वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या (Transportation Problem by Vogel Method) के इस आर्टिकल में परिवहन समस्याओं वाले सवालों को वोगल सन्निकटन विधि द्वारा हल ज्ञात करना सीखेंगे जिसमें असन्तुलित समस्याएँ भी शामिल है।
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2.वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या के उदाहरण (Transportation Problem by Vogel Method Illustrations):

Illustration:13.निम्न असन्तुलित परिवहन समस्या में पूर्ति पर्याप्त नहीं है अतः कुछ माँग सन्तुष्ट नहीं होती है।माना प्रत्येक असन्तुष्ट माँग के लिए 1,2 तथा 3 के लिए शास्ति 5,3 तथा 2 है।इष्टतम हल ज्ञात कीजिए।
(In the following unbalanced transportation problem there is not enough supply, some of the demand at there destinations may not be satisfied. Suppose there are penalty costs for every unsatisfied demand unit which are given by 5,3 and 2 for destinations 1,2 and 3 respectively. Find the optimal solution)
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Descriptions }\\ \hline & 1 & 2 & 3 & \\ \hline 1 & 5 & 1 & 7 & 10 \\ \hline 2 & 6 & 4 & 6 & 80 \\ \hline 3 & 3 & 2 & 5 & 15\\ \hline \text{Demand} & 75 & 20 & 50 \\ \hline \end{array}$
Solution: चरण (Step):I.यहाँ कुल पूर्ति इकाइयाँ $\Sigma a_{i}=10+80+15=105$ ,कुल माँग $\Sigma b_{j}=75+20+50=145$ से कम हैं।हम एक प्रश्नानुसार $\Sigma b_{j}-\Sigma a_{i}=145-105=40$ इकाइयां मान लेते हैं।अब नई परिवर्तन समस्या निम्न प्रकार है:
$\begin{array}{c|lll|l} \multicolumn{1}{c}{} & 1 & 2 & \multicolumn{1}{c}{3} & \text{Supply} \\ \cline{2-4} 1 & 5 & 1 & 7 & 10 \\ 2 & 6 & 4 & 6 & 80 \\ 3 & 3 & 2 & 5 & 15 \\ 4 & 5 & 3 & 2 & 40 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{\text { Demand }} & 75 & 20 & \multicolumn{1}{c}{50} & 145 \end{array}$
पद (Step):II.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):III.अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति है जिसकी शास्ति 4 है।अतः प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,2) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(10,20)=10 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ हैं जिसकी शास्ति 3 है।अतः तृतीय स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (4,3) को चुनते हैं।इसमें min(40,50)=40 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (3,3) पर अधिकतम आवंटन min(15,10)=10 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति व प्रथम स्तम्भ है।इनमें से प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं।प्रथम स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,1) को चुनते हैं इसमें min(5,75)=5 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (आवंटन योग्य) (2,1) पर अधिकतम आवंटन min(80,70)=70 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 2 है।द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2,2) को चुनते हैं इसमें min(10,10)=10 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|ccc|c|cccc|} \hline & 1 & 2 & 3 & \text{(Supply)} & \multicolumn{4}{c|}{\text{Penalty}} \\ \hline 1 & (5) & 10(1) & (7) & \not{10} & 4 & - & - &- \\ 2 & 70(6) & 10(4) & (6) & 80 / \not{10} & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 5(3) & (2) & 10(5) & 15 / 5 & 1 & 1 & 1 & - \\ 4 & (5) & (3) & 40(2) & \not{40} & 1 & 1 &- & -\\ \hline \text{Demand} & 75 & 20 / \not{10} & 50/ \not{10} \\ \cline{1-4} \text{Penalty} & 2 & 1 & 3 \\ & 2 & 1 & 3 \\ & 2 & 1 & - \\ & - & 1 & - \\ \cline{1-4} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccc|} \multicolumn{1}{c}{} & 1 & 2 & \multicolumn{1}{c}{3} \\ \cline{2-4} 1 & & 10(1) & \\ 2 & 70(6) & 10(4) & \\ 3 & 5(3) & & 10(5) \\ 4 & & & 40(2) \\ \cline{2-4} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=10×1+70×6+10×4+5×3+10×5+40×2
=10+420+40+15+50+80
