Tips of Vogel Approximation Method

Mathematics Satyam May 29, 2025 Linear Programming No Comments

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1 1.वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

1.1 2.वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स के साधित उदाहरण (Tips of Vogel Approximation Method Solved Illustrations):

1.1.1 3.वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Frequently Asked Questions Related to Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.परिवहन समस्या को समझाइए। (Explain Transportation Problem):

1.1.3 प्रश्न:2.परिवहन समस्या के सुसंगत हल की क्या शर्त है? (What is the Condition for a Feasible Solutolion to the Transportation Problem?):

1.1.4 प्रश्न:3.खाली कोष्ठिकाओं की गणना किस प्रमेय के आधार पर की जाती है? (Empty Cells Are Calculated on the Basis of Which Theorem?):

1.1.4.1 Tips of Vogel Approximation Method

2 वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स(Tips of Vogel Approximation Method)

2.1 Tips of Vogel Approximation Method

1.वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

Tips of Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Tips of Vogel Approximation Method) के इस आर्टिकल में परिवहन समस्याओं वाले सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे और उनका इष्टतम हल ज्ञात करेंगे।
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2.वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स के साधित उदाहरण (Tips of Vogel Approximation Method Solved Illustrations):

Illustration:17.निम्न सारणी में मांग $b_{j}$ ,j=1,2,3,4,पूर्ति $a_{i}$ ,i=1,2,3 तथा इकाई परिवहन व्यय दर्शाया गया है।इस परिवहन समस्या का इष्टतम हल ज्ञात कीजिए।
(Give below the unit costs array with supplies $a_{i}$ (i=1,2,3) and demand $b_{j}$ (j=1,2,3,4).Find the optimal solution of the following transportation problem.)
$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline \text{Sources} \downarrow & \multicolumn{4}{|c|}{\text{sinks} \to} & \text{Availability} a_{i} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & \\ \hline 1 & 8 & 10 & 7 & 6 & 50 \\ 2 & 12 & 9 & 4 & 0 & 40 \\ 3 & 9 & 11 & 10 & 8 & 30 \\ \hline \text { Demand } b_{j} & 25 & 32 & 40 & 23 & 120 \\ \hline \end{array}$
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठकों में लिखते हैं इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला चतुर्थ स्तम्भ है जिसकी शास्ति 6 है।अतः चतुर्थ स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,4) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(40,23)=23 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति हैं जिसकी शास्ति 5 है।अब द्वितीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,3) को चुनते हैं।इसमें min(17,40)=17 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ है जिनकी शास्ति 3 है।तृतीय स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,3) को चुनते हैं इसमें min(50,23)=23 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति है जिसकी शास्ति 2 है।प्रथम पंक्ति के न्यूनतम लागत (आवंटन योग्य) वाले कोष्ठक (1,1) को चुनते हैं।इस पर min(27,25)=25 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर शेष 27-25=2 इकाईयाँ अगले न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,2) पर min(2,32)=2 का आवंटन करते हैं।शेष इकाइयाँ कोष्ठक (3,2) पर min(30,30)=30 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|cccc|c|ccccc|} \hline \text{Sources} \downarrow & \multicolumn{4}{|c|}{\text{sinks} \to} & a_{i} & \multicolumn{5}{|c|}{\text{Penalty}} \\ & 1 & 2 & 3 & 4 & & & & & & \\ \hline 1 & 25(8) & 2(10) & 23(7) & (6) & 50/27/ \not{2} & (1) & (1) & (1) & (2) & -\\ 2 & (12) & (9) & 17(4) & 23(0) & 40 /\not{17} & (4) & (5) & - & - & - \\ 3 & (9) & 30(11) & (10) & (8) & \not{30} & (1) & (1) & (1) & (1) & (1)\\ \hline b_{j} & \not{25} & 32 / \not{30} & 40 / \not{23} & \not{23} \\ \cline{1-5} \text{Penalty} & (1) & (1) & (3) & (6) \\ & (1) & (1) & (3) & - \\ & (1) & (1) & (3) & - \\ & (1) & (1) & - & - \\ & - & - & - & -\\ \cline{1-5} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|cccc|} \multicolumn{1}{c}{} & 1 & 2 & 3 & \multicolumn{1}{c}{4} \\ \cline{2-5} 1 & 25(8) & 2(10) & 23(7) & \\ 2 & & & 17(4) & 23(0) \\ 3 & & 30(11) & & \\ \cline{2-5} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=25×8+2×10+23×7+17×4+23×0+30×11
=200+20+161+68+0+330
=779 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 6 है जो m+n-1=3+4-1=6 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम पंक्ति हैं।अतः $u_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij}=u_{i} + v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|cccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-5} & *(8) & *(10) & *(7) & & 0\\ & & & *(4) & *(0) & -3 \\ & & *(11) & & & 1 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & 8 & 10 & 7 & \multicolumn{1}{c}{3} \end{array} \\ c_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 8=0+v_1 \Rightarrow v_1=8 \\ c_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 10=0+v_2 \Rightarrow v_2=10 \\ c_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 7=0+v_3 \Rightarrow v_3=7 \\ c_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 4=u_2+7 \Rightarrow u_2=-3 \\ c_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 0=-3+v_4 \Rightarrow v_4=3 \\ c_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 11=u_3+10 \Rightarrow u_3=1$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{llll} * & * & * & 3 \\ 5 & 7 & * & * \\ 9 & * & 8 & 4 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{cccc} * & * & * & 6 \\ 12 & 9 & * & * \\ 9 & * & 10 & 8 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$
$\left[d_{ij}\right]=\left[C_{ij}\right]-\left[u_{i} + v_j\right] =\left[\begin{array}{cccc} * & * & * & 6 \\ 12 & 9 & * & *\\ 9 & * & 10 & 8 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} * & * & * & 3 \\ 5 & 7 & * & * \\ 9 & * & 8 & 4 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij}\right]=\left[\begin{array}{cccc} * & * & * & 3 \\ 7 & 2 & * & *\\ 0 & * & 2 & 4 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ के सभी अवयव ऋणेत्तर हैं अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।साथ ही $d_{31}=0$ इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक हल भी विद्यमान है।इस हल से प्राप्त न्यूनतम लागत
न्यूनतम परिवहन लागत=779 रुपए

