1.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis):

Derivatives by Method of Operators

संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators) अन्तर्वेशन पर आधारित अवकलज ज्ञात करने की विधि से अलावा विधि है।
संकारकों पर आधारित विधि (Method Based on Operators):
संकारकों की सहायता से अवकलजों के सन्निकटन व्यंजक (Approximate Expressions for Derivatives of a Function with the Help of Operators):
(i)केन्द्रीय अन्तर अवकलज (Central Difference Derivative):
हम जानते हैं कि:

$\delta y_{n} = y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}-y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)} \ldots(1)$
और $\mu y_{n}=\frac{1}{2}\left[y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}+y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)}\right] \cdots(2)$
अतः $\mu \delta y_{n}=\mu\left[y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}-y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)}\right]$ [(1) से]
=$\frac{1}{2}\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right)$ [(2) से]
=$\frac{1}{2}\left(e^{h D}-e^{-h D}\right) y_{n}\left[\because y_{n+1}=e^{h D} y_{n}\right] \\ =[\sinh (h D)] y_{n}$ या $\mu \delta =\sinh (h D) \cdots(3) \\ =h D+\frac{h^{3} D^{3}}{3 !}$
अतः $\mu \delta=h D \ldots(4)$ [यदि $D^{3}$ तथा उच्च अवकलज त्याज्य हो]
अब $h Dy_{n}=\frac{1}{2}\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right)$ लगभग
या $D y_{n}=\frac{d}{d x}\left(y_{n}\right)=y_{n}^{\prime}=\frac{1}{2 h}\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right) \ldots(4)$
यह प्रथम अवकलज का सूत्र केन्द्रीय अन्तर अवकलज (Central Difference Derivative) कहलाता है।
(ii)द्वितीय अन्तर अवकलज (Second Difference Derivative):
अब $\delta^{2} y_{n} =\delta\left(\delta y_{n}\right)=\delta\left[y_{n+\left(\frac{1}{2}\right)}-y_{n-\left(\frac{1}{2}\right)}\right] \\ =y_{n+1}+y_{n-1}-2 y_{n} \\ =\left(e^{h D}+e^{-h D}-2\right) y_{n} \\ =2\left[\left(1+\frac{1}{2} h^{2} D^{2}+\ldots\right)-1\right] y_{n}$
[अगर $D^{h}$ तथा उच्च अवकलज त्याज्य हो]
=$h^{2} D^{2} y_{n}$(लगभग)
अतः $\delta^{2} y_{n}=h^{2} D^{2} y_{n}=y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}$
या $D^{2} y_{n}=\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{n}\right)=\frac{1}{h^{2}}\left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right) \ldots(5)$
यह द्वितीय अवकलज का सूत्र द्वितीय अन्तर अवकलज कहलाता है।
(iii)तृतीय अन्तर अवकलज (Third Difference Derivative):
पुनः $h^{3} D^{3} y_{n}=(h D)\left(h^{2} D^{2} y_{n}\right)\\ =h D \delta^{2} y_{n}\\ =\mu \delta \left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right) \\ =\frac{1}{2}\left[\left(y_{n+2}-y_{n}\right)-2\left(y_{n+1}-y_{n-1}\right)+\left(y_{n}-y_{n-2}\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left(y_{n+2}-2 y_{n+1}+2 y_{n-1}-y_{n-2}\right)\\ D^{3} y_{n}=\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{n}\right) =\frac{1}{2 h^{3}}\left(y_{n+2}-2 y_{n+1}+2 y_{n-1} y_{n-2}\right) \ldots(6)$
यह तृतीय अन्तर अवकलज जाना जाता है।
इसी प्रकार $h^{4} D^{4} y_{n}=\left(h^{2} D^{2}\right)\left(h^{2} D^{2} y_{n}\right) \\ =\left(h^{2} D^{2}\right)\left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right) \\ = \delta^{2}\left[y_{n+1}-2 y_{n}+ y_{n-1}\right] \\ = \delta \left[\delta \left(y_{n+1}-2 y_{n}+y_{n-1}\right)\right] \\ = y_{n+2}-4 y_{n-1}+6 y_{n}-4 y_{n-1}+y_{n-2}$
अतः $\frac{d^{4}}{d x^{4}}\left(y_{n}\right)=\frac{1}{h^{4}}\left(y_{n+2}-4 y_{n+1}+6 y_{n}-4 y_{n-1}+y_{n-1}\right) \ldots(7)$
इत्यादि
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2.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज के साधित उदाहरण (Derivatives by Method of Operators Solved Examples):