=615 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 6 है जो m+n-1=4+3-1=6 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली द्वितीय व तृतीय पंक्ति तथा प्रथम व द्वितीय स्तम्भ में से प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं।अतः $v_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $\left[c_{i j} \right]=\left[u_i+v_j\right]$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-4} & & *(1) & & 3\\ & *(6) & *(4) & & 6 \\ & *(3) & & *(5) & 3\\ & & & *(2) & 0\\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & 0 & -2 & \multicolumn{1}{c}{2} \end{array} \\ c_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 6=u_2+0 \Rightarrow u_2=6 \\ c_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=u_3+0 \Rightarrow u_3=3 \\ c_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 4=6+v_2=v_2=-2 \\ c_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 1=u_1-2 \Rightarrow u_1=3 \\ c_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 5=3+v_3 \Rightarrow v_3=2 \\ c_{43}=c_4+v_3 \Rightarrow 2=c_4+2 \Rightarrow c_4=0$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} 3 & * & 5 \\ * & * & 8 \\ * & 1 & * \\ 0 & -2 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 5 & * & 7 \\ * & * & 6 \\ * & 2 & * \\ 5 & 3 & * \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$
$\left[d_{ij}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc} 5 & * & 7 \\ * & * & 6 \\ * & 2 & * \\ 5 & 3 & * \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc} 3 & * & 5 \\ * & * & 8 \\ * & 1 & * \\ 0 & -2 & * \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 2 & * & 2 \\ * & * & -2 \\ * & 1 & * \\ 5 & 5 & * \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ में $d_{23}=-2$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है। $d_{23}=-2$ न्यूनतम है अतः कोष्ठक (2,3) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{23}=-2$ न्यूनतम $d_{ij}=-2$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर – $\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 10(1) & \\ \hline 70-\theta(6) \longrightarrow & 10(4) & +\theta \downarrow \\ \hline 5+\theta(3) \uparrow & \longleftarrow & 10-\theta(5) \\ \hline & & 40(2) \\ \hline \end{array} \\ \min(10-\theta, 70-\theta)=0 \Rightarrow 10-\theta=0 \Rightarrow \theta =10$
इस प्रकार कोष्ठिका (3,4) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|ccc|} \hline & 10(1) & \\ 60(6) & 10(4) & 10(6) \\ 15(3) & & \\ & & 40(2) \\ \hline \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=10×1+60×6+10×4+10×6+15×3+40×2
=10+360+40+60+45+80
=595 रुपये
मूल न्यूनतम परिवहन लागत=595-40×2=515 रुपये
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली द्वितीय पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{2}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{ij}=u_{i}+v_{j}$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-4} & & *(1) & & -3 \\ & *(6) & *(4) & *(6) & 0 \\ & *(3) & & & -3\\ & & & *(2) & -4 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & 6 & 4 & \multicolumn{1}{c}{6} & \end{array} \\ c_{21}=u_2+v_1 \Rightarrow 6=0+v_1 \Rightarrow v_1=6 \\ c_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 4=0+v_2 \Rightarrow v_2=4 \\ c_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 6=0+v_3 \Rightarrow v_3=6 \\ c_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 1=u_1+4 \Rightarrow u_1=-3 \\ c_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 6=u_2+v_6 \Rightarrow u_2=0 \\ c_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=u_3+6 \Rightarrow u_3=-3 \\ c_{42}=u_{31}+v_3 \Rightarrow 2=u_4+6 \Rightarrow u_4=-4$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} 3 & * & 3 \\ * & * & * \\ * & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 5 & * & 7 \\ * & * & * \\ * & 2 & 5 \\ 5 & 3 & 2 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$
$\left[d_{ij}\right]=\left[C_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{ccc} 5 & * & 7 \\ * & * & * \\ * & 2 & 5 \\ 5 & 3 & 2 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{ccc} 3 & * & 3 \\ * & * & * \\ * & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{ij}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 2 & * & 4 \\ * & * & * \\ * & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 0\end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ के सभी अवयव ऋणेतर हैं अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है।साथ ही $\left[d_{43}=0\right]$ इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक इष्टतम हल भी विद्यमान है।अतः इस हल से प्राप्त न्यूनतम परिवहन लागत

