1.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 (Linear Programming Class 12),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming):

Linear Programming Class 12

रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 (Linear Programming Class 12) के इस आर्टिकल में रैखिक असमिकाओं/समीकरणों के सवालों को रैखिक प्रोग्रामन द्वारा हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Linear Programming Class 12):

ग्राफीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए:
Example:1.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=3x+4y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x+y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Max. Z=3x+4y
प्रतिबन्ध (s.t.) x+y \leq 4 \\ x \geq 0, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+y=4,x=0,y=0
x+y=4 अक्षों को A(4,0) और B(4,0) पर काटती है। x+y \leq 4 में x=0,y=0 रखने परः
0+0 \leq 4 जो कि सत्य है।अतः हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र \triangle OAB छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
\triangle OAB के शीर्षों के निर्देशांक O(0,0),A(4,0),B(0,4) हैं।उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline O & (0,0) & 3 \times 0+4 \times 0=0 \\ \hline A & (4,0) & 3 \times 4+4 \times 0=12 \\ \hline B & (0,4) & 3 \times 0+4 \times 4=16 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का इष्टतम मान B पर प्राप्त होता है अर्थात् अधिकतम मान शीर्ष B(0,4) पर प्राप्त होता है।
अतः समस्या का इष्टतम हल निम्न हैः
x=0,y=4 तथा Max. Z=16
Example:2.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=-3x+4y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x+2 y \leq 8,3 x+2 y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Min. Z=-3x+4y
प्रतिबन्ध (s.t.) x+2 y \leq 8 \\ 3 x+2 y \leq 12 \\ x \geq 0, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+2y=8,3x+2y=12,x=0,y=0
x+2y=4 में x=0 रखने पर y=4
अब y=0 रखने पर x=8
अतः यह अक्षों को B(8,0) और A(0,4) पर काटती है।
इसी प्रकार 3x+2y=12 में x=0 रखने पर y=6 तथा y=0 रखने पर x=4
अतः यह अक्षों को P(4,0) व Q(0,6) पर काटती है। 
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
x+2 y \leq 8 में x=0,y=0 रखने परः
0+2 \times 0 \leq 8 जो कि सत्य है तथा 3 \times 0 +2 \times 0 \leq 12 जो भी सत्य है।अतः हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज OPRA क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैं
O(0,0),P(4,0),R(2,3),A(0,4) हैं।
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline O & (0,0) & -3 \times 0+4 \times 0=0 \\ P & (4,0) & -3 \times 4+4 \times 0=-12 \\ R & (2,3) & -3 \times 2+4 \times 3=6 \\ A & (0,4) & -3 \times 0+4 \times 4=16 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का इष्टतम मान P पर प्राप्त होता है अर्थात् निम्नतम मान शीर्ष P(4,0) पर प्राप्त होता है।
अतः समस्या का इष्टतम हल निम्न हैः
x=4,y=0 तथा Min. Z=-12
Example:3.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=5x+3y को अधिकतमीकरण कीजिए:
3 x+5 y \leq 15,5 x+2 y \leq 10, x \geq 0, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Max. Z=-5x+3y
प्रतिबन्ध (s.t.) 3 x+5 y \leq 15 \\ 5 x+2 y \leq 10 \\ x \geq 0, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
3x+5y=15,5x+2y=10,x=0,y=0
3x+5y=15 में y=0 रखने पर x=5
अब x=0 रखने पर y=3
अतः यह अक्षों को A(5,0) और B(0,3) पर काटती है।
इसी प्रकार 5x+2y=10 में y=0 रखने पर x=2
अब x=0 रखने पर y=5
अतः यह अक्षों को P(2,0) व Q(0,5) पर काटती है। 
3 x+5 y \leq 15 में x=0,y=0 रखने पर 3(0)+5(0) \leq 15 जो कि सत्य है तथा 5 x+2 y \leq 10 में x=0,y=0 रखने पर 5(0)+2(0) \leq 10 जो कि सत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
3x+5y=15 व 5x+2y=10 का प्रतिच्छेद बिन्दु R\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज OPRB है जिसे छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
बहुभुज OPRB क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैं
O(0,0), R\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right), B(0,3) हैं।
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline O & (0,0) & 5(0)+3 \times 0=0 \\ P & (2,0) & 5 \times 2+3 \times 0=10 \\ R & \left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) & 5 \times \frac{20}{19}+3 \times \frac{45}{19}=\frac{235}{19} \\ B & (0,3) & 5 \times 0+3 \times 3=9 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का इष्टतम मान R पर प्राप्त होता है अर्थात् अधिकतम मान R\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right) पर प्राप्त होता है।
अतः समस्या का इष्टतम हल निम्न हैः
x=\frac{20}{15}, y=\frac{45}{19} तथा Max. Z=\frac{235}{19}
Example:4.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=3x+5y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x+3 y \geq 3, x+y \geq 2, x \geq 0 , y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Min. Z=3x+5y
