Conditional Identities in Trigonometry
1.त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Conditional Identities in Trigonometry),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities):
त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Conditional Identities in Trigonometry) के इस आर्टिकल में प्रतिबन्धित सर्वसमिका A+B+C=180° आदि के द्वारा त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ के उदाहरण (Conditional Identities in Trigonometry Examples):
यदि A+B+C=180° या हो तो सिद्ध कीजिए: [प्र०सं० 18-29]
Example:18. \frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}
Solution: \frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\\ =\frac{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin C}{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin C} \\ =\frac{2 \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin C}{2 \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin C} \\ =\frac{2 \cos \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}{2 \cos \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} \\ =\frac{2 \cos \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \frac{C}{2}\right]}{2 \cos \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \frac{C}{2}\right]} \\ =\frac{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)}{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2} -\frac{A+B}{2}\right)} \\ =\frac{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)} \\ =\frac{2 \sin \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right)} \\ =\frac{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}} \\=\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}= R.H.S.
Example:19. \frac{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}{\sin A+\sin B+\sin C}=8 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Solution: \frac{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}{\sin A+\sin B+\sin C}=8 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}{\sin A+\sin B+\sin C} \\ =\frac{2 \sin \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)+\sin 2 C}{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin C} \\=\frac{2 \sin (A+B) \cos (A-B)+\sin 2 C}{2 \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin C} \\ =\frac{2 \sin (\pi-C) \cos (A-B)+ \sin 2 C}{2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin C} \\ =\frac{2 \sin C \cos (A-B)+2 \sin C \cos C}{2 \cos \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} \\ =\frac{2 \sin C[\cos (A-B)+\cos C]}{2 \cos \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \frac{C}{2}\right]} \\=\frac{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}\left[ \cos (A-B)+\cos (\pi-\overline{A+B}) \right]}{\cos \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)\right]} \\ =\frac{\sin \frac{C}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]}{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)} \\ = \frac{2 \sin \frac{C}{2} \times 2 \sin \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2}\right)} \\ =\frac{2 \sin \frac{C}{2} \sin A \sin B}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}} \\ =\frac{2 \sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \cdot 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}} [ \because 2 \sin A=2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} सूत्र से]
=8 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Example:20. \sin (B+2 C)+\sin (C+2 A)+\sin (A+2 B)=4 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{C-A}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)
Solution: \sin (B+2 C)+\sin (C+2 A)+\sin (A+2 B)=4 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{C-A}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \\ \text {L.H.S. } \sin (B+2 C)+\sin (C+2 A)+\sin (A+2 B) \\ =\sin (\pi-A+C)+\sin (\pi-B+A)+\sin (A+2 B) \quad \left[\because B+C=\pi-A, C+A=\pi-B \right] \\ =\sin (\pi-\overline{A-C})+\sin (\pi+A-B)+\sin (A+2 B) \\ =\sin (A-C)-\sin (A-B)+\sin (A+2 B) \\ =2 \cos \left(\frac{A-C+A-B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C-A+B}{2}\right)+\sin (A+2 B) \\ =2 \cos \left(\frac{2 A-B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)+\sin (\pi-C+B) \quad \left[\because A+B=\pi-C\right] \\ =2 \cos \left(\frac{2 A-\overline{B+C}}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)-\sin (B-C) \\ =2 \cos \left(\frac{2 A- B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)-2 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-C}{2}\right) \\=2 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\left[\cos \left(\frac{2 A-B-C}{2}\right)-\cos \left(\frac{B-C}{2}\right)\right] \\ =2 \sin \left( \frac{B-C}{2}\right) \cdot 2 \sin \left(\frac{\frac{2 A-B-C}{2}+\frac{B-C}{2}}{2}\right) \sin \left( \frac{\frac{B-C}{2}-\frac{2 A-B-C}{2}}{2}\right) \\ =4 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{B-C-2 A+B+C}{2}}{2}\right) \\ =4 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-A}{2}\right) \\ =4 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \sin \left(\frac{C-A}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)= R.H.S.
