1.विविक्त गणित में समूह (Group in Discrete Mathematics),समूह (Groups):

Group in Discrete Mathematics

विविक्त गणित में समूह (Group in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में विभिन्न समुच्चय समूह हैं या नहीं ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Groups in Discrete Mathematics

2.विविक्त गणित में समूह के उदाहरण (Group in Discrete Mathematics Illustrations):

Illustration:7.समुच्चय G={1,2,3,…….,(p-1)} जहाँ p अभाज्य है,समशेष माड् p के सापेक्ष (p-1) कोटि का आबेली ग्रुप है।
(The set G={1,2,3,……..,(p-1)},p being prime is an abelian group of order p-1 with respect to multiplication modulo p.)
Solution:माना G={1,2,3,……,p-1} जहाँ p अभाज्य है।
एक अशून्य पूर्णांक p अभाज्य पूर्णांक कहलाता है यदि यह न 1 है और न -1 है और यदि इसका भाजक केवल 1,-1,p,-p है।प्रथम दस धनात्मक अभाज्य हैं:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.
माना a और b,G के अवयव हैं।तब 1 \leq a \leq p-1, 1 \leq b \leq p-1
अब परिभाषा से a \times_{p} b=r ,जहाँ r न्यूनतम धनात्मक अवशेष है जब साधारण गुणनफल ab को p से विभाजित किया जाता है।चूँकि p अभाज्य है,इसलिए ab,p से पूर्णतः विभाजित नहीं है।इसलिए r,शून्य नहीं हो सकता है और यह 1 \leq r \leq p-1 हो सकता है।इस प्रकार a \times_{p} b \in G \forall a, b \in G ।अतः संवृत गुणधर्म सन्तुष्ट होता है।
साहचर्यता (Associativity):माना a, b, c \in G तब a \times_{p} (b \times_{p} c)=a \times_{p} (b c)[\because b \times_{p} c \equiv b c(\mod p)]
=न्यूनतम धनात्मक अवशेष जब a(bc),p से विभाजित है।
=न्यूनतम धनात्मक अवशेष जब (ab)c,p से विभाजित है।
=(a b) \times_p c \\ =\left(a \times_p b\right) \times_p c \quad \left[\because a b \equiv a \times_p b(\mod p)\right] \\ \therefore \times_{p} सहचारी है।
वाम तत्समक का अस्तित्व (Existence of Left Identity):
1 \in G ; यदि a,G का कोई अवयव है तब
1 \times_{p} a=a
अतः1 वाम तत्समक है।
वाम प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Left Inverse):
माना s \in G तब 1 \leq s \leq p-1 निम्न p-1 गुणनफल पर विचार करोः
1 \times_{p} s, 2 \times_{p} s, 3 \times_{p} s, \ldots,(p-1) \times_{p} s
ये सभी G के अवयव हैं।इनमें से कोई भी दो समान नहीं है जैसा कि नीचे दिखाया गया हैः
माना i तथा j दो असमान पूर्णांक इस प्रकार हैं कि
1 \leq i \leq p-1,1 \leq j \leq p-1 तथा i > j
तब i \times_{p} s=j \times_{p} s
is और js समान न्यूनतम धनात्मक अवशेष छोड़ते है जबकि p से विभाजित किया जाता है
is-js,p से विभाजित है \Rightarrow (I-j)s ,p से विभाजित है।
