Trigonometric Ratio of Compound Angles
1.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11):
संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Compound Angles) के इस आर्टिकल में दो अथवा दो से अधिक कोणों के बीजीय योग या अन्तर पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के उदाहरण (Trigonometric Ratio of Compound Angles Illustrations):
सिद्ध कीजिए [प्रश्न 1 से 8 तक]
Illustration:1(i). \frac{\cos 8^{\circ}-\sin 8^{\circ}}{\cos 8^{\circ}+\sin 8^{\circ}}=\tan 37^{\circ}
Solution: \frac{\cos 8^{\circ}-\sin 8^{\circ}}{\cos 8^{\circ}+\sin 8^{\circ}}=\tan 37^{\circ} \\ \text{ L.H.S. } \frac{\cos 8^{\circ}-\sin 8^{\circ}}{\cos 8^{\circ}+\sin 8^{\circ}}
अंश व हर में \cos 8^{\circ} का भाग देने परः
=\frac{1-\frac{\sin 8^{\circ}}{\cos 8^{\circ}}}{1+\frac{\sin 8^{\circ}}{\cos 8^{\circ}}} \\ =\frac{1-\tan 8^{\circ}}{1+\tan 8^{\circ}} \\ =\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 8^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 8^{\circ}} \left[\because \tan 45^{\circ}=1\right] \\ =\tan \left(45^{\circ}-8^{\circ}\right) \quad\left[\because \tan (A-B)=\frac{\tan A \tan B}{1+\tan A \cos B}\right] \\ =\tan 37^{\circ}=R.H.S.
Illustration:1(ii). \frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}=\tan 54^{\circ}
Solution: \frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}=\tan 54^{\circ} \\ \text { R.H.S. } \tan 54^{\circ} \\ =\tan \left(45^{\circ}+9^{\circ}\right) \\=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 9^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \tan 9^{\circ}}\left[\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan \tan B}\right] \\ =\frac{1+\tan 9^{\circ}}{1-\tan 9^{\circ}} \quad\left[ \because \tan 45^{\circ}=1\right] \\ =\frac{1+\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}}{1-\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}}\left[\because \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right] \\ =\frac{\frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 59^{\circ}}}{\frac{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}{\cos 59^{\circ}}} \\ =\frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}
Illustration:1(iii). \tan \frac{13 \pi}{12}=2-\sqrt{3}
Solution: \tan \frac{13 \pi}{12}=2-\sqrt{3} \\ \text { L.H.S } \tan \frac{13 \pi}{12} \\ =\tan \left(\pi+\frac{\pi}{12}\right) \\ =\tan \left(\frac{\pi}{12}\right) \\ =\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) \\ =\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\pi}{6}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}} \\ =\frac{1-\tan \frac{\pi}{6}}{1+\tan \frac{\pi}{6}} \\ =\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} \\ =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\=\frac{3+1-2 \sqrt{3}}{3-1} \\ =\frac{4-2 \sqrt{3}}{2}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2} \\ =2-\sqrt{3}=R.H.S.
