1.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity):

Continuity in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सांतत्य और एकसमान सांतत्य का परीक्षण करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य के उदाहरण (Continuity in Real Analysis Examples):

Example:1.निम्न परिभाषित फलन की x=1 पर सांतत्य की जाँच कीजिएः
f(x)=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e^x-x^n \sin x}{x^n+1}\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)
विवेचना कीजिए कि यद्यपि f(0) \cdot f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0 परन्तु अन्तराल \left[0, \frac{\pi}{2}\right] में कहीं भी फलन का मान शून्य नहीं है।
(Examine for continuity at x=1,the function f defined by
f(x)=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e^x-x^n \sin x}{x^n+1}\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)
Explain why the function f does not vanish anywhere in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] although f(0) \cdot f\left(\frac{\pi}{2}\right)<0 .)
Solution:जब 0 \leq x<1 तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e^x-x^n \sin x}{1+x^n} \\ =\frac{e^x-0 \cdot \sin x}{1+0}=e^x
x=1 पर f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e-\sin 1}{1+1}=\frac{e-\sin 1}{2}
तथा जब 1< x \leq \frac{\pi}{2}, f(x)=\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{e^x}{x^n}-\sin x}{1+\frac{1}{x^n}} \\ \Rightarrow f(x)=-\sin x
इस प्रकार f(x)=\left\{\begin{array}{l} e^x, \text { जब } 0 \leq x< 1 \\ \frac{e-\sin 1}{2}, \text { जब } x=1 \\ -\sin x, \text { जब } 1< x \leq \frac{\pi}{2} \end{array}\right.
L.H.L.
f(1-0)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} e^x=e
R.H.L.
f(1+0)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(-\sin x) \\ \Rightarrow f(1+0)=-\sin 1
तथा f(1)=\frac{1}{2}(e-\sin 1) \\ f(1-0) \neq f(1)
तथा f(1) \neq f(1+0)
अतः x=1 पर प्रथम प्रकार का असांतत्य है।इस बिन्दु पर फलन का jump है f(1-0)-f(1+0)=e-(-\sin 1) \\ =e+\sin 1
f(0)=e^0=1 तथा f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \frac{\pi}{2}=-1
इस प्रकार f(0) \cdot f \left(\frac{\pi}{2}\right)=-1<0
अर्थात् f(0) और f \left(\frac{\pi}{2}\right) विपरीत चिह्नों के हैं।सूत्र से f(x) के लिए हम प्राप्त करते हैं,हम देखते हैं कि f(x) कहीं भी समाप्त नहीं होता है \left[0, \frac{\pi}{2}\right] अन्तराल में यद्यपि f(0) और f \left(\frac{\pi}{2}\right) विपरीत चिह्न के है।कारण है कि फलन f(x) अन्तराल \left[0, \frac{\pi}{2}\right] में संतत नहीं है क्योंकि यह इस अन्तराल के बिन्दु x=1 पर असंतत है।
Example:2.प्रदर्शित कीजिए,यद्यपि फलन \phi(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{2 n+2}-\cos x}{x^{2 n}+1} ,x=0 तथा x=2 पर विपरीत चिह्नों के हैं लेकिन फिर भी फलन [0,2] में किसी बिन्दु पर शून्य नहीं होता।कारण स्पष्ट कीजिए।
(Show that the function \phi(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{2 n+2}-\cos x}{x^{2 n}+1} does not vanish anywhere in the interval [0,2] although \phi(0) and \phi(2) differ in sign.Explain giving reasons.)
