1.10वीं में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression in Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression):

Arithmetic Progression in Class 10th

10वीं में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression in Class 10th) के इस आर्टिकल में समान्तर श्रेढ़ी का सार्वअन्तर,विभिन्न पद ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.10वीं में समान्तर श्रेढ़ी के साधित उदाहरण (Arithmetic Progression in Class 10th Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद a एवं सार्वअन्तर d ज्ञात कीजिए:
Example:1.निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद a एवं सार्वअन्तर d ज्ञात कीजिए:
Example:1(i).6,9,12,15……
Solution:6,9,12,15……
a=6,d=9-6=3
Example:1(ii).-7,-9,-11,-13,…..
Solution:-7,-9,-11,-13,…..
a=-7,d=-9-(-7)=-9+7=-2
Example:1(iii). \frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \cdots
Solution: \frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \cdots
a=\frac{3}{2}, d=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=\frac{-2}{2}=-1
Example:1(iv).1,-2,-5,-8,……
Solution:1,-2,-5,-8,……
a=1,d=-2-1=-3
Example:1(v). -1, \frac{1}{4}, \frac{3}{2}, \cdots
Solution: -1, \frac{1}{4}, \frac{3}{2}, \cdots \\ a=-1, \quad d=\frac{1}{4}-(-1)=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}
Example:1(vi).3,1,-1,-3,……
Solution:3,1,-1,-3,……
a=3,d=1-3=-2
Example:1(vii).3,-2,-7,-12,……
Solution:3,-2,-7,-12,……
a=3,d=-2-3=-5
Example:2.यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद a एवं सार्व अन्तर d निम्नानुसार दिया हुआ है,तो उस श्रेढ़ी के प्रथम चार पद लिखिए।
Example:2(i). a=-1, d=\frac{1}{2}
Solution: a=-1, d=\frac{1}{2} \\ a=-1, \quad a_2=a+d=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \\ a_3=a_2+d=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0 \\ a_4=a_3+d=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
प्रथम चार पदः -1,-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}
Example:2(ii). a=\frac{1}{3}, d=\frac{4}{3}
Solution: a=\frac{1}{3}, d=\frac{4}{3} \\ a_2=a+d=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{5}{3} \\ a_3 =a_2+d=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=\frac{9}{3}=3 \\ a_4=a_3+d=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}
प्रथम चार पदः \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}
Example:2(iii). a=0.6, d=1.1 \\ a_2=a+d=0.6+1.1=1.7 \\ a_3=a_2+d=1.7+1.1=2.8 \\ a_4=a_3+d=2.8+1.1=3.9
Solution:a=0.6,d=1.1
प्रथम चार पदः 0.6,1.7,2.8,3.9
Example:2(iv).a=4,d=-3
Solution: a=4, d=-3 \\ a_2=a+d=4-3=1 \\ a_3=a_2+d=1-3=-2 \\ a_4=a_3+d=-2-3=-5
प्रथम चार पदः4,1,-2,-5
Example:2(v). a=11,d=-4
Solution: a=11,d=-4 \\ a_2=a+d=11-4=7 \\ a_3=a_2+d=7-4=3 \\ a_4=a_3+d=3-4=-1
प्रथम चार पदः11,7,3,-1
Example:2(vi).a=-1.25,d=-0.25
Solution: a=-1.25, d=-0.25 \\ a_2=a_1+d=-1.25-0.25=-1.5 \\ a_3=a_2+d=-1.5-0.25=-1.75 \\ a_4=a_3+d=-1.75+0.25=-2.00
प्रथम चार पदः-1.25,-1.5,-1.75,-2
Example:2(vii). a=20, d=-\frac{3}{4}
Solution: a=20, d=-\frac{3}{4} \\ a_2=a+d=20-\frac{3}{4}=\frac{80-3}{4}=\frac{77}{4} \\ a_3=a_2+d=\frac{77}{4}-\frac{3}{4}=\frac{74}{4}=\frac{37}{2} \\ a_4=a_3+d=\frac{37}{2}-\frac{3}{4}=\frac{71}{4}
प्रथम चार पदः 20, \frac{77}{4}, \frac{37}{2}, \frac{71}{4}
Example:3.ज्ञात कीजिए:
Example:3(i).समान्तर श्रेढ़ी 2,7,12,…..का 10वाँ पद
Solution:2,7,12,…..का 10वाँ पद
a=2, d=7-2=5, n=10 \\ a_n=a+(n-1) d \\ =2+(10-1) \times 5=2+45 \\ \Rightarrow a_{10}=47
Example:3(ii). समान्तर श्रेढ़ी \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}, \ldots \ldots का 18वाँ पद
Solution: \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}, \ldots , \ldots का 18वाँ पद
a=\sqrt{2}, d=3 \sqrt{2}-\sqrt{2}=2 \sqrt{2}, n=18 \\ a_n=a+(n-1) d \\ =\sqrt{2}+(18-1) \times 2 \sqrt{2} \\ =\sqrt{2}+17 \times 2 \sqrt{2}=\sqrt{2}+34 \sqrt{2} \\ \Rightarrow a_{18}=35 \sqrt{2}
Example:3(iii).समान्तर श्रेढ़ी 84,80,76,…….. का कौनसा पद शून्य है?
Solution:84,80,76,……..
a=84,d=80-84=-4
a_n=0, n=? \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 0=84+(n-1)(-4) \\ \Rightarrow \frac{-84}{-4}=n-1 \\ \Rightarrow n-1=21 \\ \Rightarrow n=22