Illustration:2(i). \tan 70^{\circ}=2 \tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ}
Solution: \tan 70^{\circ}=2 \tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \tan 70^{\circ}=\tan \left(50^{\circ} +20^{\circ}\right) \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}=\frac{\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ}}{1-\tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ}} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}\left(1-\tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ}\right)=\tan 50^{\circ} +\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 20^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 70^{\circ}=\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ} \tan 70^{\circ} =\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \frac{\sin 20^{\circ} \sin 70^{\circ}}{\cos 20^{\circ} \cos 570^{\circ}}=\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \frac{2 \sin 20^{\circ} \sin 70^{\circ}}{2 \cos 20^{\circ} \cos 70^{\circ}}=\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \frac{\cos \left(70^{\circ}-20^{\circ}\right)-\cos \left(70+20^{\circ}\right)}{\cos \left(70^{\circ}+20^{\circ}\right)+\cos \left(70^{\circ} -20^{\circ}\right)}= \tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \frac{\cos 50^{\circ}-\cos 90^{\circ}}{\cos 90^{\circ}+\cos 50^{\circ}}=\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ} \frac{\cos 50^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}= \tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}-\tan 50^{\circ}=\tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 70^{\circ}=2 \tan 50^{\circ}+\tan 20^{\circ}
Illustration:2(ii). \tan 80^{\circ}=2 \tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ}
Solution: \tan 80^{\circ}=\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ}\\ \tan 80^{\circ} =\tan \left(70^{\circ}+ 10^{\circ}\right) \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ} =\frac{\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 70^{\circ} \tan 10^{\circ}} \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}\left(1-\tan 70^{\circ} \tan 10^{\circ}\right)=\tan 70^{\circ} +\tan 10^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ} \tan 70^{\circ} \tan 80^{\circ} =\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}-\tan\left( 90^{\circ}-80^{\circ}\right) \tan 70^{\circ} \tan 80^{\circ}=\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ} \\ \left[\because \tan 10^{\circ}=\tan \left(90^{\circ}-80^{\circ}\right)\right] \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}-\cot 80^{\circ} \tan 70^{\circ} \tan 80^{\circ}=\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}-\tan 70^{\circ} \left( \cot 80^{\circ} \tan 80^{\circ} \right)=\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ} \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}-\tan 70^{\circ}=\tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ} {\left[\because \cot 80^{\circ} \tan 80^{\circ}=1\right]} \\ \Rightarrow \tan 80^{\circ}=2 \tan 70^{\circ}+\tan 10^{\circ}
Illustration:3(i). \tan 8 \theta-\tan 6 \theta-\tan 2 \theta=\tan 8 \theta \tan 6 \theta \tan 2 \theta
Solution: \tan 8 \theta-\tan 6 \theta-\tan 2 \theta=\tan 8 \theta \tan 6 \theta \tan 2 \theta \\ \tan 8 \theta =\tan (6 \theta+2 \theta) \\ \Rightarrow \tan 8 \theta =\frac{\tan 6 \theta+\tan 2 \theta}{1-\tan 6 \theta \tan 2 \theta} \\ \Rightarrow \tan 8 \theta(1-\tan 6 \theta \tan 2 \theta)=\tan 6 \theta +\tan 2 \theta \\ \Rightarrow \tan 8 \theta-\tan 2 \theta \tan 6 \theta \tan 8 \theta=\tan 6 \theta+\tan 2 \theta \\ \Rightarrow \tan 8 \theta-\tan 6 \theta-\tan 2 \theta=\tan 2 \theta \tan 6 \theta \tan 8 \theta
Illustration:3(ii). \cot \theta \cot 2 \theta-\cot 2 \theta \cos 3 \theta -\cot 3 \theta \cot \theta=1
Solution: \cot \theta \cot 2 \theta-\cot 2 \theta \cot 3 \theta-\cot 3 \theta \cot \theta=1 \\ \cot 3 \theta=\cot (2 \theta+\theta) \\ \Rightarrow \cot 3 \theta=\frac{\cot 2 \theta \cot \theta-1}{\cot 2 \theta+\cot \theta}\left[\because \cot (A+B)=\frac{\cot A \cot B -1}{\cot A+\cot B}\right] \\ \Rightarrow \cot 3 \theta(\cot 2 \theta+\cot \theta)=\cot 2 \theta \cot \theta-1 \\ \Rightarrow \cot 3 \theta \cot 2 \theta+\cot 3 \theta \cot \theta=\cot 2 \theta \cot \theta-1 \\ \Rightarrow \cot 2 \theta \cot \theta-\cot 2 \theta \cot 3 \theta-\cot \theta \cot 3 \theta=1
Illustration:4. \frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\frac{(1+\tan x)^2}{(1-\tan x)^2}
Solution: \frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)}=\frac{(1+\tan x)^2}{(1-\tan x)^2}\\ \text{L.H.S. } \frac{\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)} \\ \frac{\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan x}{1-\tan \frac{ \pi}{4} \tan x}}{\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan x}} \\ \left[\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \text { तथा } \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\right] \\ =\frac{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}}{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}} \\ =\frac{(1+\tan x)^2}{(1-\tan x)^2}=R.H.S.