Solution: \phi(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{2 n+2}-\cos x}{x^{2 n}+1} \\ \phi(0)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{0-\cos 0}{0+1}=-1
तथा \phi(1)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1-\cos 1}{1+1}=\frac{1-\cos 1}{2}
जब 0 < x < 1
\phi(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^{2 n+2}-\cos x}{x^{2 n}+1}=\frac{0-\cos x}{0+1}=-\cos x
तथा जब 1 < x \leq 2, \phi(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{x^2\left[1-\frac{\cos x}{x^{2 n+2}}\right]}{1+\frac{1}{x^{2 n}}} \\ \Rightarrow \phi(x)=x^2
इस प्रकार \phi(x)=\left\{\begin{array}{l} -\cos x, \text { जब } 0 \leq x < 1 \\ \frac{1-\cos 1}{2}, \text { जब } x=1 \\ x^2, \text { जब } 1< x \leq 2 \end{array}\right.
\phi(0)=-1 तथा \phi(2)=2^2=4 इसलिए \phi(0) तथा \phi(2) विपरीत चिह्न के हैं।परन्तु \phi(x) के लिए उपर्युक्त सूत्र को देखते हैं तो \phi(x) अन्तराल [0,2] में कहीं भी खत्म नहीं होता है।कारण है कि x=1 पर \phi(x) असंतत है।
\phi(1-0)=-\cos 1, \phi(1)=\frac{(1-\cos 1)}{2} \\ \phi(1+0)=1
अतः \phi(1-0) \neq \phi(1+0) \neq \phi(1)
फलतः x=1 पर \phi(x) प्रथम प्रकार का असंतत है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=\frac{1}{x^2} अन्तराल (0,1) में संतत है परन्तु एकसमान संतत नहीं है।
(Prove that the function f(x)=\frac{1}{x^2} is continuous in (0,1) but not uniformly continuous.)
Solution: f(x)=\frac{1}{x^2}
x=c
L.H.L.
f(c-0)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{(c-h)^2}=\frac{1}{c^2}
R.H.L.
f(c+0)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{(c+h)^2} \\ \Rightarrow f(c+0)=\frac{1}{c^2} \\ \Rightarrow f(c)=\frac{1}{c^2}
अतः f(c-0)=f(c+0)=f(c)
फलतः फलन (0,1) अन्तराल में संतत है।
माना x_1, x_2 \in (0,1) तथा माना \varepsilon >0 जबकि \delta धनात्मक है ताकि
0 < x_1< \delta तथा 0 < x_2 < \frac{1}{\varepsilon}
अब मानाकि x_1=\frac{1}{2} x_2 \Rightarrow \frac{1}{x_1}=\frac{2}{x_2} \cdots(1)
तब \left|x_1-x_2\right|=\left|\frac{1}{2} x_2-x_2\right|=\frac{1}{2}\left|x_2\right|< \delta \left[ \because 0 < x_2< \delta\right] \\ \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\left|\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}\right| \quad\left[\because f(x)=\frac{1}{x^2}\right] \\ =\left|\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right) \left(\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}\right)\right| \\ =\left|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right|\left|\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}\right| \\ =\left|\frac{2}{x_2}-\frac{1}{x_2}\right|\left|\frac{2}{x_2}+\frac{1}{x_2}\right| [ (1) से ]
=\left|\frac{1}{x_2}\right|\left|\frac{3}{x_2}\right| \\ \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| > \varepsilon \quad\left[\because 0<x_2<\frac{1}{\varepsilon}\right]
अतः f(x) अन्तराल (0,1) में संतत है परन्तु एकसमानतः संतत नहीं है।

