1.अनुपात तथा समानुपात (Ratio and Proportion),गणित में अनुपात तथा समानुपात (Ratio and Proportion in Mathematics):

Ratio and Proportion

अनुपात तथा समानुपात (Ratio and Proportion) पर आधारित वस्तुनिष्ठ (MCQ Type) प्रकार के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अनुपात तथा समानुपात के साधित उदाहरण (Ratio and Proportion Solved Examples):

Example:1.2A=3B=4C,तब A:B:C बराबर हैः
(a)2: 4: 3 (b) 6: 4: 3 (c) 5: 2: 10 (d)इनमें से कोई नहीं
Solution: 2 A=3 B=4 C \\ \Rightarrow \frac{2 A}{12}=\frac{3 R}{12}=\frac{4 C}{12} \\ \Rightarrow \frac{A}{6}=\frac{B}{4}=\frac{C}{3} \\ A: B: C=6: 4: 3
विकल्प (b) सही है।
Example:2.यदि x:y=3:5 तो 10x+3y:5x+2y=?
(a) 9: 4 (b) 5: 9 (c) 9: 5 (d) 4: 9
Solution:10x+3y:5x+2y
=10×3+3×5:5×3+2×5
=30+15:15+10=45:25=9:5
विकल्प (c) सही है।
Example:3.यदि A=B का \frac{4}{5} तथा B=C का \frac{5}{2} हो,तो A:C का मान होगाः
(a) 1: 2 (b) 2: 1 (c) 2: 3 (d) 1: 3
Solution: A=B \times \frac{4}{5}=\frac{4 B}{5} \cdots(1) \\ B=C \times \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{4 B}{5}=C \times \frac{5}{2} \times \frac{4}{5} \\ \Rightarrow \frac{4 B}{5}=2 C \cdots(2)
(1) व (2) सेः
A=2 C \Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{C}{1} \Rightarrow A: C=2: 1
विकल्प (b) सही है।
Example:4.यदि \frac{b}{a}=0.25 हो,तो \frac{2 a-b}{2 a+b}+\frac{2}{9} का मान क्या है?
(a) 1 (b) \frac{4}{9} (c) \frac{5}{9} (d) 2
Solution: \frac{b}{a}=0.25 \\ \frac{b}{a}=\frac{25}{100} \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{4} \\ \frac{2 a-b}{2 a+b}+\frac{2}{9}=\frac{2 \times 4-1}{2 \times 4+1}+\frac{2}{9} \\ \Rightarrow \frac{8-1}{8+1}+\frac{2}{9}=\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=\frac{9}{9}=\frac{1}{1}
विकल्प (a) सही है।
Example:5.यदि A:B=1:2,B:C=3:4 और C:D=5:6 है,तो D:C:B:A का मान है:
(a) 6: 5: 4: 2 (b) 6: 3: 2: 1 (c) 6: 4: 2: 1 (d)48 : 40 : 30: 15
Solution:A:B=1:2,B:C=3:4,C:D=5:6
A:B:C=1×3:2×3:4×2=3:6:8
A:B:C:D=3×5:6×5:8×5:6×8
\Rightarrow A:B:C:D=15:30:40:48
\Rightarrow D:C:B:A=48:40:30:15
विकल्प (d) सही है।
Example:6.यदि A:B:C=2:3:4 है,तो \frac{A}{B}: \frac{B}{C}: \frac{C}{A} बराबर है:
(a) 8: 9: 16 (b) 8: 9: 12 (c) 8: 9: 24 (d) 4: 9: 16
Solution: A: B: C=2: 3: 4 \\ \frac{A}{B}: \frac{B}{C}: \frac{C}{A}=\frac{2}{3}: \frac{3}{4}: \frac{4}{2}=\frac{2}{3} \times 12 : \frac{3}{4} \times 12 : \frac{4}{2} \times 12 \\ =8: 9: 24
विकल्प (c) सही है।
Example:7.0.043 तथा 0.00129 का अनुपात कितना होगा?
(a) 10: 3 (b) 3: 1000 (c) 1000: 3 (d) 100: 3
Solution: 0.043: 0.00129 \\ =\frac{43}{1000}: \frac{129}{100000} \\ =1: \frac{3}{100}=100: 3
विकल्प (d) सही है।
Example:8. 2^{1.5}: 2^{0.5} का अनुपात निम्न में से किसके बराबर है?