Illustration:5. \frac{\tan ^2 2 \theta-\tan ^2 \theta}{1-\tan ^2 2 \theta \tan ^2 \theta}=\tan \theta \tan 3 \theta
Solution: \frac{\tan ^2 2 \theta-\tan ^2 \theta}{1-\tan ^2 2 \theta \tan ^2 \theta}=\tan \theta \tan 3 \theta \\ \text{R.H.S.} \tan \theta \tan 3 \theta \\ =\tan \theta \tan (2 \theta+\theta) \\=\tan \theta \frac{\tan 2 \theta+\tan \theta}{1-\tan \theta \tan 2 \theta} \\ =\tan (2 \theta-\theta) \frac{(\tan 2 \theta+\tan \theta)}{1-\tan \theta \tan 2 \theta} \\=\left(\frac{\tan 2 \theta-\tan \theta}{1+\tan \theta \tan 2 \theta}\right)\left(\frac{\tan 2 \theta+\tan \theta}{1-\tan \theta \tan 2 \theta}\right) \\ =\frac{\tan ^2 2 \theta-\tan ^2 \theta}{1-\tan ^2 2 \tan ^2 \theta}= R.H.S.
Illustration:6. \frac{\tan (A+B)}{\cot (A-B)}=\frac{\tan ^2 A-\tan ^2 B}{1-\tan ^2 A \tan ^2 B}=\frac{\sin ^2 A-\sin ^2 B}{\cos ^2 A-\sin ^2 B}
Solution: \frac{\tan (A+B)}{\cot (A-B)}=\frac{\tan ^2 A-\tan ^2 B}{1-\tan ^2 A \tan ^2 B}=\frac{\sin ^2 A-\sin ^2 A}{\cos ^2 A-\sin ^2 B} \\ \text{L.H.S. } \frac{\tan (A+B)}{\cot (A-B)} \\ =\tan (A+B) \tan (A-B)\left[\because \tan \theta=\frac{1}{\cot \theta} \right] \\ =\left(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\right)\left(\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\right) \\ =\frac{\tan ^2 A-\tan ^2 B}{1-\tan ^2 A \tan ^2 B}=M.H.S.
पुनः M.H.S. =\frac{\tan ^2 A-\tan ^2 B}{1-\tan ^2 A \tan ^2 B} \\ =\frac{\frac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A}-\frac{\sin ^2 B}{\cos ^2 B}}{1-\frac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A} \cdot \frac{\sin ^2 B}{\cos ^2 B}} \\ =\frac{\frac{\sin ^2 A \cos ^2 B-\cos ^2 A \sin ^2 B}{\cos ^2 A \cos ^2 B}}{\frac{\cos ^2 A \cos ^2 B-\sin ^2 A \sin ^2 B}{\cos ^2 A \cos ^2 B}} \\ =\frac{\sin ^2 A\left(1-\sin ^2 B\right)-\left(1-\sin ^2 A\right) \sin ^2 B}{\cos ^2 A\left(1-\sin ^2 B\right)-\left(1-\cos ^2 A\right) \sin ^2 B} \\ =\frac{\sin ^2 A-\sin ^2 A \sin ^2 B-\sin ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B}{\cos ^2 A-\cos ^2 A \sin ^2 B-\sin ^2 B+\cos ^2 A \sin ^2 B} \\ =\frac{\sin ^2 A-\sin ^2 B}{\cos ^2 A-\sin ^2 B}=R.H.S
Illustration:7. \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right) \cos (2 \pi+\theta)\left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\cot (2 \pi+\theta)\right] =1
Solution: \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right) \cos (2 \pi+\theta)\left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\cot (2 \pi+\theta)\right]=1 \\ \text{L.H.S.} \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right) \cos (2 \pi+\theta)\left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\cot (2 \pi+\theta)\right] =\sin \theta \cos \theta[\tan \theta+\cot \theta] \\ \left[\because \cos \left(270^{\circ}+\theta\right)=\sin \theta, \cos \left(360^{\circ}+\theta\right)=\cos \theta\right. \\ ,\left. \cot \left(210^{\circ}-\theta\right)=\tan \theta, \cot \left(360^{\circ}+\theta\right)=\cot \theta\right] \\ =\sin \theta \cos \theta\left[\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right] \\ =\sin \theta \cos \theta \frac{\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)}{\sin \theta \cos \theta} \\ =1=R.H.S.
