1.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance):

Motion Under Repulsion Varying as Distance

दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance) के इस आर्टिकल में प्रतिकर्षण के अधीन गति करने वाले कण का वेग,दूरी व समय ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति के उदाहरण (Motion Under Repulsion Varying as Distance Examples):

Example:7.एक कण किसी सरल रेखा पर स्थित किसी स्थिर बिन्दु की ओर त्वरण \left(\frac{\mu}{x^2}-\frac{\lambda}{x^3}\right) से चलता है जहाँ x स्थिर बिन्दु से कण की दूरी है यदि कण a दूरी पर विरामावस्था से रवाना होता है तो सिद्ध करो कि इस दूरी और दूरी \frac{\lambda a}{2 \mu a-\lambda} के बीच दोलन करता है और इसका आवर्तकाल \frac{2 \pi \mu a^3}{(2 \mu-\lambda)^{\frac{3}{2}}} है।
(A particle moves in a straight line with an acceleration towards a fixed point in the straight line which is equal to \left(\frac{\mu}{x^2}-\frac{\lambda}{x^3}\right) at a distance x from the given point.The particle starts from rest at a distance a;show that it oscillates between this distance and the distance \frac{\lambda a}{2 \mu a-\lambda} and that the periodic time is \frac{2 \pi \mu a^3}{(2 \mu-\lambda)^{\frac{3}{2}}} .)
Solution:गति का समीकरण
\frac{d^2 x}{d t^2}=v \frac{d v}{d x}=-\left(\frac{\mu}{x^2}-\frac{\lambda}{x^3}\right) \cdots(1)
2 \frac{d x}{d t} से गुणा करके समाकलन करने परः
\int \frac{d^2 x}{d t^2} \cdot \frac{2 d x}{d t}=-\int\left(\frac{\mu}{x^2}-\frac{\lambda}{x^3}\right) \cdot 2 \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^2=\frac{2 \mu}{x}-\frac{\lambda}{x}+c \\ \Rightarrow v^2=\frac{2 \mu}{x}-\frac{\lambda}{x}+c
जब x=a तब v=0 \therefore c=\frac{\lambda}{a}-\frac{2 \mu}{a} \\ \therefore v^2=2 \mu\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right)-\lambda\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{a^2}\right) \\ \Rightarrow v^2=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right)\left[2 \mu-\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{a}\right)\right] \cdots(2)
जब x=a तो v=0 \\ \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right)\left[2 \mu-\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{a}\right) \right]=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{a} \Rightarrow x=a \\ 2 \mu-\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{a}\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \mu=\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{a}\right) \\ \Rightarrow \frac{2 \mu}{\lambda}=\frac{1}{x}+\frac{1}{a} \\ \Rightarrow \frac{2 \mu}{\lambda}-\frac{1}{a}=\frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{2 \mu a-\lambda}{a \lambda}=\frac{1}{x} \Rightarrow x=\frac{a \lambda}{2 \mu a-\lambda}
अतः x=a, \frac{a \lambda}{2 \mu a-\lambda}
पुनः v^2=\frac{a-x}{a x}\left[\frac{(2 \mu a x-\lambda a-\lambda x)}{a x}\right] समी.(2) से
=\frac{a-x}{a^2 x^2}[(2 a \mu-\lambda) x-\lambda a] \\ \Rightarrow v^2 =(2 \mu a-\lambda) \frac{(a-x)}{a^2 x^2}\left[x-\frac{\lambda a}{2 a \mu-\lambda}\right]
put \frac{a \lambda}{2 a \mu-\lambda}=b \\ \therefore v^2=\frac{\lambda a}{b} \cdot \frac{a-x}{a^2 x^2}(x-b) \cdots(3) \\ \Rightarrow v=\frac{d x}{d t}=-\sqrt{\left(\frac{\lambda}{a b}\right)} \frac{\sqrt{(a-x)(x-b)}}{x} \\ \therefore \int_a^b \frac{x}{\sqrt{(a-x)(x-b)}} d x=-\int_0^t \sqrt{\frac{\lambda}{a b}} dt
put x=\frac{a+b}{2}-y \therefore a-x=\frac{a-b}{2}+y, x-b=\frac{a-b}{2}-y
तथा dx=-dy
जब x=a, y=-\frac{a-b}{2}
जब x=b तो y=\frac{a-b}{2} \\ \int_{-\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{\frac{a-b}{2}} \frac{\frac{a+b}{2}-y}{\sqrt{\left[\left(\frac{a-b}{2}\right)^2-y^2\right]}}(-d y)=-\sqrt{\frac{\lambda}{a b}} dt \\ \Rightarrow -\left[\frac{a+b}{2} \sin ^{-1}\frac{y}{\left(\frac{a-b}{2}\right)}+\sqrt{\left.\left(\frac{a-b}{2}\right)^2-y^2\right]}\right]_{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^{\left(\frac{a+b}{2}\right)}=-\sqrt{\frac{\lambda}{a b}} dt\\ \frac{a+b}{2} \left[\sin ^{-1}(1) -\sin ^{-1}(-1)\right]=\sqrt{\left(\frac{\lambda}{a b}\right)} t \\ \therefore t=\sqrt{\left(\frac{a b}{\lambda}\right)}\cdot \frac{a+b}{2}\left[\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right] \\ =\sqrt{\left(\frac{a b}{\lambda}\right)}\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \pi
परन्तु a+b=a+\frac{\lambda a}{2 \mu a-\lambda}=\frac{2 a^2 \mu}{2 \mu a-\lambda}
तथा \frac{a b}{\lambda}=\frac{a^2}{2 a \mu-\lambda}
आवर्तकाल T=2t
=2 \frac{a}{\sqrt{(2 a \mu-\lambda)}} \cdot \frac{a^2 \mu}{(2 a \mu-\lambda)} \pi \\ T=\frac{2 \pi a^3 \mu}{(2 a \mu-\lambda)^{\frac{3}{2}}}