(a) 2: 1 (b) 3: 1 (c) 6: 1 (d) 3: 2
Solution: 2^{1.5}: 2^{0.5}  \\= 2^{1.5} \times 2^{0.5}: 2^{0.5} \times 2^{0.5} \\ =2^2: 2^1=2: 1
विकल्प (a) सही है।
Example:9.यदि 2A=3B और 4B=5C, तो A:C हैः
(a) 4: 3 (b) 8: 15 (c) 15: 8 (d) 3: 4
Solution: 2A=3 B, 4B=5C \\ \frac{A}{B} =\frac{3}{2}, \frac{B}{C}=\frac{5}{4} \\ \Rightarrow \frac{A}{B} =\frac{3}{2} \times \frac{5}{5}=\frac{15}{10}, \frac{B}{C}=\frac{5}{4} \times \frac{2}{2}=\frac{10}{8} \\ A:C=15 : 8
विकल्प (c) सही है।
Example:10.यदि A,B से 40% अधिक B,C से 20% कम है,तब A:C है:
(a) 28: 25 (b) 3: 2 (c) 26: 25 (d) 3: 1
Solution:माना B=100 तो A=140
\frac{A}{B}=\frac{140}{100}=\frac{7}{5} \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{7}{5} \times \frac{4}{4}=\frac{28}{20}
माना C=100 तो B=80
\frac{B}{C}=\frac{80}{100}=\frac{4}{5} \Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{4}{5} \times \frac{5}{5}=\frac{20}{25} \\ \Rightarrow A: C=28: 25
विकल्प (a) सही है।
Example:11.यदि m का 10%,n के 20% के बराबर हो,तो m:n किसके बराबर होगा?
(a) 2: 1 (b) 1: 2 (c) 1: 10 (d) 1: 20
Solution: m \times \frac{10}{100}=n \times \frac{20}{100} \\ \Rightarrow \frac{m}{10}=\frac{n}{5} \\ \Rightarrow \frac{m}{2}=\frac{n}{1} \\ \Rightarrow m: n=2: 1
विकल्प (a) सही है।
Example:12.निम्नलिखित अनुपातों में सबसे बड़ा अनुपात कौनसा है?
(a) 7: 15 (b) 15: 25 (c) 17: 25 (d) 21: 29
Solution: \frac{7}{15}, \frac{15}{25}, \frac{17}{25}, \frac{21}{29}
LCM of 15,25,29=2175
\frac{7}{15} \times \frac{145}{145}=\frac{1015}{2175}, \frac{15}{25} \times \frac{87}{87}=\frac{1305}{2175} \\ \frac{17}{15} \times \frac{87}{87}=\frac{1479}{2175}, \frac{21}{29} \times \frac{75}{75}=\frac{1575}{2175}
अनुपात \frac{21}{29} बड़ा है।
विकल्प (d) सही है।
Example:13.यदि m:n=3:2,तो (4m+5n):(4m-5n) किसके बराबर होगा?
(a) 4: 9 (b) 9: 4 (c) 11 : 1 (d) 9: 1
Solution: m: n=3: 2 \\ \frac{4 m+5 n}{4 m-5 n}=\frac{4 \times 3+5 \times 2}{4 \times 3-5 \times 2}=\frac{12+10}{12-10} \\ =\frac{22}{2}=\frac{11}{1} \\ \Rightarrow (4 m+5 n):(4 m-5 n)=11: 1
विकल्प (c) सही है।
Example:14.यदि A:B=5:7 और B:C=6:7 तो A:B:C होगाः
(a) 30: 42: 49 (b) 35: 49: 42 (c) 42=35: 49 (d) 55: 77: 66
Solution: A: B=5: 7 \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{5}{7} \times \frac{6}{6}=\frac{30}{42} \\ B : C=6: 7 \Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{6}{7} \times \frac{7}{7}=\frac{42}{49} \\ A : B: C=30 : 42: 49
विकल्प (a) सही है।
Example:15.यदि x:y=4:5 हो,तो (3x+y):(5x+3y) होगा:
(a) 3: 5 (b) 5: 3 (c) 17: 35 (d) 35: 17
Solution: x : y=4:5 \\ \frac{3 x+y}{5 x+3 y}=\frac{3 \times 4+5}{5 \times 4+3 \times 5}=\frac{12+5}{20+15}=\frac{17}{35} \\ =(3 x+y):(5 x+3 y)=17: 35
विकल्प (c) सही है।

