1.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance):

Motion Under Repulsion Varying as Distance

दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance) के इस आर्टिकल में प्रतिकर्षण के अधीन गति होने पर वेग,दूरी तथा समय ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Motion Under Repulsion Varying as Distance):

Illustration:1.एक कण एक बल द्वारा जो बल केन्द्र से दूरी की nवीं घात अर्थात् \text{(दूरी)}^n का व्युत्क्रमानुपाती है,आकर्षित होता है।यदि अनन्त से बल केन्द्र से a दूरी तक गिरने में वह उतना ही वेग प्राप्त करे जितना वह दूरी a पर विराम अवस्था से गिरकर दूरी \frac{a}{4} आने में प्राप्त करता है,तो सिद्ध करो कि n=\frac{3}{2}.
(A particle is attracted by a force to a fixed point varying inversely as \text{(distance)}^n .If the velocity acquired by it in falling from an infinite distance to a distance ‘a’ from the centre of force be equal to the velocity that would be acquired in falling from rest at a distance ‘a’ to a distance \frac{a}{4} ,then prove that n=\frac{3}{2} .)
Solution:माना बल केन्द्र से किसी कण x दूरी पर है तो कण की गति का समीकरण होगा:
m \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{m \mu}{x^n} \\ \Rightarrow \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{\mu}{x^n}
दोनों पक्षों को 2\left(\frac{d x}{d t}\right) से गुणा करके समाकलन करने परः
\Rightarrow \int_{v_\infty}^{v_a} \frac{d^2 x}{d t^2} \cdot 2 \frac{d x}{d t}=2 \int_{\infty}^a \frac{\mu}{x^n} \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \quad\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \right]_{v_{\infty}}^{v_a} =\left[-\frac{2 \mu }{(n-1) x^{n-1}}\right]_{\infty}^a \\ \Rightarrow v_a^2-v_{\infty}^2=-\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}}+\frac{1}{\infty} \\ \Rightarrow v_a^2-v_{\infty}^2=\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}} \cdots(1)
इसी प्रकार
\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2\right]_0^v=\left[-\frac{2 \mu}{(n-1) x^{n-1}}\right]_a^{\frac{a}{4}}\\ \Rightarrow v^2=\frac{-2 \mu}{(n-1)\left(\frac{a}{4}\right)^{n-1}}+\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}} \\ \Rightarrow v^2=\frac{-2 \mu}{(n-1) a^{n-1}} \left[4^{n-1}-1\right]
प्रश्नानुसार (1) व (2) सेः
-\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}}=-\frac{2 \mu}{(n-1) a^{n-1}}\left[4^{n-1}-1\right] \\ \Rightarrow +1=4^{n-1}-1 \\ \Rightarrow 4^{n-1}=2 \\ \Rightarrow 2^{2 n-2}=2^1 \\ \Rightarrow 2 n-2=1 \\ \Rightarrow n=\frac{3}{2}
Illustration:2.एक कण एक सरल रेखा पर स्थित किसी स्थिर बिन्दु की ओर \text{ (दूरी )}^{-\frac{4}{3}} के अनुपाती किसी आकर्षी बल के अधीन सरल रेखा में चलता है।सिद्ध करो कि अनन्त पर विरामावस्था से बल केन्द्र से a दूरी पर गिरने पर प्राप्त वेग,a दूरी से \frac{a}{8} दूरी पर गिरने वाले कण द्वारा प्राप्त वेगों के बराबर होगा।
(A particle moves in a straight line under a force varying as \text{distance}^{-\frac{4}{3}} , show that the velocity in falling from rest at infinity to a distance a is equal to that acquired from rest at a distance a to a distance \frac{a}{8}.)
