1.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equation in Class 11th),एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरण (Equation Involving More Than One Trigonometrical Ratios):

Trigonometrical Equation in Class 11th

11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equation in Class 11th) के इस आर्टिकल में एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Trigonometrical Equation in Class 11th):

निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:
Illustration:1. 2 \cos ^2 \theta-3 \cos \theta+1=0
Solution: 2 \cos ^2 \theta-3 \cos \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \theta-2 \cos \theta-\cos \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \theta(\cos \theta-1)-1(\cos \theta-1)=0 \\ \Rightarrow(\cos \theta-1) \cdot(2 \cos \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \cos \theta-1=0 \Rightarrow \cos \theta=1 \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos 0 \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm 0 \Rightarrow \theta=2 n \pi \\ 2 \cos \theta-1=0 \Rightarrow 2 \cos \theta=1 \\ \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi, 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in I
Illustration:2. 6 \sin ^2 \theta-5 \cos \theta=2
Solution: 6 \sin ^2 \theta-5 \cos \theta=2 \\ \Rightarrow 6 \sin ^2 \theta-5 \cos \theta-2=0 \\ \Rightarrow 6\left(1-\cos ^2 \theta\right)-5 \cos \theta-2=0 \\ \Rightarrow 6-6 \cos ^2 \theta-5 \cos \theta-2=0 \\ \Rightarrow-6 \cos ^2 \theta-5 \cos \theta+4=0 \\ \Rightarrow - \left(6 \cos ^2 \theta+5 \cos \theta-4\right)=0 \\ \Rightarrow 6 \cos ^2 \theta+5 \cos \theta-4=0 \\ \Rightarrow 6 \cos ^2 \theta+8 \cos \theta-3 \cos \theta-4=0 \\ \Rightarrow 2 \cos \theta(3 \cos \theta+4)-1(3 \cos \theta+4)=0 \\ \Rightarrow(2 \cos \theta-1)(3 \cos \theta+4)=0 \\ 3 \cos \theta+4=0 \\ \Rightarrow \cos \theta=-\frac{4}{3} (असम्भव है)
2 \cos \theta-1=0 \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in I
Illustration:3. 2 \sin ^2 \theta+\sin ^2 2 \theta=2
Solution: 2 \sin ^2 \theta+\sin ^2 2 \theta=2 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 \theta+(2 \sin \theta \cos \theta)^2=2 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 \theta+4 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta=2 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 \theta+4 \sin ^2 \theta\left(1-\sin ^2 \theta\right)-2=0 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 \theta+4 \sin ^2 \theta-4 \sin^4 \theta-2=0 \\ \Rightarrow-4 \sin ^4 \theta+6 \sin ^2 \theta-2=0 \\ \Rightarrow-2\left(2 \sin ^4 \theta -3 \sin ^2 \theta+1\right)=0 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 \theta-3 \sin ^2 \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \sin ^4 \theta-2 \sin ^2 \theta-\sin ^2 \theta+1=0 \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 \theta\left(\sin ^2 \theta-1\right) -1\left(\sin ^2 \theta-1\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\sin ^2 \theta-1\right)\left(2 \sin ^2 \theta-1\right)=0 \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta-1=0,2 \sin ^2 \theta-1=0 \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta=1, \sin ^2 \theta=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta=\sin ^2 \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{2} \\ \sin ^2 \theta=\frac{1}{2} \Rightarrow \sin ^2 \theta=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ \Rightarrow \sin ^2 \theta=\left(\sin \frac{\pi}{4}\right)^2 \\ \Rightarrow \theta= n \pi \pm \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{2}, \quad n \pi \pm \frac{\pi}{4}, \quad n \in I