Tips of Vogel Approximation Method

Illustration:18.तीन फैक्ट्रियों $(S_1 , S_2 , S_3)$ ने तीन गोदामों $(D_1 , D_2 , D_3)$ को माल भेजा जाना है।फैक्ट्रियों द्वारा साप्ताहिक आपूर्ति क्रमशः 50,40 एवं 47 इकाईयों की है।गोदामों की माँग क्रमशः 60,35 एवं 42 चर इकाईयों की है।सम्बन्धित परिवहन लागतें निम्न तालिका में दिये अनुसार है।न्यूनतम लागत आवंटन ज्ञात कीजिए।
(Three factories $(S_1 , S_2 , S_3)$ transport goods to three godowns $(D_1 , D_2 , D_3)$ .The weekly supply from factories are 50,40 and 47 units respective.The respectively weekly warehouse demands are 60,35 and 42 units.The associated transportation costs are given in the table.Find the allocation the minimize total cost.)
$\begin{array}{c|ccc|} \multicolumn{1}{c}{} & S_1 & S_2 & \multicolumn{1}{c}{S_3} \\ \cline{2-4} D_1 & 15 & 10 & 16 \\ D_2 & 11 & 10 & 11 \\ D_3 & 13 & 14 & 12 \\ \cline{2-4} \end{array}$
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति है जिसकी शास्ति 5 है।अतः प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,2) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(50,35)=35 करते हैं और सीमा पूरी नहीं होने पर शेष इकाईयाँ 50-35=15 का आवंटन अगले न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,1) पर min(15,60)=15 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाला प्रथम स्तम्भ हैं जिसकी शास्ति 2 है।अब प्रथम स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले (आवंटन योग्य) कोष्ठक (2,1) को चुनते हैं।इसमें min(40,45)=40 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर शेष 45-40=5 इकाइयाँ अगले न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,1) पर min(47,5)=5 का आवंटन करते हैं।शेष इकाईयाँ कोष्ठक (3,3) पर min(42,42)=42 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|ccc|c|c|} \hline \text{godowns} & \multicolumn{3}{c}{\text{Factories}} & \text{Supply} & \text{Penalty}\\ & S_1 & S_2 & S_3 & & \\ \hline D_{1} & 15(15) & 35(10) & (16) & 50 / \not{15} & 5 \\ D_{2} & 40(11) & (10) & (11) & \not{40} & 1 / 1 \\ D_{3} & 5(13) & (14) & 42(12) & 47 / \not{42} & 1 / 1 \\ \hline \text{Demand} (b_{j})& 60 / 45 / \not{5} & \not{35} & \not{42} \\ \cline{1-4} \text{Penalty} & 2/2 & 4 & 1/1 \\ \cline{1-4} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccc|} \multicolumn{1}{c}{} & S_1 & S_2 & \multicolumn{1}{c}{S_3} \\ \cline{2-4} D_1 & 15(15) & 30(10) & \\ D_2 & 40(11) & & \\ D_3 & 5(13) & & 42(12) \\ \cline{2-4} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=15×15+30×10+40×11+5×13+42×12
=225+300+440+65+504
=1534 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 5 है जो m+n-1=3+3-1=5 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाला प्रथम स्तम्भ हैं।अतः $v_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij}=u_{i} + v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \to \\ \cline{2-4} & *(15) & *(10) & & 15\\ & *(11) & & & 11 \\ & *(13) & & *(12) & 13 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \to & 0 & -5 & \multicolumn{1}{c}{-1} \end{array} \\ c_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 15=u_1+0 \Rightarrow u_1=15 \\ c_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 11=u_2+0 \Rightarrow u_2=11 \\ c_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 13=u_3+0 \Rightarrow u_3=13 \\ c_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 10=15+v_2 \Rightarrow v_2=-5 \\ c_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 12=13+v_3 \Rightarrow v_3=-1$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} * & * & 14 \\ * & 6 & 10 \\ * & 8 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ccc} * & * & 16 \\ * & 10 & 11 \\ * & 14 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$
$\left[d_{ij}\right]=\left[C_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} * & * & 16 \\ * & 10 & 11 \\ * & 14 & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc} * & * & 14 \\ * & 6 & 10 \\ * & 8 & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow [d_{ij}]=\left[\begin{array}{lll} * & * & 2 \\ * & 4 & 1 \\ * & 6 & * \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ के सभी अवयव ऋणेत्तर हैं अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।