Solution:माना गतिमान सरल रेखा पर कण किसी समय x दूरी पर है तो
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\mu}{x^{\frac{4}{3}}}
दोनों पक्षों को \frac{2 d x}{d t} से गुणा कर समाकलन करने परः
\int_0^{V_a} \frac{d^{2}x}{d t^2} \cdot \frac{2 d x}{d t}=-\int_{\infty}^a \frac{\mu}{x^{\frac{4}{3}}} \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2\right]_0^{V_a}=\left[-\frac{2 \mu}{\left( -\frac{1}{3} \right) x^{\frac{1}{3}}}\right]_{\infty}^a \\ \Rightarrow V_a^2- 0=\left[\frac{6 \mu}{x^{\frac{1}{3}}} \right]_{\infty}^a \\ \Rightarrow V_a^2=\frac{6 \mu}{a^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{\infty} \\ \Rightarrow V_a^2=\frac{6 \mu}{a^{\frac{1}{3}}} \cdots(1) \\ \left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2\right]^{v_{\frac{a}{8}}}_{v_a}=\left[\frac{6 \mu}{x^{\frac{1}{3}}}\right]_a^{\frac{a}{8}} \\ \Rightarrow v_{\frac{a}{8}}^2-v_a^2=\frac{6 \mu}{\left(\frac{a}{8}\right)^{\frac{1}{3}}}-\frac{6 \mu}{a^{\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow v_{\frac{a}{8}}^2-v_a^2=\frac{6 \mu \times 8^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}}-\frac{6 \mu}{a^{\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow v_{\frac{a}{8}}^2-v_a^2=\frac{6 \mu}{a^{\frac{1}{3}}}(2-1) \\ \Rightarrow v_{\frac{a}{8}}^2-v_a^2=\frac{6 \mu}{a^{\frac{1}{3}}} \cdots(2)
(1) व (2) सेः
v_{\frac{a}{8}}^2-v_a^2=V_a^2
Illustration:3.एक कण एक सरल रेखा पर स्थित किसी स्थिर बिन्दु की ओर \text{(दूरी)}^{-\frac{4}{3}} के अनुपाती किसी आकर्षी बल के अधीन सरल रेखा में चलता है।बल केन्द्र से अनन्त पर विरामावस्था से \frac{h}{27} दूरी प्राप्त वेगों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
(A particle moves in a straight line under an attractive force varying as \text{(distance)}^{-\frac{4}{3}},find the ratio of the velocities falling from rest at infinity at a distance h to velocity acquired falling from rest at a distance h to a distance \frac{h}{27} from centre of force.)
Solution:माना गतिमान कण से किसी समय स्थिर बिन्दु से x दूरी पर है तो गति का समीकरण होगाः
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\mu}{(x)^{\frac{4}{3}}}
दोनों पक्षों को \frac{2 d x}{d t} से गुणा कर समाकलन करने परः
\int_0^{V_h} \frac{d^2 x}{d t^2} \cdot \frac{2 d x}{d t}=\int_{\infty}^h-\frac{\mu}{x^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{2 d x}{d t} \\ \Rightarrow {\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2 \right]_0^{V_h}=\left[-\frac{2 \mu}{-\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}}\right]_{\infty}^h } \\ \Rightarrow V_h^2-0=\left[\frac{6 \mu}{x^{\frac{1}{3}}} \right]_{\infty}^h \\ \Rightarrow V_h^2=\frac{6 \mu}{h^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{\infty} \\ \Rightarrow V_h^2=\frac{6 \mu}{h^{\frac{1}{3}}} \\ \left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^2\right]_{v_h}^{v_{\frac{h}{27}}} =\left[\frac{6 \mu}{x^{\frac{1}{3}}}\right]_h^{\frac{h}{27}} \\ \Rightarrow v_{\frac{h}{27}}^2-v_h^2 =\frac{6 \mu}{\left(\frac{h}{27}\right)^{\frac{1}{3}}}-\frac{6 \mu}{h^{\frac{1}{3}}} \\ =\frac{18 \mu}{h^{\frac{1}{3}}}-\frac{6 \mu}{h^{\frac{1}{3}}} \\ =\frac{12 \mu}{h^{\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow \sqrt{v_{\frac{h}{27}}^2-v_h^2}=\sqrt{\frac{12 \mu}{h^{\frac{1}{3}}}} \\ V_h : \sqrt{v_{\frac{h}{27}}^2-v_h^2}=\sqrt{\frac{6 \mu}{h^{\frac{1}{3}}}} : \sqrt{\frac{12 \mu}{h^{\frac{1}{3}}}} \\ \Rightarrow V_h : \sqrt{v_{\frac{h}{27}}^2-v_h^2} =1: \sqrt{2}

Motion Under Repulsion Varying as Distance

Illustration:4.एक कण सरल रेखा में गतिमान है,a दूरी पर विरामावस्था से बल केन्द्र की ओर गति प्रारम्भ करता है।यदि इसका त्वरण बल केन्द्र से x दूरी पर \frac{\mu}{x^{\frac{5}{3}}} हो,तो प्रदर्शित कीजिए कि मूल बिन्दु O पर पहुँचने में इसे \frac{2 a^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{3 \mu}} समय लगेगा।
(A particle moves in a straight line starting from rest at a distance a towards the centre of force. If its acceleration at a distance x from the centre of force be \frac{\mu}{x^{\frac{5}{3}}}, then prove that it will reach the origin after a time \frac{2 a^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{3 \mu}}.)