जबकि 1 \leq (i-j) < p-1 ; 1 \leq s \leq p-1 और p अभाज्य है इसलिए (i-j)s,p से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
\therefore \quad i \times_{p} s \neq j \times_{p} s
इस प्रकार 1 \times_{p} , 2 \times_{p} s, \ldots (p-1) \times_{p} s , p-1 भिन्न-भिन्न G के अवयव हैं।अतः इनमें से एक अवयव 1 होना चाहिए।
माना s^{\prime} \times_{p} s =1 ,अतः s’,s का वाम प्रतिलोम है।
अन्त में '\times_{p}' क्रमविनिमेय है,जब
a \times_{p} b =न्यूनतम धनात्मक अवशेष जबकि ab,p से विभाजित किया जाता है।
=न्यूनतम धनात्मक अवशेष जब ba,p से विभाजित किया जाता है।
=b \times_{p} a
अतः (G, \times_{p}) एक परिमित क्रमविनिमेय ग्रुप है p-1 कोटि के लिए।
Illustration:8.सिद्ध कीजिए कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय,संक्रिया ‘*’ के लिए एक क्रमविनिमेय ग्रुप है,जहाँ * निम्न प्रकार परिभाषित है:
(Show that the set of the positive rational numbers forms an abelian group for the operation * defined as):
a * b=\frac{a b}{2}, \forall a, b \in Q^{+}
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):
माना a, b \in Q^{+} \Rightarrow a * b=\frac{a b}{2} \\ \Rightarrow \frac{a b}{2} \in Q^{+} \forall a \neq 0, b \neq 0
अर्थात् धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय इस संक्रिया के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):
माना a, b, c \in Q^{+} तब
(a * b) * c =\left(\frac{a b}{2}\right) * c=\frac{\left(\frac{a b}{2}\right) c}{2} \\ =a *\left(\frac{b c}{2}\right) \\ \Rightarrow (a * b) * c =a *(b * c)
Q^{+} इस संक्रिया के लिए सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
माना कि e तत्समक है अतः प्रत्येक a \in Q^{+} के लिए
a * e=a \Rightarrow \frac{a e}{2}=a \Rightarrow e=2
2 \in Q ^{+} ,संक्रिया * के सापेक्ष तत्समक अवयव है क्योंकि a \in Q ^{+} प्रत्येक के लिए
a * 2=\frac{2 a}{2}=a \\ 2 * a=\frac{2 a}{2}=a
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना कि b \in Q ^{+} ,अवयव a \in Q ^{+} का प्रतिलोम अवयव है:
\therefore a * b=e \Rightarrow \frac{a b}{2}=2[\because e=2] \\ \Rightarrow \quad b=\frac{4}{a} \\ \because a \in Q^{+} तथा a \neq 0 \\ \\ \therefore \frac{4}{a} \in Q^{+} तथा \frac{4}{a} \neq 0
पुनः अवयव \frac{4}{a} अवयव a \in Q ^{+} का प्रतिलोम है क्योंकि
a * \frac{4}{a}=\frac{4 a}{2 a}=2 तथा \frac{4}{a} * a=\frac{4 a}{2 a}=2
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
a * b =\frac{a b}{2} \\ =\frac{b a}{2} [ \because * में क्रमविनिमेय है]
\Rightarrow a * b =b * a
अतः *, Q^{+} में क्रमविनिमेय है।
