1.अंकगणित में पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume in Arithmetic),पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume):

Surface Area and Volume in Arithmetic

अंकगणित में पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume in Arithmetic) के इस आर्टिकल में ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अंकगणित में पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन के साधित उदाहरण (Surface Area and Volume in Arithmetic Solved Examples):

Example:1.एक पानी की टंकी नीचे से अर्द्धगोले तथा शीर्ष पर बेलनाकार है।यदि इसकी त्रिज्या 12 मी. है तथा क्षमता 3312 \pi घनमीटर है,तो बेलनाकार भाग की ऊँचाई कितने मीटर होगी?
(a) 12 (b) 13 (c) 14 (d) 15
Solution:टंकी का आयतन=बेलनाकार भाग का आयतन+अर्द्धगोलाकार भाग का आयतन
\Rightarrow \pi r^2 h+\frac{2}{3} \pi r^3= 3312 \pi \\ \Rightarrow 22 \times 12 \times 12 \times h+\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times 12 \times 12=3312 \pi \\ \Rightarrow 144 \pi\left(h+\frac{2}{3} \times 12\right)=3312 \pi \\ \Rightarrow h+8=\frac{3312 \pi}{144 \pi}=23 \\ \Rightarrow h=23-8=15
विकल्प (d) सही है।
Example:2.4 सेमी त्रिज्या वाले गोले में से 0.5 सेमी त्रिज्या वाले कितने गोले बनाए जा सकते हैं?
(a) 312 (b) 412 (c) 512 (d) 600
Solution:बड़े गोले का आयतन= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \pi \times 4 \times 4 \times 4
छोटे गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5
छोटे गोलों की संख्या=\frac{\text{बड़े गोले का आयतन}}{\text{एक छोटे गोले का आयतन}} \\ =\frac{\frac{4}{3} \pi \times 4 \times 4 \times 4}{\frac{4}{3} \pi \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5} \\ =\frac{64}{125} =512
विकल्प (c) सही है।
Example:3.एक खोखली बेलनाकार नली,जो लोहे की बनी है,20 सेमी लम्बी है तथा इसके बाहरी और आन्तरिक व्यास क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी है।इस नली के बनाने में प्रयुक्त लोहे का आयतन है ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए)
(a) 11760 घन सेमी (b) 880 घन सेमी (c) 440 घन सेमी (d) 220 घन सेमी
Solution:h=20 सेमी , r_{1}=\frac{8}{2}=4 सेमी
r_{2}=\frac{6}{2}=3 सेमी
खोखली बेलनाकार नली का आयतन=\pi\left(r_1^2-r_2^2\right) h \\ =\frac{2 r}{7}\left(4^2-3^2\right) \times 20 \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 20=440
विकल्प (c) सही है।
Example:4.दो समान आयतन वाले बेलनों के व्यास 3:2 के अनुपात में है।उनकी ऊँचाईयों में क्या अनुपात होगा?
(a) 4: 9 (b)5:6 (c) 5: 8 (d) 8: 9
Solution:माना बेलनों के व्यास=3x,2x
अतः बेलनों की त्रिज्याएँ= \frac{3x}{2} , \frac{2 x}{2}=x
आयतन=\pi r_1^2 h_1=\pi r_2^2 h_2 \\ \Rightarrow \left(\frac{3x}{2}\right)^2 \times h_1=x^2 \times h_2 \\ \Rightarrow \frac{h_1}{h_2}=\frac{x^2}{\frac{9 x^2}{4}}=\frac{4}{9} \\ \Rightarrow h_1 : h_2=4: 9
विकल्प (a) सही है।
Example:5.एक सिलेण्डर की त्रिज्या व आयतन किसी ठोस गोले की त्रिज्या व आयतन के समान हैं,तो सिलेण्डर की ऊँचाई होगी
(a) \frac{4}{3} \times त्रिज्या (b) \frac{2}{3} \times त्रिज्या (c) \frac{2}{3} \times \text{त्रिज्या}^2 (d) \frac{4}{3} \times \text { त्रिज्या }^2
Solution:गोले का आयतन=सिलेण्डर का आयतन
\Rightarrow \pi r^2 h=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow h=\frac{4}{3} r=\frac{4}{3} \times \text { त्रिज्या }
विकल्प (a) सही है।
Example:6.किसी लम्बवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई 10 मी. और ऊँचाई 8 मी. है,उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
मी मी मी
(a)8 \pi \text{ मी }^2 (b) 60 \pi \text{मी}^2 (c) 40 \pi \text{मी}^2 (d) 30 \pi \text{मी}^2
Solution:शंकु की त्रिज्या (r)=\sqrt{l^2-h^2} \\ =\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36} \\ \Rightarrow r=6
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l=\pi \times 6 \times 10 \\ =60 \pi वर्ग मीटर
विकल्प (b) सही है।
Example:7.45 सेमी ऊँचाई और 4 सेमी व्यास वाले ठोस धात्विक बेलन को बनाने के लिए 6 सेमी व्यास वाले कितने ठोस गोलों को पिघलाना पड़ेगा?
