=\left(m_1 n_2-m_2 n_1\right)^2+\left(n_1 l_2-n_2 l_1\right)^2+\left(l_1 m_2-l_2 m_1\right)^2 \cdots(5)
समीकरण (1),(2) और (3) से समीकरण (5) में मान रखने परः
(1)(1)-0^2=\left(m_1 n_2-m_2 n_1\right)^2+\left(n_1 l_2-n_2 l_1\right)^2+\left(l_1 m_2-l_2m_1 \right)^2 \\ \Rightarrow \left(m_1 n_2-m_2 n_1\right)^2+\left(n_1 l_2-n_2 l_1\right)^2+\left(l_1 m_2-l_2 m_1\right)^2=1 \cdots(6)
समीकरण (4) व (6) सेः
\frac{l}{m_1 n_2-m_2 n_1}=\frac{m}{n_1 l_2-n_2 l_1}=\frac{n}{l_1 m_2-l_2 m_1}=1 \\ \Rightarrow l= m_1 n_2-m_2 n_1, m=n_1 l_2-n_2 l_1, n=l_1 m_2- l_2 m_1
अतः दिक्-कोसाइन हैं:
m_1 n_2-m_2 n_1, m_2 n_1-n_2 m_1, l_1 m_2-l_2 m_1
Illustration:3.उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए,जिनके दिक्-अनुपात a,b,c और b-c,c-a,a-b हैं।
Solution:दो रेखाओं के मध्य कोण
\cos \theta=\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} \\ \cos \theta=\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}} \\=\frac{a b-a c+b c-a b+a c-b c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}} \\ \Rightarrow \cos \theta =0 \\ \Rightarrow \cos \theta =\cos \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}
Illustration:4.x-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से जानने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:x-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से जाने रेखा x-अक्ष ही है।x-अक्ष की दिक्-कोसाइन 1,0,0 है।
अतः x-अक्ष की समीकरण:
\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c} \\ \Rightarrow \frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0} \\ \Rightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}
Illustration:5.यदि बिन्दुओं A,B,C और D के निर्देशांक क्रमशः (1,2,3),(4,5,7),(-4,3,-6) और (2,9,2) है तो AB और CD रेखाओं के बीच कोण ज्ञात कीजिए।
Solution:AB के दिक्-अनुपात
a_1=4-1, b_1=5-2,c_1=7-3 \\ \Rightarrow a_1, b_1, c_1=3,3,4
CD के दिक्-अनुपात
a_2=2-(-4), b_2=9-3, c_2=2-(-6) \\ a_2, b_2, c_2=6,6,8 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अतः AB व CD परस्पर समान्तर रेखाएँ हैं।
Illustration:6.यदि रेखाएँ \frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2} और \frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5} परस्पर लम्ब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:दी गई रेखाओं \frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2} तथा \frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5} के दिक्-अनुपात
a_1, b_1, c_1=-3,2 k, 2 तथा a_2, b_2, c_2=3 k, 1,-5
जब रेखाएँ परस्पर लम्बवत हों तो
a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow(-3)(3 k)+(2 k)(1)+2 \times-5=0 \\ \Rightarrow-9 k+2 k-10=0 \\ \Rightarrow-7 k=10 \Rightarrow k=-\frac{10}{7}
Illustration:7.बिन्दु (1,2,3) से जाने वाली तथा तल \vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+9=0 पर लम्बवत रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:समतल \vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+9=0 के लम्ब के अनुदिश सदिश
\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k} तथा \vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}
अतः रेखा का सदिश समीकरण \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}\\ \Rightarrow \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})
Illustration:8.बिन्दु (a,b,c) से जाने वाले तथा तल \vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=2 के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:तल \vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=2 के समान्तर तल का समीकरण
\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\lambda \cdots(1) \\ \Rightarrow (x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=\lambda \\ \Rightarrow x+y+z=\lambda
यह (a,b,c) से गुजरता है:
a+b+c=\lambda
\lambda का मान समीकरण (1) में रखने परः
\Rightarrow \vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=a+b+c
Illustration:9.रेखाओं \vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) और \vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:रेखा \vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}) में \vec{a}_1=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k} तथा \vec{b}_1=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}
