1.वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limits):
वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सैंडविच प्रमेय व कोशी का सीमा पर प्रमेय के द्वारा सीमा के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
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2.वास्तविक विश्लेषण में सीमा के उदाहरण (Limit in Real Analysis Illustrations):
Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
Illustration:1(i). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=0
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots+\frac{1}{n}\right)=0 \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}=0 यदि x_n=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \left(\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=0
Illustration:1(ii). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}+\cdots+\frac{n+1}{n}\right)=0
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}=0 यदि x_n=\frac{n+1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \left(\frac{\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}+\cdots+\frac{n+1}{n}}{n}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{n}\left(\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}+\cdots+\frac{n+1}{n}\right)=0
Illustration:1(iii). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n}=0
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n}=0
मानाकि x_n=\frac{n!}{n^n} \\ x_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} \\ =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{(n+1) n!}{(n+1)^{n} (n+1)} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{n^n}{(n+1)^n} \\ =\frac{n^n}{n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ =\frac{1}{e}
परन्तु \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(x_n\right)=0 (सैंडविच प्रमेय से)
अतः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} =0
Illustration:2(i). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}
मानाकि x_n=\left(\frac{2}{1}\right)^2\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ x_{n+1}=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}} \\ =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \\ =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ \log \frac{x_{n+1}}{x_n}=\log \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ =(n+1)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)^2}+\ldots \ldots \right) \\ =\frac{n+1}{n+1}\left(1-\frac{1}{2(n+1)}+\ldots \ldots \right)\\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \frac{x_n+1}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{2(n+1)}+\ldots \ldots \right) \\ =1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_n+1}{x_n}=e \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \cdots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}=e
Illustration:2(ii). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{n^n}
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{n^n}
मानाकि x_n=\frac{x^n}{n^n}, x_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{x^n}{n^n}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{x^n} \\ =\frac{x}{(n+1)^n(n+1)} \cdot n^n \\ =\frac{x}{n^n\left(1+\frac{1}{n} \right)^n(n+1)} \cdot n^n \\ =\frac{x}{\left(1+\frac{1}{n}\right)(n+1)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_n+1}{x_n} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x}{\left(1+\frac{1}{n}\right)(n+1)} \\ =\frac{x}{\left(1+\frac{1}{\infty}\right)(\infty+1)} \\ =\frac{x}{(1+0) \cdot \infty} \\ =0 \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{n^n} =0
Illustration:3.सिद्ध कीजिए कि निम्न अनुक्रम अभिसारी हैं:
(Prove that the following sequence are convergent):
Illustration:3(i). \left\{\frac{n!}{n^n}\right\}
Solution: \left\{\frac{n!}{n^n}\right\}
मानाकि x_n=\frac{(n!)}{n^n} , x_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} \\ =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{(n+1) n!}{(n+1)^n(n+1)} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{n^n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} =\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{x_n+1}{x_n}\right)= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n \\
=\frac{1}{e}
परन्तु \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(x_n\right) =0 (सैंडविच प्रमेय से)
अतः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n}=0
अतः अनुक्रम अभिसारी है।
Illustration:3(ii). \left\{n^{\frac{1}{n}}\right\}
Solution: \left\{n^{\frac{1}{n}}\right\}
मानाकि x_n=n, x_{n+1}=n+1 \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 1+\frac{1}{n} \\ =1+\frac{1}{\infty} \\ =1+0 \\ =1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n^{\frac{1}{n}} =1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limits) को समझ सकते हैं।
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3.वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Frequently Asked Questions Related to Limit in Real Analysis),सीमा (Limits) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
उत्तर:(1.)साधारण भाषा |x_n-\xi| < \epsilon \quad \forall n > n_0 में का अर्थ है कि अनुक्रम के nवें पद तथा \xi के अन्तर का मापांक n के एक मान n_0 के बाद इच्छानुसार न्यून बनाया जा सकता है।
(2.)एक अनुक्रम की सीमा तथा सीमा बिन्दु की परिभाषा से सरलतापूर्वक देखा जा सकता है कि अनुक्रम की सीमा,उसकी सीमा बिन्दु होती है किन्तु इसका विलोम सत्य नहीं होता।
प्रश्न:2.अपसारी अनुक्रम की परिभाषा दीजिए। (Define the Divergent Sequence):
उत्तर:एक अनुक्रम \left\{ x_n \right\} अपसारी कहलाती है यदि और केवल यदि प्रत्येक k>0 (चाहे कितना भी बड़ा क्यों न हो) एक ऐसी प्राकृत संख्या विद्यमान है कि x_n>k या < -k , \forall n > n_0
प्रश्न:3.दोलनी अनुक्रम से क्या आशय है? (What is Meant by Oscillatory Sequence?):
उत्तर:जो अनुक्रम न तो अभिसारी है और न अपसारी,वह दोलनी अनुक्रम कहलाती है।
दोलनी अनुक्रम परिमित अथवा अपरिमित रूप से दोलन करती है यदि अनुक्रम परिबद्ध अथवा अपरिबद्ध हो।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limits) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Limit in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में सीमा
(Limit in Real Analysis)
Limit in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सैंडविच प्रमेय
व कोशी का सीमा पर प्रमेय के द्वारा सीमा के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
Limit in Real Analysis
1.वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limits):