(a) 5 (b)4 (c)9 (d) 6
Solution:बेलन की ऊँचाई h=45 सेमी
बेलन की त्रिज्या (r)=\frac{4}{2}=2 सेमी
बेलन का आयतन=\pi r^2 h=\pi \times 2 \times 2 \times 45 \\ =180 \pi
गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi R^3=\frac{4}{3} \pi \times 3 \times 3 \times 3 \\ =36 \pi
गोलों की संख्या= \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{गोले का आयतन}} \\ =\frac{180 \pi}{36 \pi}=5
विकल्प (a) सही है।
Example:8.6 सेमी व्यास वाले गोले को गलाकर यदि तार बना दिया जाए जिसकी त्रिज्या 1 सेमी हो,तो तार की लम्बाई क्या होगी?
(a)20 सेमी (b) 30 सेमी (c) 36 सेमी (d) 40 सेमी
Solution:गोले का आयतन=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ =\frac{4}{3} \pi \times 3^3
तार (बेलनाकार) का आयतन=\pi R^2 h \\ =\pi \times 1^2 \times h=\pi h \\ \pi h =\frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 3 \times 3 \\ \Rightarrow h =4 \times 3 \times 3=36 सेमी
विकल्प (c) सही है।
Example:9.5 किग्रा वजन का एक लकड़ी का टुकड़ा जल के भीतर उसके आयतन का 60% डुबोकर तैरता है,तो लकड़ी का विशिष्ट गुरुत्व हैः
(a) 0.83 (b) 0.60 (c)0. 40 (d)0.30
Solution: d=\frac{60 \% \times 5}{5}=0.60
विकल्प (b) सही है।
Example:10.12 सेमी व्यास वाले सीसे के एक ठोस गोले को पिघलाकर तीन छोटे आकार के गोले बनाए गए हैं,जिनके व्यासों का अनुपात 3:4:5 है।सबसे छोटे गोले की त्रिज्या (सेमी में) होगी:
(a) 3 (b) 5 (c) 1.5 (d) 5
Solution:बड़े गोले की त्रिज्या =\frac{12}{2}=6सेमी
माना छोटे तीन गोलों के व्यास=3x,4x,5x
अतः उनकी त्रिज्याएँ r_1= \frac{3x}{2}, r_2=\frac{4x}{2}=2 x, r_3=\frac{5 x}{2}
तीनों छोटे गोलों का आयतन=बड़े गोले का आयतन
\Rightarrow \frac{4}{3} \pi r_1^3+\frac{4}{3} \pi r_2^3+\frac{4}{3} \pi r_3^3=\frac{4}{3} \pi R^3 \\ \Rightarrow \frac{4}{3} \pi\left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)=\frac{4}{3} \pi R^3 \\ \Rightarrow \left(\frac{3 x}{2}\right)^3+(2 x)^3+\left(\frac{5 x}{2}\right)^3=(6)^3 \\ \Rightarrow \frac{27 x^3}{8}+8 x^3+\frac{125 x^3}{8}=216 \\ \Rightarrow \frac{216 x^3}{8}=216 \\ \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2
छोटे गोले की त्रिज्या= r_1=\frac{3x}{2}= \frac{3}{2} \times 2=3 सेमी
विकल्प (a) सही है।
Example:11.एक शंकु के आधार का अर्द्धव्यास तथा एक गोले का अर्द्धव्यास दोनों में से प्रत्येक की माप 8 सेमी हैं।साथ ही,इन दोनों ठोसों के आयतन बराबर है।शंकु की तिर्यक ऊँचाई होगी:
(a) 8 \sqrt{17} सेमी (b) 4 \sqrt{17} सेमी (c) 34 \sqrt{2} सेमी (d) 34 सेमी
Solution:शंकु का आयतन=गोले का आयतन
\Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow \quad(8)^2 \times h=(8)^3 \times 4 \Rightarrow h=8 \times 4=32