रेखा \vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}) में \vec{a}_2=-4 \hat{i}-\hat{k} तथा \vec{b}_2=3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k} \\ \vec{a}_2-\vec{a}_1=-4 \hat{i}-\hat{k}-(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}_2-\vec{a}_1=-4 \hat{i}-\hat{k}-6 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}=-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k} \\ \vec{b}_1 \times \vec{b}_2=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{array}\right| \\ =\hat{i}(-2 \times-2-2 \times-2)-\hat{j}(1 \times-2-3 \times 2)+\hat{k}(1 \times-2-3 \times-2) \\ =\hat{i}(4+4)-\hat{j}(-2-6)+\hat{k}(-2+6) \\ \Rightarrow \vec{b}_1 \times \vec{b}_2=8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k} \\ \left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|=\sqrt{(8)^2+(8)^2+(4)^2} \\ \Rightarrow \left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|=\sqrt{64+64+16}=\sqrt{144} \\ \Rightarrow \left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|=12
न्यूनतम दूरी
d=\left|\frac{\left(\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right) \cdot\left(\vec{a}_2-\vec{a}_1\right)}{\left|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2\right|}\right| \\=\left|\frac{(8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k})}{12}\right| \\ =\left|\frac{80-16-12}{12}\right| \\ =\left|\frac{108}{12}\right| \\ \Rightarrow d=9
Illustration:10.उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5,1,6) और (3,4,1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
Solution:बिन्दुओं A(5,1,6) और B(3,4,1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
\vec{a}=5 \hat{i}+\hat{j}+6 \hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k} \\ \vec{r}=\vec{a}+\lambda (\vec{b}-\vec{a}) \\ \vec{r}=5 \hat{i}+\hat{j}+6 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}-5 \hat{i}-\hat{j}-6 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{r}=5 \hat{i}+\hat{j}+6 \hat{k}+\lambda(-2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})
माना P वह बिन्दु है जहाँ रेखा AB,YZ-तल को प्रतिच्छेद करती है।तब बिन्दु P का स्थिति सदिश y \hat{j}+z \hat{k} के रूप में है।
यह बिन्दु अवश्य ही समीकरण (1) को सन्तुष्ट करता है।अर्थात्
y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+\hat{j}+6 \hat{k}+\lambda(-2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) \\ \Rightarrow y \hat{j}+z \hat{k}=(5-2 \lambda) \hat{i}+(1+3 \lambda \hat{j}+(6-5 \lambda) \hat{k} \\ \Rightarrow y=1+3 \lambda, z=6-5 \lambda \\ 5-2 \lambda=0 \Rightarrow \lambda=\frac{5}{2}
अतः y=1+3 \times \frac{5}{2}=\frac{17}{2}, z=6-5 \times \frac{5}{2}=-\frac{13}{2}
फलतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक \left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)
Illustration:11.उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ (5,1,6) और (3,4,1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
Solution:बिन्दुओं (5,1,6) तथा (3,4,1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} \\ \Rightarrow \frac{x-5}{3-5}=\frac{y-1}{4-1}=\frac{z-6}{1-6} \\ \Rightarrow \frac{x-5}{-2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-6}{-5}
ZX-तल में y=0 रखने परः
\frac{x-5}{-2}=-\frac{1}{3}=\frac{z-6}{-5} \\ \Rightarrow \frac{x-5}{-2}=-\frac{1}{3} \Rightarrow x-5=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow x=5+\frac{2}{3}=\frac{17}{3} \Rightarrow x=\frac{17}{3} \\ \frac{z-6}{-5}=-\frac{1}{3} \Rightarrow z-6=\frac{5}{3} \\ \Rightarrow z=6+\frac{5}{3}=\frac{23}{3}
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक \left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)

Equation of Plane in Class 12

Illustration:12.उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3,-4,-5) और (2,-3,1) से गुजरने वाली रेखा,समतल 2x+y+z=7 के पार जाती है।
