Area of Plane Figure
1.आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल (Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude):
आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल (Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude) के इस आर्टिकल में वृत्त,त्रिभुज,आयत,वर्ग,चतुर्भुजों का क्षेत्रफल एवं परिधि ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल के साधित उदाहरण (Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude Solved Illustrations):
Illustration:1.किसी वृत्त का क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी है।उसकी परिधि की लम्बाई (सेमी में) है ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(a) 22 (b) 24 (c) 26 (d) 32
Solution:वृत्त का क्षेत्रफल \pi r^2=38.5 \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2=38.5 \\ \Rightarrow r^2=38.5 \times \frac{7}{22}=12.25 \\ \Rightarrow r=\sqrt{12.25}=3.5
वृत्त की परिधि= 2 \pi r \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 3.5
=22 सेमी
विकल्प (a) सही है।
Illustration:2.एक रस्सी,जिससे एक गाय बँधी है,यदि उसकी लम्बाई 12 मी से 35 मी कर दी जाए,तो गाय कितने बड़े क्षेत्र में चर सकेगी?
(a) 1210 वर्ग मी (b) 3850 वर्ग मी (c) 1275 वर्ग मी (d) 3500 वर्ग मी
Solution: r_1=35 मी, r_2=12 मी
वृत्त का क्षेत्रफल=\pi r_1^2 \\ =\frac{22}{7} \times 35 \times 35=3850
विकल्प (b) सही है।
Illustration:3.यदि एक वृत्त की परिधि को 50% कम कर दिया जाए,तो इसके क्षेत्रफल में कमी हो जाएगी
(a) 12.5 % (b) 25 % (c) 50 % (d) 75 %
Solution:वृत्त की परिधि=2 \pi r
50% कम करने पर परिधि=2 \pi r \times \frac{50}{100} \\ =2 \pi\left(\frac{r}{2}\right)
अब क्षेत्रफल=\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2=\frac{\pi r^2}{4}
पूर्व में क्षेत्रफल=\pi r^2
क्षेत्रफल में कमी=\pi r^2-\frac{\pi r^2}{4}=\frac{3 \pi r^2}{4}
क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी=\frac{3 \pi r^2}{4} \times \frac{1}{\pi r^2} \times 100
=75%
विकल्प (d) सही है।
Illustration:4.यदि किसी वृत्त की त्रिज्या बढ़ाने से उसकी परिधि में 5% का विस्तार होता है,तो वृत्त के क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी
(a) 10 % (b) 8.75 % (c) 10.25 % (d) 10.5 %
Solution:त्रिज्या=r,परिधि=2 \pi r
5% परिधि बढ़ाने के बाद परिधि=2 \pi r \times \frac{105}{100}=2 \pi\left(\frac{21 r}{20}\right)
पूर्व में क्षेत्रफल=\pi r^2
त्रिज्या बढ़ाने के बाद क्षेत्रफल=\pi\left(\frac{21r}{20}\right)^2 \\ =\pi \times \frac{21 r}{20} \times \frac{21 r}{20}=\frac{441 \pi r^2}{400}
क्षेत्रफल में वृद्धि=\frac{441 \pi r^2}{400}-\pi r^2 \\ =\frac{441 \pi r^2-400 \pi r^2}{400} \\ =\frac{41 \pi r^2}{400}
प्रतिशत वृद्धि=\frac{41 \pi r^2}{400} \times \frac{1}{\pi r^2} \times 100 \\ =10 \frac{1}{4} \%=10.25 \%