Limit in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सैंडविच प्रमेय व कोशी का सीमा पर प्रमेय के द्वारा सीमा के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.वास्तविक विश्लेषण में सीमा के उदाहरण (Limit in Real Analysis Illustrations):
Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
Illustration:1(i). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=0
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots+\frac{1}{n}\right)=0 \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}=0 यदि x_n=\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \left(\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}{n}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=0
Illustration:1(ii). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}+\cdots+\frac{n+1}{n}\right)=0
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}=0 यदि x_n=\frac{n+1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \left(\frac{\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}+\cdots+\frac{n+1}{n}}{n}\right) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim } \frac{1}{n}\left(\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}+\cdots+\frac{n+1}{n}\right)=0
Illustration:1(iii). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n}=0
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n}=0
मानाकि x_n=\frac{n!}{n^n} \\ x_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} \\ =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{(n+1) n!}{(n+1)^{n} (n+1)} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{n^n}{(n+1)^n} \\ =\frac{n^n}{n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ =\frac{1}{e}
परन्तु \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(x_n\right)=0 (सैंडविच प्रमेय से)
अतः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} =0
Limit in Real Analysis
Illustration:2(i). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}
मानाकि x_n=\left(\frac{2}{1}\right)^2\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \\ x_{n+1}=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \ldots \ldots \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}} \\ =\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \\ =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ \log \frac{x_{n+1}}{x_n}=\log \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ =(n+1)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)^2}+\ldots \ldots \right) \\ =\frac{n+1}{n+1}\left(1-\frac{1}{2(n+1)}+\ldots \ldots \right)\\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \log \frac{x_n+1}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-\frac{1}{2(n+1)}+\ldots \ldots \right) \\ =1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_n+1}{x_n}=e \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{4}{3}\right)^3 \cdots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\right]^{\frac{1}{n}}=e
Illustration:2(ii). \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{n^n}
Solution: \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{n^n}
मानाकि x_n=\frac{x^n}{n^n}, x_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{x^n}{n^n}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{x^n} \\ =\frac{x}{(n+1)^n(n+1)} \cdot n^n \\ =\frac{x}{n^n\left(1+\frac{1}{n} \right)^n(n+1)} \cdot n^n \\ =\frac{x}{\left(1+\frac{1}{n}\right)(n+1)} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_n+1}{x_n} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x}{\left(1+\frac{1}{n}\right)(n+1)} \\ =\frac{x}{\left(1+\frac{1}{\infty}\right)(\infty+1)} \\ =\frac{x}{(1+0) \cdot \infty} \\ =0 \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^n}{n^n} =0
Illustration:3.सिद्ध कीजिए कि निम्न अनुक्रम अभिसारी हैं:
(Prove that the following sequence are convergent):
Illustration:3(i). \left\{\frac{n!}{n^n}\right\}
Solution: \left\{\frac{n!}{n^n}\right\}
मानाकि x_n=\frac{(n!)}{n^n} , x_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \\ \frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} \\ =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{(n+1) n!}{(n+1)^n(n+1)} \times \frac{n^n}{n!} \\ =\frac{n^n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} =\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{x_n+1}{x_n}\right)= \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n \\ =\frac{1}{e}
परन्तु \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(x_n\right) =0 (सैंडविच प्रमेय से)
अतः \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n}=0
अतः अनुक्रम अभिसारी है।
Illustration:3(ii). \left\{n^{\frac{1}{n}}\right\}
Solution: \left\{n^{\frac{1}{n}}\right\}
मानाकि x_n=n, x_{n+1}=n+1 \\ \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \\ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} 1+\frac{1}{n} \\ =1+\frac{1}{\infty} \\ =1+0 \\ =1 \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} n^{\frac{1}{n}} =1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limits) को समझ सकते हैं।
Limit in Real Analysis
3.वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Frequently Asked Questions Related to Limit in Real Analysis),सीमा (Limits) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अनुक्रम की सीमा पर टिप्पणी लिखो। (Write a Comment on Limit of a Sequence):
उत्तर:(1.)साधारण भाषा |x_n-\xi| < \epsilon \quad \forall n > n_0 में का अर्थ है कि अनुक्रम के nवें पद तथा \xi के अन्तर का मापांक n के एक मान n_0 के बाद इच्छानुसार न्यून बनाया जा सकता है।
(2.)एक अनुक्रम की सीमा तथा सीमा बिन्दु की परिभाषा से सरलतापूर्वक देखा जा सकता है कि अनुक्रम की सीमा,उसकी सीमा बिन्दु होती है किन्तु इसका विलोम सत्य नहीं होता।
प्रश्न:2.अपसारी अनुक्रम की परिभाषा दीजिए। (Define the Divergent Sequence):
उत्तर:एक अनुक्रम \left\{ x_n \right\} अपसारी कहलाती है यदि और केवल यदि प्रत्येक k>0 (चाहे कितना भी बड़ा क्यों न हो) एक ऐसी प्राकृत संख्या विद्यमान है कि x_n>k या < -k , \forall n > n_0
प्रश्न:3.दोलनी अनुक्रम से क्या आशय है? (What is Meant by Oscillatory Sequence?):
उत्तर:जो अनुक्रम न तो अभिसारी है और न अपसारी,वह दोलनी अनुक्रम कहलाती है।
दोलनी अनुक्रम परिमित अथवा अपरिमित रूप से दोलन करती है यदि अनुक्रम परिबद्ध अथवा अपरिबद्ध हो।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis),सीमा (Limits) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
Limit in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में सीमा
(Limit in Real Analysis)
Limit in Real Analysis
वास्तविक विश्लेषण में सीमा (Limit in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सैंडविच प्रमेय
व कोशी का सीमा पर प्रमेय के द्वारा सीमा के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.