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{r^2+h^2} \\ =\sqrt{(8)^2+(32)^2}=\sqrt{64+1024} \\ =\sqrt{1088}= 8 \sqrt{17}
विकल्प (a) सही है।
Example:12.एक अर्द्धगोले को एक बेलन,चारों ओर से,इस तरह घेरे हुए है कि दोनों का आधार उभयनिष्ठ है।अर्द्धगोले और बेलन के आयतनों का अनुपात होगाः
(a) 4: 5 (b) 3: 4 (c) 2: 3 (d) 1: 2
Solution:बेलन की ऊँचाई (h)=r
बेलन का आयतन:अर्द्धगोले का आयतन
\Rightarrow \pi r^2 h: \frac{2}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow r: \frac{2}{3} r \Rightarrow 3: 2
गोले का आयतन:बेलन का आयतन=2:3
विकल्प (c) सही है।
Example:13.धातु का एक गोला जिसकी त्रिज्या 5 सेमी है गला दिया जाता है और उसी त्रिज्या का उससे एक शंकु बनाया जाता है,तो उस शंकु की ऊँचाई कितनी होगी?
(a) 10 सेमी (b) 15 सेमी (c) 20 सेमी (d) 5 सेमी
Solution:शंकु का आयतन=गोले का आयतन
\Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow h=4 r \Rightarrow h=4 \times 5=20 सेमी
h=4×5=20 सेमी
विकल्प (c) सही है।
Example:14.एक अर्द्धगोले और एक शंकु के आधार बराबर हैं।यदि उनकी ऊँचाईयाँ भी बराबर हो,तो उनके वक्रपृष्ठों का अनुपात होगा:
(a) 1 : \sqrt{2} (b) \sqrt{2}:1 (c) 1: 2 (d) 2: 1
Solution:शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{h^2+r^2} \\ l=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2} r
अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ:शंकु का वक्रपृष्ठ
\Rightarrow 2 \pi r^2: \pi r l \\ \Rightarrow 2 \times r^2: r \times \sqrt{2} r \Rightarrow \sqrt{2}: 1
विकल्प (b) सही है।
Example:15.लोहे का एक खोखला पाइप 21 सेमी लम्बा है तथा इसका बाहरी व्यास 8 सेमी है।यदि पाइप की मोटाई 1 सेमी है तथा लोहे का भार 8 ग्राम/घन सेमी हो,तो पाइप का भार ( \pi=\frac{22}{7} लीजिए) होगा
(a) 3.696 किग्रा (b) 3.6 किग्रा (c) 36 किग्रा (d) 36.9 किग्रा
Solution: r_1=\frac{8}{2}=4 सेमी, r_2=4-1=3 सेमी
खोखले पाइप का आयतन= \pi \left(r_1^2-r_2^2\right) \times h \\ =\frac{22}{7} \times\left(4^2-3^2\right) \times 21 \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 21=462 \text { सेमी }^3
पाइप का भार=\frac{462 \times 8}{1000} किग्रा=3.696 किग्रा
विकल्प (a) सही है।

Surface Area and Volume in Arithmetic

Example:16.3 सेमी त्रिज्या वाली एक गोलाकार गेंद को पिघलाकर तीन गोलाकार गेंदे बनाई जाती है।उनमें से दो गेंदों की त्रिज्याएँ क्रमशः 1.5 सेमी और 2 सेमी है।तीसरी गेंद की त्रिज्या होगी
(a) 0.5 सेमी (b) 1 सेमी (c) 1.5 सेमी (d) 2.5 सेमी
Solution:बड़ी गोलाकार गेंद की त्रिज्या (r)=3 सेमी
छोटे तीन गोलाकार गेंदों की त्रिज्याएँ r_1=1.5 सेमी
r_2=2 सेमी r_3=?