विकल्प (c) सही है।
Illustration:5.किसी कमरे के फर्श की माप 4 मी×3 मी है तथा उसकी ऊँचाई 3 मी है।कमरे की दीवारों तथा छत पर रोगन करना है।रोगन किए जाने वाले भाग का क्षेत्रफल होगा
(a) 66 \text{मी}^2 (b) 54 \text{मी}^2 (c) 43 \text{मी}^2 (d) 33 \text{मी}^2
Solution:चारों दीवारों तथा छत का क्षेत्रफल
=2×ऊँचाई×(लम्बाई+चौड़ाई)+लम्बाई×चौड़ाई
=2×3(4+3)+4×3=2×7×3+12
=42+12=54
विकल्प (b) सही है।
Illustration:6.किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 216 वर्ग सेमी है और उसकी भुजाएँ 3:4:5 के अनुपात में है।इस त्रिभुज का परिमाप होगा
(a) 6 सेमी (b) 12 सेमी (c) 36 सेमी (d) 72 सेमी
Solution:माना त्रिभुज की भुजाएँ=3x,4x,5x
S=\frac{3 x+4 x+5 x}{2}=\frac{12 x}{2}=6 x
क्षेत्रफल=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}=216 \\ \Rightarrow \sqrt{6 x(6 x-3 x)(6 x-4 x)(6 x-5 x)}=216 \\ \Rightarrow \sqrt{6 x \times 3 x \times 2 x \times x}=216 \\ \Rightarrow \sqrt{36 x^4}=216 \\ \Rightarrow 6 x^2=216 \Rightarrow x^2=\frac{216}{6}=36 \\ \Rightarrow x=\sqrt{36}=6
परिमाप=12x=12×6=72
विकल्प (d) सही है।
Illustration:7.किसी त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी और उसका क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है।यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई 13 सेमी है,तो उसकी सबसे छोटी भुजा की लम्बाई क्या है?
(a) 3 सेमी (b) 4 सेमी (c) 5 सेमी (d) 6 सेमी
Solution: S=\frac{30}{2}=15
माना अज्ञात एक भुजा=x,दूसरी भुजा=30-13-x=17-x
क्षेत्रफल=\sqrt{15(15-13)(15-2 x)(15-17+x)}=30 \\ \sqrt{15 \times 2 \times(15-x)(x-2)}=30 \\ \Rightarrow 30\left(17 x-x^2-30\right)=500 \\ \Rightarrow 1.7 x-x^2-30=30 \\ \Rightarrow x^2-17 x+60=0 \\ \Rightarrow x^2-12 x-5 x+60=0 \\ \Rightarrow x(x-12)-5(x-12)=0 \\ \Rightarrow(x-5)(x-12)=0
x=5,12
अतः सबसे छोटी भुजा=5 सेमी
विकल्प (c) सही है।
Illustration:8.एक चतुर्भुज की उर्ध्वाधर भुजाएँ 8 सेमी और 6 सेमी है,एक वृत्त में हैं।चतुर्भुज के क्षेत्रफल को छोड़कर वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी) में कितना होगा?
(a) 30.6 (b) 39 (c) 42.4 (d) 65.3
Solution:माना चतुर्भुज ABCD की उर्ध्वाधर भुजाएँ 8 सेमी और 6 सेमी एक वृत्त में हैं।
वृत्त की त्रिज्या=OB
=\sqrt{\text{OM}^2+\text{MB}^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2} \\ = \sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
अभीष्ट क्षेत्रफल=वृत्त का क्षेत्रफल-चतुर्भुज का क्षेत्रफल
=\frac{22}{7} \times(5)^2-8 \times 6=\frac{550-336}{7}=\frac{214}{7}
=30.6 वर्ग सेमी
विकल्प (a) सही है।
Illustration:9.किसी वृत्त की त्रिज्या में 1% की वृद्धि की जाती है।उस वृत्त के क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?