इस इष्टतम हल से प्राप्त न्यूनतम लागत
$x_{41}=15, x_{12}=35, x_{21}=40, x_{31}=5, x_{33}=49$
न्यूनतम परिवहन लागत=1534 रुपए
Illustration:19.एक सीमेन्ट फैक्ट्री का मैनेजर अपनी सीमेन्ट उत्पादन की तीन इकाईयों P,Q तथा R से पाँच डिपो A,B,C,D तथा E पर सीमेन्ट भिजवाना चाहता है।निम्न सारणी में साप्ताहिक उत्पादन,मांग तथा परिवहन लागत प्रति टन दी गई है।
(A cement factory manager is considering the best way to transport cement from his three manufacturing centres P,Q and R to depots A,B,C,D and E.The weekly productions and the demand along with transportation cost per ton are given below)
$\begin{array}{|c|ccccc|c|} \hline \text{ (Origin) } & \multicolumn{5}{c|}{\text{ (Depot) }} & \text{ (Supply)}\\ & A & B & C & D & E & \\ \hline P & 4 & 1 & 3 & 4 & 4 & 60 \\ Q & 2 & 3 & 2 & 2 & 3 & 35 \\ R & 3 & 5 & 2 & 4 & 4 & 40 \\ \hline \text{ (Demand)} & 22 & 45 & 20 & 18 &30 & 135 \\ \hline \end{array}$
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति तथा द्वितीय,चतुर्थ स्तम्भ है जिनकी शास्ति 2 है।इनमें से द्वितीय स्तम्भ को चुनते हैं।द्वितीय स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,2) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(60,45)=45 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाला चतुर्थ स्तम्भ हैं जिसकी शास्ति 2 है।अतः चतुर्थ स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,4) को चुनते हैं।इसमें min(35,18)=18 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम,द्वितीय,तृतीय पंक्ति तथा प्रथम,तृतीय,पंचम स्तम्भ हैं जिनकी शास्ति 1 है।इनमें से द्वितीय पंक्ति को चुनते हैं।द्वितीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,3) को चुनते हैं।इसमें min(17,20)=17 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम,तृतीय पंक्ति तथा प्रथम,तृतीय व पंचम स्तम्भ हैं जिनकी शास्ति 1 है।इनमें से प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं।प्रथम स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,1) को चुनते हैं इसमें min(45,22)=22 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम,तृतीय पंक्ति तथा तृतीय,पंचम स्तम्भ हैं जिनकी शास्ति 1 है।इनमें से तृतीय पंक्ति को चुनते हैं।तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत (आवंटन योग्य) वाले कोष्ठक (3,3) को चुनते हैं।इस पर min(18,3)=3 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर शेष इकाईयाँ 18-3=15 का आवंटन अगली न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,5) पर अधिकतम आवंटन min(15,30)=15 का करते हैं।शेष इकाइयों का आवंटन कोष्ठक (1,5) पर min(15,15)=15 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|ccccc|c|c|} \hline \text{(Origin) } & \multicolumn{5}{c|}{\text{ (Depot) }} & \text{(Supply)} & \text{Penalty} \\ & A & B & C & D & E & \\ \hline P & (4) & 45(1) & (3) & (4) & 15(4) & 60/ \not{15} & 2/1/1/1/1 \\ Q & (2) & (3) & 17(2) & 18(2) & (3) & 35 / \not{17} & 1/1/1\\ R & 22(3) & (5) & 3(2) & (4) & 15(4) & 40/18/ \not{15} & 1/1/1/1/2 \\ \hline \text{(Demand)} & \not{22} & \not{45} & 20 / \not{3} & \not{15} & 30/ \not{15} \\ \cline{1-6} \text{Penalty} & 1/1/1 & 2 & 1/1/1/1/1 & 2/2 & 1/1/1/1/1 \\ \cline{1-6} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccccc|} \multicolumn{1}{c}{} & A & B & C & D & \multicolumn{1}{c}{E}\\ \cline{2-6} P & & 45(1) & & &15(4)\\ Q & & & 17(2) & 18(2) & \\ R & 22(3) & & 3(2) & & 15(4) \\ \cline{2-6} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=45×1+15×4+17×2+18×2+22×3+3×2+15×4
=45+60+34+36+66+6+60
=307 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 7 है जो m+n-1=3+5-1=7 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली तृतीय पंक्ति हैं।