1.रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल (Solution by Runge-Kutta Method),रंगे-कुट्टा विधि से अवकल समीकरण का हल (Solution of Differential Equations by Runge-Kutta Method):

Solution by Runge-Kutta Method

रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल (Solution by Runge-Kutta Method) के इस आर्टिकल में अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Solution by Runge-Kutta Method):

Example:2.रुंगे-कुट्टा विधि का प्रयोग कर x=1.6 पर y का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ x=1 पर y=0.4 तथा \frac{d y}{d x}=x-y है।
(Using Runge-Kutta method, find the value of y at x=1.6,where y=0.4 at x=1 and \frac{d y}{d x}=x-y .)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=x-y, x_0=1, y_0=0.4
तथा h=0.2
(I.)इसलिए k_1=h f\left(x_0, y_0\right)=0.2 f(1,0.4) \\ \Rightarrow k_1=0.2(1-0.4)=0.12 \cdots(1) \\ k_2=h f\left(x_0+\frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_1\right) \\=0.2 f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.2,0+\frac{1}{2} \times 0.12\right) \\ =0.2 f(1+0.1,0.06) \\ =0.2 f(1.1,0.06) \\ =0.2(1.1-0.06) \\ \Rightarrow k_2 =0.2 \times 1.04=0.208 \cdots(2) \\ k_3=h f\left(x_0+\frac{1}{2} h, y_0+\frac{5}{2} k_2\right) \\=0.2 f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.2,0+\frac{1}{2} \times 0.208\right) \\ =0.2 f(1+0.1,0.104) \\ =0.2 f(1.1,0.104) \\ \Rightarrow k_3 =0.2(1.1-0.104)=0.2 \times 0.06=0.012 \\ k_4=h f\left(x_0+h, y_0+k_3\right) \\ =0.2 f(1+0.2,0+0.012) \\ \Rightarrow k_4 =0.2 f(1.2,0.012) \\ \Rightarrow k_{4}= 0.2(1.2-0.012)=0.2376 तथा k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.12+2 \times 0.208+2 \times 0.012+0.2376) \\ =\frac{1}{6}(0.12+0.416+0.024+0.2376) \\ k=\frac{1}{6} \times 0.7976=0.1329
अतः y_1=y_0+k=0.4+0.1329=0.5329
(II.) y_{2} का मान ज्ञात करने के लिए
x_1=x_0+h=1+0.2=1.2, y_1=0.5329 , h=0.2
पुनः k_1=h f\left(x_1, y_1\right)=0.2 f(1.2,0.5329) \\ \Rightarrow k_1 =0.2(1.2-0.5329)=0.2 \times 0.6671 \\ \Rightarrow k_1 \approx 0.1334 \\ k_2=h f\left(x_1+\frac{1}{2} h, y_1+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.2 f\left(1.2+\frac{1}{2} \times 0.2,0.5329+\frac{1}{2} \times 0.1334\right) \\ =0.2 f(1.2+0.1,0.5329+ 0.0667) \\ =0.2 f(1.3,0.5996) \\ =0.2(1.3-0.5996)=0.2 \times 0.7004 \\ \Rightarrow k_2 \approx 0.1401 \\ k_3=h f\left(x_1+\frac{1}{2} h, y_1+\frac{1}{2} k_2\right) \\ \approx 0.2 f\left(1.2+\frac{1}{2} \times 0.2,0.5329+\frac{1}{2} \times 0.1401\right) \\ \approx 0.2 f(1.2+0.1,0.5329+0.0701) \\ \approx 0.2 f(1.3,0.603) \\ \approx 0.2(1.3-0.603) \\ \approx 0.2 \times 0.697 \\ k_3 \approx 0.1394 \\ k_4=h f\left(x_1+h, y_1+k_3\right) \\ =0.2 f(1.2+0.2,0.5329+0.1394) \\ =0.2 f(1.4,0.6723) \\ =0.2(1.4-0.6723) \\ =0.2 \times 0.7277 \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.1455 \\ k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\=\frac{1}{6}(0.1334+2 \times 0.1401+2 \times 0.1394+0.1459) \\ =\frac{1}{6}(0.1334+0.2802+0.2788 +0.1455) \\ =\frac{1}{6} \times 0.8379 \Rightarrow k \approx 0.1397