Motion Under Repulsion Varying as Distance

Example:8.एक m द्रव्यमान वाला कण P,से बिन्दु O से होकर जाने वाली सरल रेखा के अनुदिश चलता है और किसी समय पर दूरी OP,x है।जब x>a तो कण O की ओर बल \frac{mk}{x^2} से आकर्षित करता है और जब x<a तो कण को बल \frac{mak}{x^3} ,O से निवृत्त करता है।यदि कण O से 2a की दूरी पर विरामावस्था से छोड़ा जाए,तो सिद्ध कीजिए कि वह तत्काल विश्राम प्राप्त कर लेगा जब x=\frac{a}{\sqrt{2}} ,वह समय ज्ञात कीजिए जो कि कण x=a से x=\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) तक चलने में लेता है।
(A particle P of mass m moves along a straight line through a point O and at any instant the distance OP is x. When, the particle is attached towards by a force \frac{mk}{x^2} and when,the particle is O by a force \frac{mak}{x^3}.If the particle is released from rest at a distance 2a from O,show that it will come to rest instantaneously when x=\frac{a}{\sqrt{2}} the particle takes to travel from x=a to x=\frac{a}{\sqrt{2}}.)

Solution:A से B तक गति
OA=2a तथा OB=a
जब A to B तो x>a तब गति का समीकरण
m \frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{m k}{x^2} \cdots (1) \\ v \frac{d v}{d x}=- \mu \frac{k}{x^2}
समाकलन करने परः
\int v d v=-k \int \frac{1}{x^2} d x \\ \Rightarrow \frac{v^2}{2}=\frac{2 k}{x}+A
जब x=2a तब v=0
A+\frac{2 k}{2 a} =0 \Rightarrow A=-\frac{2 k}{2 a}=-\frac{k}{a} \\ v^2=\frac{2 k}{x}-\frac{k}{a}=k\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{a}\right) \cdots(2)
B बिन्दु पर v=V_1 तथा x=a
V_1^2=k\left(\frac{2}{a}-\frac{1}{a}\right)=\frac{k}{a} \cdots(3)
B to O से गति होने पर गति का समीकरण
m \frac{d^2 x}{d t^2}=\frac{m a k}{x^3} \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=\frac{a k}{x^3} \\ \Rightarrow \int v d v=\int \frac{a k}{x^3} d x \\ \Rightarrow v^2=-2 a k \cdot \frac{1}{2 x^2}+B \\ \Rightarrow v^2=-\frac{a k}{x^2}+B
जब x=a तब v=V_1=\sqrt{\frac{k}{a}} \\ \Rightarrow \frac{k}{a}=-\frac{a k}{a^2}+B \\ \Rightarrow \frac{k}{a}+\frac{k}{a}=B \\ \Rightarrow B=\frac{2 k}{a} \\ v^2=-\frac{a k}{x^2}+\frac{2 k}{a} \\ =\frac{k}{a}\left(2-\frac{a^2}{x^2}\right) \\ \Rightarrow v=\sqrt{\frac{k}{a}} \sqrt{\left(2-\frac{a^2}{x^2}\right)} \cdots(4) \\ \frac{d x}{d t}=-\sqrt{\frac{k}{a}} \sqrt{\left(\frac{2 x^2-a^2}{x^2}\right)} \\ \Rightarrow - \int_0^{t_2} \sqrt{\frac{k}{a}} d t=-\int_a^{\frac{a}{\sqrt{2}}} \frac{x}{\sqrt{2 x^2-a^2}} dx \\ \Rightarrow \left[\sqrt{\frac{k}{a}} t\right]_0^{t_2}=-\int_a^{\frac{a}{\sqrt{2}}} \frac{x}{\sqrt{2 x^2-a^2}} dx
put 2x^2-a^2=u \Rightarrow 4x d x=du
जब x=a तो u=a^2
जब x=\frac{a}{\sqrt{2}} तो u=0