फलतः (Q^{+}, *) एक क्रमविनिमेय ग्रुप है।
Illustration:9.यदि -1 के अतिरिक्त सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय S हो,तो सिद्ध कीजिए कि (S,o) एक ग्रुप है जहाँ o निम्न प्रकार परिभाषित संक्रिया है:
(If S is the set of real numbers other than -1 then show that (S,o) is a group where o is operation defined as)
a \circ b=a+b+a b, \forall a, b \in S
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):
माना , b \in S तथा -1 \notin S \\ \Rightarrow a \circ b=a+b+a b
संक्रिया की परिभाषा से aob एक वास्तविक संख्या है।अब यदि सम्भव हो तो
\Rightarrow a \circ b=a+b+a b=-1 \\ \Rightarrow a+a b+b+1=0 \Rightarrow a(1+b)+1(b+1)=0 \\ \Rightarrow(a+1)(b+1)=0 \Rightarrow a=-1, b=-1
परन्तु a, b \in S अतः यह सम्भव नहीं है।अतः a \circ b \neq -1 \Rightarrow a \circ b \in S अर्थात् समुच्चय S इस संक्रिया के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):
माना कि a, b, c \in S ,तब
(a \circ b) \circ c =(a+b+a b) \circ c \\ =a+b+a b+c+(a+b+a b) c \\ =a+b+a b+c+a c+b c+a b c \\ =a+(b+c+b c)+a(b+c+b c) \\ =a \circ (b+c+b c) \\ \Rightarrow (a \circ b) \circ c =a \circ(b \circ c)
अतः o,S में सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
माना कि e तत्समक अवयव है अतः प्रत्येक a \in S के लिए
a \circ e=a \Rightarrow a+e+a e=a \\ \Rightarrow e(1+a)=0 \Rightarrow e=0[ \because a \neq-1]
अतः अवयव o \in S संक्रिया o के सापेक्ष तत्समक अवयव है क्योंकि प्रत्येक a \in S के लिए
a.0=a+0+a.0=a तथा 0.a=0+a+0.a=a
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना कि b \in S ,अवयव a \in S का प्रतिलोम अवयव है
\therefore a \circ b=e \\ \Rightarrow a+b+a b=0 \quad[\because e=0] \\ \Rightarrow b(1+a)=-a \Rightarrow b=\frac{-a}{1+a}
\because a \in S अतः a \in R तथा a \neq-1 \\ \therefore \frac{-a}{1+a} \in R तथा -\frac{a}{1+a} \neq-1 \\ \therefore -\frac{a}{1+a} \in S
पुनः अवयव -\frac{a}{1+a} ,अवयव a \in S का प्रतिलोम है क्योंकि
a \circ \left(-\frac{a}{1+a}\right)=a-\frac{a}{1+a}-\frac{a^2}{1+a}=\frac{a+a^2-a-a^2}{1+a}=0
तथा \left(-\frac{a}{1+a} \cdot\right) \circ a=\frac{-a}{1+a}+a-\frac{a}{1+a} \cdot a=\frac{-a+a+a^2-a^2}{1+a}=0
अतः प्रत्येक a \in S के लिए a^{-1}=\frac{-a}{1+a} ,S में विद्यमान है।
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
माना कि a, b \in S तब
a \circ b =a+b+a b \\ =b+a+b a [ \because + तथा ×,R में क्रमविनिमेय है]
\Rightarrow a \circ b =b \circ a
अतः o,S में क्रमविनिमेय है।
फलतः (S,o) एक क्रमविनिमेय ग्रुप है।