Solution:(3,-4,-5) और (2,-3,1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} \\ \Rightarrow \frac{x-3}{2-3} =\frac{y+4}{-3-(-4)}=\frac{z+5}{1-(-5)} \\ \Rightarrow \frac{x-3}{-1}=\frac{y+4}{1}=\frac{z+5}{6}=\lambda \\ \Rightarrow x=-\lambda+3, y=\lambda-4, z=6 \lambda-5
\left(-\lambda+3, \lambda-4,6 \lambda-5\right) बिन्दु समतल पर स्थित है अतः
\Rightarrow 2(-\lambda+3)+\lambda-4+6 \lambda-5=7 \\ \Rightarrow-2 \lambda+6+\lambda-4+6 \lambda-5=7 \\ \Rightarrow 5 \lambda-3=7 \\ \Rightarrow 5 \lambda=7+3 \\ \Rightarrow 5 \lambda=10 \\ \Rightarrow \lambda=\frac{10}{5}=2
अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक
(-\lambda+3, \lambda-4,6 \lambda-5)=(-2+3,2-4,6 \times 2-5) \\ =(1,-2,7)
Illustration:13.बिन्दु (-1,3,2) से जाने वाले तथा समतलों x+2y+3z=5 और 3x+3y+z=0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:(-1,3,2) से जाने वाले समतल का समीकरण a(x+1)+b(y-3)+c(z-2)=0  …..(1)
उक्त समतल x+2y+3z=5 पर लम्ब है अतः
a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow a+2 b+3 c=0 \cdots(2)
इसी प्रकार समतल (1),समतल 3x+3y+z=0 पर लम्ब है अतः
3a+3b+c=0   ….. (3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर:
\frac{a}{2-9}=\frac{b}{9-1}=\frac{c}{3-6} \\ \Rightarrow \frac{a}{-7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{-3}=\lambda \\ a=-7 \lambda, b=8 \lambda, c=-3 \lambda
उक्त मान समीकरण (1) में रखने पर:
-7 \lambda(x+1)+8 \lambda(y-3)-3 \lambda(z-2)=0 \\ \Rightarrow \lambda(x+1)-\lambda[7(x+1) -8(y-3) +3(z-2)]=0 \\ \Rightarrow 7 x+7-8 y+24+3 z-6=0 \\ \Rightarrow 7 x-8 y+3 z+25=0
Illustration:14.यदि बिन्दु (1,1,p) और (-3,0,1) समतल \vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})+13=0 से समान दूरी पर स्थित हों,तो p का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \vec{r} \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})+13=0 \\ \Rightarrow(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})+13=0 \\ \Rightarrow 3 x+4 y-12 z+13=0
(1,1,p) की समतल से दूरी
=\left|\frac{A x_1+B y_1+C z_1-D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right| \\ =\left|\frac{3 \times 1+4 \times 1-12 \times p+13}{\sqrt{(3)^2+(4)^2+(-12)^2}}\right| \\ =\left|\frac{3+4-12 p+13}{\sqrt{9+16+144}}\right| \\ =\left|\frac{20-12 p}{\sqrt{169}}\right|=\left|\frac{20-12 p}{13}\right|
बिन्दु (-3,0,1) से समतल की दूरी
=\left|\frac{3 \times-3+4 \times 0-12 \times 1+13}{\sqrt{\left(3 x^2+(4)^2+(-12)^2\right.}}\right| \\ =\left|\frac{-9-12+13}{\sqrt{9+16+144}}\right|=\left|\frac{-8}{13}\right|=\frac{8}{13}
प्रश्नानुसार
\left|\frac{20-12 p}{13}\right|= \pm \frac{8}{13} \\ \Rightarrow 20-12 p= \pm 8 \Rightarrow-12 p=+8-20 \\ \Rightarrow p=\frac{-12}{-12}=+1
तथा -12 p=-8-20 \Rightarrow p=-\frac{28}{-12}=\frac{7}{3}
अतः p=1,\frac{7}{3}
Illustration:15.समतलों \vec{r} \cdot(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k})=1 और \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})-4=0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:दिए गए समतलों \vec{r} \cdot(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k})=1 और \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})-4=0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण
\vec{r} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{i})+4]=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot[(1+2 \lambda) \hat{i}+(1+3 \lambda) \hat{j}+(1-\lambda) \hat{k}]-1+4 \lambda=0 \cdots(1)
यह तल x-अक्ष के समान्तर है।
इस तल का अभिलम्ब x-अक्ष के लम्बवत है।
समतल का अभिलम्ब सदिश:
\vec{b}=(1+2 \lambda) \hat{i}+(1+3 \lambda) \hat{j}+(1-\lambda) \hat{k}
x-अक्ष के दिक्-कोसाइन 1,0,0 हैं।
\Rightarrow a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow 1 \cdot (1+2 \lambda)+0 \cdot(1+3 \lambda)+0 \cdot(1-\lambda)=0 \\ \Rightarrow 1+2 \lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2}
का मान समीकरण समीकरण (1) में रखने पर:
\vec{r} \cdot[(1+2 \times-\frac{1}{2}) \hat{i}+(1+3 \times-\frac{1}{2}) \hat{j}+(1+\frac{1}{2}) \hat{k}]-1+4 \times-\frac{1}{2}=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(-\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{3}{2} \hat{k}\right)-3=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot(\hat{j}-3 \hat{k})+6=0