Example:21. \sin (B+C-A)+\sin (C+A-B) +\sin (A+B-C)=4 \sin A \sin B \sin C
Solution: \sin (B+C-A)+\sin (C+A-B) +\sin (A+B-C)=4 \sin A \sin B \sin C \\ \text { L.H.S. } \sin (B+C-A)+\sin (C+A-B)+\sin (A+B-C) \\ =\sin (\pi-A-A)+\sin (\pi-B-B)+\sin (\pi-C-C) \\ =\sin (\pi-2 A)+\sin (\pi-2 B)+\sin (\pi-2 C) \\ =\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C \\ =\sin \left(\frac{2 A+2 B}{2}\right) \cos \left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)+\sin 2 C \\ =2 \sin (A+B) \cos (A-B)+\sin 2 C \\ =2 \sin (\pi-C) \cos (A-B)+\sin 2 C \\ =2 \sin C \cos (A-B)+2 \sin C \cos C \\ =2 \sin C[\cos (A-B)+\cos C] \\ =2 \sin C \left[\cos (A-B)+\cos (\pi-\overline{A+B}) \right] \\ =2 \sin C \left[ \cos (A-B)-\cos (A+B) \right] \\ =2 \sin C\left[2 \sin \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A+B-A+B}{2}\right)\right] \\ =4 \sin C \sin A \sin B \\ =4 \sin A \sin B \sin C=R.H.S
Example:22. \sin ^2 A+\sin ^2 B-\sin ^2 C=2 \sin A \sin B \sin C
Solution:\sin ^2 A+\sin ^2 B-\sin ^2 C=2 \sin A \sin B \sin C \\ \text{L.H.S.} \sin ^2 A+\sin ^2 B-\sin ^2 C \\ =\sin ^2 A+\sin (B+C) \sin (B-C)
[ \sin (A+B) \sin (A-B)=\sin ^2 A-\sin ^2 B सूत्र से]
=\sin^2 A+\sin (\pi-A) \sin (B-C) \\ =\sin ^2 A+\sin A \sin (B-C) \\ =\sin A \left[\sin A+\sin (B-C)\right] \\ =\sin A\left[\sin (\pi-\overline{B+C})+\sin (B-C) \right] \\ =\sin A\left[\sin (B+C)+\sin (B-C)\right] \\ =\sin A \left[2 \sin \left(\frac{B+C+B-C}{2}\right) \cos \left(\frac{B+C-B+C}{2}\right)\right] \\=2 \sin A \sin B \cos C
Example:23. \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C=1-2 \cos A \cos B \cos C
Solution: \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C=1-2 \cos A \cos B \cos C \\ \text { L.H.S. } \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C \\ =1-\sin ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C \\ =1+\cos ^2 B-\sin ^2 A+\cos ^2 C \\ =1+\cos (A+B) \cos (A-B)+\cos ^2 C [ \because \cos ^2 B-\sin ^2 A=\cos ^2(A+B) \cos (A-B) सूत्र से]
=1+\cos (\pi-C) \cos (A-B)+\cos ^2 C \\ =1-\cos C \cos (A-B)+\cos ^2 C \\ =1-\cos C[\cos (A-B)-\cos C] \\ =1-\cos C \left[\cos (A-B)-\cos (\pi-\overline{A+B})\right] \\ =1-\cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B)] \\ =1-\cos C \cdot 2 \cos \left(\frac{A-B+A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B-A-B}{2}\right) \\ =1-2 \cos C \cos A \cos B \\ =1-2 \cos A \cos B \cos C=R.H.S.
Example:24. \sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2} =1-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Solution: \sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2} =1-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \text { L.H.S. } \sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =1-\cos ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =1-\left(\cos ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{B}{2}\right) +\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =1-\cos \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+\sin ^2 \frac{C}{2}
[ \because \cos (A+B) \cos (A-B)=\cos ^2 A-\sin ^2 B सूत्र से]
=1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =1-\sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left( \frac{A-B}{2}\right)-\sin \frac{C}{2}\right] \\ =1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =1-\sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A-B}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right) \\ =1-2 \sin \frac{C}{2} \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \\ =1-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}= R.H.S.