Solution:कण की गति का समीकरण होगा:
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\mu}{x^{\frac{5}{3}}}
दोनों पक्षों को \frac{2 d x}{d t} से गुणा कर समाकलन करने परः
\int \frac{d^2 x}{d t^2} \cdot \frac{2 d x}{d t}=\int- \frac{\mu}{x^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{2 dx}{d t} \\ \left(\frac{d x}{d t}\right)^2= -\frac{2 \mu}{\left(-\frac{2}{3}\right) x^{\frac{2}{3}}}+C ,जहाँ  C अचर है।
\Rightarrow\left(\frac{d x}{d t}\right)^2= \frac{3 \mu}{x^{\frac{2}{3}}}+C
प्रारम्भ में x=a पर \frac{d x}{d t}=0 \\ \Rightarrow 0= \frac{3 \mu}{a^{\frac{2}{3}}}+C \\ \Rightarrow C=-\frac{3 \mu}{a^{\frac{2}{3}}} \\ \left(\frac{d x}{d t}\right)^2= \frac{3 \mu}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{3 \mu}{a^{\frac{2}{3}}} \\ =3 \mu \left(-\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\\ \Rightarrow \frac{dx}{d t}=\sqrt{3 \mu} \sqrt{\left(-\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}
[ऋणात्मक क्योंकि कण की गति x के घटने की दिशा में है]
\Rightarrow-\frac{d x}{\sqrt{3 \mu} \sqrt{\left(-\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}}=d t
कण द्वारा मूल बिन्दु O तक लिया गया अभीष्ट समय T है अर्थात् x=a से x=0 तक t=0 से t=T,तो
\int_0^T d t=-\frac{1}{\sqrt{3 \mu}} \int_a^0 \frac{d x}{\sqrt{\left( \frac{-x^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}{-x^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}} \right)}} \\ \Rightarrow {[t]_0^T=-\frac{1}{\sqrt{3 \mu} } \int_a^0 \frac{a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} dx}{\sqrt{-\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2+\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2}} } \\ \Rightarrow \sqrt{3 \mu} T=-\int_a^0 \frac{a^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} d x}{\sqrt{\left(a^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{2}{3}}\right)}}
Put x=a \cos ^3 \theta \Rightarrow d x=-3 a \cos ^2 \theta \sin \theta d \theta
जब x=a तो \theta=0 ,जब x=0 तो \theta=\frac{\pi}{2} \\ \\ \Rightarrow \sqrt{3 \mu} T=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{a^{\frac{1}{3}}\left(a \cos ^3 \theta\right)^{\frac{1}{3}} 3 a \cos ^2 \theta \sin \theta d \theta}{\sqrt{\left(a^{\frac{2}{3}} -a^{\frac{2}{3}} \cos^2 \theta\right)}} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3 a^{\frac{5}{3}} \cos ^3 \theta \sin \theta d \theta}{a^{\frac{1}{3}} \sin \theta} \\ =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 a^{\frac{4}{3}} \cos ^3 \theta d \theta \\ =\frac{3 a^{\frac{4}{3}} \Gamma{\left(\frac{3+1}{2}\right)} \Gamma{\left(\frac{0+1}{2}\right)}}{2 \Gamma{\left(\frac{3+0+2}{2}\right)}} [ गामा और बीटा फलन से ]
=\frac{3}{2} a^{\frac{4}{3}} \frac{\Gamma{(2)} \Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{\Gamma{\frac{5}{2}}} \\ =\frac{\frac{3}{2} a^{\frac{4}{3}} \cdot(1) \cdot \sqrt{\pi}}{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}}=2 a^{\frac{4}{3}} \\ \Rightarrow \sqrt{3 \mu} T=2 a^{\frac{4}{3}} \\ \Rightarrow T=\frac{2 a^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{3 \mu}}