अतः $u_{3}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij}=u_{i} + v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & & *(1) & & & *(4) & 0\\ & & & *(2) & *(2) & & 0 \\ & *(3) & & *(2) & & *(4) & 0\\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \to & 3 & 1 & 2 & 2 & \multicolumn{1}{c}{4} \\ \end{array} \\ c_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=0+v_1 \Rightarrow v_1=3 \\ c_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 2=0+v_3 \Rightarrow v_3=2 \\ c_{35}=u_3+v_5 \Rightarrow 4=0+v_5 \Rightarrow v_5=4 \\ c_{15}= u_1+v_5 \Rightarrow 4=u_1+4 \Rightarrow u_1=0 \\ c_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 2=u_2+2 \Rightarrow u_2=0 \\ c_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 1=0+v_2 \Rightarrow v_2=1 \\ c_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 2=0+v_4 \Rightarrow v_4=2$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 3 & * & 2 & 2 & * \\ 3 & 1 & * & * & 4 \\ * & 1 & * & 2 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 4 & * & 3 & 4 & * \\ 2 & 3 & * & * & 3 \\ * & 5 & * & 4 & *\end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$
$\left[d_{ij}\right]=\left[C_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{ccccc} 4 & * & 3 & 4 & *\\ 2 & 3 & * & * & 3\\ * & 5 & * & 4 & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc} 3 & * & 2 & 2 & * \\ 3 & 1 & * & * & 4 \\ * & 1 & * & 2 & *\end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij}\right]=\left[ \begin{array}{ccccc} 1 & * & 1 & 2 & * \\ -1 & 2 & * & * & -1 \\ * & 4 & * & 2 & * \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ में $d_{21}=d_{25}=-1$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।इनमें $d_{21}=-1$ को लेते हैं जो न्यूनतम है अतः कोष्ठक (2,1) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{21}=-1$ न्यूनतम $\left[d_{ij}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर – $\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & 45(1) & & & 15(4) \\ \hline+\theta & \longleftarrow & 17-\theta(2) & 18(2) & \\ \hline \downarrow & & \uparrow & & \\ 22-\theta(3) & \to & 3+\theta(2) & & 15(4) \\ \hline \end{array} \\ \min (17-\theta, 22-\theta)=0 \Rightarrow 17-\theta=0 \Rightarrow \theta=17$
इस प्रकार कोष्ठिका (2,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|ccccc|} \hline & 45(1) & & & 15(4) \\ 17(2) & & & 18(2) & \\ 5(3) & & 20(2) & & 15(4) \\ \hline \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=45×1+15×4+17×2+18×2+5×3+20×2+15×4
=45+60+34+36+15+40+60
=290 रुपये
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली तृतीय पंक्ति हैं।अतः $u_3$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $c_{ij}=u_{i} + v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & & *(1) & & & *(4) & 0\\ & *(2) & & & *(2) & & -1 \\ & *(3) & & *(2) & & *(4) & 0 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \to & 3 & 1 & 2 & 3 & \multicolumn{1}{c}{4} \end{array} \\ c_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=0+v_1 \Rightarrow v_1=3 \\ c_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 2=0+v_3 \Rightarrow v_3=2 \\ c_{35}=u_3+v_5 \Rightarrow 4=0+v_5 \Rightarrow v_5=4 \\ c_{15}=u_1+v_5 \Rightarrow 4=u_1+4 \Rightarrow u_1=0 \\ c_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 1=0+v_2 \Rightarrow v_2=1 \\ c_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 2=u_2+3 \Rightarrow u_2=-1 \\ c_{24}=u_2+v_4 \Rightarrow 2=-1+v_4 \Rightarrow v_4=3$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_{i}+v_{j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 3 & * & 2 & 3 & * \\ * & 0 & 1 & * & 3 \\ * & 1 & * & 3 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[c_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 4 & * & 3 & 4 & * \\ * & 3 & 2 & * & 3 \\ * & 5 & * & 4 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$
$\left[d_{ij}\right]=\left[c_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{ccccc} 4 & * & 3 & 4 & * \\ * & 3 & 2 & * & 3 \\ * & 5 & * & 4 & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccccc} 3 & * & 2 & 3 & *\\ * & 0 & 1 & * & 3 \\ * & 1 & * & 3 & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & * & 1 & 1 & * \\ * & 3 & 1 & * & 0 \\ * & 4 & * & 1 & * \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ के सभी अवयव ऋणेत्तर हैं अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।साथ ही $d_{25}=0$ इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक इष्टतम हल भी विद्यमान है।
इस हल से प्राप्त न्यूनतम परिवहन लागत=290 रुपए
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