$x_{12}=10, x_{21}=60, x_{22}=10, x_{23}=10, x_{31}=15, x_{43}=40$
न्यूनतम परिवहन लागत=515 रुपये इष्टतम है।

Transportation Problem by Vogel Method

Illustration:14.नीचे दी हुई परिवहन समस्या को हल कीजिए:
(Solve the following transportation problem):
$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline \text{ स्टोर गोदाम } & & \text{परिवहन } & & \text{लागत} & \text{ पूर्ति }\\ \hline & A & B & C & D & \\ \hline w_{1} & 9 & 12 & 9 & 6 & 7 \\ \hline w_{2} & 7 & 3 & 7 & 7 & 6 \\ \hline w_{3} & 6 & 5 & 9 & 11 & 9 \\ \hline \text{ माँग } & 6 & 4 & 6 & 2 & \\ \hline \end{array}$
Solution:चरण (Step):I.यहाँ कुल पूर्ति इकाइयाँ $\Sigma a_{i}=7+6+9=22$ ,कुल माँग $\Sigma b_{j}=6+4+6+2=18$ से अधिक हैं।हम एक काल्पनिक E (Dummy) जिसकी माँग $\Sigma b_{j}-\Sigma a_{i}=22-18=4$ इकाइयां मान लेते हैं।अब नई परिवर्तन समस्या निम्न प्रकार है:
$\begin{array}{|c|ccccc|c|} \hline & A & B & C & D & E \text{ Dummy } & \text{Supply} \\ \hline w_1 & 9 & 12 & 9 & 6 & 0 & 7 \\ w_2 & 7 & 3 & 7 & 7 & 0 & 6 \\ w_3 & 6 & 5 & 9 & 11 & 0 & 9 \\ \hline \text { Demand } & 6 & 4 & 6 & 2 & 4 & 22 \\ \hline \end{array}$
पद (Step):II.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):III.अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति है जिसकी शास्ति 6 है।अतः प्रथम पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,5) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(7,4)=4 करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (1,4) पर आवंटन min(3,2)=2 तथा कोष्ठक (1,3) पर आवंटन min(1,6)=1 करते हैं।पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति हैं जिसकी शास्ति 4 है।अतः अतः द्वितीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (आवंटन योग्य) (2,2) को चुनते हैं।इसमें min(6,4)=4 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर कोष्ठक (2,3) पर अधिकतम आवंटन करते हैं।यहाँ कोष्ठक (2,3) पर min(2,5)=2 आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति व तृतीय स्तम्भ है।इनमें से तृतीय पंक्ति को चुनते हैं।तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत (आवंटन योग्य) वाले कोष्ठक (3,1) को चुनते हैं इसमें min(9,6)=6 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर शेष इकाइयां कोष्ठक (आवंटन योग्य) (3,3) पर अधिकतम आवंटन min(3,3)=3 करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|lllll|l|l|} \hline & A & B & C & D & E \text{ Dummy } & \text{Supply} & \text{Penalty} \\ \hline w_1 & (9) & (12) & 1(9) & 2(6) & 4(0) & 7 & 6 \\ w_2 & (7) & 4(3) & 2(7) & (7) & (0) & 6 & 3 /4 \\ w_3 & 6(6) & (5) & 3(9) & (11) & (0) & 9 & 5 / 3 / 3 \\ \hline \text { Demand } & 6 & 4 & 6 / 5 / 3 & 2 & 4 \\ \hline \text { Penalty } & 1 /1 / 0 & 1 / 1 & 1 / 1 / 3 & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{l|lllll|} \multicolumn{1}{c}{} & A & B & C & D & \multicolumn{1}{c}{E \text{ Dummy }} \\ \cline{2-6} w_1 & & & 1(9) & 2(6) & 4(0) \\ w_2 & & 4(3) & 2(7) & & \\ w_3 & 6(6) & & 3(9) & & \\ \cline{2-6} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=1×9+2×6+4×0+4×3+2×7+6×6+3×9
=9+12+12+14+36+27
=110 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 7 है जो m+n-1=3+5-1=7 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम पंक्ति तथा तृतीय स्तम्भ हैं।इममें से प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $\left[c_{i j} \right]=\left[u_i+v_j\right]$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-6} & & & *(9) & *(6) & *(0) & 0\\ & & *(3) & *(7) & & 0 & -2 \\ & *(6) & & *(9) & & & 0 \\ \cline{2-6} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & 6 & 5 & 9 & 6 & \multicolumn{1}{c}{0} \end{array} \\ c_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 9=0+v_3 \Rightarrow v_3=9 \\ c_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 6=0+v_4 \Rightarrow v_4=6 \\ c_{15}=u_1+v_5 \Rightarrow 0=0+v_5 \Rightarrow v_5=0 \\ c_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 7=u_2+9 \Rightarrow u_2=-2 \\ c_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 3=-2+v_2 \Rightarrow v_2=5 \\ c_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 9=u_3+9 \Rightarrow u_3=0 \\ c_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 6=0+v_1 \Rightarrow v_1=6$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{lllll} 6 & 5 & * & * & * \\ 4 & * & * & 4 & -2 \\ * & 5 & * & 6 & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[C_{ij}\right]=\left[\begin{array}{lllll} 9 & 12 & * & * & * \\ 7 & * & * & 7 & 0 \\ * & 5 & * & 11 & 0 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{ij}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\ =\left[\begin{array}{lllll} 9 & 12 & * & * & * \\ 7 & * & * & 7 & 0 \\ * & 5 & * & 11 & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{llll} 6 & 5 & * & * & * \\ 4 & * & * & 4 & -2 \\ * & 5 & * & 6 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right] =\left[ \begin{array}{lllll} 3 & 7 & * & * & * \\ 3 & * & * & 3 & 2 \\ * & 0 & * & 5 & 0 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव ऋणेतर हैं अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत्व हल है।साथ ही $\left[d_{32}=d_{35}=0\right]$ इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक इष्टतम हल भी विद्यमान है।अतः इस हल से प्राप्त न्यूनतम परिवहन लागत:
$x_{13}=1, x_{14}=2, x_{15}\text{(Dummy)}=4, x_{22}=4, x_{23}=2, x_{31}=6, x_{33}=3$
न्यूनतम परिवहन लागत=110 रुपये इष्टतम है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या (Transportation Problem by Vogel Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

