Lines and Angles in 9th
1.9वीं में रेखाएँ और कोण (Lines and Angles in 9th),रेखाएँ और कोण के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Illustrations of Lines and Angles):
9वीं में रेखाएँ और कोण (Lines and Angles in 9th) के इस लेख में रेखाओं द्वारा निर्मित विभिन्न कोणों के एमसीक्यू टाइप सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.9वीं में रेखाएँ और कोण के MCQ टाइप उदाहरण (MCQ Type Illustrations of Lines and Angles in 9th):
Illustration:1. \angle A व \angle B परस्पर पूरक कोण हैं।यदि \angle A=\angle B हो तो \angle A का मान होगाः
(a) 45^{\circ} (b) 90^{\circ} (c) 180^{\circ} (d) 360^{\circ}
Solution:विकल्प (a) सही है।
Illustration:2. 75° के कोण के पूरक कोण का परिमाण होगाः
(a) 75^{\circ} (b) 15^{\circ} (c) 75^{\circ} (d) 115^{\circ}
Solution:90°-75°=15°
विकल्प (b) सही है।
Illustration:3.115° के सम्पूरक कोण का मान होगाः
(a) 90^{\circ} (b) 25^{\circ} (c) 65^{\circ} (d) 180^{\circ}
Solution:180°-115°=65°
विकल्प (c) सही है।
Illustration:4.दो आसन्न कोण \angle AOC तथा \angle BOC इस प्रकार हैं कि \angle AOC=2 \angle BOC तथा \angle BOC=60^{\circ} तो AO और OB एक है:
(a) एक सरल रेखा में (b)सरल रेखा में नहीं है (c) दूसरे के अभिलम्बवत हैं। (d)समान हैं।
Solution: \angle AOC=2 \angle BOC \\ \Rightarrow \angle AOC=2 \times 60^{\circ}=120^{\circ} \\ \angle BOC=60^{\circ}, \angle AOC=120^{\circ} \\ \angle BOC+\angle AOC=60^{\circ}+120^{\circ} =180^{\circ}
अतः AO और OB सरल रेखा में हैं।
विकल्प (a) सही है।
Illustration:5. निम्न में पूरक कोण युग्म नहीं है:
(a) 60^{\circ}, 30^{\circ} (b)56^{\circ}, 34^{\circ} (c)0^{\circ} ,90^{\circ} (d) 150^{\circ}, 30^{\circ}
Solution: 150^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ} \neq 90^{\circ}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:6.निम्न में सम्पूरक कोण युग्म नहीं है:
(a) 90^{\circ}, 90^{\circ} (b) 32^{\circ}, 58^{\circ} (c) 0^{\circ}, 180^{\circ} (d) 76^{\circ}, 104^{\circ}
Solution: 32^{\circ}+58^{\circ}=90^{\circ} \neq 180^{\circ}
विकल्प (b) सही है।
3.अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न (Very Short Type Questions):
Illustration:7.रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हों:
(i)एक तल में दो बिन्दु एक………..रेखा को निर्धारित करते हैं।
(ii)किसी तल में दो भिन्न………..के एक से अधिक उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं हो सकते।
(iii)यदि एक रेखा दी हो और एक बिन्दु दिया हो,जो रेखा पर न हो,तो एक और केवल………..ऐसी रेखा होती है जो इस बिन्दु से होकर जाए एवं दी हुई रेखा के………..हो।
(iv)एक रेखा तल को………..भागों में बाँट देती है,जिनके नाम हैं दोनों………..एक स्वयं………..।
(v)यदि रैखिक युग्म का एक कोण न्यून कोण है,तब दूसरा………..कोण होगा।
(vi)यदि एक किरण एक रेखा पर स्थित है,तब इस प्रकार निर्मित दो आसन्न कोणों का योग………..होगा।
(vii)यदि आसन्न कोणों का योग 180° हो,तो उनकी………..भुजाएँ,विपरीत किरणें होती हैं।
(viii)यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो शीर्षाभिमुख कोण………..होते हैं।
Solution:(i)सरल,(ii)रेखाओं,(iii)एक,समान्तर या लम्बवत, (iv)तीन,आधा तल,रेखा,(v)अधिक, (vi)180°, (vii)अ-उभयनिष्ठ,(viii)समान
Illustration:8.निम्नलिखित कथनों में से कौन सत्य (T) हैं और कौन असत्य (F) हैं? कारण दीजिएः
(i)यदि रैखिक-युग्म बनाने वाले कोण समान हों,तो इनमें से प्रत्येक कोण 90° होता है।
(ii)यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और यदि शीर्षाभिमुख कोणों का एक युग्म न्यून कोणों से बना है,तब शीर्षाभिमुख कोणों का दूसरा युग्म अधिक कोणों द्वारा बनेगा।
(iii)यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और इस प्रकार निर्मित कोणों में से एक समकोण है,तब अन्य तीन कोण समकोण नहीं होंगे।
(iv)रैखिक युग्म बनाने वाले कोण सम्पूरक होते हैं।
(v)यदि दो आसन्न कोण समान हैं,तब प्रत्येक कोण 90° का है।
(vi)रैखिक युग्म बनाने वाले दोनों कोण न्यून कोण हो सकते हैं।