(a) 1 % (b) 1.1 % (c) 2 % (d) 2.01 %
Solution:माना त्रिज्या=r,त्रिज्या में वृद्धि के बाद त्रिज्या=\frac{101}{100} r
पूर्व का क्षेत्रफल=\pi r^2
त्रिज्या वृद्धि के बाद क्षेत्रफल=\pi\left(\frac{101r}{100}\right)^2\\ =\frac{10201}{10000} \pi r^2
क्षेत्रफल में वृद्धि=\frac{10201}{10000} \pi r^2-\pi r^2 \\ =\frac{10201 \pi r^2-10000 \pi r^2}{10000} \\ =\frac{201 \pi r^2}{10000}
प्रतिशत वृद्धि=\frac{201 \pi r^2}{10000} \times \frac{1}{\pi r^2} \times 100
=2.01%
विकल्प (d) सही है।
Illustration:10.एक वृत्ताकार मैदान तथा वर्गाकार मैदान का परिमाप बराबर है।यदि वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 12100 वर्ग मी हो,तो वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल है।
(a) 15500 वर्ग मी (b) 1540 वर्ग मी (c) 15200 वर्ग मी (d) 15300 वर्ग मी
Solution:माना वर्ग की भुजा=x,वृत्त की त्रिज्या=r
वृत्ताकार मैदान का परिमाप
2 \pi r=4 x \\ \Rightarrow r=\frac{2 x}{\pi}
वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल=x^2=12100 \\ \Rightarrow x=\sqrt{12100}=110 \\ r=\frac{2 x}{\pi}=\frac{2 \times 110}{\pi}
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल=\pi r^2\\= \pi \times \frac{2 \times 110}{\pi} \times \frac{2 \times 110}{\pi} \\ =2 \times 110 \times \frac{2 \times 110}{\frac{22}{7}} \\ =\frac{2 \times 110 \times 2 \times 110 \times 7}{22}=15400
विकल्प (b) सही है।
Illustration:11.एक लड़के ने एक आयताकार खेत के साथ लगे दो पार्श्वों पर चलने की बजाय खेत के विकर्ण के साथ छोटा रास्ता अपनाया और लम्बे पार्श्व के आधे के बराबर दूरी की बचत की।आयत के लम्बे पार्श्व तथा छोटे पार्श्व का अनुपात है:
(a) \frac{3}{4} (b) \frac{4}{3} (c) 2 (d) \frac{\sqrt{3}}{2}
Solution:माना लम्बा पार्श्व (आधार)=x
तथा चौड़ाई=y,विकर्ण=\frac{x}{2}+y \\ \Rightarrow\left(\frac{x}{2}+y\right)^2=x^2+y^2 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{4}+y^2+x y=x^2+y^2 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x y=x^2 \\ \Rightarrow \frac{x}{4}+y=x \\ \Rightarrow x-\frac{x}{4}=y \\ \Rightarrow \frac{3 x}{4}=y \\ \frac{x}{y}=\frac{4}{3}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:12.चतुष्कोणीय मैदान की चौड़ाई उसकी लम्बाई की 60% है,यदि मैदान का परिमाप 800 मी है तो मैदान का क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 18750 \text{मी}^2 (b) 37500 \text{मी}^2 (c) 40000 \text{मी}^2 (d) 48000 \text{मी}^2
Solution:माना मैदान की लम्बाई=x
तथा चौड़ाई=x \times \frac{60}{100}=\frac{3 x}{5}
परिमाप=2\left(x+\frac{3 x}{5}\right)=800 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{8 x}{5}=800 \\ \Rightarrow x=\frac{800 \times 5}{2 \times 8}=250
चौड़ाई=\frac{3 x}{5}=\frac{3}{5} \times 250=150
मैदान का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
=250×150=37500
विकल्प (b) सही है।
Illustration:13.3 सेमी अर्द्धव्यास वाले ताँबे के गोले को पीटकर 0.2 सेमी व्यास वाले एक तार में परिवर्तित किया गया है।तार की लम्बाई है
(a) 9 मी (b) 12 मी (c) 18 मी (d) 36 मी
