1.माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण का परिचय (Introduction to Numerical Illustrations of Mean and HM),गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Geometric Mean and Harmonic Mean):

Numerical Illustrations of Mean and HM

माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण (Numerical Illustrations of Mean and HM) के इस आर्टिकल में समान्तर माध्य,हरात्मक माध्य,गुणोत्तर माध्य,मध्यका,शतमक आदि के द्वारा कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Classification and Tabulation

2.माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण (Numerical Illustrations of Mean and HM):

Illustration:1.सांख्यिकी की किसी परीक्षा में बैठने वाले कुछ परीक्षार्थियों के निम्न प्राप्तांक हैं:
(The marks obtained by some students in Statistics in a particular examination are as under):
\begin{array}{|ccccccccc|} \hline 14 & 22 & 25 & 15 & 11 & 33 & 28 & 26 & 22 \\ 30 & 13 & 16 & 27 & 32 & 19 & 12 & 21 & 18 \\ 16 & 10 & 31 & 29 & 23 & 24 & 17 & 23 & 20 \\ \hline \end{array}
(क)प्रत्यक्ष रूप से मध्यका अंक निकालिए और
(ख)अंकों को 10-15,15-20 आदि वर्गों में बाँटकर मध्यका ज्ञात कीजिए।दोनों मानों में आने वाले अन्तर का कारण स्पष्ट कीजिए।
[(a)Obtain median marks directly,and
(b)by grouping the marks in classes 10-15,15-20 etc. Explain the reason for the difference.)
Solution:(क)प्रत्यक्ष रूप से मध्यका
\begin{array}{|cccc|} \hline\text { S.No.} & \text{Marks} & \text { S.No.} & \text{Marks} \\ \hline 1 & 10 & 16 & 23 \\ 2 & 11 & 17 & 23 \\ 3 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 13 & 19 & 25 \\ 5 & 14 & 20 & 26 \\ 6 & 15 & 21 & 27 \\ 7 & 16 & 22 & 28 \\ 8 & 16 & 23 & 29 \\ 9 & 17 & 24 & 30 \\ 10 & 18 & 25 & 31 \\ 11 & 19 & 26 & 32 \\ 12 & 20 & 27 & 33 \\ 13 & 21 \\ 14 & 22 \\ 15 & 22 \\ \hline \end{array}
माध्यिका (M)= size of \frac{(N+1)}{2} item
=\frac{27+1}{2} th item
=14th item
\Rightarrow M=22
(ख)वर्ग बनाकर माध्यिका का निर्धारण
\begin{array}{|ccc|}\hline \text { Mark } & \text { frequency } & \text { cum freq. } \\ & (f) & (cf) \\ \hline 10-15 & 5 & 5 \\ 15-20 & 6 & 11 \\ \hline 20-25 & 7 & 18 \\ \hline 25-30 & 5 & 23 \\ 30-35 & 4 & 27 \\ \hline \text { Total } & 27 & \\ \hline \end{array}
m=\frac{N}{2}=\frac{27}{2}=13.5
अतः माध्यिका वर्ग 20-25,i=25-20=5,c=11,m=13.5,f=7 , l_1=20
माध्यिका (M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =20+\frac{5}{7}(13.5-11) \\ =20+\frac{5}{7} \times 2.5=20+\frac{12.5}{7} \\ \approx 20+1.785 \\ \Rightarrow M \approx 21.8
वर्ग की समस्त आवृत्तियाँ पूरे वर्ग में समान रूप से फैली हुई नहीं है अतः यह अन्तर है।
Illustration:2.किसी कक्षा के 25 विद्यार्थियों के प्राप्तांक निम्न वर्णित हैं।इन अंकों से (क)मध्यका,(ब)बहुलक तथा (ग)समान्तर माध्य ज्ञात कीजिएः
(From the following marks obtained by 25 students find (a)medians,(b)mode,and (c)arithmetic mean):