(vii)किसी तल में दो भिन्न रेखाओं के दो उभयनिष्ठ बिन्दु हो सकते हैं।
Solution:(i)सत्य [ चूँकि 90°+90°=180°]
(ii) सत्य \left[\angle 1+\angle 2=180^{\circ} \quad \text { (रैखिक युग्म) }\right]
(iii) असत्य, [ \therefore शीर्षाभिमुख कोण समान होते हैं यदि कोण 90° हो,इस युग्म का दूसरा कोण भी 90° होगा।चारों कोणों में से प्रत्येक 90° होगा।]
(iv) सत्य, [ चूँकि रैखिक युग्म बनाने वाले कोणों का योग 180° होता है।अतः वे सम्पूरक होते हैं]
(v) असत्य [चूँकि दो आसन्न कोणों का योगफल 180° के समान नहीं होता है]
(vi)असत्य [चूँकि रैखिक युग्म बनाने वाले कोणों का योग 180° होता है।अतः दोनों न्यून कोण नहीं हो सकते।]
(vii) असत्य [चूँकि दो भिन्न-भिन्न रेखाओं में,केवल एक ही बिन्दु उभयनिष्ठ हो सकता है।]
Illustration:9.रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हों:
(i)यदि एक तिर्यक रेखा दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे,तो प्रत्येक युग्म के संगत कोण………..होते हैं।
(ii)यदि एक तिर्यक रेखा दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे तो तिर्यक रेखा के एक ओर बने अन्तःकोण………..होते हैं।
(iii)दो रेखाएँ,जो एक ही रेखा पर लम्ब हैं,परस्पर………..होती हैं।
(iv)यदि,एक तिर्यक रेखा एक रेखा युग्म को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि एक युग्म के एकान्तर कोण समान हों,तो वे रेखाएँ………..होती हैं।
(v)एक ही रेखा के समान्तर खींची गई दो रेखाएँ परस्पर………..होती हैं।
(vi)यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करें कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का योगफल 180° होता है,तो वे रेखाएँ………..होती हैं।
Solution:(i)समान, (ii)सम्पूरक,(iii)समान्तर,(iv)समान्तर,(v)समान्तर, (vi)समान्तर
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 9वीं में रेखाएँ और कोण (Lines and Angles in 9th),रेखाएँ और कोण के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Illustrations of Lines and Angles) को समझ सकते हैं।
4.आधारभूत पद और परिभाषाएँ (Basic Terms and Definitions):
(1.)रेखाखणड:एक रेखा का वह भाग जिसके दो अंत बिन्दु हो,रेखाखण्ड कहलाता है।
(2.)किरण:एक रेखा का वह भाग जिसका एक अंत बिन्दु हो,किरण कहलाता है।
(3.)संरेख बिन्दु:यदि तीन या अधिक बिन्दु एक ही रेखा पर स्थित हों,तो वे संरेख बिन्दु कहलाते हैं।
(4.)असंरेख बिन्दु:यदि तीन या अधिक बिन्दु एक ही रेखा पर स्थित न हों,तो वे असंरेख बिन्दु कहलाते हैं।
(5.)जब दो किरणें एक ही अन्त बिन्दु से प्रारम्भ होती हैं,तो एक कोण बनता है।कोण को बनाने वाली दोनों किरणें कोण की भुजा कहलाती हैं और वह उभयनिष्ठ अंतः बिन्दु कोण का शीर्ष कहलाता है।
5.कोणों के प्रकार (Types of Angles):
(1.)न्यून कोण (Acute Angle):वह कोण जिसका माप 0° से 90° के बीच होता है।
(2.)समकोण (Right Angle):वह कोण जिसका माप 90° होता है।
(3.)अधिक कोण (Obtuse Angle):अधिक कोण का मान 90° से अधिक परन्तु 180° से कम होता है।
(4.)ऋजु (सरल) कोण (Straight Angle):इसका मान 180° के बराबर होता है।
(5.)प्रतिवर्ती कोण (Reflex Angle):वह कोण जो 180° से अधिक परन्तु 360° से कम माप होता है।
(6.)पूरक कोण (Complementary Angle):यदि दो कोणों का योग एक समकोण (90°) के बराबर हो,तो वे कोण पूरक कोण कहलाते हैं।
(7.)सम्पूरक कोण (Supplementary Angle):वे दो कोण जिनका योग ऋजु कोण (180°) के बराबर हो,सम्पूरक कोण कहलाते हैं।
(8.)आसन्न कोण (Adjacent Angle):वे कोण जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष हो,एक उभयनिष्ठ भुजा हो और उनकी वे भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं है,उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत और स्थित हो आसन्न कोण कहलाते हैं।
(9.)तिर्यक रेखा (Transversal Line):वह रेखा जो दो या दो से अधिक रेखाओं को भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है,एक तिर्यक रेखा कहलाती है।
(10.)क्रमागत अन्तःकोण:तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित अन्तःकोणों को क्रमागत अन्तःकोण कहते हैं।इन्हें सम्बन्धित कोण या सह अन्तःकोण भी कहा जाता है।
6.महत्त्वपूर्ण अभीगृहीत और प्रमेय (Important Axioms and Theorems):