छोटे तीन गोलाकार गेंदों का आयतन=बड़ी गोलाकार गेंद का आयतन
\Rightarrow \frac{4}{3} \pi r_1^3+\frac{4}{3} \pi r_2^3+\frac{4}{3} \pi r_3^3=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow \frac{4}{3} \pi\left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \Rightarrow 2^3+1.5^3+r_3^3=3^3 \\ \Rightarrow 8+3.375+r_3^3=27 \\ \Rightarrow r_3^3=27-11.375 \\ \Rightarrow r_3^3=15.625 \Rightarrow r_3=2.5
विकल्प (d) सही है।
Example:17.1.5 सेमी व्यास तथा 0.2 सेमी मोटाई के कितने सिक्के पिघलाए जाए,जिससे एक ठोस बेलन प्राप्त किया जा सके,जिसका व्यास 4.5 सेमी तथा ऊँचाई 10 सेमी हो?
(a) 450 (b) 250 (c) 156 (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:एक सिक्के का आयतन=\pi r^2 h \\ =\frac{1.5}{2} \times \pi \times \frac{1.5}{2} \times 0.2=\frac{0.225 \pi}{2}
ठोस बेलन का आयतन= \pi R^2 H \\ =\pi \times \frac{4.5}{2} \times \frac{4.5}{2} \times 10
सिक्कों की संख्या=\frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक सिक्के का आयतन}} \\ =\frac{\pi \times \frac{4.5}{2} \times \frac{4.5}{2} \times 10 }{\frac{0.225 \pi}{2}}=\frac{\frac{101.25}{2}}{\frac{0.225}{2}}=450
विकल्प (a) सही है।
Example:18.दो बेलनों की त्रिज्याएँ 2:3 के अनुपात में तथा ऊँचाईयाँ 5:3 के अनुपात में है।उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?
(a)27: 20 (b) 25: 24 (c) 20: 27 (d) 15: 20
Solution:माना दो बेलनों की त्रिज्याएँ=2x,3x
r_1=2x, r_2=3x
तथा ऊँचाईयाँ h_1=5 y, h_2=3 y
दोनों बेलनों का अनुपात= \pi r_1^2 h_1=\pi r_2^2 h_2 \\ \Rightarrow(2 x)^2 \times 5 y=(3 x)^2 \times 3 y \\ \Rightarrow 20 : 27
विकल्प (c) सही है।
Example:19.दो गोलों का आयतन 8:27 के अनुपात में है।उनकी पूरी सतह का अनुपात क्या होगा?
(a) 4:9 (b) 2: 3 (c) 4:5 (d) 5: 6
Solution:दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात= \frac{4}{3} \pi r_1^3 : \frac{4}{3} \pi r_2^3 \\ \Rightarrow r_1^3: r_2^3=8: 27 \\ \Rightarrow r_1: r_2=2: 3 \\ r_1=2x, r_2=3x
उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात
4 \pi r_1^2 : 4 \pi r_2^2=(2 x)^2 : (3 x)^2 \\ \Rightarrow 4: 9
विकल्प (a) सही है।
Example:20.यदि S,एक ऊँचाई h तथा अर्द्धशीर्ष कोण \alpha वाले लम्बवृत्तीय शंकु का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल निरूपित करता है,तो S बराबर है
(a) \pi h^2 \tan ^2 \alpha (b) \frac{1}{2} \pi h^2 \tan ^2 \alpha
(c) \pi h^2 \sec \alpha \tan \alpha (d) \frac{1}{3} \pi h^2 \sec \alpha \tan \alpha
Solution: \tan \alpha=\frac{r}{h} \Rightarrow r=h \tan \alpha
लम्बवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई l=\sqrt{h^2+r^2} \\ l=\sqrt{h^2+h^2 \tan ^2 \alpha}=\sqrt{h^2\left(1+\tan ^2 \alpha\right)} \\ \Rightarrow l=h \sec \alpha
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (S)=\pi r l \\ \Rightarrow S=\pi \cdot h \tan \alpha \cdot h \sec \alpha \\ \Rightarrow S=\pi h^2 \sec \alpha \tan \alpha
विकल्प (c) सही है।
Example:21.व्यास 6 सेमी वाली दो लोहे की गोलियाँ एक 6 सेमी अर्द्धव्यास वाले एक बेलनाकार बर्तन में डाले गए पानी में डुबोई जाती है।बर्तन में पानी की तल कितना ऊपर उठेगा?