\begin{array}{|cccc|} \hline \text { Roll No.} & \text{Marks} & \text { Roll No. } & \text{Marks} \\ \hline 1 & 43 & 14 & 50 \\ 2 & 45 & 15 & 35 \\ 3 & 63 & 16 & 62 \\ 4 & 34 & 17 & 44 \\ 5 & 56 & 18 & 32 \\ 6 & 37 & 19 & 50 \\ 7 & 50 & 20 & 50 \\ 8 & 60 & 21 & 42 \\ 9 & 66 & 22 & 59 \\ 10 & 67 & 23 & 36 \\ 11 & 57 & 24 & 50 \\ 12 & 64 & 25 & 58 \\ 13 & 40 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean,Mode Median
\begin{array}{|cccc|} \hline \text{Marks} & \text{Frequency} & & \text{cum. Freq} \\ x & (f) & fx & (cf)\\ \hline 32 & 1 & 32 & 1 \\ 34 & 1 & 34 & 2 \\ 35 & 1 & 35 & 3 \\ 36 & 1 & 36 & 4 \\ 37 & 1 & 37 & 5 \\ 40 & 1 & 40 & 6 \\ 42 & 1 & 42 & 7 \\ 43 & 1 & 43 & 8 \\ 44 & 1 & 44 & 9 \\ 45 & 1 & 45 & 10 \\ \hline 50 & 5 & 250 & 15 \\ \hline 56 & 1 & 56 & 16 \\ 57 & 1 & 57 & 17 \\ 58 & 1 & 58 & 18 \\ 59 & 1 & 58 & 18 \\ 60 & 1 & 60 & 20 \\ 62 & 1 & 62 & 21 \\ 63 & 1 & 63 & 22 \\ 64 & 1 & 64 & 23 \\ 66 & 1 & 66 & 24 \\ 67 & 1 & 67 & 25 \\ \hline \text { Total } & 25 & 1250 & \\ \hline \end{array}
(क) माध्यिका (M)= size of \frac{(N+1)}{2} th item
=\frac{25+1}{2} th item
=13th item
\Rightarrow M=50
(ख)बहुलक (Z)=50
(सबसे अधिक बारम्बारता 50 की 5 है)
(ग)माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma fx}{N} \\ =\frac{1250}{25}=50 \\ \Rightarrow \overline{X}=50
Illustration:3.निम्न सूचना के आधार पर,श्रमिकों की औसत मजदूरी ज्ञात कीजिए:
(The following information relates to wage-group of workers in a factory,their total working hours and the average working hours per workers. Calculate the wage per worker):
\begin{array}{|lccccc|} \hline \text {Wages(Rs.):} & 35-45 & 45-55 &55-65 & 65-75 & 75-85 \\ \text {Total Hours:} & 88 & 185 & 273 & 162 & 70 \\ \begin{array}{ll} \text { Average Hours.} \\ \text{ per workers: } \end{array} & 8& 7.4 & 7 & 9 & 10 \\ \hline \end{array}
Solution:no. of workers=\frac{\text{Total Hours}}{\text{Average Hours per worker}}
\frac{88}{8}=11, \frac{185}{7.4}=25, \frac{273}{7}=39, \frac{162}{9}=18, \frac{70}{10} =7
Calculation Table of Mean
\begin{array}{|cccc|} \hline \text {Wages} & \text{Mid} & \text{No. of} & \\ \text{(Rs.)} & \text{value} & \text{Workers} & \\ & (x) & (f) & fx \\ \hline 35-45 & 40 & 11 & 440 \\ 45-55 & 50 & 25 & 1250 \\ 55-65 & 60 & 39 & 2340 \\ 65-75 & 70 & 18 & 1260 \\ 75-85 & 80 & 7 & 560 \\ \hline \text { Total } & & 100 & 5850 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{5850}{100}=58.50 \mathrm{Rs.}
Illustration:4.बच्चों के एक क्लब के सदस्यों का आयु-बंटन निम्न प्रकार है:
(The age-distribution the members of a certain children’s club as follows):
\begin{array}{|cccccccccc|} \hline \begin{array}{cc}\text{Age last} \\ \text{birthday(years)} \end{array} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \text{frequency} & 5 & 9 & 18 & 35 & 42 & 32 & 15 & 7 & 3 \\ \hline \end{array}