Solution:गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \pi \times(3)^3=36 \pi
तार का आयतन=\pi R^2 h=36 \pi \\ \Rightarrow \pi \times\left(\frac{0.2}{2}\right)^2 \times h=36 \pi \\ \Rightarrow h=\frac{36}{0.01}
=3600 सेमी
h=36 मी
विकल्प (d) सही है।
Illustration:14.एक आयत की चौड़ाई 10 सेमी तथा क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है।आयत की सिर्फ लम्बाई को बढ़ा दिया जाता है,तो उसका क्षेत्रफल अपने वास्तविक क्षेत्रफल का 1 \frac{1}{3} गुना बढ़ जाता है।उसका नया परिमाप है:
(a) 50 सेमी (b) 60 सेमी (c) 70 सेमी (d) 80 सेमी
Solution:आयत की लम्बाई= \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}} \\ =\frac{150}{10}=15
लम्बाई में वृद्धि=x
अब क्षेत्रफल=(15+x) \times 10=150 \times \frac{4}{3} \\ \Rightarrow 15+x=\frac{150 \times}{10} \frac{4}{3}=20 \\ \Rightarrow x=20-15=5
अब लम्बाई=15+x=15+5=20
परिमाप=2(20+10)=2×30=60
विकल्प (b) सही है।
Illustration:15.दिए गए चित्र में 14 सेमी की त्रिज्या के एक वृत्त के छायांकित भाग का क्षेत्रफल कितना होगा,जबकि \angle AOB=90^{\circ} है।
(a) 154 वर्ग सेमी (b) 77 वर्ग सेमी (c) 98 वर्ग सेमी (d) 196 वर्ग सेमी
Solution:छायांकित भाग का क्षेत्रफल
=\frac{r^2}{2} \sin \theta=\frac{14 \times 14}{2} \times \sin 90=98
विकल्प (c) सही है।
Illustration:16.किसी वृत्ताकार पार्क के चारों ओर एक समान चौड़ाई का एक पथ बना हुआ है।इस वृत्ताकार पथ की आन्तरिक और बाहरी परिधियों का अन्तर 132 मी है।उसकी चौड़ाई है ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(a) 22 मी (b) 20 मी (c) 21 मी (d) 24 मी
Solution:आन्तरिक और बाहरी परिधियों का अन्तर=2 \pi r_1-2 \pi r_2=132 \\ \Rightarrow 2 \pi\left(r_1-r_2\right)=132 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7}\left(r_1-r_2\right)=132 \\ \Rightarrow r_1-r_2=\frac{132 \times 7}{2 \times 22}=21
विकल्प (c) सही है।
Illustration:17.एक ही माप (1 सेमी त्रिज्या वाले) के तीन सिक्के एक मेज पर इस प्रकार रखे गए हैं कि वे एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।सिक्कों द्वारा उनके बीच घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा:
(a) \left(\frac{\pi}{2}-\sqrt{3}\right) \text { सेमी }^2 (b)\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right) \text { सेमी }^2
(c) \left(2 \sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right) \text { सेमी }^2 (d) \left(3 \sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right) \text { सेमी }^2
Solution:समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल=\frac{\sqrt{3}}{4} \text { भुजा }^2 \\ =\frac{\sqrt{3}}{4} \times(2)^2= \sqrt{3}
3 त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल=3 \times \frac{\pi r^2 \theta}{360} \\ =3 \times \pi \times 1 \times \frac{1 \times 60}{360}=\frac{\pi}{2}
तीन सिक्कों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=\left(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}\right) \text { सेमी }^2
विकल्प (b) सही है।
Illustration:18.समचतुर्भुज के विकर्ण 16 सेमी तथा 12 सेमी है।इसका परिमाप सेमी में क्या होगा?
