1.कक्षा 10 में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10 (Arithmetic Progression Class 10):

Arithmetic Progression Class 10th

कक्षा 10 में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression Class 10th) के इस आर्टिकल में समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद तथा पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 10 में समान्तर श्रेढ़ी के साधित उदाहरण (Arithmetic Progression Class 10th Solved Examples):

Example:1.दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वअन्तर समान है।उनमें से एक का पहला पद 8 है और दूसरे का 3 है।उनके 30वें पदों के बीच का अन्तर है:
(a) 11 (b) 3 (c) 8 (d) 5
Solution: a_{30}=8+(30-1) d \\ \Rightarrow a_{30}=8+29 d \cdots(1) \\ A_{30}=3+(30-1) d \\ A_{30}=3+29 d \cdots(2)
(1) में से (2) घटाने परः
a_{30}-A_{30}=5
विकल्प (d) सही है।
Example:2.यदि 18,a,b,-3 समान्तर श्रेढ़ी में है तो a+b=
(a) 19 (b) 7 (c) 11 (d) 15
Solution:a-18=-3-b
\Rightarrow a+b=18-3=15
विकल्प (d) सही है।
Example:3.यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का 7 वाँ तथा 13 वाँ पद क्रमशः 34 तथा 64 है,तो इसका 18 वाँ पद है:
(a) 89 (b) 88 (c) 87 (d) 90
Solution: a_7=a+(7-1)d= 34 \\ \Rightarrow a_7=a+6 d=34 \cdots(1) \\ a_{13}=a+(13-1) d=64 \\ a_{13}=a+12 d=64 \ldots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
(a+12 d)-(a+6 d)=64-34 \\ \Rightarrow 6 d=30 \\ \Rightarrow d=\frac{30}{6}=5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:
a+6 \times 5=34 \\ \Rightarrow a+30=34 \\ \Rightarrow a=34-30=4 \\ a_{18}=a+17 d=4+17 \times 5=89
विकल्प (a) सही है।
Example:4.यदि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 2 एवं सार्व अन्तर 8 है तथा n पदों का योगफल 90 है,तो n का मान होगा:
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6
Solution: a=2, d=8, S_n=90\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ =\frac{n}{2}[2 \times 2+(n-1) \times 8]=90 \\ \Rightarrow n[4+8 n-8]=180 \\ \Rightarrow 8 n^2-4 n-180=0 \\ \Rightarrow 4\left[2 n^2-n-45\right]=0 \\ \Rightarrow 2 n^2-n-45=0 \\ \Rightarrow 2 n^2-10 n+9 n-45=0 \\ \Rightarrow 2 n(n-5)+9(n-5)=0 \\ \Rightarrow(n-5)(2 n+9)=0 \\ 2n+9=0 \Rightarrow n=-\frac{9}{2} (असम्भव है)
\Rightarrow n-5=0 \Rightarrow n=5
विकल्प (c) सही है।
Example:5.यदि S_n=3 n^2+5 n एक समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल है तो 164 इसका कौनसा पद है:
(a) 12वाँ (b) 15वाँ (c) 27वाँ (d) 20वाँ
Solution: S_n=3 n^2+5 n \\ S_1= 3 \times(1)^2+5 \times 1=8 \\ S_2=3(2)^2+5 \times 2=22 \\ a=8, a_2=S_2-S_1=22-8=14 \\ \Rightarrow d=a_2-a_1=14-8=6 \\ a_n=a+(n-1) d \\ =8+(n-1) \times 6=164 \\ =8+6 n-6=164 \\ =2+6 n=164 \\ \Rightarrow 6 n=164-2 \\ \Rightarrow 6 n=162 \\ n=\frac{162}{6}=27
विकल्प (c) सही है।
Example:6.यदि एक समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल S_n है तथा S_{3 n}=3\left(S_{2 n}-S_n\right) है तो S_{3 n}: S_n होगाः
(a)10 (b) 11 (c) 6 (d) 4
Solution:किसी भी समान्तर श्रेढ़ी के लिए
S_n, S_{2 n} एवं S_{3 n} में सम्बन्ध
S_{3 n}=3\left(S_{2 n}-S_n\right) \\ =3\left(3 S_n-S_n\right)\left[\because S_{2 n}=3 S_n\right] \\ =6 S_n \\ \Rightarrow \frac{S_{3 n}}{S_n}=6 \\ \Rightarrow S_{3 n}: S_n=6: 1
विकल्प (c) सही है।
Example:7.एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 1 तथा 11 है।यदि इसके पदों का योगफल 36 है,तो इसके पदों की संख्या होगी:
(a) 5 (b) 6 (c) 9 (d) 11
Solution: S_n =\frac{n}{2}[a+l] \\ 36 =\frac{n}{2}(1+11) \\ \Rightarrow n =\frac{36 \times 2}{12}=6
विकल्प (b) सही है।
Example:8.श्रेढ़ी -4,-1,+2,+5,……का 10वाँ पद हैः
(a) 23 (b) -23 (c) 80 (d) 50
Solution: a=-4, d=-1-(-4)=-1+4=3 \\ a_n=a+(n-1) d \\ =-4+(10-1) \times 3=-4+9 \times 30 \\ \Rightarrow a_{10}=-4+27=23
विकल्प (a) सही है।