क्लब में एक सदस्य A ऐसा है कि उससे जितने सदस्य आयु में छोटे हैं उसके दो गुने सदस्य आयु में बड़े हैं।A की आयु दो दशमलव अंकों तक (वर्षों में) ज्ञात कीजिए।
(There is a member A such that there are twice as many members older than A as there are members younger than A.Estimate his age in years upto two decimal places):
Solution:पिछले जन्म पर आयु दी गई है अतः 4-5,5-6,6-7,7-8,……..,12-13 आयु वर्ग बनेंगे।166 बच्चे हैं \Rightarrow \frac{166}{3} \approx 56 , A 56वाँ सदस्य है।अतः 
P_{34} का मान निकालना होगा।
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{Age} & \text{Frequency} & \text{Cum. freq.} \\ & f & cf\\ \hline 4-5 & 5 & 5 \\ 5-6 & 9 & 14 \\ 6-7 & 18 & 32 \\ 7-8 & 35 & 67 \\ 8-9 & 42 & 109 \\ 9-10 & 32 & 141 \\ 10-11 & 15 & 156 \\ 11-12 & 7 & 163 \\ 12-13 & 3 & 166 \\ \hline \text { Total } & 166 & \\ \hline \end{array} \\ p_{34}=\frac{34 \times 166}{100}=56.44
56.44 से ठीक अधिक संचयी बारम्बारता 67 है।अतः l_1=7, i=8-7=1, f=35,c=32 \\ P_{34}=l_1+\frac{i}{f}\left(p_{34}-c\right) \\ =7+\frac{1}{35}(56.44-32) \\ =7+\frac{1}{35} \times 24.44 \\ \approx 7+0.698 \\ \Rightarrow P_{34} \approx 7.69 \text { years }
Illustration:5.बनारस के साड़ी बुनकरों के एक निश्चित वर्ग के लिए मध्यका और चतुर्थक आय क्रमशः 44.3 रु.,43 रु. और 45.9 रु. प्रति सप्ताह है।मजदूरी का वर्ग-विस्तार 40 और 50 रु. के बीच है।वर्ग के 10% बुनकर पर 42 रु. से कम कमाते हैं,15%,47 रु. और उससे अधिक और 6%,48 रु. और अधिक कमाते हैं।इन तथ्यों को एक आवृत्ति बंटन के रूप में प्रस्तुत कीजिए और माध्य मजदूरी ज्ञात कीजिए।
(For a certain group of ‘saree’ weavers of Banaras, the median and quartile earnings per week are Rs. 44.3,Rs.43.0 and Rs.45.9 respectively. The earnings for the group range between Rs. 40 and 50. Ten percent of the group earn under Rs.42 per week, 13 percent Rs.47 and over and 6 percent Rs.48 and over. Put this data into the form of a frequency distribution and obtain an estimate of the mean wage.)
Solution:Group Range 40-50
10% under 42 Rs. i.e. 40-42 frequency 10
13%, 47 and over i.e. 47- frequency 13-6=7
6%,48 and over i.e. 48-50 frequency 6
Median is 44.3 i.e. 44.3 frequency 50-25=25
First Quartile is 43 i.e. 43- frequency 25
Second Quartile is 45.9 i.e. 45.9 frequency 12
Remaining 42 frequency 15
Calculation Table of Mean
\begin{array}{|llll|} \hline \text{Wages} & \text{Frequency} & \text{Mid value} & \\ \text{(Rs.)} & (f) & x & fx\\ \hline 40-42 & 10 & 41 & 410 \\ 42-43 & 15 & 42.5 & 637.5 \\ 43-44.3 & 25 & 43.65 & 1091.25 \\ 44.3-45.9 & 25 & 45.1 & 1127.5 \\ 45.9-47 & 12 & 46.45 & 557.40 \\ 47-48 & 7 & 47.5 & 332.50 \\ 48-50 & 6 & 49 & 294 \\ \hline \text { Total } & 100 & & 4450.15 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\sum f x}{\sum f} \\ =\frac{4450.15}{100} \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 44.50

