1.कक्षा 12 में सदिश (Vectors in Class 12),सदिश कक्षा 12 (Vectors Class 12):

Vectors in Class 12

कक्षा 12 में सदिश (Vectors in Class 12) के इस आर्टिकल में सदिशों के मात्रक सदिश व सदिश की दिक्कोसाइन ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कक्षा 12 में सदिश के उदाहरण (Vectors in Class 12 Illustrations):

Illustration:1.निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:
$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k} ; \vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}-3 \hat{k} ; \vec{c}=\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$
Solution:सदिश $\vec{a}$ का परिमाण=$|\vec{a}|\\ =|\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}| \\ =\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2} \\ =\sqrt{1+1+1} \\ \Rightarrow|\vec{a}| =\sqrt{3}$
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण=$|\vec{b}| \\ =|2 \hat{i}-7 \hat{j}-3 \hat{k}| \\ =\sqrt{(2)^2+(-7)^2+(-3)^2} \\ =\sqrt{4+49+9} \\ =\sqrt{62} \\ \Rightarrow |\vec{b}|=\sqrt{62}$
सदिश $\vec{c}$ का परिमाण=$|\vec{c}| \\ =\left|\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}\right| \\ =\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 +\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} \\ =\sqrt{\frac{1+1+1}{3}} \\ \Rightarrow|\vec{c}|=1$
अतः $|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=\sqrt{62},|\vec{c}|=1$
Illustration:2.समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
Solution:माना $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}\\ \vec{b} =4 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} \\ |\vec{a}| =\sqrt{(2)^2+(3)^2+(-4)^2} \\ =\sqrt{4+9+16} \\ \Rightarrow |\vec{a}| =\sqrt{29} \\ |\vec{b}| =|4 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}| \\ =\sqrt{(4)^2+(-2)^2+(3)^2} \\ =\sqrt{16+4+9} \\ \Rightarrow |\vec{b}|=\sqrt{29}$
अतः $|\vec{a}|=|\vec{b}|$
फलतः $\vec{a}$ व $\vec{b}$ भिन्न सदिश हैं जिनके परिमाण समान हैं।
Illustration:3.समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
Solution:माना सदिश
$\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=6 \hat{i}+9 \hat{j}+12 \hat{k}$
सदिश $\vec{a}$ के दिक्कोसाइन
$l_1=\frac{2}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+9+16}}=\frac{2}{\sqrt{29}} \\ m_2=\frac{3}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}}=\frac{3}{\sqrt{4+9+16}}=\frac{3}{\sqrt{29}} \\ n_2=\frac{4}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}}=\frac{4}{\sqrt{4+9+16}}=\frac{4}{\sqrt{29}}$
सदिश $\vec{b}$ के दिक्कोसाइन
$l_2=\frac{6}{\sqrt{(6)^2+(9)^2+(12)^2}}=\frac{6}{\sqrt{36+81+144}}=\frac{9}{\sqrt{261}}=\frac{2}{\sqrt{29}} \\ m_2=\frac{9}{\sqrt{(6)^2+(9)^2+(1)^2}}=\frac{9}{\sqrt{36+81+144}}=\frac{9}{\sqrt{261}} =\frac{3}{\sqrt{29}} \\ n_2=\frac{12}{\sqrt{(6)^2+(9)^2+(12)^2}}=\frac{12}{\sqrt{36+81+444}} =\frac{12}{\sqrt{261}}=\frac{4}{\sqrt{29}}$
अतः दोनों सदिशों $\vec{a}$ व $\vec{b}$ की दिक्कोसाइन समान हैं अर्थात्
$\frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{4}{\sqrt{29}}$
परन्तु दोनों सदिशों का परिमाण भिन्न है:
$|\vec{a}|=\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{25} \\ |\vec{b}|=\sqrt{(6)^2+(9)^2+(12)^2}=\sqrt{36+81+144}=\sqrt{26} \\ \Rightarrow |\vec{a}| \neq |\vec{b}|$
Illustration:4.x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $x \hat{i}+y \hat{j}$ समान हों।
Solution: $\vec{a}=\vec{b} \\ =2 \hat{i}+3 \hat{j}=x \hat{i}+y \hat{j}$
तुलना करने परः
x=2,y=3
Illustration:5.एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2,1) है और अन्तिम बिन्दु (-5,7) है।इस सदिश के अदिश और सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