Ratio and Proportion

Example:16.यदि \frac{a}{b}=\frac{7}{9}, \frac{b}{c}=\frac{3}{5} ,तब a:b:c का मान है:
(a) 7: 9: 15 (b) 7: 9: 5 (c) 21: 35: 45 (d) 7: 3: 15
Solution: \frac{a}{b}=\frac{7}{9} \times \frac{3}{3}=\frac{21}{27} \\ \frac{b}{c}=\frac{3}{5} \times \frac{9}{9}=\frac{27}{45} \\ a=b: c=21: 27: 45
विकल्प (c) सही है।
Example:17.0.02 और 0.32 का मध्यानुपाती है:
(a) 0.34 (b) 0.08 (c) 0.16 (d) 0.3 (e)इनमें से कोई नहीं
Solution:माना मध्यानुपाती=x
0.02: x: x: 0.32 \\ \Rightarrow x^2=0.02 \times 0.32 \\ \Rightarrow x=\sqrt{0.0064}=0.08
विकल्प (b) सही है।
Example:18.यदि A:B=3:5 तथा B:C=4:7 हो,तो A:B:C होगा:
(a) 6: 9: 14 (b) 3: 5: 7 (c) 12: 20: 21 (d) 12: 20: 35
Solution: A: B=3: 5 \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{3}{5} \times \frac{4}{4}=\frac{12}{20}\\ B: C=4: 7 \Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{4}{7} \times \frac{5}{5}=\frac{20}{35} \\ A: B: C=12: 20: 35
विकल्प (d) सही है।
Example:19.यदि \frac{1}{x}: \frac{1}{y}: \frac{1}{z}=2: 3: 5 हो,तो x:y:z बराबर होगा:
(a) 5: 3: 2 (b) 6: 10: 15 (c) 2: 3: 5 (d) 15: 10: 6
Solution: \frac{1}{x}: \frac{1}{y}: \frac{1}{2}=2: 3: 5 \\ \Rightarrow x: y: z =\frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{5} \\ =\frac{1}{2} \times 30: \frac{1}{3} \times 30: \frac{1}{5} \times 30 \\ \Rightarrow x: y: z =15: 10: 6
विकल्प (d) सही है।
Example:20.यदि ₹ 1000 को A तथा B में 3:2 में विभक्त किया जाए,तो A को प्राप्त होंगे
(a) ₹ 400 (b) ₹ 500 (c) ₹ 600 (d) ₹ 800
Solution:A को प्राप्त होंगे=\frac{3}{5} \times 1000=60
विकल्प (c) सही है।
Example:21.यदि A का 60%=B का हो,तो A:B होगा:
(a) 9: 20 (b) 20: 9 (c) 4: 5 (d) 5: 4
Solution: A का 60 %=B का \frac{3}{4}
\Rightarrow A \times \frac{60}{100}=B \times \frac{3}{4} \\ \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{3}{4} \times \frac{100}{60}=\frac{5}{4} \\ \Rightarrow A: B=5: 4
विकल्प (d) सही है।
Example:22.₹ 900 A,B और C में क्रमशः 4:5:6 के अनुपात में बाँटे जाते हैं।A और C की प्राप्ति का अन्तर क्या होगा?
(a) ₹ 25 (b) ₹ 120 (c) ₹ 130 (d) ₹ 150
Solution:A और C की प्राप्ति का अन्तर
=\frac{ \text { A व C के अनुपात में अन्तर }}{4+5+6} \times 900 \\ =\frac{6-4}{15} \times 900=\frac{2}{15} \times 900 \\ =120
विकल्प (b) सही है।
Example:23.यदि a:b=5:7 और c:d=2a:3b है,तो ac:bd का मान होगा:
(a) 20: 38 (b) 50: 147 (c) 10: 21 (d) 50: 151
Solution: a: b=5: 7 \\ c: d=2 a: 3 b=2 \times 5: 3 \times 7=10: 21 \\ \Rightarrow \frac{a c}{b d}=\frac{5 \times 10}{147}=\frac{54}{147} \\ \Rightarrow \quad a c: b d=50: 147
विकल्प (b) सही है।
Example:24.8:25::56:x,में x का मान है:
(a) 220 (b) 175 (c) 102 (d) 112
Solution: 8: 25: 56: x \\ \Rightarrow 8 \times x=25 \times 56 \\ \Rightarrow x=\frac{25 \times 56}{8}=175
विकल्प (b) सही है।
Example:25. a: b: c=1: \sqrt{3}: 2 यदि c=4 तो,b का मान होगा:
(a) \frac{\sqrt{3}}{2} (b) 2 \sqrt{3} (c) 3 (d) \sqrt{3}+2
Solution: a: b: c=1: \sqrt{3}: 2 \\ \Rightarrow a: b: c=2: 2 \sqrt{3}: 4 \\ b=2 \sqrt{3}