जो अभीष्ट समतल का समीकरण है।
Illustration:16.यदि O मूल बिन्दु तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1,2-3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:O(0,0) तथा P(1,2,-3) से होकर जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात=1-0,2-0,-3-0
=1,2,-3
इसलिए समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात=1,2,-3 तथा P(1,2,-3) से गुजरने वाले समतल का समीकरण
\therefore a\left(x-x_1\right)+b\left(y-y_1\right)+c\left(z-z_1\right)=0 \\ \Rightarrow 1(x-1)+2(y-2)-3(z+3)=0 \\ \Rightarrow x-1+2 y-4-3 z-9=0 \\ \Rightarrow x+2 y-3 z-14=0
जो कि अभीष्ट समतल का समीकरण है।
Illustration:17.समतलों \vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4=0 और \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5=0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल \vec{r} \cdot(5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})+8=0 के लम्बवत तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:समतलों \vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4=0 और \vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5=0 के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})-4+\lambda[\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+5]=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot[(1+2 \lambda) \hat{i}+(2+\lambda) \hat{j}+(3-\lambda) \hat{k}]-4+5 \lambda=0 \cdots(1) \\ a_1=1+2 \lambda, \quad b_1=2+\lambda, c_1=3-\lambda
समतल (1) समतल \vec{r} \cdot (5 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})+8=0 के लम्बत है अतः
a_2=5, b_2=3, c_2=-6 \\ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 \\ \Rightarrow (1+2 \lambda) \times 5+(2+\lambda) \times 3+(3-\lambda) \times-6=0 \\ \Rightarrow 5+10 \lambda+6+3 \lambda-18+6 \lambda=0 \\ \Rightarrow 19 \lambda-7=0 \Rightarrow \lambda=\frac{7}{19}
का मान समीकरण (1) में रखने परः
\vec{r} \cdot\left[\left(1+2 \times \frac{7}{19}\right) \hat{i}+\left(2+\frac{7}{19}\right) \hat{j}+\left(3-\frac{7}{19}\right) \hat{k}\right]-4 + 5 \times \frac{7}{19}=0 \\ \Rightarrow \vec{r} \cdot\left(\frac{33}{19} \hat{i}+\frac{45}{19} \hat{j}+\frac{50}{19} \hat{k}\right)-\frac{41}{19}=0 \\ \therefore \vec{r} \cdot(33 \hat{i}+45 \hat{j}+50 \hat{k})-41=0
Illustration:18.बिन्दु (-1,-5,-10) से रेखा \vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}) और \vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5 समतल के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
Solution:रेखा \vec{r}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}) \cdots(1)
और समतल \vec{r} \cdot (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5 \cdots(2)
\vec{r} का मान समीकरण (1) से (2) में रखने परः
[2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})] \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5 \\ \Rightarrow(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}) \cdot(\hat{i}-\hat{j}+k)=5 \\ \Rightarrow 2+1+2+\lambda(3-4+2)=5 \\ \Rightarrow 5+\lambda=5 \Rightarrow \lambda=0
\lambda का मान समीकरण (1) में रखने पर,सरल रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन बिन्दु
\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}
बिन्दु (-1,-5,-10) का स्थिति सदिश=-\hat{i}-6 \hat{j}-10 \hat{k}
इन बिन्दुओं के मध्य दूरी=\sqrt{[2-(-1)]^2+[-1-(-5)]^2+[2-(-10)]^2}\\ \sqrt{(2+1)^2+(-1+5)^2+(2+10)^2} \\ =\sqrt{3^2+4^2+12^2} \\ =\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13
Illustration:19.बिन्दु (1,2,3) से जाने वाली तथा समतलों \vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5 और \vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:माना बिन्दु (1,2,3) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \\ \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda\left(b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}\right) \cdots(1)
यह रेखा समतल \vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5 के समान्तर है।अतः समतल पर अभिलम्ब रेखा (1) के लम्बवत होगा।
