1.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit):

Continuity and Limit in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सीमा और सांतत्य के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा के उदाहरण (Continuity and Limit in Real Analysis Illustrations):

Illustration:3.निम्न फलनों की सांतत्य की जाँच कीजिए:
(Test the continuity of the following functions):
Illustration:3(iii). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \left(\frac{x^2}{a}\right)-a, & a< x< a \\ 0, & x=a \\ a-\frac{a^3}{x^2}, & a< x \leq b \\ b, & x>b \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \left(\frac{x^2}{a}\right)-a, & a< x< a \\ 0, & x=a \\ a-\frac{a^3}{x^2}, & a< x \leq b \\ b, & x>b \end{array}\right.
x=a पर L.H.L
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(a-h)^2}{a}-a \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^2-2 a h+h^2-a^2}{a} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-2 a h+h^2}{a} \\ \Rightarrow f(a-0)=0
अतः फलन f(x),x=a पर संतत है।
x=b पर L.H.L.
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(a-\frac{a^3}{(a+h)^2}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[1-\frac{a^2}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[\frac{(a+h)^2-a^2}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[\frac{a^2+2 a h+h^2-a^2}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a\left(2 a h+h^2\right)}{(a+h)^2} \\ =0 \\ f(a+0)=0
f(a)=0
f(a-0)=f(a+0)=f(a)
अतः फलन f(x),x=a पर संतत है।
x=b पर
L.H.L.
f(b-0)=\underset{x \rightarrow b^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(b-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[a-\frac{a^3}{(b-h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[1-\frac{a^2}{(b-h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[\frac{b^2-2 b h+h^2-a^2}{(b-h)^2}\right] \\ =\frac{a\left(b^2-a^2\right)}{b} \\ \Rightarrow f(b-0)=\frac{a\left(b^2-a^2\right)}{b^2}
R.H.L.
f(b+0)=\underset{x \rightarrow b^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(b+h)\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (b) \\ \Rightarrow f(b+0)=b \\ f(b)=a-\frac{a^3}{x^2}=a-\frac{a^3}{b^2} \\ \Rightarrow f(b+0)=\frac{a\left(b^2-a^2\right)}{b^2} \\ \Rightarrow f(b+0) \neq f(b-0)=f(b)
अतः फलन f(x),x=b पर असंतत है।
Illustration:3(iv). f(x)= \begin{cases}0, & x=0 \\ \frac{1}{2}-x, & 0< x < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x=\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}-x, & \frac{1}{2}< x < 1 \\ 1, & x=1\end{cases}
x=0, \frac{1}{2} एवं 1 पर
Solution: f(x)= \begin{cases}0, & x=0 \\ \frac{1}{2}-x, & 0< x < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x=\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}-x, & \frac{1}{2}< x < 1 \\ 1, & x=1\end{cases}
x=0 पर R.H.L.
f(0+0)= \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2}-(0+h)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{2}-h\right) \\ =\frac{1}{2} \\ \Rightarrow f(0+0)=\frac{1}{2}
f(0)=0
\Rightarrow f(0+0) \neq f(0)
अतः फलन f(x),x=0 पर असंतत है।
x=\frac{1}{2} पर
L.H.L.
f\left(\frac{1}{2}-0\right)=\underset{x \rightarrow {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{1}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2} -\left(\frac{1}{2}-h\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+h\right] \\ f\left(\frac{1}{2}-0\right)=0
R.H.L.
f\left(\frac{1}{2}+0\right)=\underset{x \rightarrow {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{1}{2}+h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}+h\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-h\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2}-h\right] \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}+0\right)=1 \\ f\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{2} \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) \neq f\left(\frac{1}{2}+0\right) \neq f\left(\frac{1}{2}-0\right)
अतः फलन f(x),x=\frac{1}{2} पर असंतत है।
x=1 पर
L.H.L.
f(1-0)= \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{3}{2}-(1-h)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{3}{2}-1+h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{1}{2}+h\right) \\ \Rightarrow f(1-0)=\frac{1}{2} \\ f(1)=1 \\ \Rightarrow f(1) \neq f(1-0)
अतः फलन f(x),x=1 पर असंतत है।
Illustration:3(v). f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, \quad-\infty< x< 0 \\ 1+\sin x, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2} \\ 2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2, \frac{\pi}{2} \leq x<\infty \end{array}\right.
x=0 तथा x=\frac{\pi}{2} पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, \quad-\infty< x< 0 \\ 1+\sin x, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2} \\ 2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2, \frac{\pi}{2} \leq x<\infty \end{array}\right.
x=0 पर L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1) \\ \Rightarrow f(0-0)=1
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\sin (0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\sin h \\ =1+0=1 \\ \Rightarrow f(0+0)=1 \\ f(0)= 1+\sin 0=1
f(0-0)= f(0+0)=f(0)
अतः फलन f(x),x=0 पर संतत है।
x=\frac{\pi}{2} पर L.H.L.
f\left(\frac{\pi}{2}-0\right)= \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{\pi}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\cos h \\ = 1+\cos 0=1+1=2 \\ \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=2
R.H.L.
f\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{\pi}{2}+h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2+\left(\frac{\pi}{2}+h-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2+h^2 \\ \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2} +0\right)=2 \\ f(x)=2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \\ f\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=f\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)
अतः फलन f(x),x= पर संतत है।
Illustration:3(vi). f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right), x \in[0,1], x=1 पर
Solution: f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ \because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x^n=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { यदि } x<1 \\ 1, \text { यदि } x=1 \\ \infty, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
अतः यदि x<1 तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ \Rightarrow f(x)=1-0=1
जब x=1,तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ \Rightarrow f(x)=1-1=0
जब x>1 तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ =1-\infty \\ \Rightarrow f(x)=-\infty \\ f(1-0)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=1 \\ f(1+0)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=-\infty \\ f(1-0) \neq f(1+0)
अतः फलन f(x),x=1 पर असंतत है।
Illustration:3(vii). f(x)= \begin{cases}(x-a) \cdot \sin \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}
Solution: f(x)= \begin{cases}(x-a) \cdot \sin \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}
L.H.L
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (a-h-a) \sin \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-h) \sin \left(-\frac{1}{h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \sin \frac{1}{h} \\ \Rightarrow f(a-0)=0
R.H.L
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (a+h-a) \sin \left(\frac{1}{a+h-a}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) \\ \Rightarrow f(a+0)=0 \\ \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} h=0 \text { तथा }\left|\sin \frac{1}{h}\right| \leq 1 \text { जब } h \neq 0\right]
f(a)=0
f(a-0)=f(a+0)=f(a)
अतः फलन f(x),x=a पर संतत है।