अतः y_2=y_1+k=0.5329+0.1397=0.6726
(III.)इसी प्रकार y_{3} का मान ज्ञात करने के लिए
k_1 =h f\left(x_2, y_2\right)=0.2 f(1.4,0.6726) \\ =0.2(1.4-0.6726)=0.2 \times 0.7274 \\ \Rightarrow k_1=0.1455 \\ k_2=h f\left(x_2+\frac{1}{2} h, y_2+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.2 f\left(1.4+\frac{1}{2} \times 0.2,0.6726+\frac{1}{2} \times 0.1455\right) \\ \approx 0.2 f(1.4+0.1,0.6726+0.0728) \\ \approx 0.2 f(1.5,0.7454) \\ \approx 0.2(1.5-0.7454) \\ \approx 0.2 \times 0.7546 \\ \Rightarrow k_2 \approx 0.1509 \\ k_3=h f\left(x_2+\frac{1}{2} h, y_2+\frac{1}{2}-k_2\right) \\ =0.2 f\left(1.4+\frac{1}{2} \times 0.2,0.6726+ \frac{1}{2} \times 0.1509\right) \\ \approx 0.2 f(1.4+0.1,0.6726+0.0765) \\ \approx 0.2 f(1.5,0.7491 \\ \approx 0.2(1.5-0.7491) \\ \approx 0.2 \times 0.7509 \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.1502 \\ k_4=h f\left(x_2+h, y_2+k_3\right) \\ =0.2 f(1.4+0.2,0.6726+0.1502) \\ =0.2 f(1.6,0.8228) \\ =0.2(1.6-0.8228) \\ =0.2 \times 0.7772 \\ k_4 \approx 0.1554 \\ k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.1455+2 \times 0.1509+2 \times 0.1502+0.1554) \\ =\frac{1}{6}(0.1455+0.3018+0.3004 +0.1554) \\ =\frac{1}{6} \times 0.9031 \\ \Rightarrow k \approx 0.1505
अतः y_3=y_2+k=0.6726+0.1505=0.8231 \\ y(1.6)=y_3=0.8231
Example:10.रुंगे-कुट्टा विधि का प्रयोग कर पद-लम्बाई 0.2 लेते हुए \frac{d y}{d x}=x y, y(1)=2 का हल 1.4 पर ज्ञात कीजिए।
(Using Runge-Kutta method solve \frac{d y}{d x}=x y, y(1)=2 at x=1.4 taking step-size 0.2.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=x y, x_0=1, y_0=2 तथा h=0.2
(I.) k_1=h f\left(x_0, y_0\right)=0.2 f(1,2) \\ \Rightarrow k_1=0.2(1 \times 2)=0.4 \\ k_2=h f\left(x_0+ \frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.2 f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.2,2+\frac{1}{2} \times 0.4\right) \\ =0.2 f(1+0.1,2+0.2) \\ =0.2 f(1.1,2.2) \\ \Rightarrow k_2=0.2(1.1 \times 2.2)=0.484 \\ k_3 =h f\left(x_0+ \frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_2\right) \\ =0.2 f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.2,2+\frac{1}{2} \times 0.484 \right) \\ =0.2 f(1+0.1,2+0.242) \\ =0.2 f(1.1,2.242) \\=0.2 \times 1.1 \times 2.242 \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.4932 \\ k_4=h f\left(x_0+h, y_0+k_3\right) \\ =0.2 f(1+0.2,2+0.4932) \\ =0.2 f(1.2,2.4932) \\ =0.2 \times 1.2 \times 2.4932 \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.5984
तथा k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.4+2 \times 0.484+2 \times 0.4932+0.5984) \\ =\frac{1}{6}(0.4+0.968+0.9864+0.5984) \\ =\frac{1}{6} \times 2.9528 \Rightarrow k \approx 0.4921 \\ y_1=y_0+k=2+0.4921=2.4921
(II.)इसी प्रकार y_{2} का मान ज्ञात करने के लिए
x_1 =x_0+h=1+0.2=1.2, y_1=2.4921 तथा h=0.2