(a) 20 (b) 48 (c) 40 (d) 32
Solution:समचतुर्भुज की भुजा=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2} =\sqrt{\left( \frac{16}{2}\right)^2+\left(\frac{12}{2}\right)^2} \\ =\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100} \\ =10
परिमाप=10×4=40 सेमी
विकल्प (c) सही है।
Illustration:19.दो समरूप त्रिभुज के संगत शीर्षलम्ब क्रमशः 5 सेमी तथा 7 सेमी हैं।उनके क्षेत्रफल का अनुपात है
(a) \sqrt{5}: \sqrt{7} (b) 5 : 7 (c) 10: 14 (d) 25: 49 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution:क्षेत्रफल का अनुपात =\frac{5^2}{7^2}=\frac{25}{49}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:20.एक राॅकेट,एक लम्ब वृत्ताकार बेलन,जिसका नीचे का सिरा बन्द है,के आकार का है,जिसके ऊपर उसी आधार अर्द्धव्यास वाला एक शंकु लगाया गया है।बेलन का अर्द्धव्यास 2 \frac{1}{2} मी तथा उसकी ऊँचाई 21 मी है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 8 मी है।राॅकेट का सम्पूर्ण पृष्ठ है ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(a) 330 \text{मी}^2 (b) 412.5 \text{मी}^2 (c) 432.5 \text{मी}^2 (d) 445 \text{मी}^2
Solution:बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल+शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल
=2 \pi r h+\pi r^2+\pi r l \\ =\pi\left(2 \times \frac{5}{2} \times 21+\frac{5}{2} \times \frac{5}{2}+\frac{5}{2} \times 8\right) \\ =\frac{22}{7}\left(105+\frac{25}{4}+20\right) \\ =\frac{22}{7} \times \frac{(420+25+80)}{4} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{525}{4}=412.5
विकल्प (b) सही है।
Illustration:21.साइज 30 मी ×20 मी वाले किसी आयताकार क्षेत्र के एक कोने पर एक साथ एक 14 मी लम्बी रस्सी से बाँधी गई है।उस क्षेत्र,जिसमें वह घास चर सकती है,का क्षेत्रफल होगा ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(a) 300 वर्ग मी (b) 196 वर्ग मी (c) 154 वर्ग मी (d) 22 वर्ग मी
Solution:त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल=\frac{\pi r^2 \theta}{360^{\circ}} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{14 \times 14 \times 90^{\circ}}{360^{\circ}}=154
विकल्प (c) सही है।
Illustration:22.एक धनी आदमी अपनी जमीन अपने 5 लड़कों में बराबर बाँटता है।बाद में दहेज माँगने के अपराध के दण्ड के लिए वह सबसे छोटे बेटे का हिस्सा वापस लेकर उसे दूसरे बेटों में बराबर बाँट देता है।अब,बड़े बेटे के पास 93.75 वर्ग मी भूमि है।उस धनी आदमी के पास मूलतः कितनी भूमि थी?
(a) 375 वर्ग मी (b) 150 वर्ग मी (c) 425 वर्ग मी (d) 937.5 वर्ग मी
Solution:कुल भूमि 93.75×4=375 वर्ग मी
विकल्प (a) सही है।
Illustration:23.एक आयताकार पार्क की लम्बाई और चौड़ाई को 20% बढ़ा दिया जाए,तो उसके क्षेत्रफल में वृद्धि होगी:
(a) 40 % (b) 20 % (c) 44 % (d) 36 %
Solution:माना आयताकार पार्क की लम्बाई=x तथा चौड़ाई=y
क्षेत्रफल=xy
वृद्धि के बाद लम्बाई=x \times \frac{120}{100}=\frac{6 x}{5}
वृद्धि के बाद चौड़ाई=y \times \frac{120}{100}=\frac{6 y}{5}
अब क्षेत्रफल=\frac{6 x}{5} \times \frac{6 y}{5}=\frac{36 x y}{25}
क्षेत्रफल में वृद्धि=\frac{36 x y}{25}-x y=\frac{11 x y}{25}
प्रतिशत वृद्धि=\frac{11 x y}{25} \times \frac{1}{x y} \times 100=44 \%
विकल्प (c) सही है।
Illustration:24.एक धातु की चादर से बनाए गए दो खोखले गोलों के व्यास क्रमशः 21 सेमी तथा 17.5 सेमी है।गोलों को बनाने में लगी धातु की चादरों के क्षेत्रफलों का अनुपात हैः
(a) 6: 5 (b) 36: 25 (c) 3: 2 (d) 18: 25
Solution:गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात
=4 \pi r_1^2 \cdot 4 \pi r_2^2 \\ =r_1^2: r_2^2 \\ =\left(\frac{21}{2}\right)^2:\left(\frac{17.5}{2}\right)^2 \\ =441: 306.25=441: 30625 \\ =36: 25
विकल्प (b) सही है।
Illustration:25.किसी समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है।उसके एक विकर्ण की लम्बाई 10 सेमी है।दूसरे विकर्ण की लम्बाई होगी
(a) 25 सेमी (b) 30 सेमी (c) 35 सेमी (d) 40 सेमी
Solution:दूसरा विकर्ण=\frac{ \text{2×क्षेत्रफल}}{ \text{विकर्ण} } \\ =\frac{2 \times 150}{10}=30
विकल्प (b) सही है।
Illustration:26.एक वृत्त का क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी है।इसकी परिधि क्या है?