Group in Discrete Mathematics

Illustration:10.सिद्ध कीजिए कि A=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]: a \in R\right\} मैट्रिक्स गुणन के लिए एक क्रमविनिमेय ग्रुप है।
(Show that A=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]: a \in R\right\} is a commutative group under matrix multiplication.)
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):
माना कि A=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{ll} b & 0 \\0 & b \end{array}\right] a,b \in R समुच्चय G के दो अवयव हैं।अतः
A B =\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} b & 0 \\ 0 & b \end{array}\right] \\ \Rightarrow A B=\left[\begin{array}{ll} a b & 0 \\ 0 & a b \end{array}\right], a b \in R
\therefore A B \in G, अतः G मैट्रिक्स गुणन के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):
मैट्रिक्स गुणन सहचारी होता है अतः यह G में सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
I_2=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \in G तथा यह समुच्चय G में मैट्रिक्स के सापेक्ष तत्समक अवयव है क्योंकि
\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right] तथा \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना कि A=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right] \in G जहाँ a \in R
|A|=a^2, \operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]^{\top} =\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A=\frac{1}{a^2}\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right] \in G
और A A^{-1}=I=A^{-1} A
अतः A^{-1} ,मैट्रिक्स A का मैट्रिक्स गुणन के सापेक्ष,G में तत्समक अवयव है।
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
माना कि A=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{ll} b & 0 \\ 0 & b \end{array}\right]
समुच्चय G के दो अवयव हैं तो
A B=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} b & 0 \\ 0 & b \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} a b & 0 \\ 0 & a b \end{array}\right] \\ B A=\left[\begin{array}{ll} b & 0 \\ 0 & b \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} a b & 0 \\ 0 & a b \end{array}\right] \\ \Rightarrow BA=AB
संक्रिया ×,R में क्रमविनिमेय है।
अतः G मैट्रिक्स गुणन के लिए क्रमविनिमेय ग्रुप है।
Illustration:11.सिद्ध कीजिए कि समुच्चय G=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in Q\} परिमेय संख्याओं के योग संक्रिया के लिए एक ग्रुप है।
(Prove that the set G=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in Q\} is a group with respect to addition operation.)
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):
माना x=a+\sqrt{2} b   तथा  y=c+\sqrt{2} d तथा a, b, c, d \in Q \\ x+y=(a+b \sqrt{2})+(c+\sqrt{2} d) \\ \Rightarrow x+y=(a+c)+\sqrt{2}(b+d) \in G \\ a+c, b+d \in Q
अतः G परिमेय संख्याओं के योग संक्रिया के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):
माना x=a+\sqrt{2} b, y=c+\sqrt{2} d, z=e+\sqrt{2} f तथा a, b, c, d, e, f \in Q \\ (x+y) +z=(a+b \sqrt{2}+c+\sqrt{2} d)+(e+\sqrt{2} f) \\ =[a+c+\sqrt{2}(b+d)]+(e+\sqrt{2} f) \\ =a+c+\sqrt{2}(b+d)+e+\sqrt{2} f \\ =a+c+e+\sqrt{2}(b+d+f) \\ =a+(c+e)+\sqrt{2}[b+( d+f)] \\ =(a+\sqrt{2} b)+[(c+e)+\sqrt{2}(d+f)] \\ =(a+\sqrt{2} b)+[c+\sqrt{2} d+e+\sqrt{2} f] \\ =x+(y+z)
अतः G,परिमेय संख्याओं के योग संक्रिया के लिए सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
माना x=a+\sqrt{2} b तथा y=c+\sqrt{2} d \\ x+y=x \Rightarrow a+\sqrt{2} b+c+\sqrt{2} d=a+\sqrt{2} b \\ \Rightarrow c+\sqrt{2} d=0 \Rightarrow c+\sqrt{2} d=0+0 \sqrt{2} \\ y=c+\sqrt{2} d=0+0 \sqrt{2} \in G
अतः G में परिमेय संख्या के योग संक्रिया के लिए तत्समक अवयव का अस्तित्व है।
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना x=a+\sqrt{2} b का प्रतिलोम y=c+\sqrt{2} d है जहाँ a, b, c, d \in Q \\ x+y=0+0 \sqrt{2} \\ \Rightarrow a+\sqrt{2} b+c+\sqrt{2} d=0+0 \sqrt{2} \\ \Rightarrow c+\sqrt{2} d=-a-\sqrt{2} b \in G
तथा -a,-b \in Q
अतः G में परिमेय संख्याओं के योग संक्रिया के लिए प्रतिलोम का अस्तित्व है।
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
माना x=a+b \sqrt{2}, y=c+\sqrt{2} d \in G तथा a, b ,c, d \in Q \\ x+y =(a+b \sqrt{2})+(c+\sqrt{2} d) \\ =a+c+\sqrt{2}(b+d) \\ =c+a+(d+b) \sqrt{2} [परिमेय संख्याएँ योग संक्रिया के लिए क्रमविनिमेय होती है]
=y+x
x+y=y+x
G परिमेय संख्याओं के योग संक्रिया के लिए आबेली ग्रुप है।