Arithmetic Progression in Class 10th

Example:4.समान्तर श्रेढ़ी 1,4,7,10,……,88 में अन्त से 12वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution:1,4,7,10,…..,88
a=88, d=7-10=-3, n=12 \\ a_n=a+(n-1) d \\ =88+(12-1)(-3) \\ =88+11 \times -3=88-33=55 \\ \Rightarrow a_{12} =55
Example:5.एक समान्तर श्रेढ़ी में 60पद हैं।यदि उसका प्रथम पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 125 है,तो उसका 32वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: n=60, a=7, a_n=125 \\ a_n=a+(n-1) d \\ 125=7+(60-1) d \\ \Rightarrow \frac{125-7}{59}=d \\ \Rightarrow d=2 \\ a_{32}=7+(32-1) \times 2 \\ =7+31 \times 2=7+62 \\ \Rightarrow a_{32}=69
Example:6.चार संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हैं।यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या,सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है,तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना चारों संख्याएँ a,a+d,a+2d,a+3d हैं।
a+(a+d)+(a+2 d)+(a+3 d)=50 \\ \Rightarrow 4 a+6 d=50 \\ \Rightarrow 2(2 a+3 d)=50 \\ \Rightarrow 2 a+3 d=25 \cdots(1) \\ a+3d=4a \\ \Rightarrow a=d \cdots(2)
समीकरण (2) से (1) में मान रखने परः
2d+3 d=25 \Rightarrow 5 d=25 \\ \Rightarrow d=5
a=5,d=5
a+d=5+5=10,a+2d=5+2×5=15
a+3d=5+3×5=20
अतः चारों संख्याएँ हैं:5,10,15,20
Example:7.यदि समान्तर श्रेढ़ी का छठा पद तथा 17वाँ पद क्रमशः 19 तथा 41 हैं,तो 40वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow a_6=a+(6-1) d=19 \\ \Rightarrow a+5 d=19 \cdots(1) \\ a_{17}=a+(17-1) d=41 \\ \Rightarrow a+16 d=41 \cdots(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने परः
(a+5 d)-(a+16 d)=19-41 \\ \Rightarrow a+5 d-a-16 d=-22 \\ \Rightarrow-11 d=-22 \\ \Rightarrow d=\frac{-22}{-11}=2
d का मान समीकरण (1) में रखने परः
a+5 \times 2=19 \\ \Rightarrow a+10=19 \\ \Rightarrow a=19-10=9 \\ \Rightarrow a=9
40वाँ पद
a_n=a+(n-1) d \\ a_{40}=9+(40-1) \times 2 \\ =9+39 \times 2=9+78 \\ \Rightarrow a_{40}=87
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 10वीं में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression in Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) को समझ सकते हैं।

3.10वीं में समान्तर श्रेढ़ी पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Arithmetic Progression in Class 10th):

Arithmetic Progression in Class 10th

(1.)किसी समान्तर श्रेढ़ी का 5वाँ पद 11 तथा 9वाँ पद 7 हो,तो 16वाँ पद ज्ञात कीजिए।
(2.)क्या 185 स.श्रे. 3+7+11+….. का एक पद है?
(3.)स.श्रे. 4+9+14+19+…… का कौनसा पद 124 है?
उत्तर (Answers): (1.)a_{16}=0 (2.)स.श्रे. का पद नहीं है। (3.)n=25 अर्थात् a_{25}=124
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 10वीं में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression in Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.10वीं में समान्तर श्रेढ़ी (Frequently Asked Questions Related to Arithmetic Progression in Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

10वीं में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression in Class 10th) के इस आर्टिकल में
समान्तर श्रेढ़ी का सार्वअन्तर,विभिन्न पद ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करके समझने
का प्रयास करेंगे।