Illustration:5.एक कण एक सरल रेखा में गतिमान है।उसका त्वरण रेखा में स्थित एक स्थिर बिन्दु O की ओर इंगित है तथा जब कण की दूरी O से x है,तो उसका त्वरण \mu \left( \frac{a^5}{x^2} \right)^{\frac{1}{3}} है।यदि कण O से a दूरी पर से विरामावस्था से चलता हो तो सिद्ध कीजिए कि वह O पर a \sqrt{(6 \mu)} वेग \left(\frac{8}{15}\right) \sqrt{\left(\frac{6}{\mu}\right)} समय बाद पहुँचेगा।
(A particle moves in a straight line.Its acceleration directed towards a fixed point O in the line is equal to \mu \left( \frac{a^5}{x^2} \right)^{\frac{1}{3}} , when it is at a distance x from O.If it starts from rest at a distance a from O, show that it will arrive at O with a velocity a \sqrt{(6 \mu)} after time \left(\frac{8}{15}\right) \sqrt{\left(\frac{6}{\mu}\right)} .)
Solution:कण की गति का समीकरण होगाः
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{\mu a^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}
दोनों पक्षों को 2 \frac{d x}{d t} से गुणा करके समाकलन करने परः
\int \frac{d^2 x}{d t^2} \cdot \frac{2 d x}{d t}=-\int \frac{\mu a^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^2=-2 \mu a^{\frac{5}{3}}\left(\frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}\right)+c , जहाँ  C अचर है।
\Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^2=-6 \mu a^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}}+C
x=0 से x=a, \frac{d x}{d t}=0 \\ \Rightarrow 0 =-6 \mu a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{1}{3}}+C \\ \Rightarrow C=6 \mu a^2 \\ \left(\frac{d x}{d t}\right)^2 =-6 \mu a^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}}+6 \mu a^2 \\ =6 \mu a^{\frac{5}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} =\sqrt{6 \mu} a^{\frac{5}{6}} \sqrt{\left(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}\right)}
O पर x=0 तब वेग V=a \sqrt{6 \mu}
[ऋणात्मक क्योंकि कण की गति x के घटने की दिशा में है
\frac{d x}{d t}=-\sqrt{6 \mu } a^{\frac{5}{6}} \sqrt{\left(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ \Rightarrow \frac{-d x}{\sqrt{6 \mu} a^{\frac{5}{6}} \sqrt{\left(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}\right)}}=d t
यदि a दूरी से O पर लिया गया समय T अर्थात् x=a से x=0 तक समय t=T,तो
\int_0^T d t=-\frac{1}{\sqrt{6 \mu} a^{\frac{5}{6}}} \int_a^0 \frac{d x}{ \sqrt{\left(a^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}\right)}}
put x=a \cos ^6 \theta \Rightarrow d x=6 a\left(-\cos ^5 \theta\right) \sin \theta d \theta
जब x=a तो \theta=0 ,जब x=0 तो \theta=\frac{\pi}{2} \\ {[t]_0^T }=\frac{1}{\sqrt{6 \mu} a^{\frac{5}{6}}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{6 a \cos^5 \theta \sin \theta d \theta}{\sqrt{a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{3}} \cos ^2 \theta}} \\ =\frac{1}{\sqrt{6 \mu} a^{\frac{5}{6}}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{6 a \cos ^5 \theta \sin \theta d \theta}{a^{\frac{1}{3}} \sin \theta} \\ =\frac{6}{\sqrt{6 \mu} a^{\frac{1}{6}}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^5 \theta d \theta \\ =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\mu} a^{\frac{1}{6}}} \frac{\Gamma{ \left(\frac{5+1}{2}\right)} \cdot \Gamma{\left(\frac{0+1}{2}\right)}}{2 \Gamma{\left(\frac{5 +0+2}{2}\right)}} \\ =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\mu} a^{\frac{1}{6}}} \frac{\Gamma{(3)} \Gamma{\left(\frac{1}{2}\right)}}{\Gamma{\left(\frac{7}{2}\right)}} \\ =\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{\mu} a^{\frac{1}{6}}} \frac{2 \cdot 1 \cdot \Gamma{\pi}}{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma{\pi}}=\frac{8 \sqrt{2}}{5 \sqrt{3} \sqrt{\mu}} \\=\frac{8}{5 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{\mu}} \\ =\frac{8}{15} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{\mu}} \\ \Rightarrow T=\left(\frac{8}{15}\right) \sqrt{\left(\frac{6}{\mu}\right)}
Illustration:6.m संहति के कण पर,जो एक सरल रेखा में चल रहा है,जब x<a तो एक आकर्षी बल \left(\frac{m \mu x}{a}\right) कार्य करता है और जब x>a तो बल \left(\frac{m \mu a^2}{x^2}\right) कार्य करता जहाँ दोनों अवस्थाओं में x सरल रेखा में किसी स्थिर मूल बिन्दु से 2a दूरी से विरामावस्था से रवाना हो,तो सिद्ध करो कि वह मूल बिन्दु पर \sqrt{(2 \mu a)} वेग से \sqrt{\left(\frac{a}{\mu}\right)} \left(\frac{3 \pi}{4}+1\right) समय में पहुँचेगा।
(A particle of mass m moving in a straight line is acted upon by an attractive force which is expressed by \left(\frac{m \mu x}{a}\right) for x< a and by \left(\frac{m \mu a^2}{x^2}\right) for x >a from a fixed origin in the line.If the particles starts from rest at a distance 2a from the origin, prove that it will reach the origin with velocity \sqrt{(2 \mu a)} and the time taken is \sqrt{\left(\frac{a}{\mu}\right)} \left(\frac{3 \pi}{4}+1\right).)
Solution:जब तो कण की गति का समीकरण होगाः
m \frac{d^2 x}{d t^2}=-m \mu \cdot \frac{ a^2}{x^2} \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=-\mu \frac{a^2}{x^2} \\ \therefore \int v d v=-\mu \int \frac{a^2}{x^2} d x \\ \Rightarrow \therefore \frac{v^2}{2}=\mu \frac{a^2}{x}+k \\ \Rightarrow v^2=2 \mu \frac{a^2}{x}+C
जब x=2a तब v=0 \therefore C=-\mu a \\ \Rightarrow v^2=\mu a\left(\frac{2 a}{x}-1\right) \cdots(1)
जब x=a तो v=V_1 \\ V_1^2=\mu a \cdots(2)
(1) सेः v=\frac{d v}{d t}=-\sqrt{(\mu a)} \sqrt{\left(\frac{2 a-x}{x}\right)} \\ \therefore \int_0^{t_1} \sqrt{(\mu a)}dt=-\int_{2 a}^a \sqrt{\left(\frac{x}{2 a-x}\right)} dx
Put x=2 a \sin ^2 \theta \Rightarrow d x=4 a \cdot \sin \theta \cos \theta d \theta
जब x=2a तब \sin ^2 \theta=1 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}
जब x=a तब \sin ^2 \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \\ \therefore \sqrt{(\mu a)} t_1=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot 4 a \sin \theta \cos \theta d \theta \\ =2 a \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin ^2 \theta d \theta \\=2 a \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos 2 \theta) d \theta \\ =2 a\left[\theta-\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ =2 a\left[\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{1}{2}(0-1)\right]=2 a\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right) \\ =\frac{a}{2}(\pi+2) \\ \therefore t_1 =\sqrt{\left(\frac{a}{\mu}\right)}\left(\frac{\pi+2}{2}\right) \cdots(4)