Illustration:8. \frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}-\frac{1}{\tan 3 \theta-\tan \theta}=-\cot 2 \theta
Solution: \frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}-\frac{1}{\tan 3 \theta-\tan \theta}=\cot 2 \theta \\ \text{L.H.S. } \frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}-\frac{1}{\tan 3 \theta - \tan \theta} \\=\frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}-\frac{1}{\frac{1}{\cot 3 \theta}-\frac{1}{\cot \theta}}\left[\because \tan \theta=\frac{1}{\cot \theta}\right] \\ =\frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}-\frac{1}{\frac{\cot \theta-\cot 3 \theta}{\cot 3 \theta \cot \theta}} \\ =\frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}-\frac{\cot \theta \cot 3 \theta}{\cot \theta-\cot 3 \theta} \\ =\frac{1}{\cot 3 \theta-\cot \theta}+\frac{\cot \theta \cot 3 \theta}{\cot 3 \theta-\cot \theta} \\ =\frac{\cot \theta \cot 3 \theta+1}{\cot 3 \theta-\cot \theta} \\ =\cot (\theta-3 \theta) \\ =\cot (-2 \theta) \\ =-\cot 2 \theta=R.H.S.
Illustration:9.यदि \tan A=\frac{a}{a-1} एवं \tan B=\frac{1}{2 a-1} हो,तो सिद्ध कीजिए:
A-B=\frac{\pi}{4}
Solution: \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B} \\ =\frac{\frac{a}{a-1}-\frac{1}{2 a-1}}{1+\left(\frac{a}{a-1}\right)\left(\frac{1}{2 a-1}\right)} \\ =\frac{\frac{a(2 a-1)-(a-1)}{(a-1)(2 a-1)}}{\frac{(a-1)(2 a-1)+a}{(a-1)(2 a-1)}} \\=\frac{2 a^2-a-a+1}{2 a^2-a-2 a+1+a} \\=\frac{2 a^2-2 a+1}{2 a^2-2 a+1} \\ =1 \\ \Rightarrow \tan (A-B)=1 \\ \Rightarrow \tan (A-B)=\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow A-B=\frac{\pi}{4}
Illustration:10.यदि \alpha एवं \beta समीकरण a \tan \theta+b \sec \theta=c को सन्तुष्ट करते हैं तो सिद्ध कीजिएः
\tan (\alpha+\beta)=\frac{2 a c}{a^2-c^2}
Solution: a \tan \theta+b \sec \theta=c के मूल \alpha एवं \beta हैं अतः
a \tan \alpha+b \sec \alpha=c \cdots(1) \\ a \tan \beta+b \sec \beta=c \cdots(2)
समीकरण (1) को व समीकरण (2) को से गुणा करने परः
\begin{array}{c}a \tan \alpha \sec \beta+b \sec \alpha \sec \beta=c \sec \beta \cdots(3) \\ a \tan \beta \sec \alpha+b \sec \alpha \sec \beta=c \sec \alpha \cdots(4) \text{ घटाने परः } \\ \hline \end{array} \\ a \tan \alpha \sec \beta-a \tan \beta \sec \alpha=c \sec \beta-c \sec \alpha \\ \Rightarrow a(\tan \alpha \sec \beta-\tan \beta \sec \alpha)=c(\sec \beta-\sec \alpha) \\ \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{\sec \beta-\sec \alpha}{\tan \alpha \sec \beta-\tan \beta \sec \alpha} \\ \Rightarrow \frac{a}{c}-\frac{c}{a}=\frac{\sec \beta-\sec \alpha}{\tan \alpha \sec \beta-\tan \beta \sec \alpha}-\frac{\tan \alpha \sec \beta-\tan \beta \sec \alpha}{\sec \beta-\sec \alpha} \\ \Rightarrow \frac{a^2-c^2}{a c}=\frac{(\sec \beta-\sec \alpha)^2-(\tan \alpha \sec \beta-\tan \beta \sec \alpha)^2}{(\sec \beta-\sec \alpha)(\tan \alpha \sec \beta-\tan \beta \sec \alpha)}\\ = \frac{\sec ^2 \beta+\sec ^2 \alpha-2 \sec \beta \sec \alpha-\tan ^2 \alpha \sec ^2 \beta-\tan ^2 \beta \sec ^2 \alpha+2 \sec \alpha \sec \beta \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha \sec ^2 \beta-\tan \beta \sec \alpha \sec \beta-\sec \alpha \tan \alpha \sec \beta + \tan \beta \sec^2 \alpha} \\ =\frac{1+\tan ^2 \beta+1+\tan ^2 \alpha-2 \sec \beta \sec \alpha-\tan ^2 \alpha \sec ^2 \beta -\tan ^2 \beta \sec ^2 \alpha+2 \sec \alpha \sec \beta \tan \alpha \tan \beta}{\tan^2 \alpha(1+\tan^2 \beta)-\tan \beta \sec \alpha \sec \beta-\sec \alpha \tan \alpha \sec ^2 \beta+\tan \beta\left(1+\tan ^2 \alpha\right)} \\ =\frac{2-\tan ^2 \beta\left(\sec ^2 \alpha-1\right)-\tan ^2 \alpha\left(\sec ^2 \beta-1\right)-2 \sec \beta \sec \alpha+2 \sec \alpha \sec \beta \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \alpha \tan ^2 \beta-\tan \beta \sec \alpha \sec \beta-\sec \alpha \tan \alpha \sec \beta+\tan \beta+\tan \beta \tan^2 \alpha} \\=\frac{2-\tan ^2 \beta \tan ^2 \alpha-\tan ^2 \alpha \tan ^2 \beta-2 \sec \alpha \sec \beta(1-\tan \alpha \tan \beta)} {\tan \alpha+\tan \beta+\tan \alpha \tan \beta(\tan \alpha+\tan \beta)-\sec \alpha \sec \beta(\tan \alpha+\tan \beta)} \\ =\frac{2-2 \tan ^2 \alpha \tan ^2 \beta-2 \sec \alpha \sec \beta(1-\tan \alpha \tan \beta)}{(\tan \alpha+ \tan \beta)(1+\tan \alpha \tan \beta-\sec \alpha \sec \beta)} \\ =\frac{2\left[1-\tan ^2 \alpha \tan ^2 \beta-2 \sec \alpha \sec \beta \left(1-\tan \alpha \tan \beta\right)\right]}{(\tan \alpha+ \tan \beta)(1+\tan \alpha \tan \beta-\sec \alpha \sec \beta)} \\ =\frac{2[(1+\tan \alpha \tan \beta)(1-\tan \alpha \tan \beta)-2 \sec \alpha \sec \beta(1-\tan \alpha \tan \beta)]}{(\tan \alpha +\tan \beta)(1+\tan \alpha \tan \beta-\sec \alpha \sec \beta)} \\=\frac{2(1+\tan \alpha \tan \beta-\sec \alpha \sec \beta)(1-\tan \alpha \tan \beta)}{(\tan \alpha+\tan \beta)(1+\tan \alpha \tan \beta-\sec \alpha \sec \beta)} \\ \frac{a^2-c^2}{a c} =\frac{2(1-\tan \alpha \tan \beta)}{\tan \alpha+\tan \beta} \\ \Rightarrow \frac{2 a c}{a^2-c^2}=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} \\ \Rightarrow \tan (\alpha+\beta)=\frac{2 a c}{a^2-c^2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) को समझ सकते हैं।
3.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात की समस्याएँ (Trigonometric Ratio of Compound Angles Problems):
(1.)सिद्ध कीजिए कि \tan 13 A-\tan 9 A-\tan 4 A=\tan 13 A \tan 9A \tan 4A
(2.)यदि \tan(A+B)=n(A-B) हो,तो प्रदर्शित कीजिए: (n+1) \sin 2 B=(n-1) \sin 2 A
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.Tangent के सूत्र लिखो। (Write Down the Formulas of Tangent):
उत्तर: (1.) \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}
(2.) \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}
प्रश्न:2.दो कोणों के योग व अन्तर के Cotangent के सूत्र लिखो। (Write the Formulas of Cotangent of Sum and Difference of Two Angles):
उत्तर: (1.) \cot (A+B)=\frac{\cot A \cot B-1}{\cot A+\cot B}
(2.) \cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B+1}{\cot B-\cot A}
प्रश्न:3.दो कोणों के योग और अन्तर के त्रिकोणमितीय अनुपात के सूत्र लिखो। (Write the Formulas for Trigonometric Ratios of Sum and Difference of Two Angles):
उत्तर: (1.) \sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B
(2.) \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B
(3.) \sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B
(4.) \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Compound Angles),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 11 (Trigonometrical Ratios of Compound Angles Class 11) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
(Trigonometric Ratio of Compound Angles)
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