Numerical Illustrations of Mean and HM

Illustration:6.रविवार को छोड़कर सप्ताह के शेष दिनों के लिए औसत वर्षा 0.50 इन्च थी।रविवार को तेज वर्षा होने के कारण पूरे सप्ताह के लिए औसत वर्षा बढ़कर 1.50 इन्च हो गई।बताइए रविवार को कितनी वर्षा हुई?
(The average rainfall for a week,excluding Sunday, was 0.50 inch.Due to heavy rainfall on Sunday the average for the week rose to 1.5 inches.How much rainfall was there on Sunday?)
Solution:सोमवार से शनिवार तक कुल वर्षा=6×0.50=3 इन्च
सोमवार से रविवार तक कुल वर्षा=7×1.50=10.5
रविवार को वर्षा=10.5-3=7.5 इन्च
Illustration:7.यदि एक वस्तु की कीमत 4 वर्षों में दो गुनी हो जाती है तो वार्षिक वृद्धि की औसत प्रतिशत दर क्या होगी?
(If the price of a commodity doubles in 4 years,What will be the average percentage rate of increases per year?)
Solution: P_0=1, P_n=2, n=4
Rate=\sqrt[n]{\frac{p_n}{p_0}}-1 \\ =\sqrt[4]{\frac{2}{1}}-1 \\ =\text{AL}\left[\frac{\log 2-\log 1}{4}\right]-1 \\ =\text{AL}\left[\frac{0.3010-0}{4}\right]-1 \\ =\text{AL}(0.07525)-1 \\ =1.190-1=0.190
Rate=0.19×100%=19%
Illustration:8.किसी देश की जनसंख्या 1951 में 30 करोड़ थी जो 1969 में बढ़कर 52 करोड़ हो गई।वार्षिक वृद्धि की प्रतिशत चक्रवृद्धि दर ज्ञात कीजिए।
(The population of a country which was 30 crores in 1951 increased to 52 crores in 1969.Find the percentage compound rate of annual increase.)
Solution: Given P_0=30 करोड़ ,
P_n=52 करोड़,N=18
Rate=\sqrt[n]{\frac{P_n}{P_0}}-1 \\ =A L\left[\frac{\log 520000000-\log 300000000}{18}\right]-1 \\ =AL{\left[\frac{8.7160-8.4771}{18}\right]-1 } \\ =AL \left(\frac{0.2389}{18}\right)-1 \\ =A L(0.01327)-1 \\ =1.031-1=0.031
\Rightarrow Rate \approx 0.031 \times 100 \% \approx 3.1 \%
Illustration:9.एक व्यक्ति लखनऊ से दिल्ली 30 मील प्रतिघण्टा की गति से यात्रा करता है और उसी रास्ते से 60 मील प्रतिघण्टा की गति से वापस होता है।पूरी यात्रा के लिए औसत रफ्तार बताइए।
(A man travels from Lucknow to Delhi at speed of 30 miles per hour and returns by the same route at 60 m.p.h.Find the average speed for the whole journey.)
Solution:दर में दूरी चल और समय अचल है।प्रश्न में दूरी अचल है क्योंकि दोनों बार बराबर दूरी तय की जाती है।अतः हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा।
हरात्मक माध्य (HM)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\sum \text { Reciprocals } X}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{\frac{1}{30}+\frac{1}{60}}{2}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left[\frac{2+1}{60 \times 2}\right] \\ =\frac{60 \times 2}{3}=40 मील/घण्टा
Illustration:10.तीसरी योजना के प्रथम चार वर्षों में भारत की राष्ट्रीय आय में 2.6,1.9,5.0 और 7.7 प्रतिशत की वृद्धि हुई।इस अवधि में राष्ट्रीय आय की वृद्धि औसत दर क्या थी?
(During the first four year of the third plan the national incomes of India increased by 2.6,1.9,5.0 and 7.7%.What was the average rate of annual income during this period?)
Solution:Calculation Table of Average Rate
\begin{array}{|l|c|c|l|} \hline \text{year} & \text{Annual Rate} & \text{Income at End} & \log X \\ \hline \text{I} & 2.6 & 100+2.6=102.6 & 2.0112 \\ \hline \text{II} & 1.9 & 100+1.9=101.9 & 2.0081 \\ \hline \text{III} & 5.0 & 100+5=105 & 2.0212 \\ \hline \text{IV} & 7.7 & 100+7.7=107.7 & 2.0322 \\ \hline \text{Total} & & N=4 & \Sigma \log x=8.0727 \\ \hline \end{array}
गुणोत्तर माध्य (G.M.)=\text{Antilog} \left(\frac{\Sigma \log X}{N}\right) \\ =\text { Antilog }\left(\frac{3.0727}{4}\right) \\ =\text { Antilog }(2.018175) \\ =104.2
Average Rate of National Income=104.2-100=4.2%
Illustration:11.एक रेलगाड़ी पहले 16 मील,20 मील प्रति घण्टा के हिसाब से,दूसरे 20 मील,40 मील प्रति घण्टा के हिसाब से और अन्तिम 10 मील, 15 मील प्रति घण्टा के हिसाब से तय करती है।दूरी यात्रा की माध्य गति क्या है?
(A train goes at a speed of 20 miles per hour for the first 16 miles,at a speed of 40 m.p.h. for 20 miles.It covers that the last 10 miles at a speed of 15 m.p.h.Find out its average speed.)
Solution:दर में दूरी तथा तय की गई दूरी चल है अतः भारित हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा।
Calculation Table of Weighted Harmonic Mean
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{speed kms p. h.} & \text{Distance} & \text{Reciprocal of X} & \text{Reciprocal X} \cdot W\\ \hline (X) & (W) & & \\ \hline 20 & 16 & 1 \div 20=0.05 & 0.80 \\ \hline 40 & 20 & 1 \div 40=0.025 & 0.50 \\ \hline 15 & 10 & 1 \div 15=0.067 & 0.67 \\ \hline \text { Total } & \Sigma W=46 & & 1.97 \\ \hline \end{array}
हरात्मक माध्य (HM)=\text { Reiprocal of }\left[\frac{\Sigma \text { Reciprocal X} \cdot W}{\Sigma W}\right]
=Reciprocal of \left(\frac{1.97}{46}\right)=\frac{46}{1.97} \\ \approx 23.35miles per hour
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण (Numerical Illustrations of Mean and HM),गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Geometric Mean and Harmonic Mean) को समझ सकते हैं।