प्रतिबन्ध (s.t.) x+3 y \geq 3 \\ x+y \geq 2 \\ x , y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+3y=3,x+y=2,x=0,y=0
x+3y=3 में y=0 रखने पर x=3
अब x=0 रखने पर y=1
अतः यह अक्षों को P(3,0) और Q(0,1) पर काटती है।
इसी प्रकार x+y=2 में y=0 रखने पर x=2
अब x=0 रखने पर y=2
अतः यह अक्षों को C(2,0) व D(0,2) पर काटती है। 
x+3y=3 व x+y=2 का प्रतिच्छेद बिन्दु R\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) है।
x+3 y \geq 0 में x=0,y=0 रखने पर 0+3(0) \geq 0 जो कि सत्य नहीं है।
x+y \geq 2 में x=0,y=0 रखने पर 0+0 \geq 2 जो कि सत्य नहीं है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज YDRPX है जबकि AB:x+3y=3 और CD:x+y=2 का प्रतिच्छेद बिन्दु R\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) है।
अब उद्देश्य फलन:Z=3x+5y
बिन्दु P(3,0) पर,Z=3×3+5×0=9
बिन्दु R\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) पर, Z=3 \times \frac{3}{2}+5 \times \frac{1}{2}=\frac{14}{2}=7
बिन्दु D(0,2) पर,Z=3×0+5×2=10
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है , 3x+5y <7 और सुसंगत क्षेत्र में कोई भी बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है।
Z का न्यूनतम मान बिन्दु R \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) पर 7 है।
Example:5.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=3x+2y का अधिकतमीकरण कीजिएः
x+2 y \leq 10,3 x+y \leq 15, x \geq 0 , y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Max. Z=3x+2y
प्रतिबन्ध (s.t.) x+2 y \leq 10 \\ 3 x+y \leq 15 \\ x \geq 0 , y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+2y=10,3x+y=15,x=0,y=0
x+2y=10 में y=0 रखने पर x=10
अब x=0 रखने पर y=5
अतः यह अक्षों को A(10,0) और B(0,5) पर काटती है।
इसी प्रकार 3x+y=15 में y=0 रखने पर x=5
अब x=0 रखने पर y=15
अतः यह अक्षों को P(5,0) व Q(0,15) पर काटती है। 
x+2 y \leq 10 में x=0,y=0 रखने पर 0 +2 \times 0 \leq 10 जो कि सत्य है तथा 3 x+y \leq 15 में x=0,y=0 रखने पर 3 \times 0 +0 \leq 15 जो कि सत्य है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
x+2y=10 व 3x+y=15 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज OPRB है जिसे छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
बहुभुज OPRB क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैं
O(0,0),P(5,0),R(4,3),B(0,5) हैं।
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान } \\ \hline O & (0,0) & 3(0)+2(0)=0 \\ \hline P & (5,0) & 3 \times 5+2 \times 0=15 \\ \hline R & (4,3) & 3 \times 4+2 \times 3=18 \\ \hline B & (0,5) & 3 \times 0+2 \times 5=10 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का इष्टतम मान P पर प्राप्त होता है अर्थात् अधिकतम मान R(4,3) पर प्राप्त होता है।
अतः समस्या का इष्टतम हल निम्न हैः
x=4,y=3 तथा Max. Z=18
Example:6.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=x+2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
2 x+y \geq 3, x+2 y \geq 6, x, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Min. Z=x+2y
प्रतिबन्ध (s.t.) 2 x+y \geq 3 \\ x+2 y \geq 6 \\ x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
2x+y=3,x+2y=6,x=0,y=0
2x+y=3 में y=0 रखने पर x=\frac{3}{2}
अब x=0 रखने पर y=3
अतः यह अक्षों को \left(\frac{3}{2},0\right) और B(0,3) पर काटती है।
इसी प्रकार x+2y=6 में y=0 रखने पर x=6
अब x=0 रखने पर y=3
अतः यह अक्षों को P(6,0) व B(0,3) पर काटती है। 
2x+y=3 व x+2y=6 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(0,3) है।
2x+y \geq 3 में x=0,y=0 रखने पर 2 (0)+0 \geq 3 जो कि सत्य नहीं है।
x+2 y \geq 6 में x=0,y=0 रखने पर 0+2 (0) \geq 6 जो कि सत्य नहीं है।अतः दोनों का हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज YBPX है
अब उद्देश्य फलन: Z=x+2y
बिन्दु B(0,3) पर,Z=0+2×3=6
बिन्दु P(6,0) पर,Z=6+2×0=6
साथ ही यह क्षेत्र अपरिबद्ध है और x+2 y \geq 6 का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र में नहीं है।
अतः Z का न्यूनतम मान 6 है जो रेखा PB के प्रत्येक बिन्दु के लिए सत्य है।
दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिन्दुओं से अधिक बिन्दुओं पर घटित होता है।
Example:7.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=5x+10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x+2 y \leq 120, x+y \geq 60, x-2 y \geq 0, x, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Z=5x+10y
प्रतिबन्ध (s.t.) x+2 y \leq 120, x+y \geq 60 \\ x-2 y \geq 0, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+2y=120,x+y=60,x-2y=0,x=0,y=0
x+2y=120 में y=0 रखने पर x=120
अब x=0 रखने पर y=60
अतः यह अक्षों को A(120,0और B(0,60) पर काटती है।
इसी प्रकार x+y=60 में y=0 रखने पर x=60
अब x=0 रखने पर y=60
अतः यह अक्षों को P(60,0) व B(0,60) पर काटती है। 
x-2y=0 में अचर पद नहीं है अतः यह मूलबिन्दु से होकर प्रथम व तृतीय चतुर्थांश से गुजरती है।
x+2y=120 व x+y=60 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(0,60) है।
x+2y=120 व x-2y=0 तथा x+y=60 व x-2y=0 का प्रतिच्छेद बिन्दु क्रमशः R(60,30) व S(40,20) है।