Example:25. \cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} =2+2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)
Solution: \cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} =2+2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) \\ \text { L.H.S. } \cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} \\=1-\sin ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}+\cos ^2 \frac{C}{2} \\ =1+\left(\cos ^2 \frac{B}{2}-\sin ^2 \frac{A}{2}\right)+\cos ^2 \frac{C}{2} \\ =1+\cos ^2\left(\frac{B}{2}+\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}\right)+\cos ^2 \frac{C}{2}
[ \because \cos (A+B) \cos (A-B)=\cos ^2 B-\sin ^2 A सूत्र से]
=1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos ^2 \frac{C}{2} \\ =1+\sin \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+1-\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \frac{C}{2}\right] \\ =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ =2+\sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \left(\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2}\right) \\ =2+2 \sin \frac{C}{2} \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \\ =2+2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Example:26. \sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}-\sin ^2 \frac{C}{2} =1-2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Solution: \sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}-\sin ^2 \frac{C}{2} =1-2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \text { L.H.S. } \sin ^2 \frac{A}{2}+\sin ^2 \frac{B}{2}-\sin ^2 \frac{C}{2} \\ =\sin ^2 \frac{A}{2}+\sin \left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}-\frac{C}{2}\right) [ \because \sin (A+B) \sin (A-B)=\sin ^2 A-\sin ^2 B सूत्र से]
=\sin ^2 \frac{A}{2}+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \\ =\sin ^2\left(\frac{A}{2}\right)+\cos \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \\ =1-\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \\ =1-\cos \left(\frac{A}{2}\right)\left[\cos \frac{A}{2}-\sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right] \\ =1-\cos \frac{A}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B+C}{2}\right)-\sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right] \\ =1-\cos \frac{A}{2}\left[\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)-\sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right] \\ =1-\cos \frac{A}{2} \cdot 2 \cos \left(\frac{\frac{B+C}{2}+\frac{B-C}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{B+C}{2}-\frac{B-C}{2}}{2}\right) \\ =1-2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}=R.H.S.
Example:27. \cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}-\cos ^2 \frac{C}{2} =2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}
Solution: \cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}-\cos ^2 \frac{C}{2} =2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \text { L.H.S. } \cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2 \frac{B}{2}-\cos ^2 \frac{C}{2} \\ =\cos ^2 \frac{A}{2}-\left[\cos ^2 \frac{C}{2}-\cos ^2 \frac{B}{2}\right] \\=\cos ^2 \frac{A}{2}-\sin \left(\frac{C}{2}+\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}-\frac{C}{2}\right) [ \sin (A+B) \sin (A-B)=\cos ^2 B-\cos ^2 A सूत्र से]
= \cos ^2 \frac{A}{2}-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \\ =\cos ^2 \frac{A}{2}-\cos \frac{A}{2} \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \\ =\cos \frac{A}{2}\left[\cos \frac{A}{2}-\sin \left( \frac{B-C}{2}\right)\right] \\ =\cos \frac{A}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B+C}{2}\right)-\sin \left( \frac{B-C}{2} \right)\right] \\ =\cos \left(\frac{A}{2}\right) \cdot\left[\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)-\sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right] \\ =\cos \left(\frac{A}{2}\right) \cdot 2 \cos \left(\frac{\frac{B+C}{2}+\frac{B-C}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{B+C}{2}-\frac{B-C}{2}}{2}\right)
[ \sin C-\sin D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right) सूत्र से]
=2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)=R.H.S.
Example:28. \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} =\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}
Solution: A+B+C=180^{\circ} \\ \Rightarrow \quad \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^{\circ} \\ \tan \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=\tan 90^{\circ} \\ \Rightarrow \frac{ \tan \frac{A}{2} +\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}{1-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}-\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}}=\frac{1}{0} \left[\infty=\frac{1}{0}\right] \\ \Rightarrow 1-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}-\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}=0 \\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}+\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}=1
दोनों पक्षों में \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} का भाग देने परः
\Rightarrow \frac{\tan \frac{B}{2} \tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}+ \frac{\tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}} +\frac{\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}}=\frac{1}{\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}+\frac{1}{\tan \frac{A}{2}}+\frac{1}{\tan \frac{B}{2}}=\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} \\ \Rightarrow \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}=\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}
Example:29. \tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right) +\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)=\cot \left(\frac{B+C}{4}\right) \cot \left(\frac{C+A}{4}\right) \cot \left(\frac{A+B}{4}\right)