3.माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण के सवाल (Numerical Illustrations of Mean and HM Questions):

Numerical Illustrations of Mean and HM

(1.)निम्न श्रेणी का गुणोत्तर माध्य (geometric mean) परिकलित कीजिए:
\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \text{मूल्य} & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 \\ \text{आवृत्ति} & 6 & 10 & 20 & 8 & 5 & 1 \\ \hline \end{array}
(2.)निम्नलिखित आँकड़ों द्वारा गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) और हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) निकालिए:
\begin{array}{|ccccc|} \hline 15 & 250 & 15.7 & 157 & 1.57 \\ \hline 105.7 & 10.5 & 1.06 & 25.7 & 0.257 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)G.M.=11.71
(2.)गुणोत्तर माध्य (G.M.)=12.75,हरात्मक माध्य (HM)=1.737
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण (Numerical Illustrations of Mean and HM),गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Geometric Mean and Harmonic Mean) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Tabulation and Classification

4.माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Numerical Illustrations of Mean and HM),गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य (Geometric Mean and Harmonic Mean) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

माध्य और हरात्मक माध्य के आंकिक उदाहरण (Numerical Illustrations of Mean and HM)
के इस आर्टिकल में समान्तर माध्य,हरात्मक माध्य,गुणोत्तर माध्य,मध्यका,शतमक आदि
के द्वारा कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।