x+2 y \leq 120 में x=0,y=0 रखने पर 0+2 (0) \leq 120 जो कि सत्य है अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर है।
x+y \geq 60 में x=0,y=0 रखने पर 0+0 \geq 60 जो कि सत्य नहीं है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
x-2 y \geq 0 में (60,0) रखने पर 0- 2 (0) \geq 0 जो कि सत्य है।अतः इसका का क्षेत्र नीचे की ओर स्थित है।
x \geq 0 का y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज PARS है जिसे छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
बहुभुज PARS क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैः
P(60,0),A(120,0),R(60,30),S(40,20)
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) के मानों की गणना निम्न प्रकार हैः
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान }  \\ \hline P & (60,0) & 5 \times 60+10 \times 0=300 \\ A & (120,0) & 5 \times 120+10 \times 0=600 \\ R & (60,30) & 5 \times 60+10 \times 30=600 \\ S & (40,20) & 5 \times 40+10 \times 20=400 \\ \hline \end{array}
शीर्ष निर्देशांक उद्देश्य फलन Z का मान
उपर्युक्त तालिका से स्पष्ट है कि उद्देश्य फलन Z का इष्टतम मान P (60,0) पर न्यूनतम मान 300 तथा A(120,0),R(60,30) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित सभी बिन्दुओं पर 600 है।
Example:8.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=x+2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x+2 y \geq 100,2 x-y \leq 0,2 x+y \leq 200, x , y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Z=x+2y
प्रतिबन्ध (s.t.) x+2 y \geq 100,2 x-y \leq 0 \\ 2 x+y \leq 200, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x+2y=100,2x-y=0,2x+y=200,x=0,y=0
x+2y=100 में y=0 रखने पर x=100
अब x=0 रखने पर y=50
अतः यह अक्षों को A(100,0और B(0,50) पर काटती है।
इसी प्रकार 2x-y=0 में अचर पद नहीं है अतः यह मूलबिन्दु से होकर प्रथम व तृतीय चतुर्थांश से गुजरती है।
2x+y=200 में y=0 रखने पर x=100
अब x=0 रखने पर y=200
अतः यह अक्षों को A(100,0) व D(0,200) पर काटती है। 
x+2y=100 तथा 2x+y=200 का प्रतिच्छेद बिन्दु A(100,0) है।
x+2y=100 व 2x-y=0 तथा 2x-y=0,2x+y=200 का प्रतिच्छेद बिन्दु क्रमशः E(20,40) व C(50,100) है।
x+2 y \geq 100 में x=0,y=0 रखने पर 0+2(0) \geq 100 जो कि असत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
2 x-y \leq 0 में (0,200) रखने पर 2 \times 0-200 \leq 0 जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र ऊपर की ओर स्थित है।
2 x+y \leq 200 में x=0,y=0 रखने पर 2(0)+0 \leq 200 जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर स्थित है।
x \geq 0 का y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज BECD है जिसे छायांकित भाग द्वारा दर्शाया गया है।
बहुभुज BECD क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक निम्न हैः
B(0,50),E(20,40),C(50,100),D(0,200)
\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text { शीर्ष } & \text { निर्देशांक } & \text { उद्देश्य फलन Z का मान }  \\ \hline B & (0,50) & 0+2 \times 50=100 \\ E & (20,40) & 20+2 \times 40=100 \\ C & (50,100) & 50+2 \times 100=250 \\ D & (0,200) & 0+2 \times 200=400 \\ \hline \end{array}
उपर्युक्त शीर्षों पर उद्देश्य फलन (Z) का B(0,50) व E(20,40) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित सभी बिन्दुओं पर न्यूनतम Z=100 और D(0,200) पर अधिकतम Z=400 है।
Example:9.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=-x+2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x \geq 3 , x+y \geq 5, x+2 y \geq 6, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Max. Z=-x+2y
प्रतिबन्ध (s.t.) x \geq 3 , x+y \geq 5, x+2 y \geq 6, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x=3,x+y=5,x+2y=6,y=0
x=3,x-अक्ष को (3,0) पर काटती है।
x+y=5 में y=0 रखने पर x=5
अब x=0 रखने पर y=5
अतः यह अक्षों को A(5,0और B(0,5) पर काटती है।
x+2y=6 में y=0 रखने पर x=6
अब x=0 रखने पर y=3
अतः यह अक्षों को C(6,0) व D(0,3) पर काटती है। 
x+y=5 तथा x+2y=6 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(3,2) है।
x \geq 3 में x=0 रखने पर 0 \geq 3 जो कि असत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत स्थित है।
x+y \geq 5 में x=0,y=0 रखने पर 0+0 \geq 5 जो कि असत्य है अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
x+2 y \geq 6 में x=0,y=0 रखने पर 0+2 (0) \geq 6 जो कि असत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
y \geq 0 x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बहुभुज PQRCX है।
बिन्दु रेखा CD:x+2y=6 और AB:x+y=5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु R (4,1) है।
अब उद्देश्य फलनःZ=-x+2y
बिन्दु Q(3,2) पर Z=-3+2×2=1
बिन्दु R (4,1) पर Z=-4+2×1=-2
बिन्दु C(6,0) पर Z=-6+2×0=-6
Z का अधिकतम मान 1 है परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,यदि तथा सुसंगत क्षेत्र में अनेक उभयनिष्ठ बिन्दु हैं।अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।
Example:10.निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z=x+y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x-y \leq-1 ;-x+y \leq 0, x, y \geq 0