तब k_1=h f\left(x_1, y_1\right)=0.2 f(1.2,2.4921) \\ =0.2 \times 1.2 \times 2.4921 \\ \Rightarrow k_1 \approx 0.5981 \\ k_2=h f\left(x_1+\frac{1}{2} h, y_1+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.2 f\left(1.2+\frac{1}{2} \times 0.2,2.4921+\frac{1}{2} \times 0.5981\right) \\ \approx 0.2 f(1.2+0.1,2.4921+0.2991) \\ \approx 0.2 f(1.3,2.7912) \\ \approx 0.2 \times 1.3 \times 2.7912 \\ \Rightarrow k_2 \approx 0.7257 \\ k_3=h f\left(x_1 +\frac{1}{2} h, y_1+\frac{1}{2} k_2\right) \\ =0.2 f\left(1.2+\frac{1}{2} \times 0.2 ; 2.4921+\frac{1}{2} \times 0.7257\right) \\ =0.2 f(1.2+0.1 ; 2.4921+0.3629) \\ \approx 0.2 f(1.3,2.855) \\ \approx 0.2 \times 1.3 \times 2.855 \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.7423 \\ k_4=h f\left(x_1+h, y_1+k_3\right) \\ =0.2 f(1.2+0.2,2.4921 +0.7423) \\ =0.2 f(1.4,3.2344) \\ =0.2 \times 1.4 \times 3.2344 \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.9056 \\ k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.5981+2 \times 0.7257+2 \times 0.7423 +0.9056) \\ =\frac{1}{6}(0.5981+1.4514+1.4846+0.9056) \\ =\frac{1}{6} \times 4.4397 \\ \Rightarrow k \approx 0.7400
अतः y_2=y_1+k=2.4921+0.7400 \\ \Rightarrow y_{(1)}=y_2=3.2321

Solution by Runge-Kutta Method

Example:11.रुंगे-कुट्टा विधि के प्रयोग से प्रारम्भिक मान समस्या \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+y}, y(0)=1, का हल x=1.5 पर ज्ञात कीजिए,जबकि पद-लम्बाई 0.5 हो।
(Using Runge-Kutta method find the solution of initial value problem \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+y}, y(0)=1,at x=1.5,when step-size 0.5.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x+y}, x_0=0,y_0=1 तथा h=0.5
(I.) k_1=h f\left(x_0, y_0\right)=0.5 f(0,1)=\frac{0.5}{0+1} \\ \Rightarrow k_1=0.5 \\ k_2=h f\left(x_0 +\frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.5 f\left(0+\frac{1}{2} \times 0.5,1+\frac{1}{2} \times 0.5\right) \\ =0.5 f(0.25,1+0.25) \\ =0.5 f(0.25,1.25) \\ =\frac{0.5}{0.25+1.25}=\frac{0.5}{1.50} \\ k_2 \approx 0.33333 \\ k_3=h f\left(x_0+\frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_2\right) \\ =0.5 f\left(0+\frac{1}{2} \times 0.5,1+\frac{1}{2} \times 0.33333\right) \\ \approx 0.5 . f(0.25,1+0.16667) \\ \approx 0.5 f(0.25,1.16667) \\ \approx \frac{0.5}{0.25+1.16667} \approx \frac{0.5}{1.41667} \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.35294 \\ k_4=h f\left(x_0 +h, y_0+k_3\right) \\ =0.5 f(0+0.5,1+0.35294) \\ =0.5 f(0.5,1.35294) \\ =\frac{0.5}{0.5+1.35294}=\frac{0.5}{1.85294} \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.26984
तथा k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.5+2 \times 0.33333+2 \times 0.35294+0.26984) \\ =\frac{1}{6}(0.5+0.66666+0.70588+0.26984) \\ =\frac{1}{6} \times 2.14238 \\ \Rightarrow k \approx 0.35706
अतः y_1=y_0+k=1+0.35706=1.35706
(II.)इसी प्रकार y_{2} का मान ज्ञात करने के लिए
x_1=x_0+h=0+0.5=0.5, y_1=1.35706 तथा h=0.5