जब x <a तो गति का समीकरण होगाः
m \frac{d^2 x}{d t^2}=-m \mu \frac{x}{a} \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=-\mu \frac{x}{a} \\ \Rightarrow \int v d v=-\frac{\mu}{a} \int x d x \\ \Rightarrow \frac{v^2}{2}=-\mu \frac{x^2}{2 a}+k \\ \Rightarrow v^2=-\mu \frac{x^2}{4}+C
जब x=a तब v=V_1=\sqrt{(\mu a)} \\ \therefore \mu a=-\mu a+C \Rightarrow C=2 \mu a \\ \therefore V^2=\frac{\mu}{a}\left(2 a^2-x^2\right) \cdots(5)
जब x=0 तो (5) सेः
V_2^2=2 \mu a \Rightarrow V_2=\sqrt{2 \mu a} \\ v=\frac{d v}{d t}=-\sqrt{\left(\frac{\mu}{a}\right)} \sqrt{\left(2 a^2-x^2\right)} \\ \therefore \int_0^{t_2} \sqrt{\left(\frac{\mu}{a}\right)} d t=-\int_a^0 \frac{d x}{\sqrt{\left(2 a^2-x^2\right)}}
x=a से x=0 तक समय t_2 है।
Put x=\sqrt{2} a \sin \theta \Rightarrow d x=\sqrt{2} a \cos \theta d \theta
जब x=0 तो \sin \theta=0 \Rightarrow \theta=0
जब x=a तो \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \\ \therefore \sqrt{\left(\frac{\mu}{a}\right)}t_2=-\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \frac{\sqrt{2} a \cos \theta d \theta}{\sqrt{2} a \cos \theta}=-[\theta]_{\frac{\pi}{4}}^0 \\ =-\left(0-\frac{\pi}{4}\right)= \frac{\pi}{4} \\ \therefore t_2=\sqrt{\left(\frac{a}{\mu}\right)} \frac{\pi}{4}
कुल समय T=t_1+t_2 \\ =\sqrt{\left(\frac{a}{\mu}\right)}\left[\frac{\pi+2}{2}+\frac{\pi}{4}\right] \\ \Rightarrow T=\sqrt{\left(\frac{a}{\mu}\right)}\left(\frac{3 \pi}{4}+1\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance) को समझ सकते हैं।

3.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति पर आधारित सवाल (Questions Based on Motion Under Repulsion Varying as Distance):

Motion Under Repulsion Varying as Distance

(1.)एक कण विराम से शुरू होता है और एक सीधी रेखा के साथ चलता है जिसमें एक त्वरण f, t^n के सापेक्ष परिवर्तित होता है। यदि v प्रारंभिक बिंदु से s की दूरी पर वेग है,तो दिखाइए (n+1) v^2=(n+2)fs
(A particle starts from rest and moves along a straight line with an acceleration f varying as t^n. If v be the velocity at a distance s from the starting point,show that (n+1) v^2=(n+2)fs .)
(2.)एक कण x-अक्ष के साथ x=a पर विराम से शुरू होता है।गति की शुरुआत से एक अंतराल t_1 के लिए त्वरण -\mu x है,बाद के समय t_2 के लिए त्वरण \mu x है और इस अंतराल के अंत में कण मूल बिन्दु पर है,साबित करें कि।
\tan \left(t_1 \mu^{\frac{1}{2}}\right) \tanh \left(t_2 \mu^{\frac{1}{2}}\right)=1
(A particle moves along the axis of x starting from rest at x=a. For an interval t_1 from the beginning of the motion the acceleration is -\mu x, for a subsequent time t_2 the acceleration is \mu x,and at the end of this interval the particle is at the origin,prove that.)
\tan \left(t_1 \mu^{\frac{1}{2}}\right) \tanh \left(t_2 \mu^{\frac{1}{2}}\right)=1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Frequently Asked Questions Related to Motion Under Repulsion Varying as Distance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance)
के इस आर्टिकल में प्रतिकर्षण के अधीन गति होने पर वेग,दूरी तथा समय ज्ञात करने के लिए कुछ
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।