(A) 6.20 वर्ग सेमी (b) 11 सेमी (c) 22 सेमी (d) 121 सेमी
Solution:वृत्त का क्षेत्रफल
\pi r^2=38.5 \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times r^2=38.5 \\ \Rightarrow r=\frac{38.5 \times 7}{22}=12.25 \\ \Rightarrow r=\sqrt{12.25}=3.5
परिधि =2 \pi r=2 \times \frac{22}{7} \times 3.5=22
विकल्प (c) सही है।
Illustration:27.एक आयताकार कागज की लम्बाई 10 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी है।इसके चारों कोने में से 2 सेमी भुजा वाले 4 वर्ग काट लिए गए हैं।अब,इस कागज को मोड़कर एक चौकोर ट्रे बनाई जाती है,जिसकी गहराई 2 सेमी है।इस ट्रे का आयतन होगाः
(a)96 \text { सेमी }^3 (b) 160 \text { सेमी }^3 (c)48 \text { सेमी }^3 (d)172 \text { सेमी }^3
Solution:चौकोर ट्रे का आयतन=(10-4)×(8-4)×2
=6×4×2=48
विकल्प (c) सही है।
Illustration:28.एक शंक्वाकार टंकी की ऊँचाई 60 सेमी है और उसके आधार का व्यास 64 सेमी है।₹ 35 प्रति वर्ग मी की दर से उसे बाहर से पेन्ट कराने का व्यय क्या होगा?
(a) ₹ 52 लगभग (b) ₹ 39.20 लगभग (c) ₹ 35.20 लगभग (d) ₹ 23.94 लगभग
Solution:तिर्यक ऊँचाई=\sqrt{(60)^2+(32)^2} \\ =\sqrt{3600+1024} \\ l=\sqrt{4624}=68
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi rl
पेन्ट कराने का व्यय=\pi r l \times 35 \\ =\frac{22}{7} \times \frac{32}{100} \times \frac{68}{100} \times 35=23.936 \\ \approx 23.94
विकल्प (d) सही है।
Illustration:29.तीन वृत्तों,जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 3.5 सेमी है,को इस प्रकार रखा जाता है कि प्रत्येक,वृत्त अन्य दोनों वृत्तों को स्पर्श करता है।इन वृत्तों द्वारा परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल है
(a) 1.975 वर्ग सेमी (b) 1.967 वर्ग सेमी (c) 19.67 वर्ग सेमी (d) 21.21 वर्ग सेमी
Solution:समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 7^2=\frac{49 \sqrt{3}}{4}
तीन त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल=3 \times \frac{\pi r^2 \theta}{360} \\ =\frac{22}{7} \times \frac{3.5 \times 3.5 \times 60}{120}=19.25
तीनों वृत्तों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल=\frac{49 \sqrt{3}}{4}-19.25 \\ \approx21.217-19.25 \\ \approx 1.967
विकल्प (b) सही है।
Illustration:30.दो समरूप \triangle ABC तथा \triangle PQR का परिमाप क्रमशः 36 सेमी तथा 24 सेमी है।यदि PQ=10 सेमी हो,तब AB की माप होगी
(a) 6 \frac{2}{3} सेमी (b) \frac{10 \sqrt{6}}{3} सेमी (c) 15 सेमी (d) 66 \frac{2}{3} सेमी
Solution: \triangle ABC \sim \triangle PQR \\ \Rightarrow \frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P R}=\frac{A B+B C+A C}{P Q+Q R+P R} \\ \Rightarrow \frac{A B}{P Q}=\frac{A B+B C+A C}{P Q+Q R+P R} \\ \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \\ \Rightarrow A B=\frac{36 \times 10}{24}=15
विकल्प (c) सही है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल (Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