Solution:माना A(2,1) तथा B(-5,7) है तब $\overrightarrow{A B} =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \\ =(-5 \hat{i}+7 \hat{j})-(2 \hat{i}+\hat{j}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B} =-7 \hat{j}+6 \hat{j}$
$\therefore \overrightarrow{A B}$ के अदिश घटक -7 तथा 6 हैं।
तथा के सदिश घटक $-7 \hat{j}$ तथा $6 \hat{j}$ हैं।
Illustration:6.सदिश $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{z}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}$ का योगफल ज्ञात कीजिए।
Solution:सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ का योगफल
=$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \\ =\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}+\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k} \\ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=-4 \hat{j}-\hat{k}$
Illustration:7.सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
Solution: $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ |\vec{a}|=\sqrt{(1)^2+(1)^2+(2)^2} =\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$
मात्रक सदिश $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{| \vec{a}|} \\ =\frac{\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{6}} \\ \Rightarrow \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{6}} \hat{j}+\frac{2}{\sqrt{6}} \hat{k}$
Illustration:8.सदिश के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1,2,3) और (4,5,6) हैं।
Solution: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{O Q}-\overrightarrow{OP} \\ =(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})-(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{P Q}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}$
मात्रक सदिश
$\widehat{PQ}=\frac{\overrightarrow{P Q}}{|\overrightarrow{P Q}|} \\ =\frac{3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}}{\sqrt{(3)^2+(3)^2+(3)^2}} \\ =\frac{3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\sqrt{9+9+9}} \\ =\frac{3(\hat{i} +\hat{j}+\hat{k})}{\sqrt{27}} \\ =\frac{3(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{3 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow \widehat{PQ} =\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$
Illustration:9.दिए हुए सदिशों $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ के लिए सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
Solution: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ तथा $\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \\ \vec{a}+\vec{b}=(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+(- \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}= \hat{i}+ \hat{k} \\ |\vec{a}+\vec{b}|=|\hat{i}+\hat{k}| \\ =\sqrt{(1)^2+(0)^2+(1)^2} \\ =\sqrt{1+1} \\ |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2}$
सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ के अनुदिश मात्रक सदिश = $\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|} \\ =\frac{\hat{i}+\hat{k}}{\sqrt{2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$
Illustration:10.सदिश $5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
Solution:माना $\vec{a}=5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} \\ |\vec{a}|=\sqrt{(5)^2+(-1)^2+(2)^2} \\ \Rightarrow |\vec{a}|=\sqrt{25+7+4}=\sqrt{30}$
$\vec{a}$ के अनुदिश एकांक सदिश $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ \hat{a}=\frac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$
अतः $\vec{a}$ के अनुदिश 8 परिमाण वाला सदिश =$8 \hat{a} \\ =8\left(\frac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}}\right) \\ \Rightarrow 8 \hat{a} =\frac{50}{\sqrt{30}} \hat{i}-\frac{8}{\sqrt{30}} \hat{j}+\frac{16}{\sqrt{30}} \hat{k}$