A_1=b_1, B_1=b_2, C_1=b_3 \\ A_2=1, B_2=-1, C_2=2 \\ A_1 A_1+B_1 B_2+C_1 C_2=0 \\ \Rightarrow b_1(1)+b_2(-1)+b_3(2)=0 \\ \Rightarrow b_1-b_2+2 b_3=0 \cdots(2)
इसी प्रकार रेखा (1) और समतल \vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6 समान्तर हैं।अतः रेखा (1) और समतल का अभिलम्ब परस्पर लम्बवत होंगे।
b_1(3)+b_2(1)+b_3(1)=0 \\ \Rightarrow 3 b_1+b_2+b_3=0 \cdots(3)
समीकरण (2) और (3) से:
\frac{b_1}{-1-2}=\frac{b_2}{6-1}=\frac{b_3}{1+3} \\ \Rightarrow \frac{b_1}{-3}=\frac{b_2}{5}=\frac{b_3}{4} \\ \Rightarrow \frac{b_1}{3}=\frac{b_2}{-5}=\frac{b_3}{-4}
के मान समीकरण (1) में रखने परः
\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})
Illustration:20.बिन्दु (1,2,-4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7} और \frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5} पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
Solution:(1, 2,-4) से जाने वाली किसी रेखा का समीकरण:
\frac{x-1}{9}=\frac{y-2}{b}=\frac{z+4}{c} \cdots(1)\\ \frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7} \cdots(2) \\ \frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5} \cdots(3)
रेखा (1) और (2) तथा (1) और (3) लम्बवत हैं
3a-16b+7c=0  ….. (4)
3a+8b-5c=0    …….(5)
(4) व (5) को हल करने परः
\frac{a}{180-56}=\frac{b}{21+15}=\frac{c}{24+48} \\ \Rightarrow \frac{a}{24}=\frac{b}{36}=\frac{c}{72} \\ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}
a,b,c के मान समीकरण (1) में रखने परः
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+4}{6}=\lambda \\ \Rightarrow x=1+2 \lambda, y=3 \lambda+2, z=6 \lambda-4
अतः रेखा का सदिश समीकरण:
x \hat{i}+y \hat{j}+2 \hat{k}=(1+2 \lambda) \hat{i}+(3 \lambda+2) \hat{j}+(6 \lambda-4) \hat{k} \\ \Rightarrow \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})
Illustration:21.यदि एक समतल के अंतःखण्ड a,b,c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{p^2}
Solution:a,b,c अन्त:खण्ड वाले समतल का समीकरण
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
इसकी मूल बिन्दु से दूरी
p=\left|\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}\right| \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
प्रश्नों 22 और 23 में सही उत्तर का चुनाव दीजिए।
Illustration:22.दो समतलों 2x+3y+4z=4 और 4x+6y+8z=12 के बीच की दूरी है:
(A) 2इकाई (B) 4 इकाई (C) 8 इकाई (D) \frac{2}{\sqrt{29}} इकाई
Solution:समतल 2x+3y+4z=4 और 4x+6y+8z=12 समान्तर समतल हैं अतः दो समान्तर समतलों के बीच दूरी
=\left|\frac{d_1-d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right| \\ =\frac{6-4}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+9+16}}=\frac{2}{\sqrt{29}}
अतः विकल्प (D) सही है।
Illustration:23.समतल 2x-y+4z=5 और 5x-2.5y+10z=6 हैं:
(A)परस्पर लम्ब (B)समान्तर (C)y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं। (D)बिन्दु से गुजरते हैं।
Solution: a_1=2, b_1=-1, c_1=4 \\ a_2=5, b_2=-2.5, c_2=10 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{5}, \frac{b_1}{b_2}=-\frac{1}{-2 \cdot 5}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अतः दोनों समतल आपस में समान्तर है।
विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12),समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में समतल का समीकरण की समस्याएँ (Equation of Plane in Class 12 Problems):

Equation of Plane in Class 12

(1.)समतलों 3x+4y+z+7=0 तथा -x+y-2z=5 के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
(2.)समतल 5x+4y-z+2=0 के लम्बवत समतल ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (0,0,2) तथा (1,-2,3) से गुजरता है।
उत्तर (Answers):- (1.) \theta=\cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{156}}\right)
(2.)-x+3y+7z-14=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12),समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equation of Plane in Class 12),समतल का समीकरण कक्षा 12 (Equation of Plane Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में समतल का समीकरण (Equation of Plane in Class 12) के इस आर्टिकल में
रेखाओं का सदिश समीकरण,समतल का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात करने वाले
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।