Solution: \tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right) +\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)=\cot \left(\frac{B+C}{4}\right) \cot \left(\frac{C+A}{4}\right) \cot \left(\frac{A+B}{4}\right) \\ A+B+C=\pi \\ \pi+A+\pi+B+\pi+C=3 \pi+\pi \\ \frac{\pi+A}{4}+\frac{\pi+B}{4}+\frac{\pi+C}{4}=\pi \\ \Rightarrow \tan \left[\left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\left(\frac{\pi+C}{4}\right)\right]=\tan \pi \\ \Rightarrow \frac{\tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)-\tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)}{1-\tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)-\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)-\tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)}=0 \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)-\tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right)=0 \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right) =\tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right) \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right) =\tan \left(\frac{2 \pi-\overline{B+C}}{4}\right) \tan \left(\frac{2 \pi-\overline{A+C}}{4}\right) \tan \left(\frac{2 \pi-\overline{A+B}}{4}\right) \\ \tan \left( \frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\overline{B+C}}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\overline{A+C}}{4}\right) \tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\overline{A+B}}{4}\right) \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\pi+A}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+B}{4}\right)+\tan \left(\frac{\pi+C}{4}\right) =\cot \left(\frac{B+C}{4}\right) \cot \left(\frac{A+C}{4}\right) \cot \left(\frac{A+B}{4}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Conditional Identities in Trigonometry),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities) को समझ सकते हैं।
3.त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Conditional Identities in Trigonometry):
(1.) A+B+C=\pi हो तो सिद्ध कीजिए:
\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}-\cos \frac{C}{2}=4 \cos \left(\frac{\pi+A}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi+B}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi-C}{4}\right)
(2.)यदि A+B+C=180° हो तो सिद्ध कीजिए
\sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2 C=2+2 \cos A \cos B \cos C
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Conditional Identities in Trigonometry),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Frequently Asked Questions Related to Conditional Identities in Trigonometry),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.sine और cosine में एक घातीय सर्वसमिकाओं को हल करने की क्रियाविधि बताइए। (Describe the Working Rule of Solving Linear Conditional Identities in sine and cosine):
उत्तर:इस प्रकार की सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए निम्न क्रियाविधि अपनाते हैं:
(1.)वाम पक्ष (LHS) में दिये किन्हीं दो पदों के योग अथवा अन्तर को सूत्रों की सहायता से गुणनफल के रूप में परिवर्तित करते हैं।
(2.)इस गुणनफल के प्रथम पद को जो हमेशा दो कोणों का योगफल होगा,प्रतिबन्ध A+B+C=180° की सहायता से तीसरे कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात में परिवर्तित करते हैं।
(3.)तीसरे पद में इस प्रकार परिवर्तन करते हैं कि इसमें और रूपान्तरित पद में एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड मिल सके।
(4.)उभयनिष्ठ गुणनखण्ड को बाहर लेते हैं।
(5.)अब पुनः कोष्ठक के अन्दर पदों को A+B+C=180° की सहायता से तीसरे कोण को दो कोणों के योग के त्रिकोणमितीय अनुपात में परिवर्तित करते हैं।
(6.)अन्त में कोष्ठक के अन्दर पदों को पुनः गुणनफल में परिवर्तित करते हैं।
प्रश्न:2.sine अथवा cosine में वर्गात्मक प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं को हल करने के लिए किन सूत्रों की सहायता ली जाती है? (Which Formulas Are to Solve Squared Conditional Identities in sine or cosine?):
उत्तर:वर्गात्मक प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए सर्वप्रथम निम्नलिखित सूत्रों की सहायता से वर्ग हटाते हैं:
\sin ^2 A=\frac{1-\cos 2 A}{2} ; \cos ^2 A=\frac{1+\cos 2 A}{2} \\ \sin ^2 \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2} ; \cos ^2 \frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}
इसके पश्चात प्रश्न 1 के उत्तर के अनुसार सर्वसमिका को सिद्ध किया जा सकता है।
प्रश्न:3.sine अथवा cosine में वर्गात्मक प्रतिबन्धित सर्वसमिकाओं को हल करने की वैकल्पिक विधि बताइए। (Suggest Alterative Method of Solving Squared Conditional Identities in sine or cosine):
उत्तर:(1.)यदि सर्वसमिका में सभी पद sine के वर्ग में और उसमें एक ऋण चिन्ह हो तो निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करना चाहिए:
\sin ^2 A-\sin ^2 B=\sin (A+B) \sin (A-B)
(2.)यदि सर्वसमिका के सभी पद sine के वर्ग में और धन चिन्ह के \sin ^2 \theta हों तो \sin ^2 \theta के स्थान पर 1-\cos ^2 \theta रखकर अथवा सभी \cos ^2 \theta में हो तो \cos ^2 \theta के स्थान पर 1-\sin ^2 \theta रखकर निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करना चाहिए:
\cos ^2 A-\sin^2 B=\cos (A+B) \cos (A-B)
इसके पश्चात प्रश्न 1 के उत्तर के अनुसार सर्वसमिकाओं को सिद्ध किया जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Conditional Identities in Trigonometry),प्रतिबन्धित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Conditional Trigonometrical Identities) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Conditional Identities in Trigonometry
त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ
(Conditional Identities in Trigonometry)
Conditional Identities in Trigonometry
त्रिकोणमिति में प्रतिबन्धित सर्वसमिकाएँ (Conditional Identities in Trigonometry) के इस
आर्टिकल में प्रतिबन्धित सर्वसमिका A+B+C=180° आदि के द्वारा त्रिकोणमितीय सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