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Illustration:11.दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}$ संरेख हैं।
Solution:माना $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$
तथा $\vec{b}=-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k} \\ =-2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) \\ \Rightarrow \vec{b} =-2 \vec{a}$
अतः सदिश $\vec{a}$ को $\vec{b}$ के रूप में और $\vec{b}$ को $\vec{a}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।फलतः सदिश $\vec{a}$ व $\vec{b}$ संरेख है।
Illustration:12.सदिश $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
Solution:माना $\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$
के दिक् अनुपात हैं 1,2,3
$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}=\sqrt{14}$
$\therefore$ दिक्कोसाइन $l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \pm \frac{1}{\sqrt{14}} \\ m=\pm \frac{ b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \pm \frac{2}{\sqrt{14}}$
तथा $n=\pm \frac{ c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \pm \frac{3}{\sqrt{14}}$
अतः दिए गए सदिश के दिक्कोसाइन हैंः
$\pm \frac{1}{\sqrt{14}}, \pm \frac{2}{\sqrt{14}}, \pm \frac{3}{\sqrt{14}}$
Illustration:13.बिन्दुओं A(1,2,-3) एवं B(-1,-2,1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
Solution:A से B की तरफ दिष्ट सदिश =$\overrightarrow{A B} \\ \overrightarrow{A B}=\left(x_2-x_1\right) \hat{i}+\left(y_2-y_1\right) \hat{j}+\left(z_2-z_1\right) \hat{k}$
यहाँ $\left(x_1, y_1, z_1\right)=(1,2,-3)$
तथा $\left(x_2, y_2, z_2\right)=(-1,-2,1) \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}=(-1-1) \hat{i}+(-2-2) \hat{j}+(1-(-3)) \hat{k} \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}=-2 \hat{i}-4 \hat{j}+4 \hat{k}$
सदिश $\overrightarrow{A B}$ के दिक् अनुपात a,b,c=-2,-4,4
$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(4)^2} \\ =\sqrt{4+16+16} \\ =\sqrt{36} \\ \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2}=6$
अतः $\overrightarrow{A B}$ के दिक्कोसाइन
$l=\pm \frac{ a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \pm \frac{(-2)}{6}=\mp \frac{1}{3} \\ m= \pm \frac{ b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \pm \frac{(-4)}{6}=\mp \frac{2}{3} \\ n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \pm \frac{4}{6}= \pm \frac{2}{3}$
अतः अभीष्ट दिक्कोसाइन हैंः
$\mp \frac{1}{3}, \mp \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{3}$
Illustration:14.दर्शाइए कि सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ अक्षों OX,OY एवं OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।
Solution:माना $\vec{r}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{r}$ के दिक् अनुपात a,b,c=1,1,1
$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2}=\sqrt{3} \\ l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\ \Rightarrow l= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad m= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, n= \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow l=m=n= \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः सदिश अक्षों के साथ बराबर झुका हुआ है।
Illustration:15.बिन्दुओं $P(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})$ और $Q(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में (i)अंतः (ii)बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
Solution: $\overrightarrow{OP}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$
तथा $\overrightarrow{OQ}=-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$
R,P व Q को मिलाने वाली रेखा को 2:1 में अन्तः विभाजित करता है तब
$\overrightarrow{OR} =\frac{m(\overrightarrow{OQ})+n(\overrightarrow{OP})}{m+n} \\ =\frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+1(\hat{i}+2 \hat{j}-k)}{2+1} \\ =\frac{-2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{3} \\ \Rightarrow \overrightarrow{OR}=-\frac{1}{3} \hat{i}+\frac{4}{3} \hat{j}+\frac{1}{3} \hat{k}$
R,P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है,तब
$\overrightarrow{OR}=\frac{m(\overrightarrow{OQ})-n(\overrightarrow{O P})}{m-n} \\ =\frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1(\hat{i}+2 \hat{j}-k)}{2-1} \\ =\frac{-2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}-\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}}{1} \\ \Rightarrow \overrightarrow{OR}=-3 \hat{i}+3 \hat{k}$
Illustration:16.दो बिन्दुओं P(2,3,4) और Q (4,1,-2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Solution: $\overrightarrow{O P}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$
तथा $\overrightarrow{OQ}=4 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$
मध्य बिन्दु R का स्थिति सदिश
$\overrightarrow{O R} =\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O Q}}{2} \\ =\frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k} +4 \hat{i}+ \hat{j}-2 \hat{k}}{2} \\ \Rightarrow \overrightarrow{O R}=\frac{6 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}}{2} \\ \Rightarrow \overrightarrow{O R} =3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$
Illustration:17.दर्शाइए कि बिन्दु A,B और C,जिनके स्थिति क्रमशः $\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं,एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
Solution:प्रश्नानुसार $\overrightarrow{O A}=\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k} \\ \overrightarrow{O B}=\vec{B}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k} \\ \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{OA}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})-(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}) \\ =2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}-3 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k} \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}=-\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k} \\ \overrightarrow{A B}=\sqrt{(-1)^2+(3)^2+(5)^2} \\ =\sqrt{1+9+25} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{A B}|=\sqrt{35} \\ \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} =(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ =\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \\ \Rightarrow \overrightarrow{B C}=-\hat{i}-2 \hat{j}-6 \hat{k} \\ |\overrightarrow{B C}| =\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-6)^2} \\ =\sqrt{1+4+36} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{B C}|=\sqrt{41} \\ \overrightarrow{C A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}=(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k})-(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}) \\ = 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}-\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k} \\ \Rightarrow \overrightarrow{C A}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{C A}|=|2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}| \\ =\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(1)^2} \\ =\sqrt{4+1+1} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{C A}| =\sqrt{6} \\ |\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{C A}|^2=(\sqrt{35})^2+(\sqrt{6})^2 \\ =35+6 \\ =41 \\ \Rightarrow|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{C A}|^2=|\overrightarrow{B C}|^2$
अतः $\triangle A B C$ एक समकोण त्रिभुज है।
Illustration:18.त्रिभुज ABC (आकृति 10.18) के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है।
(A) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$
(B) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$
(C) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$
(D) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$