तब k_1=h f\left(x_1, y_1\right)=0.5 f(0.5,1.35706) \\ =\frac{0.5}{0.5+1.35706}=\frac{0.5}{1.85706} \\ \Rightarrow k_1 \approx 8.269243 \\ k_2=h f\left(x_1+\frac{1}{2} h, y_1+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.5 f\left(0.5+\frac{1}{2} \times 0.5,1.35706+\frac{1}{2} \times 0.260243\right) \\ \approx 0.5 f\left(0.5+ 0.25,1.35706+0.1346215\right) \\ \approx 0.5 f(0.75,1.491682) \\ \approx \frac{0.5}{0.75+1.491682} \approx \frac{0.5}{2.241682} \\ \Rightarrow k_2 \approx 0.223047 \\ k_3=h f\left(x_1+\frac{1}{2} h, y_1+ \frac{1}{2} k_2\right) \\ =0.5 f\left(0.5+\frac{1}{2} \times 0.5,1.35706+\frac{1}{2} \times 0.223047\right) \\ \approx 0.5 f(0.5+0.25,1.35706+0.111524) \\ \approx 0.5 f(0.75,1.468584) \\ =\frac{0.5}{0.75+1.468584} =\frac{0.5}{2.218584} \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.225369 \\ k_4=h f\left(x_1+h, y_1+k_3\right) \\ =0.5 f(0.5+0.5,1.35706+0.225369) \\ =0.5 f(1,1.582429) \\ =\frac{0.5}{1+1.582429}=\frac{0.5}{2.582429} \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.193616
तथा k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+2 k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.269243+2 \times 0.223047+2 \times 0.225369+0.193616) \\ =\frac{1}{6}(0.269243+0.446094+0.450738+0.193616) \\ =\frac{1}{6} \times 1.359691 \\ \Rightarrow k \approx 0.226615
अतः y_2=y_1+k=1.35706+0.226615 \\ \Rightarrow y_2=y(1) \approx 1.583675
(III.)इसी प्रकार y_{3} का मान ज्ञात करने के लिए
x_2=x_0+2 h=0+2 \times 0.5=1, y_2=1.583675 \\ k_1=h f\left(x_2, y_2\right)=0.5 f(1,1.583675) \\ =\frac{0.5}{1+1.583675}=\frac{0.5}{2.583675} \\ \Rightarrow k_1 \approx 0.193523 \\ k_2 =h f\left(x_2 +\frac{1}{2} h, y_2+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.5 f\left(1+\frac{1}{2}(0.5), 1.583675+\frac{1}{2} \times 0.193523\right) \\ \approx 0.5 f(1+0.25,1.583675+0.096761) \\ \approx 0.5 f(1.25,1.680436) \\ \approx \frac{0.5}{1.25+1.680436}=\frac{0.5}{2.930436} \\ \Rightarrow k_2 \approx 0.170623 \\ k_3=h f\left(k_2+ \frac{1}{2} h, y_2+\frac{1}{2} k_2\right) \\ =0.5 f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.5,1.583675+\frac{1}{2} \times 0.170623\right) \\ \approx 0.5 f(1+0.25,1.583675+0.085312) \\ \approx 0.5 f(1.25,1.668987) \\ \approx \frac{0.5}{1.25+1.668987}=\frac{0.5}{2.918987} \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.171292 \\ k_4=h f\left(x_2+h, y_2+k_3\right) \\ =0.5 f(1+0.5,1.583675+0.171292) \\ =0.5 f(1.5,1.754967) \\ =\frac{0.5}{1.5+ 1.754967}= \frac{0.5}{3.254967} \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.153611 \\ k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6}(0.193523+2 \times 0.170623+2 \times 0.171292+0.153611) \\ =\frac{1}{6}(0.193523+ 0.341246+0.342584+0.153611) \\ = \frac{1}{6} \times 1.030964 \\ \Rightarrow k \approx 0.171827
अतः y_3=y_2+k=1.583675+0.171827 \\ \Rightarrow y_3=y_3(1.5) \approx 1.755502
Example:12.रुंगे-कुट्टा विधि का प्रयोग कर x=1.1 पर y का मान ज्ञात कीजिए,जबकि \frac{d y}{d x}=3 x+y^2 तथा x=1 पर y=1.2 है।
(Use Runge-Kutta method to find the value of y at x=1.1 when \frac{d y}{d x}=3 x+y^2 and y=1.2 at x=1.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=3 x+y^2 , x_0=1, y_0=1.2 तथा h=0.1