Continuity and Limit in Real Analysis

Illustration:3(viii). f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x-a} \operatorname{cosec}(x-a), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases} ,     x=a पर
Solution: f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x-a} \operatorname{cosec}(x-a), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}
x=a पर L.H.L.
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x)\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \operatorname{cosec}(a-h-a) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left( -\frac{1}{h} \right) \operatorname{cosec}(-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{h}(\operatorname{cosec} h) \\ \Rightarrow f(a-0) =\infty
R.H.L.
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{1}{a+h-a}\right) \operatorname{cosec}(a+h-a) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \operatorname{cosech} \\ \Rightarrow f(a+0) =\infty \\ f(a)=0 \\ f(a-0)=f(a+0) \neq f(a)
अतः फलन f(x),x=a पर अपरिमित रूप से द्वितीय प्रकार का असंतत है।
Illustration:3(ix). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{x-a} \sec \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a \end{array}\right. ,x=a पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{x-a} \sec \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a \end{array}\right.
x=a पर L.H.L.
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\=\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \sec \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-\frac{1}{h}\right) \sec \left(-\frac{1}{h}\right) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-\frac{1}{h} \sec \frac{1}{h}\right) \\ \Rightarrow f(a-0)=-\infty
R.H.L.
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{a+h-a}\right) \sec \left(\frac{1}{a+h-a}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \sin h \\ =\infty \\ f(a)=0 \\ f(a-0) \neq f(a+0) \neq f(a)
अपरिमित असंतत है।
Illustration:4.[-1,2] में परिभाषित निम्न फलन की संततता की जाँच कीजिए:
(Examine for continuity of the function defined on [-1,2] by
f(x)= \begin{cases}-x^2, & -1 \leq x< 0 \\ 4 x-3, & 0< x \leq 1 \\ 5 x^2-4 x, & 1< x \leq 2\end{cases}
Solution: f(x)= \begin{cases}-x^2, & -1 \leq x< 0 \\ 4 x-3, & 0< x \leq 1 \\ 5 x^2-4 x, & 1< x \leq 2\end{cases}
x=0 पर L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(0-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[-(0-h)^2\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-h^2\right) \\ f(0-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4(0+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (4 h-3) \\ \Rightarrow f(0+0)=-3 \\ f(0+0) \neq f(0-0)
अतः फलन f(x),अन्तराल [-1,2] पर असंतत है।
Illustration:5.माना कि स्टेप फलन x \in R के लिए निम्न प्रकार परिभाषित है:
f(x)=[x]=अधिकतम पूर्णांक जो कि x से कम या बराबर है,तो प्रदर्शित कीजिए कि फलन किसी भी पूर्णांक बिन्दु पर संतत नहीं है।
(Let the step function be defined for as x \in R
f(x)=[x]=the greatest integer less than or equal to x.
Show that f is not continuous at any integral point.)
Solution:f(x)=[x]
x=c \in Z पर L.H.L.
f(c-0)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [c-h] \\ =c-1 [यदि c > 0] ……(1)
R.H.L.
f(c+0)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c+h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [c+h] \\=1 [यदि c >0 ]
f(c-0) \neq f(c+0) अतः फलन किसी भी पूर्णांक बिन्दु पर संतत नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा के सवाल (Continuity and Limit in Real Analysis Questions):

Continuity and Limit in Real Analysis

(1.)सिद्ध करो कि फलन (Show that the function defined by)
f(x)= \begin{cases}x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-1 & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, \text { यदि } x=0\end{cases}
x=0 पर निराकरणीय असंतत है।
(has a removal discontinuity at x=0)
(2.)निम्न फलन के सांतत्य की जाँच कीजिए
(Test the following function for continuity)
(x)=\begin{cases}2^{\frac{1}{x}}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0\end{cases}
उत्तर (Answer):(2.)असंतत
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Frequently Asked Questions Related to Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis) के
इस आर्टिकल में सीमा और सांतत्य के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।