Continuity in Real Analysis

Example:4.प्रदर्शित कीजिए कि [-2,2] में परिभाषित फलन f(x)=x^3 एकसमानतः संतत है।
(Show that the function defined by f(x)=x^3 is uniformly continuous in [-2,2] .)
Solution:फलन f अन्तराल [-2,2] में एकसमानतः संतत होगा यदि प्रत्येक के लिए \exists \varepsilon >0 ताकि \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon जबकि \left|x_1-x_2 \right| < \delta
अब f(x)=x^3
अतः \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\left|x_1^3-x_2^3\right| \\ =\left|\left(x_1-x_2\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_1 x_2\right)\right| \\ \leq\left|\left(x_1-x_2\right)\right|\left|x_1^2+x_2^2+x_1 x_2\right| \\ \leq \left|x_1-x_2\right| \left[\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2+\left|x_1\right| \left|x_2\right|\right] \\ \leq 12 \left|x_1-x_2\right| \\ \left[\because x_1, x_2 \in[-2,2] \Rightarrow \left|x_1\right| \leq 2 \text { तथा } x_2 \leq 2\right] \\ \therefore \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon जबकि \left|x_1-x_2\right|<\frac{\varepsilon}{12}
इस प्रकार प्राप्त होता है कि \varepsilon>0 \exists \delta=\frac{\varepsilon}{12}
\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon जबकि \left|x_1-x_2\right| < \delta \forall x_1 , x_2 \in\left[-2, 2\right]
अतः f(x) अन्तराल [-2,2] में एकसमानतः संतत है।
Example:5.यदि (If) f : (0,1) \to R ; f(x)=\frac{1}{1-x} हो,तो सिद्ध कीजिए कि f अन्तराल (0,1) में संतत है परन्तु यह एकसमानतः संतत नहीं है।
(f : (0,1) \to R ; f(x)=\frac{1}{1-x} then prove that f is continuous in (0,1) but it is not uniformly continuous.)
Solution: f(x)=\frac{1}{1-x}
माना x=c तब L.H.L.
f(c-0)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-(c-h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-c+h} \\ \Rightarrow f(c-0)=\frac{1}{1-c}
x=c पर R.H.L.
f(c+0)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-(c+h)} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1-c-h} \\ \Rightarrow f(c+0)=\frac{1}{1-c} \\ f(c)=\frac{1}{1-c}
अतः f(c-0)=f(c+0)=f(c)
फलतः फलन f(x),अन्तराल (0,1) में संतत है।
माना x_1, x_2 \in (0,1) तथा \varepsilon > 0 के लिए \exists \delta > 0 ताकि \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon जबकि \left|x_1-x_2\right|< \delta
0 < 1-x_2 < \delta तथा 0< 1-x_2 < \frac{1}{\varepsilon}
अब माना 1-x_1=\frac{1}{2}\left(1-x_2\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{1-x_1}=\frac{2}{1-x_2} \cdots(1)
तब \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=\left|\frac{1}{1-x_1}-\frac{1}{1-x_2}\right| \left[\because f(x)=\frac{1}{1-x}\right] \\ =\left|\frac{2}{1-x_2}-\frac{1}{1-x_2}\right| [(1) से ]
\left| \frac{1}{1-x_2}\right| \\ \Rightarrow \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|>\varepsilon \quad \left[\because 0<1-x_2<\frac{1}{\varepsilon}\right]
अतः f(x) अन्तराल (0,1) में संतत है परन्तु एकसमानतः संतत नहीं है।
Example:6.यदि f और g दो फलन अन्तराल [a,b] में संतत हैं तथा f(a)<g(a) एवं f(b)>g(b) ,तो सिद्ध कीजिए कि f(c)=g(c) किसी c \in(a, b) के लिए।
(If f and g be two continuous function in [a,b] are such that f(a)<g(a) and f(b)>g(b) .Prove that f(c)=g(c) for some c \in(a, b) .)
Solution:दोनों फलन f व g अन्तराल [a,b] में संतत हैं इसलिए फलन f-g भी अन्तराल [a,b] में संतत है।
प्रश्नानुसार
(f-g)(a)=f(a)-g(a)<0
तथा (f-g)(b)=f(b)-g(b)>0
चूँकि f-g,अन्तराल [a,b] में संतत है तथा (f-g)(a) और (f-g)(b) विपरीत चिह्नों के हैं,अतः (f-g)(x) कुछ c \in (a, b) के लिए समाप्त हो जाता है अर्थात् कुछ c \in(a, b) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
(f-g)(c)=0 अर्थात्
f(c)-g(c)=0 \Rightarrow f(c)=g(c)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य के सवाल (Continuity in Real Analysis Questions):

Continuity in Real Analysis

(1.)निम्नलिखित के सांतत्य और असांतत्य पर विचार करो:
(Discuss the continuity and discontinuity of the following function)
f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1} जब (when) x \neq 0 और (and) f(0)=1)
(2.)सिद्ध करो कि फलन f(x)=x^2+3 x, x \in [-1,1] , एकसमानतः संतत है।
(Show that the function f(x)=x^2+3 x, x \in [-1,1] is uniformly continuous in [-1,1].)
उत्तर (Answer):(1.)प्रथम प्रकार का असांतत्य है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Frequently Asked Questions Related to Continuity in Real Analysis),सांतत्य (Continuity) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य (Continuity in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सांतत्य
और एकसमान सांतत्य का परीक्षण करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।