k_1=h f\left(x_0, y_0\right) \\ =0.1 \times f(1,1.2) \\ =0.1 \times\left[3 \times 1+(1.2)^2\right] \\=0.1 \times[3+1.44] \\ =0.1 \times 4.44 \\ \Rightarrow k_1=0.444 \\ k_2=h f\left(x_0+\frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_1\right) \\ =0.1 \times f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.1,1.2+\frac{1}{2} \times 0.444\right) \\ =0.1 \times f(1+0.05,1.2+0.222) \\ =0.1 \times f(1.05,1.422) \\ =0.1 \times\left[3 \times 1.05+(1.422)^2\right] \\ \approx 0.1 \times[3.15+2.02208] \\ \approx 0.1 \times 5.17208 \\ \Rightarrow k_2 \approx 0.517208 \\ k_3=h f\left(x_0+\frac{1}{2} h, y_0+\frac{1}{2} k_2\right) \\ =0.1 \times f\left(1+\frac{1}{2} \times 0.1,1.2 +\frac{1}{2} \times 0.517208\right) \\ =0.1 \times f(1+0.05,1.2+0.258604) \\ =0.1 \times (1.05,1.458604) \\ =0.1 \times\left[3 \times 1.05+(1.458604)^2\right] \\ =0.1 \times[3.15+2.127526) \\ \approx 0.1 \times 5.277526 \\ \Rightarrow k_3 \approx 0.527753 \\ k_4=h f\left(x_0+h, y_0+k_3\right) \\ =0.1 \times f(1+0.1,1.2+0.527753) \\ =0.1 \times f(1.1,1.727753) \\ =0.1 \times\left[3 \times 1.1+(1.727753)^2\right] \\ \approx 0.1 \times[3.3+2.985130] \\ \approx 0.1 \times 6.28513 \\ \Rightarrow k_4 \approx 0.628513 \\ k=\frac{1}{6}\left(k_1+2 k_2+2 k_3+k_4\right) \\ =\frac{1}{6} (0.444+0.517208 \times 2+2 \times 0.527753 +0.628513) \\ =\frac{1}{6}(0.444+1.034416+1.055506+0.628513) \\ =\frac{1}{6} \times 3.162435 \\ \Rightarrow k \approx 0.527073 \\ y_1=y_0+k=1.2+0.527073=1.727073 \\ \Rightarrow y_1=y(1.1) \approx 1.727073
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल (Solution by Runge-Kutta Method),रंगे-कुट्टा विधि से अवकल समीकरण का हल (Solution of Differential Equations by Runge-Kutta Method) को समझ सकते हैं।

3.रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल की समस्याएँ (Solution by Runge-Kutta Method Problems):

Solution by Runge-Kutta Method

(1.)रंगे-कुट्टा विधि का प्रयोग कर y का अनुमानित मान x=0.1 पर ज्ञात करो,दिया है कि x=0 जब y=1 तथा \frac{d y}{d x}=x+y .
(Use Runge-Kutta method to approximate y, when x=0.1,where given that x=0 when y=1 and \frac{d y}{d x}=x+y .)
(2.)रंगे-कुट्टा विधि का प्रयोग कर y का अनुमानित मान x=0.8 पर ज्ञात करो,दिया है कि y=0.41 जब x=0.4 तथा \frac{d y}{d x}=\sqrt{x+y}
(Find the Runge-Kutta an approximate value of y for x=0.8 given that y=0. 41 when x=0.4 and \frac{d y}{d x}=\sqrt{x+y} .)
उत्तर (Answers): (1.) y_1=y(0.1)=1.11034
(2.) y_1=y(0.8)=0.848
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल (Solution by Runge-Kutta Method),रंगे-कुट्टा विधि से अवकल समीकरण का हल (Solution of Differential Equations by Runge-Kutta Method) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल (Frequently Asked Questions Related to Solution by Runge-Kutta Method),रंगे-कुट्टा विधि से अवकल समीकरण का हल (Solution of Differential Equations by Runge-Kutta Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रुंगे-कुट्टा विधि द्वारा हल (Solution by Runge-Kutta Method) के इस आर्टिकल में अवकल
समीकरणों के संख्यात्मक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।