\sqrt{\frac{k}{a}} \cdot t_2 =-\int_{a^2}^0 \frac{x}{\sqrt{u}}\left(\frac{du}{dx}\right) \\ =\frac{1}{4} \cdot \int_0^{a^2} u^{-\frac{1}{2}} d u \\ =\frac{1}{4}\left[\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_0^{a^2} \\ =\frac{1}{4} \cdot 2\left(a^2\right)^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{1}{2} a \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{k}{a}} t_2= \frac{1}{2} a \\ \Rightarrow t_2=\frac{1}{2} a \times \sqrt{\frac{a}{k}} \\ \Rightarrow t_2=\frac{1}{2} \left(\frac{a^3}{k}\right)^{\frac{1}{2}}
तथा \frac{a}{\sqrt{2}} दूरी पर वेग समीकरण (4) सेः
V=\sqrt{\frac{k}{a}} \sqrt{\left(2-\frac{a^2}{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}\right)} \\ =\sqrt{\frac{k}{a}} \sqrt{2-2}=0 \\ \Rightarrow V=0
Example:9.यदि पृथ्वी के तल पर स्थित किन्हीं दो स्थानों को मिलाने वाली एक सुरंग खोद दी जावे तो सिद्ध करो कि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के अधीन उसे एक स्थान से दूसरे स्थान तक पार करने में किसी कण को केवल 42 \frac{1}{2} मिनट लगेंगे।
(If a tunnel is dug between any two points on the surface of the earth;prove that a particle will taken 42 \frac{1}{2} minutes in traveling from one point to another point under gravity.)

Solution:गति का समीकरण \frac{d^2 x}{d t^2}=-\mu x
तथा आवर्तकाल \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\mu}}
A से B तक समय =\frac{1}{2} T=\frac{\pi}{\sqrt{\mu}}
अब A पर आकर्षण g है अतः \mu a=g
जहाँ a=पृथ्वी की त्रिज्या
\mu=\frac{g}{a}
\therefore अभीष्ट समय =\frac{\pi}{\sqrt{\mu}}=\pi \sqrt{\frac{a}{g}} \\ =3.1416 \sqrt{\frac{4000 \times 1760 \times 3}{32.2}}
[g=32.2 फुट/सेकण्ड{}^2 ,a=4000×1760×3 फुट]
\approx 2544.228 sec
\approx 42 \frac{1}{2} minutes
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance) को समझ सकते हैं।

3.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति के सवाल (Motion Under Repulsion Varying as Distance Questions):

Motion Under Repulsion Varying as Distance

(1.)यदि आकर्षण का नियम व्युत्क्रम दूरी के है,तो केंद्र के लिए तक जाने का समय ज्ञात करें।
(If the law of attraction be inverse distance,find the time of decent to the centre.)
(2.)यदि आकर्षण का नियम \mu \left(x+\frac{a^4}{x^3}\right) है,तो दिखाइए कि केंद्र में उतरने का समय  \frac{\pi}{ 4 \sqrt{ \mu}} है।
(If the law of attraction \mu \left(x+\frac{a^4}{x^3}\right) be,show that the time of descent to the centre is \frac{\pi}{ 4 \sqrt{ \mu}} )
उत्तर (Answer): (1.) T=a \sqrt{\frac{\pi}{2 \mu}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Frequently Asked Questions Related to Motion Under Repulsion Varying as Distance) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

दूरी के समानुपाती प्रतिकर्षण के अधीन गति (Motion Under Repulsion Varying as Distance)
के इस आर्टिकल में प्रतिकर्षण के अधीन गति करने वाले कण का वेग,दूरी व समय ज्ञात करने के
लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।