1.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles in Class 9th),त्रिभुजों की सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Illustrations of Congruence of Triangles):

Congruence of Triangles in Class 9th

कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles in Class 9th) के इस आर्टिकल में सर्वांगसमता पर आधारित सवालों को हल करके त्रिभुजों की सर्वांगसमता तथा उसके आधार पर विशिष्ट सवालों के हल समझेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Parallelogram in Class 9th

2.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता के साधित उदाहरण (Congruence of Triangles in Class 9th Solved Illustrations):

Illustration:1.चित्र में,एक चतुर्भुज ABCD में BC=AD एवं $\angle ADC=\angle BCD$ हो,तो सिद्ध कीजिए:
(i)AC=BD (ii) $\angle ACD=\angle CDB$

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given):BC=AD एवं $\angle ADC=\angle BCD$
सिद्ध करना है (To Prove): (i)AC=BD (ii) $\angle ACD=\angle CDB$
उपपत्ति (Proof): $\triangle ADC$ एवं $\triangle BCD$ में
AD=BC  (दिया है)
CD=CD   (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ADC=\angle BCD$ (दिया है)
अतः SAS सर्वांगसमता नियम से
$\triangle ADC \cong \triangle BCD$
AC=BD एवं $\angle ACD=\angle CDB$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
Illustration:2.AB एक रेखाखण्ड है और रेखा l इसका लम्ब समद्विभाजक है।यदि l पर स्थित कोई बिन्दु P है,तो दर्शाइए कि P, बिन्दुओं A और B से समदूरस्थ (equidistant) है।

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given):AB का लम्ब समद्विभाजक l है अतः AC=BC तथा $\angle ACP=\angle BCP$
सिद्ध करना है (To Prove):AP=BP
उपपत्ति (Proof): $\triangle PCA$ और $\triangle PCB$ में
AC=BC  (C,AB का मध्य बिन्दु है)
$\angle PCA=\angle PCB=90^{\circ}$ (दिया है)
PC=PC  (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः SAS सर्वांगसमता नियम से
$\triangle PCA \cong \triangle PCB$
PA=PB  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Illustration:3.चित्र के अनुसार ABCD एक वर्ग है तथा $\triangle CDE$ एक समबाहु त्रिभुज हो,तो सिद्ध कीजिए कि AE=BE

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given):ABCD एक वर्ग है एवं $\triangle CDE$ एक समबाहु त्रिभुज है।
सिद्ध करना है (To Prove):AE=BE
उपपत्ति (Proof): $\triangle CDE$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः CD=DE=CE  ….. (1)
$\angle DEC=\angle EDC=\angle DCE=60^{\circ} \cdots(2)$
एवं ABCD एक वर्ग है अतः
$\angle ADC=\angle BCD=90^{\circ}$
दोनों पक्षों में $\angle EDC$ जोड़ने पर:
$\angle ADC+\angle EDC=\angle BCD+\angle EDC \\ \Rightarrow \angle EDA=\angle BCD+\angle ECD(\because \angle EDC=\angle ECD) \\ \Rightarrow \angle EDA=\angle ECB \ldots(3)$
अब $\triangle ADE$ एवं $\triangle BCE$ में
AD=BC  (वर्ग की भुजाएँ)
$\angle EDA=\angle ECB$ (सिद्ध किया है)
DE=EC   [(1) से]
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle ADE \cong \triangle BCE$
AE=BE (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Illustration:4.सिद्ध कीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं को समद्विभाजित करने वाली माध्यिकाएँ समान होती हैं।
Solution:दिया है (Given):एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में समान भुजाओं AB एवं AC के मध्य बिन्दु क्रमशः D एवं E हैं।

Congruence of Triangles in Class 9th

सिद्ध करना है (To Prove):BE=CD
उपपत्ति (Proof): $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ AB और AC समान हैं।
AB=AC  ….. (1)
एवं $\angle ABC=\angle ACB \cdots(2)$ (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण)
एवं D एवं E भुजा AB एवं AC के मध्य बिन्दु हैं।
अतः DB=DA=EC=AE  … (3)
अब $\triangle BCD$ एवं $\triangle BCE$ में,
BC=BC (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle DBC=\angle ECB$ [(2) से]
BD=CE  [(3) से]
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle BCD \cong \triangle BCE$
BE=CD  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Illustration:5.चित्र में,AB=AC हैं,एवं $\triangle ABC$ में D एक ऐसा बिन्दु है कि $\angle DBC=\angle DCB$.  सिद्ध कीजिए कि $\angle BAC$ को AD समद्विभाजित करता है।

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given): $\triangle ABC$ में AB=AC एवं $\angle DBC=\angle DCB$
सिद्ध करना है (To Prove):AD, $\angle BAC$ का समद्विभाजक है।अर्थात् $\angle DBC=\angle DCB$
उपपत्ति (Proof): $\triangle BDC$ में $\angle DBC=\angle DCB$
अतः BD=DC  (बराबर कोण की सम्मुख भुजाएँ)…. (1)
अब $\triangle ABD$ एवं $\triangle ACD$ में
BD=CD   [(1) से]
AD=AD  (उभयनिष्ठ भुजा)
AB=AC   (दिया है)
SSS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$
$\angle BAD=\angle CAD$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं)
अतः AD, $\angle BAC$ का समद्विभाजक है।
Illustration:6.यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य से दूसरी दो भुजाओं पर डाले गए लम्ब समान हो,तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given): $\triangle ABC$ की भुजा BC का मध्य बिन्दु D है एवं DE और DF क्रमशः AC एवं AB पर लम्ब हैं एवं DE=DF
सिद्ध करना है (To Prove): $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है अर्थात् AB=AC
रचना (Constructions):AD को मिलाया।
उपपत्ति (Proof): $\triangle BDF$ एवं $\triangle CDE$ में
कर्ण BD=कर्ण CD (दिया है)
$\angle DFB=\angle DEC=90^{\circ}$
एवं DF=DE  (दिया है)
अर्थात् RHS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle BDF \cong \triangle CDE$
अतः $\angle B=\angle C$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं)
AB=AC  (बराबर कोण की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है)
Illustration:7.एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में AB=AC हो,एवं भुजा BC,AC एवं AB के मध्य बिन्दु क्रमशः D,E,F हो,तो सिद्ध कीजिए कि DE=DF