Illustration:12.सिद्ध कीजिए कि समुच्चय G=\{\cos \theta+i \sin \theta \mid \theta \in Q\} ,सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के लिए ग्रुप है।
(Show that the set G=\{\cos \theta+i \sin \theta \mid \theta \in Q\} ,is a group with respect to multiplication of complex numbers.)
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):
माना x=\cos \theta_1+i \sin \theta_1, y=\cos \theta_2+i \sin \theta_2 \in G तथा \theta_1, \theta_2, \theta_3 , \theta_4 \in C \\ x \cdot y=\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right)\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2 \right) \\ \Rightarrow x \cdot y=\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+ \theta_2 \right) \in G तथा \theta_1+\theta_2 \in C
अतः G,सम्मिश्र संख्याओं के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):
माना x=\cos \theta_1+i \sin \theta_1 , y=\cos \theta_2+i \sin \theta_2, z=\cos \theta_3+i \sin \theta_3 \\ (x \cdot y) \cdot z=\left[\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \cdot\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right)\right] \cdot \left(\cos \theta_3+i \sin \theta_3\right) \\ =\left[ \cos \left(\theta_1+\theta_2 \right) +i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right] \cdot\left(\cos \theta_3+i \sin \theta_3\right) \\ =\cos \left(\theta_1+\theta_2+\theta_3\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2+\theta_3\right) \\ =\cos \left[ \theta_1 + \left(\theta_2+\theta_3\right)\right]+i \sin \left[\theta_1+\left(\theta_2+\theta_3 \right) \right] \\ =\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right)\left[\cos \left(\theta_2+\theta_3\right)+i \sin \left(\theta_2+ \theta_3\right)\right] \\ =\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \cdot\left[\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2 \right) \cdot\left(\cos \theta_3+i \sin \theta_3\right)\right] \\ =x \cdot (y \cdot z) \\ \Rightarrow (x \cdot y) \cdot z =x \cdot (y \cdot z)
अतः G,सम्मिश्र संख्याओं के लिए सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
अवयव 1+0 \cdot i \in G गुणन संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है क्योंकि
(\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \cdot(\cos 0+i \sin 0) \\ =(\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \\ =(\cos 0+i \sin 0) \cdot(\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \forall \cos \theta_1+i \sin \theta_1 \in G
अतः G में तत्समक अवयव विद्यमान है।
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
प्रत्येक x=\cos \theta_1+i \sin \theta_1 \in G के लिए -x=-\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \in G ऐसा होता है कि
x \cdot (-x)=\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \cdot \cos (-\theta_1)+i \sin (-\theta) \\ =\cos \left(\theta_1-\theta_1\right)+i \sin \left(\theta_1-\theta_1\right)=\cos 0+i \sin 0
अतः G में प्रत्येक अवयव x=\cos \theta_1+i \sin \theta_1 का प्रतिलोम -x=\cos (-\theta_1)+i \sin (-\theta_1) है।
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
माना x=\cos \theta_1+i \sin \theta_1, y=\cos \theta_2+i \sin \theta_2 \in G \\ x \cdot y=\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \cdot\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right) \\ =\cos \left(\theta_1+ \theta_2 \right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right) \\ x \cdot y=\cos \left(\theta_2+\theta_1\right)+i \sin \left(\theta_2+\theta_1\right) \\ \Rightarrow x\cdot y=\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right)\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right) \in G \\ \Rightarrow x \cdot y=y \cdot x
अतः सम्मिश्र संख्याओं का गुणन G में क्रमविनिमेय है।
फलतः G,सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के लिए आबेली ग्रुप है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में समूह (Group in Discrete Mathematics),समूह (Groups) को समझ सकते हैं।

Group in Discrete Mathematics

Also Read This Article:- Discrete Probability

3.विविक्त गणित में समूह (Frequently Asked Questions Related to Group in Discrete Mathematics),समूह (Groups) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त गणित में समूह (Group in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में विभिन्न
समुच्चय समूह हैं या नहीं ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।