Trigonometrical Equation in Class 11th

Illustration:4. \cot 2 \theta-\cot \theta+\frac{2}{\sqrt{3}}=0
Solution: \cot 2 \theta-\cot \theta+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow \frac{1-2 \sin ^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{3}-2 \sqrt{3} \sin ^2 \theta-2 \sqrt{3} \cos ^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta}{2 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3}-2 \sqrt{3}\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right)+4 \sin \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3}-2 \sqrt{3}+2 \sin 2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \sin 2 \theta-\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin 2 \theta=\sin \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow 2 \theta=n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \quad \theta=\frac{n \pi}{2}+(-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in I
Alternate:-
\cot 2 \theta-\cot \theta+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{\tan 2 \theta}-\frac{1}{\tan \theta}+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{ \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}}-\frac{1}{\tan \theta}+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow \frac{1-\tan ^2 \theta}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan \theta}+\frac{2}{\sqrt{3}}=0 \\ \Rightarrow \frac{\sqrt{3}\left(1-\tan ^2 \theta\right)-2 \sqrt{3}+4 \tan \theta}{2 \sqrt{3} \tan ^2 \theta}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3}-\sqrt{3} \tan ^2 \theta-2 \sqrt{3}+4 \tan \theta=0= \\ \Rightarrow-\sqrt{3} \tan ^2 \theta+4 \tan \theta-\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow-\left(\sqrt{3} \tan ^2 \theta-4 \tan \theta+\sqrt{3}\right)=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} \tan ^2 \theta-4 \tan \theta+\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} \tan ^2 \theta-3 \tan \theta-\tan \theta+\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \sqrt{3} \tan \theta(\tan \theta-\sqrt{3})-1(\tan \theta-\sqrt{3})=0 \\ \Rightarrow(\tan \theta-\sqrt{3})(\sqrt{3} \tan \theta-1)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta-\sqrt{3}=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\sqrt{3} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{3} \\ \sqrt{3} \tan \theta-1=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{6} \\ \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{6} \\ \therefore \theta=n \pi+\frac{\pi}{6}, n \pi+\frac{\pi}{3}, n \in I
Illustration:5. (1-\tan \theta)(1+\sin 2 \theta) =1+\tan \theta
Solution: 1-\tan \theta)(1+\sin 2 \theta)=1+\tan \theta \\ \Rightarrow(1-\tan \theta)\left(1+\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)=1+\tan \theta \\ \Rightarrow \frac{(1-\tan \theta)\left(1+\tan ^2 \theta+2 \tan \theta\right)}{\left(1+\tan ^2 \theta\right)}=1+\tan \theta \\ \Rightarrow 1+\tan ^2 \theta+2 \tan \theta-\tan \theta-\tan ^3 \theta-2 \tan ^2 \theta=1+\tan \theta+\tan ^2 \theta+\tan ^3 \theta \\ \Rightarrow 2 \tan ^3 \theta+2 \tan ^2 \theta=0 \\ \Rightarrow 2 \tan ^2 \theta\left(\tan \theta+1\right)=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=0 \Rightarrow \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=n \pi \\ \tan \theta+1=0 \\ \Rightarrow \tan \theta=-1 \Rightarrow \tan \theta=-\tan \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi-\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow \theta=n \pi, n \pi-\frac{\pi}{4}, n \in I
Illustration:6. \tan 3 \theta+\tan \theta=2 \tan 2 \theta
Solution: \tan 3 \theta+\tan \theta=2 \tan 2 \theta \\ \Rightarrow \frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}+\tan \theta=2 \cdot \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} {\left[\because \tan 3 \theta=\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta} \text { तथा } \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta}\right] } \\ \Rightarrow \frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta+\tan \theta-3 \tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}=\frac{4 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} \\ \Rightarrow \left(4 \tan \theta-4 \tan ^3 \theta\right)\left(1-\tan ^2 \theta\right)=4 \tan \theta\left(1-3 \tan ^2 \theta\right) \\ \Rightarrow 4 \tan \theta-4 \tan ^3 \theta-4 \tan ^3 \theta+4 \tan ^5 \theta=4 \tan \theta-12 \tan ^3 \theta \\ \Rightarrow 4 \tan ^5 \theta-8 \tan ^3 \theta+4 \tan \theta-4 \tan \theta +12 \tan ^3 \theta=0 \\ \Rightarrow 4 \tan ^5 \theta+4 \tan ^3 \theta=0 \\ \Rightarrow 4 \tan ^3 \theta \left(\tan ^2 \theta+1\right)=0 \\ \Rightarrow 4 \tan ^3 \theta=0 \Rightarrow \tan \theta=0 \\ \Rightarrow \theta=n \pi \\ \Rightarrow \left(\tan ^2 \theta+1\right)=0 (असम्भव है)
\Rightarrow \theta=n \pi, n \in I
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equation in Class 11th),एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरण (Equation Involving More Than One Trigonometrical Ratios) को समझ सकते हैं।

3.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Trigonometrical Equation in Class 11th):

Trigonometrical Equation in Class 11th

निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(1.) \cos 2 \theta=(\sqrt{2}+1)\left(\cos \theta-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
(2.) 2 \tan \theta-\cot \theta=-1
उत्तर (Answers): (1.) \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}, 2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in I
(2.) \theta=n \pi-\frac{\pi}{4}, n \pi+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right), n \in I
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर 11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equation in Class 11th),एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरण (Equation Involving More Than One Trigonometrical Ratios) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Equation in Class 11th),एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरण (Equation Involving More Than One Trigonometrical Ratios) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

11वीं में त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometrical Equation in Class 11th) के इस
आर्टिकल में एक से अधिक त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले समीकरणों के व्यापक हल ज्ञात
करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।