Example:1.घात छ: तक स्टर्लिंग सूत्र का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए।
(By using stirling’s formula of degree six, prove that):
(i)$y_{0}^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta \mu y_{0}-\frac{1}{6} \delta^{3} \mu y_{0}+\frac{1}{30} \delta^{5} \mu y_{0}+ \cdots\right]$

(ii)$y_{0}^{\prime \prime}=\frac{1}{h^{2}}\left[\delta^{2} y_{0}-\frac{1}{12} \delta^{4} y_{0}+\frac{1}{90} \delta^{6} y_{0}-\cdots\right]$
Solution:स्टर्लिंग सूत्र (Stirling Formula):

$y_{x} =y_{0}+x\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y-1}{2}\right)+\frac{x^{2}}{2 !} \cdot \Delta^{2} y_{-1}+\frac{x^{3}-x}{6}\left(\frac{\Delta^{3} y_{-1} + \Delta^{3} y_{-2}}{2}\right)+\left(\frac{x^{4}-x^{2}}{24}\right) \Delta^{4} y_{(-2)}+\left(\frac{x^{5}-5 x^{3}+4 x}{120}\right)\left(\frac{\Delta^{5} y_{-2}+ \Delta^{5} y_{-3}}{2}\right)+\left(\frac{x^{6}-5 x^{4}+4 x^{2}}{720}\right)\Delta^{6} y_{-3}+\cdots \cdots(1)$
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

put x=0
$y_{0}^{\prime} =\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta y_{-1}}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{\Delta^{3} y_{-1}+ \Delta^{3} y_{-2}}{2}\right)+\frac{1}{30}\left(\frac{\Delta^{5} y_{-2}+\Delta^{5} y_{-3}}{2}\right) +\cdots \cdots\\=\left(\frac{\Delta y_{0}+\Delta E^{-1} y_{0}}{2}\right)-\frac{1}{6} \left(\frac{\Delta^{3} E^{-1} y_{0}+ \Delta^{3} E^{-2} y_{0}}{2}\right)+\frac{1}{30}\left(\frac{\Delta^{5} E^{-2} y_{0}+\Delta^{5} E^{-3} y_{0}}{2}\right)+\cdots \cdots\\ =\left(\frac{\Delta+\Delta E^{-1}}{2}\right) y_{0}-\frac{1}{6}\left(\frac{\Delta^{3} E^{-1}+\Delta^{3} E^{-2}}{2}\right) y_{0}+\frac{1}{30} \left(\frac{\Delta^{5} E^{-2}+\Delta^{5} E^{-3}}{2} \right) y_{0}+\cdots \cdots \\ \frac{\Delta+\Delta E^{-1}}{2}=\frac{\delta \mu}{h}, \frac{\Delta^{3} E^{-1} +\Delta^{3} E^{-2}}{2}=\frac{\delta^{3} \mu}{h}, \frac{\Delta^{5} E^{-2}+\Delta^{5} E^{-3}}{2}= \frac{\delta^{5} \mu}{h}$ रखने पर
[ $\because \delta=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}$ तथा $\mu=\frac{1}{2}\left[E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}}\right], \Delta=1+E_{y} ,E=e^{hD}$ से]

$y_{0}^{\prime}=\frac{s \mu }{h} y_{0}-\frac{1}{6} \frac{\delta^{3} \mu y_{0}}{h}+\frac{1}{30} \frac{\delta^{5} \mu}{h} y_{0}+\ldots\\ \Rightarrow y_{0}^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta \mu y_{0}-\frac{1}{6} \delta^{3} \mu y_{0}+\frac{1}{30} \delta^{5} \mu y_{0}+\cdots\right]$
(ii)पुनः (1) का x के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:

put x=0
$y_{0}^{\prime \prime}=\Delta^{2} y_{-1}-\frac{1}{12} \Delta^{4} y_{-2}+\frac{1}{180} \Delta^{6} y_{-3}+\cdots\\ y_{0}^{\prime \prime}=\Delta^{2} E^{-1} y_{0}-\frac{1}{12} \Delta^{4} E^{-2} y_{0}+\frac{1}{180} \Delta^{6} E^{-3} y_{0}+\cdots\\ \delta=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}\\ =E^{-\frac{1}{2}}(E-1) \\ \delta=\Delta E^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow \delta^{2}=\Delta^{2} E^{-1}$