विकल्प (b) सही है।
Example:26.यदि 12:39::2:? तो ? का मान क्या होगा?
(a) 5.6 (b) 6.5 (c) 1.8 (d) 4.5
Solution:माना ?=x
12: 39: 12: x \Rightarrow 12 \times x=39 \times 2 \\ x =\frac{39 \times 2}{12}=6.5
विकल्प (b) सही है।
Example:27. यदि A:B=3:4,B:C=5:7 और C:D=8:9 है,तो अनुपात A:D बराबर होगा:
(a) 3: 7 (b) 7: 3 (c) 21: 10 (d) 10: 21
Solution: A: B=3: 4 \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{3}{4} \\ B: C=5: 7 \Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{5}{7} \\ C: D=8: 9 \Rightarrow \frac{C}{D}=\frac{8}{9} \\ \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D}=\frac{3}{4} \times \frac{5}{7} \times \frac{8}{9}=\frac{10}{21} \\ \Rightarrow A: D=10: 21
विकल्प (d) सही है।
Example:28.यदि A:B=1:2,B:C=3:4,C:D=6:9 तथा D:E=12:16 हो,तो अनुपात A:B:C:D:E बराबर होगा:
(a)1: 3: 6: 8: 12: 16 (b) 2: 4: 6 : 9: 16 (c) 3: 4: 8: 12: 16 (d) 3: 6: 8: 12: 16
Solution: \frac{A}{B}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{3} \times \frac{3}{3}=\frac{9}{18} \\ \frac{B}{C}=\frac{3}{4} \times \frac{2}{2} \times \frac{3}{3}=\frac{18}{24} \\ \frac{C}{D}=\frac{6}{9} \times \frac{4}{4}=\frac{24}{36} \\ \frac{D}{C} =\frac{12}{16}=\frac{3}{4} \times \frac{12}{12}=\frac{36}{48} \\ A =B: C: D: E=9: 18: 24: 36: 48 \\ =3: 6: 8: 12: 16
विकल्प (d) सही है।
Example:29.यदि 2A=3B=4C हो,तो A:B:C होगा:
(a) 2: 3: 4 (b) 4: 3: 2 (c) 6: 4: 3 (d) 3: 4: 6
Solution: 2 A=3 B=4 C \Rightarrow \frac{2 A}{12}=\frac{3 B}{12}=\frac{4 C}{12} \\ \Rightarrow \frac{A}{6}=\frac{n}{4}=\frac{C}{3} \Rightarrow A: B: C=6: 4: 3
विकल्प (c) सही है।
Example:30.A और B के रुपयों का अनुपात 4:5 है तथा B और C के रुपयों का अनुपात 2:3 है।यदि A के पास ₹ 800 है,तो C के पास होंगे:
(a)₹ 1000 (b)₹ 1200 (c)₹ 1500 (d)₹ 2000
Solution:A:B=4:5,B:C=2:3
\Rightarrow A:B:C=8:10:15
C के पास ₹ होंगे=\frac{15}{8} \times 800=1500
विकल्प (c) सही है।

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3.अनुपात तथा समानुपात के सवाल (Ratio and Proportion Questions):

Ratio and Proportion

(1.)p:q=3:4 तथा q:r=8:9,तो p:r हैः
(a) 1: 3 (b) 3: 2 (c) 2: 3 (d) 1: 2
(2.)6,11,12 का चतुर्थ समानुपाती है:
(a) 29 (b) 23 (c) 72 (d) 22
उत्तर (Answers):(1.) (c) (2.) (d)

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4.समानुपात से सम्बन्धित महत्त्वपूर्ण परिणाम (Important Results Related to Proportion):

यदि चार अशून्य राशियाँ a,b,c व d समानुपात में हैं,अर्थात् a:b::c:d,तब
(1.)व्युत्क्रमानुपात b:a::d:c
(2.)एकान्तरानुपात=a:c::b:d
(3.)योगानुपात=(a+b):b::(c+d):d
(4.)अन्तरानुपात=(a-b):b::(c-d):d
(5.)योगान्तरानुपात=(a+b):(a-b)::(c+d):(c-d)

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5.अनुपात तथा समानुपात (Frequently Asked Questions Related to Ratio and Proportion),गणित में अनुपात तथा समानुपात (Ratio and Proportion in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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