Arithmetic Progression Class 10th

Example:9.एक स.श्रे. का 9वाँ पद 35 तथा 19वाँ पद 75 हो,तो इसका 20वाँ पद होगाः
(a) 78 (b) 79 (c) 80 (d) 81
Solution: a_9=a+8 d=35 \cdots(1)\\ \therefore a_{19}=a+18d=75 \cdots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
(a+18 d)-(a+8 d)=75+35 \\ \Rightarrow 10 d=40 \Rightarrow d=\frac{40}{10}=4
d का मान समीकरण (1) में रखने परः
a+8 \times 4=35 \Rightarrow a=35-32 \\ \Rightarrow a=3, d=4 \\ a_{20}=a+19 d=3+19 \times 4=79
विकल्प (b) सही है।
Example:10.श्रेढ़ी 1,3,5,……के n पदों का योगफल है:
(a) (n-1)^2  (b) (n+1)^2  (c) (2 n-1)^2 (d) n^2
Solution: a=1, a=3-1=2 \\ S_n =\frac{n}{2}[2a+(n-1) d] \\=\frac{n}{2}[2 \times 1+(n-1) \times 2] \\ =\frac{n}{2} \times 2(1+n-1) \Rightarrow S_n=n^2
विकल्प (d) सही है।
Example:11.यदि किसी स.श्रे. का प्रथम पद 5,अंतिम पद 45 तथा पदों का योगफल 400 हो,तो पदों की संख्या है:
(a) 8 (b)10 (c) 16 (d) 20
Solution: a=5, l=45, s_n=400 \\ S_n=\frac{n}{2}(a+l) \\ \Rightarrow 400=\frac{n}{2}(5+45) \\ \Rightarrow n=\frac{400 \times 2}{50}=16
विकल्प (c) सही है।
Example:12.यदि किसी स.श्रे. का तीसरा पद 18 तथा सातवाँ पद 30 है,तो उसके प्रथम 17 पदों का योगफल होगा:
(a)600 (b)612 (c) 624 (d) 636
Solution: a_3=a+2 d=18 \ldots(1) \\ a_7=a+6 d=30 \ldots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
(a+6 d)-(a+2 d)=30-18 \\ \Rightarrow 4 d=12 \Rightarrow d=\frac{12}{4}=3
d का मान समीकरण (1) में रखने परः
a+2 \times 3=18 \\ \Rightarrow a=18-6=12 \\ S_{17} =\frac{17}{2}[2 \times 12+(17-1) \times 3] \\ =\frac{17}{2}[24+(48] \\ =\frac{17}{2} \times 72=612 \\ \Rightarrow S_{17}=612
विकल्प (b) सही है।
Example:13.यदि (x+1),3x,(4x+2) स.श्रे. में हों,तो इस श्रेढ़ी का पाँचवा पद होगाः
(a) 14 (b) 19 (c)24 (d) 28
Solution: 3 x=\frac{x+1+4 x+2}{2} \\ \Rightarrow 3 x=\frac{5 x+3}{2} \\ \Rightarrow 6x-5x=3 \Rightarrow x=3 \\ a=x+1=3+1=4, d=3 x-(x+1)=2 x-1=2 \times 3-1=5 \\ a_5=a+(5-1) d=4+4 \times 5=24
विकल्प (c) सही है।
Example:14.a,b,c स.श्रे. में हैं।a तथा b का स. मा. x,b तथा c का स. मा. y हो,तो x तथा y का स. मा. होगाः
(a) a (b) b (c) c (d)a+c
Solution: b=\frac{a+c}{2}, x=\frac{a+b}{2}, y=\frac{b+c}{2}
x तथा y का स. मा.=\frac{x+y}{2}=\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}}{2}=\frac{b+\frac{a+c}{2}}{2} \\ =\frac{b+b}{2}=b
विकल्प (b) सही है।
Example:15.2 तथा 3 के मध्य 500 समान्तर माध्यों का योगफल हैः
(a) 1255 (b) 7205 (c) 1250 (d) 1225
Solution: a=2, b=3, n=500 \\ S_{500}=n\left(\frac{a+b}{2}\right)=500\left(\frac{2+3}{2}\right)=1250
विकल्प (c) सही है।
Example:16.किसी स.श्रे. के n पदों का योगफल S_n=3 n^2+5n है।इसका 27वाँ पद हैः
(a) 160 (b) 162 (c) 164 (d) 166
Solution: S_n=3 n^2+5n \\ S_{27} =3 \times(27)^2+5 \times 27-\left[3 \times(26)^2+5 \times 26\right] \\ =2187+135-(2028+130)=2322-2158 \\ \Rightarrow S_{27}=164
विकल्प (c) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 10 में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10 (Arithmetic Progression Class 10) को समझ सकते हैं।

Arithmetic Progression Class 10th

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3.कक्षा 10 में समान्तर श्रेढ़ी (Frequently Asked Questions Related to Arithmetic Progression Class 10th),समान्तर श्रेढ़ी कक्षा 10 (Arithmetic Progression Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 10 में समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression Class 10th) के इस आर्टिकल
में समान्तर श्रेढ़ी का nवाँ पद तथा पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को
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