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given):समद्विबाहु $\triangle ABC$ में AB=AC तथा भुजा BC,AC एवं AB के मध्य बिन्दु क्रमशः D,E,F हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):DE=DF
उपपत्ति (Proof): $\triangle ABC$ में
AB=AC  ….. (1)
$\triangle BDF$ एवं $\triangle CDE$ में
BD=CD  (D,भुजा BC का मध्य बिन्दु है)
CE=BF  (दिया है कि AB=AC)
एवं  $\angle B=\angle C$ (समान भुजाओं के सामने के कोण)
अतः SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle BDF \cong \triangle CDE$
अतः DE=DF  (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Illustration:8.चित्र में,ABC एक समकोण त्रिभुज है,जिसका कोण B समकोण इस प्रकार है कि $\angle BCA=2 \angle BAC$ है।दर्शाइए कि कर्ण AC=2BC है।

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given): $\triangle ABC$ में $\angle B=90^{\circ}$ तथा $\angle BCA=2 \angle BAC$
सिद्ध करना है (To Prove):AC=2BC
रचना (Construction):CB को बिन्दु D तक इस प्रकार बढाइए कि BC=BD हो तथा AD को मिलाइए।
उपपत्ति (Proof): $\triangle ABC$ और $\triangle ABD$ में
BC=BD   (रचना से)
AB=AB   (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle ABC=\angle ABD=90^{\circ}$
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
$\triangle ABC \cong \triangle ABD$
अतः $\angle CAB=\angle DAB$ ………(1) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
और AC=AD ………(2) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
तथा $\angle ACD=\angle ADB$ ………(3)  (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
$\angle CAD=\angle CAB+\angle BAD \\ \Rightarrow \angle CAD=\angle CAB+\angle CAB$ [(1) से]
$\Rightarrow \angle CAD=2 \angle CAB \cdots(4)$
परन्तु $\angle ACB=2 \angle CAB$ (दिया है)
(3),(4) और (5) से:
$\angle CAD=\angle ACD=\angle ADC$
अर्थात् $\triangle ACD$ एक समबाहु त्रिभुज है
अतः AC=CD
AC=2BC (क्योंकि BC=BD)
Illustration:9.यदि त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को भी समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

Congruence of Triangles in Class 9th

Solution:दिया है (Given): $\triangle ABC$ में AX, $\angle BAC$ को समद्विभाजित करता है तथा BX=XC
सिद्ध करना है (To Prove):AB=AC
रचना (Construction):C से AX के समान्तर रेखा CE खींचिए जो BA (बढ़ी हुई) को E पर काटे।
उपपत्ति (Proof): $XA \| CE$ तथा AC तिर्यक रेखा है
$\therefore \angle 3 =\angle 2$ (एकान्तर कोण)….(1)
तथा $\angle 1=\angle 4$ (संगत कोण)…..(2)
$\because A X, \angle BAC$ का अर्द्धक है।
$\therefore \angle 2=\angle 1$ (दिया है)
(1), (2) तथा (3) से:
$\angle 3=\angle 4$
$\triangle AEC$ के आधार के कोण बराबर हैं अतः
AE=AC ….. (4)
$\because \triangle BCE$ में $AX \| CE \\ \therefore \frac{BX}{XC}=\frac{BA}{AE}$ (आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से)
$\Rightarrow \frac{BX}{XC}=\frac{BA}{AC}$ [(4) से]
$\Rightarrow \frac{BX}{BX}=\frac{B A}{A C}$ [BX=XC दिया है]
$\therefore$ AB=AC
अतः $\triangle ABC$ समद्विबाहु त्रिभुज है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles in Class 9th),त्रिभुजों की सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Illustrations of Congruence of Triangles) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Congruence of Triangles in Class 9th):

Congruence of Triangles in Class 9th

(1.)यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और एक कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और एक कोण के बराबर हों,तो दोनों त्रिभुज अवश्य ही सर्वांगसम होने चाहिए।क्या यह कथन सत्य है? क्यों?
(2.)यदि किसी त्रिभुज के दो कोण और एक भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोण और एक भुजा के बराबर हों,तो त्रिभुज अवश्य ही सर्वांगसम होने चाहिए।क्या यह कथन सत्य है? क्यों?
(3.)दिया हुआ है।क्या यह कथन सत्य है कि BC=QR है? क्यों?
उत्तर (Answers):(1.)नहीं,कोण दोनों भुजाओं के अन्तर्गत होना चाहिए।
(2.)हाँ,दो कोण और एक भुजा समान होने पर दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
(3.)नहीं,BC=PQ होना चाहिए।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles in Class 9th),त्रिभुजों की सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Illustrations of Congruence of Triangles) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Inequalities in Triangles in Class 9th

4.कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Frequently Asked Questions Related to Congruence of Triangles in Class 9th),त्रिभुजों की सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Illustrations of Congruence of Triangles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9वीं में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles in Class 9th) के इस
आर्टिकल में सर्वांगसमता पर आधारित सवालों को हल करके त्रिभुजों की सर्वांगसमता तथा
उसके आधार पर विशिष्ट सवालों के हल समझेंगे।