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Solution:सदिशों के योगफल त्रिभुज नियम के अनुसार
$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A C}=0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=0$
अतः कथन (C) सत्य नहीं है फलतः विकल्प (C) उत्तर होगा।
Illustration:19.यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है।
(A)$\vec{b}=\lambda \vec{a}$,किसी अदिश $\lambda$ के लिए
(B) $\vec{a}= \pm \vec{b}$
(C) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के क्रमागत घटक समानुपाती हैं।
(D)दोनों सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।
Solution:संरेख सदिश आपस में समान्तर होते हैं परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि उनकी दिशा और परिमाण समान हो।
अतः विकल्प (D) सही नहीं है।फलतः विकल्प (D) उत्तर होगा।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12 में सदिश (Vectors in Class 12),सदिश कक्षा 12 (Vectors Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12 में सदिश के सवाल (Vectors in Class 12 Questions):

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(1.)त्रिभुज ABC की भुजाओं BC,CA और AB के मध्य बिन्दु क्रमशः D,E और F है,तो सिद्ध कीजिए कि
$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{0}$
(2.)सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा,तीसरी भुजा के समान्तर और उसकी आधी होती है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12 में सदिश (Vectors in Class 12),सदिश कक्षा 12 (Vectors Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.दो बिन्दुओं को मिलाने वाला सदिश (Vector joining two points):

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यदि $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ और $P_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$ दो बिन्दु हैं तब $P_1$ को $P_2$ से मिलाने वाला सदिश है (आकृति)। $P_1$ और $P_2$ को मूल बिन्दु O से मिलाने पर और त्रिभुज नियम का प्रयोग करने पर हम त्रिभुज $O P_1 P_2$ से पाते हैं कि $\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{P_1 P_2}=\overrightarrow{O P_2}$ सदिश योगफल के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए उपर्युक्त समीकरण निम्नलिखित रूप से लिखा जाता है:
$\overrightarrow{P_1 P_2}=\overrightarrow{O P_2}-\overrightarrow{O P_1} \\ \Rightarrow \overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2 \hat{i}+y_2\hat{j}+z_2 \hat{k}\right)-\left(x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k}\right) \\ \Rightarrow \overrightarrow{P_1 P_2}=\left(x_2-x_1\right) \hat{i}+\left(y_2-y_1\right) \hat{j}+\left(z_2-z_1\right) \hat{k}$
सदिश $\overrightarrow{P_1 P_2}$ का परिमाण
$\left| \overrightarrow{P_1 P_2}\right|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$

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5.कक्षा 12 में सदिश (Frequently Asked Questions Related to Vectors in Class 12),सदिश कक्षा 12 (Vectors Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12 में सदिश (Vectors in Class 12) के इस आर्टिकल में सदिशों के मात्रक सदिश व
सदिश की दिक्कोसाइन ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।