अभीगृहीत:6.1.यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो,तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
अभीगृहीत:6.2.यदि दो आसन्न कोणों का योग 180° हो,तो उनकी उभयनिष्ठ भुजाएँ एक रेखा बनाती है।
अभीगृहीत:6.3.यदि एक तिर्यक रेखा दो परस्पर समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे,तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
अभीगृहीत:6.4.यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे की संगत कोणों का एक युग्म बराबर है,तो दोनों रेखाएँ परस्पर समान होती हैं।
प्रमेय:6.1.यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
प्रमेय:6.2.यदि एक तिर्यक रेखा दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
प्रमेय:6.3.यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि एकान्तर अन्तःकोणों का एक युग्म बराबर हो,तो दोनों रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।
प्रमेय:6.4.यदि एक तिर्यक रेखा दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का प्रत्येक युग्म सम्पूरक होता है।
प्रमेय:6.5.यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोणों का एक युग्म सम्पूरक है,तो दोनों रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।
प्रमेय:6.6.वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समान्तर हों,परस्पर समान्तर होती हैं।
प्रमेय:6.7.किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
प्रमेय:6.8.यदि एक त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाई जाये तो इस प्रकार बना बहिष्कोण अन्तःअभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
7.9वीं में रेखाएँ और कोण के सवाल (Lines and Angles in 9th Questions):
(1.)47° का पूरक कोण बताइए।
(2.)103° का सम्पूरक कोण बताइए।
उत्तर (Answers):(1.)43° (2.)77°
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 9वीं में रेखाएँ और कोण (Lines and Angles in 9th),रेखाएँ और कोण के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Illustrations of Lines and Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।
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8.9वीं में रेखाएँ और कोण (Frequently Asked Questions Related to Lines and Angles in 9th),रेखाएँ और कोण के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Illustrations of Lines and Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.दो आसन्न कोण रैखिक युग्म कब होते हैं? (When Do Two Adjacent Angles Occure Linear Pair?):
उत्तर:दो आसन्न कोण एक रैखिक कोण-युग्म होते हैं यदि और केवल यदि वे सम्पूरक हों।
प्रश्न:2.एक बिन्दु पर बनने वाले कोणों का कथन लिखो। (Write a Statement of the Angles that Form at a Point):
उत्तर:यदि दो सरल रेखाएँ एकदूसरे को प्रतिच्छेद करें तो प्रतिच्छेद बिन्दु पर बनने वाले सभी कोणों का योगफल 360° के बराबर होता है।
प्रश्न:3.कोणों के माप की इकाई लिखो। (Write Down the Unit of Measurement of Angles):
उत्तर:1 भाग=1 अंश=1° एवम् 360 भाग=360 अंश=360°
यदि एक अंश को 60 बराबर भागों में बाँटा जाये तो ऐसे प्रत्येक भाग को 1 कला (1 मिनट) कहते हैं।इसी प्रकार 1 कला को भी 60 भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग को एक विकला (सेकण्ड) कहा जाता है।सांकेतिक रूप में एक डिग्री,एक मिनट तथा सेकण्ड को क्रमशः 1°,1′ तथा 1″ से व्यक्त करते हैं।
अतः 1°=60 कला (1 मिनट)=60′
1 कला (मिनट)=60 विकला (सेकण्ड) अर्थात् 1’=60″
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा 9वीं में रेखाएँ और कोण (Lines and Angles in 9th),रेखाएँ और कोण के एमसीक्यू टाइप उदाहरण (MCQ Type Illustrations of Lines and Angles) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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9वीं में रेखाएँ और कोण
(Lines and Angles in 9th)
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9वीं में रेखाएँ और कोण (Lines and Angles in 9th) के इस लेख में रेखाओं द्वारा निर्मित
विभिन्न कोणों के एमसीक्यू टाइप सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