(a) 1 सेमी (b) 2 सेमी (c) 3 सेमी (d) 6 सेमी
Solution:दो लोहे की गोलियों का आयतन=2 \times \frac{4}{3} \pi r^3=\frac{8}{3} \pi \times(3)^3=72 \pi
बेलनाकार बर्तन का आयतन=\pi R^2 h \\ =\pi \times 6 \times 6 \times h=36 \pi h \\ \Rightarrow 36 \pi h =72 \pi \Rightarrow h=\frac{72 \pi}{36 \pi}=2
विकल्प (b) सही है।
Example:22.किसी बाल्टी में 66 \frac{2}{3} \% भरी होने की तुलना में 80% भरी होने पर 2 लीटर अधिक पानी आता है।बाल्टी की धारिता (क्षमता) कितनी है?
(a) 10 लीटर (b) 15 लीटर (c) 16 \frac{2}{3} लीटर (d) 20 लीटर
Solution: 66 \frac{2}{3} \% v=\frac{200}{300} v, 80 \% v=\frac{80}{100} v \\ \Rightarrow \frac{80}{100} v-\frac{200}{300} v=2 \Rightarrow \frac{40 v}{300}=2 \\ \Rightarrow v=\frac{2 \times 300}{40}
=15 लीटर
विकल्प (b) सही है।
Example:23.5 मी त्रिज्या एवं 10 मी. तिरछी ऊँचाई वाले एक समवृत्तीय शंकु की पार्श्विक सतह को रंगने की लागत 10 प्रतिवर्ग मी की दर से लगभग किसके सन्निकट होंगी?
(a) ₹ 1570 (b) ₹ 2150 (c) ₹ 860 (d) ₹ 1000
Solution:शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=\pi r l=\frac{22}{7} \times 5 \times 10
रंगने की लागत=\frac{1100}{7} \times 100 \approx 1570
विकल्प (a) सही है।
Example:24.एक आयताकार पानी की टंकी 5 मी. ऊँची,3 मी. लम्बी और 2 मी. चौड़ी है,तो इसमें कितने लीटर पानी भरा जा सकता है?
(a) 30000 लीटर (b) 15000 लीटर (c) 25000 लीटर (d) 35000 लीटर
Solution:टंकी का आयतन=5×3×2=30 घनमीटर
=30×1000 लीटर=30000 लीटर
विकल्प (a) सही है।
Example:25.किसी शंकु की ऊँचाई 30 सेमी है।शंकु के आधार के समान्तर एक समतल द्वारा शंकु के ऊपरी भाग से एक शंकु काटा गया है।यदि इसका आयतन शंकु के आयतन का \frac{1}{27} हो,तो आधार से कितनी ऊँचाई पर शंकु को काटा गया है?