Tips of Vogel Approximation Method

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3.वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Frequently Asked Questions Related to Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.परिवहन समस्या को समझाइए। (Explain Transportation Problem):

उत्तर:परिवहन समस्या को हल करते समय प्रबन्धक व्यवसायी का मूल उद्देश्य होता है कि न्यूनतम लागत योजना (मार्ग) द्वारा किस प्रकार उपलब्ध मात्रा में सभी स्थानों की माँगों को पूरा किया जा सकता है।इस प्रकार की समस्याएँ परिवहन (Transportation) या वितरण (Distribution) की समस्या कहलाती है।

प्रश्न:2.परिवहन समस्या के सुसंगत हल की क्या शर्त है? (What is the Condition for a Feasible Solutolion to the Transportation Problem?):

उत्तर:समस्या की m माँगों व n पूर्तियों से सम्बन्धित m+n प्रतिबन्धों में से किसी भी एक प्रतिबन्ध को हटाकर समस्या को m+n-1 प्रतिबन्धों वाली रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।स्पष्टतः किसी भी परिवहन समस्या के सुसंगत हल में चरों की संख्या m+n-1 के बराबर होगी।

प्रश्न:3.खाली कोष्ठिकाओं की गणना किस प्रमेय के आधार पर की जाती है? (Empty Cells Are Calculated on the Basis of Which Theorem?):

उत्तर:यदि एक आधारी सुसंगत हल में (m+n-1) स्वतन्त्र धनात्मक नियतन हों तथा स्वेच्छ संख्यायें $u_{i}$ (i=1,2,3….m) एवं $v_{j}$ (j=1,2,3,….,n) सभी इस प्रकार है कि भरी कोष्ठिका (r,s) के लिए $c_{rs}=u_r+v_s$ ,तो प्रत्येक रिक्त कोष्ठिका (i,j) के संगत मूल्यांकन $\left[d_{ij}\right]=\left[c_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right]$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स
(Tips of Vogel Approximation Method)

Tips of Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि की टिप्स (Tips of Vogel Approximation Method) के इस आर्टिकल में
परिवहन समस्याओं वाले सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे और उनका इष्टतम
हल ज्ञात करेंगे।

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.