3.क्षेत्रफल एवं आयतन की शाॅर्ट ट्रिक्स (Short Tricks of Area and Volume):
(1.)a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अन्तःवृत्त की त्रिज्या \frac{a}{2 \sqrt{3}} तथा क्षेत्रफल \frac{\pi a^2}{12} होता है।
(2.)a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या \frac{a}{\sqrt{3}} तथा क्षेत्रफल \frac{\pi a^2}{3} होता है।
(3.)a भुजा वाले वर्ग के अन्तर्गत खींचे जाने वाले अधिकतम त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल \frac{\pi a^2}{4} होता है।
(4.)एक आयत की लम्बाई व चौड़ाई क्रमशः l व b है,तब इसके अन्तर्गत खींचे जाने वाले अधिकतम त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल \frac{\pi b^2}{4} होता है।
(5.)यदि दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात A_1 : A_2 है,तो उनके परिमापों का अनुपात \sqrt{A_1} : \sqrt{A_2} होता है।
(6.)यदि किसी आयत की लम्बाई x% बढ़ा या घटा दी जाए,तो चौड़ाई में x\left(\frac{10}{100 \pm x}\right) \% की वृद्धि (या कमी) करने पर आयत के क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
(7.)एक आयत की लम्बाई व चौड़ाई में क्रमशः r_1 \% व r_2 \% की वृद्धि (या कमी) की जाती है,तो क्षेत्रफल में \left( \pm r_1 \pm r_2+\frac{r_1 r_2}{100}\right) \% का परिवर्तन होगा।धनात्मक आने पर वृद्धि तथा ऋणात्मक आने पर कमी होती है।
(8.)यदि किसी आकृति की एक भुजा को m गुना तथा दूसरी भुजा को n गुना कर दिया जाए,तो क्षेत्रफल में (mn-1) ×100% की वृद्धि होती है।
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4.आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल (Frequently Asked Questions Related to Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र (Formula for Area of Rhombus):
उत्तर:क्षेत्रफल=\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
d_1 , d_2 विकर्णों की लम्बाई है।
प्रश्न:2.वृत्ताकार वलय के क्षेत्रफल का सूत्र (Formula for the Area of Circular Ring):
उत्तर: \pi\left(r_1^2-r_2^2\right) परिधियों में अन्तर=2 \pi\left(r_1-r_2\right)
प्रश्न:3.त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल का सूत्र (Formula for the Area of sector of Circle):
उत्तर: वर्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल =\frac{\pi r^2 \theta}{360}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल (Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude
आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल
(Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude)
Area of Plane Figure in Quantitative Aptitude
आंकिक अभियोग्यता में समतलीय आकृतियों के क्षेत्रफल (Area of Plane Figure in Quantitative
Aptitude) के इस आर्टिकल में वृत्त,त्रिभुज,आयत,वर्ग,चतुर्भुजों का क्षेत्रफल एवं परिधि ज्ञात करने के
लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