(a) 6 सेमी (b) 8 सेमी (c) 10 सेमी (d) 20 सेमी
Solution:माना छोटे शंकु की त्रिज्या=r व ऊँचाई h है।
माना बड़े शंकु की त्रिज्या=R व ऊँचाई H है।
\frac{H}{h}=\frac{R}{r} \Rightarrow \frac{30}{h}=\frac{R}{r}
छोटे शंकु का आयतन=\frac{1}{27} \times बड़े शंकु का आयतन
\Rightarrow \frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{1}{27} \times \frac{1}{3} \pi R^2 H \\ \Rightarrow h=\frac{1}{27} \times \frac{R^2}{r^2} \times 30=\frac{10}{9} \times\left(\frac{30}{h}\right)^2 \\ \Rightarrow h^3=10 \times 10 \times 10 \Rightarrow h=10 सेमी
विकल्प (c) सही है।
Example:26.एक शंकु की ऊँचाई तथा उसके आधार के अर्द्धव्यास दोनों में 100% की वृद्धि की जाती है।शंकु के आयतन में वृद्धि का प्रतिशत होगाः
(a) 700 % (b) 400 % (c) 300 % (d) 100 %
Solution:शंकु का आयतन V_1=\frac{1}{3} \pi r^2 h
ऊँचाई तथा त्रिज्या में 100% वृद्धि करने पर
आयतन V_2=\frac{1}{3} \pi(2 r)^2(2 h)=\frac{8}{3} \pi r^2 h
आयतन में वृद्धि V_2-V_1=\frac{8}{3} \pi r^2 h-\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{7}{3} \pi r^2 h
प्रतिशत वृद्धि=\frac{\frac{7}{3} \pi r^2 h}{\frac{1}{3} \pi r^2 h} \times 100=700 \%
विकल्प (a) सही है।
Example:27.5 मी. लम्बी,3 मी ऊँची और 20 मोटाई वाली एक दीवार को बनाने में 25 सेमी×12.5 सेमी×7.5 सेमी आकार की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
(a) 1000 (b) 1080 (c) 1100 (d) 1280
Solution:ईंटों की संख्या=\frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} \\ =\frac{500 \times 300 \times 20}{25 \times 12.5 \times 7.5}=1280
विकल्प (d) सही है।
Example:28.वायु में 79.2% नाइट्रोजन,20.7% आक्सीजन,0.08 अन्य हल्की गैसें तथा शेष ‘आर्गन’ होती हैं,जिस वायु में आर्गन एक घन मी. है,उस वायु का आयतन है
(a) 500 मी {}^3 (b) 50 मी {}^3 (c) 5 मी {}^3 (d) 5000 मी {}^3
Solution:आर्गन का प्रतिशत=100-(79.2+20.7+0.08)
=100-99.98=0.02
वायु का आयतन=\frac{1}{0.02} \times 100=5000 घनमीटर
विकल्प (d) सही है।
Example:29.यदि दो शंकुओं के आयतनों का अनुपात 2:3 है और उनके आधारों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:2 हो,तो उनकी ऊँचाईयों का अनुपात क्या होगा?
(a) 3:8 (b) 8: 3 (c) 4: 3 (d) 3:1
Solution:माना शंकुओं की त्रिज्याएँ r_1=x, r_2=2 x
दो शंकुओं के आयतनों का अनुपात =\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 : \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 \\ \Rightarrow x^2 \times h_1:(2 x)^2 h_2=2: 3 \Rightarrow h_1 : h_2=8: 3
विकल्प (b) सही है।
Example:30.20 मी. व्यास वाला एक कुआँ 14 मी. की गहराई तक खोदा जाता है और इससे निकाली गई मिट्टी को उसके चारों ओर 5 मी. की चौड़ाई तक फैलाकर एक चबूतरा बना दिया जाता है।इस चबूतरे की ऊँचाई होगी
(a) 10 मी. (b) 11 मी. (c) 11.2 मी. (d) 11.5 मी.
Solution:कुएँ से निकाली मिट्टी का आयतन=चबूतरे का आयतन
\pi \times 10^2 \times 14=\pi\left(15^2-10^2\right) \times h \\ \Rightarrow h=\frac{100 \times 14}{125}
=11.2 मी.
विकल्प (c) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अंकगणित में पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume in Arithmetic),पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume) को समझ सकते हैं।

Surface Area and Volume in Arithmetic

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3.अंकगणित में पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Frequently Asked Questions Related to Surface Area and Volume in Arithmetic),पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अंकगणित में पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन (Surface Area and Volume in Arithmetic)
के इस आर्टिकल में ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए कुछ विशिष्ट
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।