Transportation Problem by Vogel Method

Also Read This Article:- To Solve by Vogel Approximation Method

3.वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या (Frequently Asked Questions Related to Transportation Problem by Vogel Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.भरी हुई कोष्ठिका से क्या आशय है? (What Do You Mean by a Occupied Cell?):

उत्तर:जिन कोष्ठिकाओं में नियतन है वह भरी हुई कोष्ठिका (occupied cell) कहलाती है।

प्रश्न:2.वैकल्पिक हल कब विद्यमान होता है? (When Does the Alternative Solution Exist?):

उत्तर:यदि कोई $d_{i j}$ ऋणात्मक नहीं है परन्तु कम से कम एक $d_{ij}=0$ हो तो हल इष्टतम तथा वैकल्पिक इष्टतम हल भी विद्यमान होगा।

प्रश्न:3.असन्तुलित परिवहन समस्या को स्पष्ट करो। (Explain the Unbalanced Transportation):

उत्तर:यदि किसी परिवहन समस्या में माँग (Demand) व पूर्ति (supply) (उपलब्ध इकाइयां) बराबर नहीं है तो ऐसी समस्याएँ असन्तुलित कहलाती हैं।इस प्रकार की असन्तुलित समस्याओं को पहले सन्तुलित करते हैं उसके पश्चात ही किसी भी विधि द्वारा परिवहन समस्या का हल ज्ञात किया जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या (Transportation Problem by Vogel Method),वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्याओं का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Transportation Problem by Vogel Method

वोगल सन्निकटन विधि द्वारा परिवहन समस्या
(Transportation Problem by Vogel Method)

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.