इसी प्रकार  $\delta^{4}=\Delta^{4} E^{-2}, \delta^{6}=\Delta^{6} E^{-3} \\ \Rightarrow y_{0}^{\prime \prime}=\frac{1}{h^{2}}\left[\delta^{2} y_{0}-\frac{1}{12} \delta^{4} y_{0}+\frac{1}{90} \delta^{6} y_{0}-\cdots\right]$
Example:2.बेसल सूत्र से निम्न सन्निकटन का निगमन कीजिए:
(Deduce the following approximations from the Bessel’s formula):

(i)$\frac{d}{d x}\left(y_{x}\right)=\Delta y_{x-\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{1}{24} \Delta^{3} y_{x-\left(\frac{3}{2}\right)}$

(ii) $\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\Delta^{2} y_{x}-\left(\frac{3}{2}\right)+\Delta^{3} y_{x-(\frac{1}{2})}\right]$

(iii)$\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{x}\right)=\Delta^{3} y_{x-\frac{3}{2}}$
Solution:बेसल सूत्र से (Bessel Formula):

$y_{x}=\frac{y_{0}+y_{1}}{2}+\left(x-\frac{1}{2}\right) \Delta y_{0}+\frac{x(x-1)}{2 !}\left(\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right)+\frac{(x-\frac{1}{2})(x)(x-1)}{3 !} \Delta^{3}y_{-1}+ \cdots \cdots(1)$
सम्बन्ध (1) में x के स्थान पर $(x-\frac{1}{2})$ प्रतिस्थापित करने पर:

$y_{x+\frac{1}{2}}=\left(\frac{y_{0}+y_{1}}{2}\right)+x \Delta y_{0}+\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{2 !}\left(\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right)+\frac{x\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}{3 !} \Delta^{3}y_{-1}+ \cdots \cdots(2)$
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

$\frac{d}{d x}y_{\left( x+\frac{1}{2}\right)}=\Delta y_{0}+x\left[\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}\right]+\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{24}\right) \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots(3)$
यहाँ x=0 प्रतिस्थापित करने पर:

$\frac{d}{d x}\left(y_{\frac{1}{2}}\right)=\Delta y_{0}-\frac{1}{24} \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots(4)$
(i)अब (4) में मूलबिन्दु 0 से $(x-\frac{1}{2})$ पर स्थानान्तरित करने पर:

$\frac{d}{d x}\left(y_{x}\right)=\Delta y_{(x-\frac{1}{2})}-\frac{1}{24} x^{3} y_{(x-\frac{3}{2})}+\cdots \cdots$
(ii)पुनः (2) का x के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर:

$\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{x+\frac{1}{2}}\right)=\frac{\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}}{2}+x \Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots$
इसमें x=0 प्रतिस्थापित करने पर:

$\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\Delta^{2} y_{-1}+\Delta^{2} y_{0}\right)+\cdots$
अब मूलबिन्दु को 0 से $(x-\frac{1}{2})$ पर स्थानान्तरित करने पर:

$\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(y_{x}\right)=\frac{1}{2}\left(\Delta^{2} y_{x-\frac{3}{2}}+\Delta^{2} y_{x-\frac{1}{2}}\right)+\cdots \cdots$
(iii)इसी प्रकार (2) को तीन बार अवकलन करने पर:

$\frac{d^{3}}{d x^{3}} \left(y_{x+\frac{1}{2}}\right)=\Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots$
इसमें x=0 प्रतिस्थापित करने पर:

$\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{\frac{1}{2}}\right)=\Delta^{3} y_{-1}+\cdots \cdots$
मूलबिन्दु को 0 से $(x-\frac{1}{2})$ पर प्रतिस्थापित करने पर:

Derivatives by Method of Operators

Example:3.सिद्ध कीजिए कि (Prove that):

$y^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta y-\frac{\delta^{3} y}{24}+\frac{3}{640} \delta^{5} y \ldots\right]$
Solution:हम जानते हैं कि:

$\delta=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{hD}{2}}-e^{-\frac{hD}{2}}\left(\because E \equiv e^{-h D}\right) \\=2 \sinh \left(\frac{h D}{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{h D}{2}=\sinh^{-1} \left(\frac{\delta}{2}\right) \cdots(1)$
टेलर प्रसार से:

$\sin h^{-1} x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3}{40} x^{5} \ldots\\ \frac{h D}{2}=\frac{\delta}{2}-\frac{\delta^{3}}{6 \times 8}+\frac{3}{40 \times 32} \delta^{5} \cdots\\ D=\frac{1}{h}\left[\delta-\frac{1}{24} \delta^{3}+ \frac{3}{640} \delta^{5} \cdots\right]\\ D y=y^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta y-\frac{1}{24} \delta^{3} y+\frac{3}{640} \delta^{5} y \cdots\right]\\ \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{h}\left[\delta y-\frac{1}{2 y} \delta^{3} y+\frac{3}{640} \delta^{5} y \cdots\right]$
Example:4.निम्न सारणी से f”'(5) ज्ञात कीजिए:

Solution:विभाजित अन्तर सारणी (Divided Difference Table)

Table Calculation:-$\frac{1345-57}{4-2}=644, \frac{66340-1345}{9-4}=12999,\frac{402052-66340}{13-9}=83928,\frac{1118209-402052}{16-13}=238719,\frac{4287844-1118209}{21-16}=633927,\frac{21242820-4287844}{29-21}=2119372 \\ \frac{12999-644}{9-2}=1765,\frac{83928-12999}{13-4}=7881,\frac{238719-83928}{16-9}=22113,\frac{633927-238719}{21-13}=49401,\frac{2119372-633927}{29-16}=114265 \\ \frac{7881-1765}{13-2}=556,\frac{22113-7881}{16-4}=1186,\frac{49401-22113}{21-9}=2274,\frac{114265-49401}{29-13}=4054 \\ \frac{1186-556}{16-2}=45,\frac{2274-1186}{21-4}=64,\frac{4054-2274}{29-9}=89\\ \frac{64-45}{21-2}=1,\frac{89-64}{29-4}=1$
न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र से (Newton Divided Difference Formula):

$f(x)=f(a)+f(x-a)+\Delta f(a)+(x-a)(x-b) \cdot \Delta^{2}f(a)+(x-a)(x-b)(x-c) \Delta^{3} f(a)+(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \Delta^{4} f(a)+(x-a)(x-b) (x-c)(x-d)(x-e) \Delta^{5}f(a)+\cdots$
x के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:

$f^{\prime \prime}(x)=6 \Delta^{3} f(a)+[24 x-6(a+b+c+d)] \Delta^{4} f(a)+\left[60 x^{2}-24 x(a+b+c+d)\right] +6(a b+c d)+(a+b)(c+d)-e(24 x-6(a+b+c+d)] \Delta^{5} f(a)$
a=2,b=4,c=9,d=13,e=16,x=5 रखने पर:

$\Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(5)=6 \times 556+[120-168] 45+[1500-3360+750+792-16(120-168)] \times 1 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(5)=3336-2160+450=1626$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) को समझ सकते हैं।

3.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज के सवाल (Derivatives by Method of Operators Questions):

Derivatives by Method of Operators

(1.)बेसल अन्तर्वेशन सूत्र को मानकर सिद्ध कीजिए कि:
(Assuming Bessel’s interpolation formula prove that):

(i) $\frac{d}{d x}(y x)=\delta y_{x}-\frac{1}{24} \delta^{3} y_{x}+\cdots$

(ii)$\frac{d^{2}}{d x^{2}}(y_{x})=\mu \delta^{2} y_{x}+\cdots$

(iii)$\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left(y_{x}\right)=\delta^{3} y_{x}+\cdots$
(2.)आधार 10 पर 300 से 310 तक इकाई वृद्धि देते हुए दशमलव तक लघुगणक लेकर $\log_{10} x$ का अवकलज x=310 पर ज्ञात कीजिए।
(Take 10 figure logarithm to base 10 from x=300 से x=310 by unit increments in x.Calculate the first derivative of $\log_{10} x$ where x=310.)
उत्तर (Answer):(2.)$\frac{dy}{dx}$=0.0018
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators),संख्यात्मक विश्लेषण में संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method Based on Operators in Numerical Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संकारकों पर आधारित विधि द्वारा अवकलज (Derivatives by Method of Operators) अन्तर्वेशन
पर आधारित अवकलज ज्ञात करने की विधि से अलावा विधि है।