Linear Programming Class 12

Solution:उद्देश्य फलन Max. Z=x+y
प्रतिबन्ध (s.t.) x-y \leq-1 ;-x+y \leq 0, x, y \geq 0
प्रतिबन्ध असमिकाओं के संगत समीकरण
x-y=-1,-x+y=0,x=0,y=0
x=3,x-अक्ष को (3,0) पर काटती है।
x-y=-1 में y=0 रखने पर x=-1
अब x=0 रखने पर y=1
अतः यह अक्षों को A(-1,0) और B(0,1) पर काटती है।
-x+y=0 में अचर पद नहीं है अतः यह मूलबिन्दु तथा प्रथम व तृतीय चतुर्थांश से होकर गुजरती है।दोनों रेखाओं का कोई प्रतिच्छेद बिन्दु नहीं है।
x-y \leq-1 में x=0,y=0 रखने पर 0-0 \leq-1 \Rightarrow 0 \leq-1
जो कि असत्य है अतः इसका हल क्षेत्र मूलबिन्दु से विपरीत ओर स्थित है।
में (3,0) रखने पर जो कि सत्य है।अतः इसका हल क्षेत्र रेखा के नीचे की ओर स्थित है।
x \geq 0 का क्षेत्र y-अक्ष और y-अक्ष के दायीं ओर है।
y \geq 0 का क्षेत्र x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर है।
इनसे बना उभयनिष्ठ हल क्षेत्र उपस्थित नहीं है।
अतः समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 (Linear Programming Class 12),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Linear Programming Class 12):

Linear Programming Class 12

(1.)अधिकतम करो (Maximize) Z=x_1+2 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1 \leq 80 \\ x_2 \leq 60 \\ 5 x_1+6 x_2 \leq 600 \\ x_1+2 x_2 \leq 160
तथा (and) x_1, x_2 \geq 0
(2.)निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को आलेख विधि से हल कीजिए।
निम्नतम करो (minimize) Z=2 x_1-10 x_2
प्रतिबन्ध (s.t.) x_1-x_2 \geq 0
तथा (and) x_1-5 x_2 \leq-5 \\ x_1, x_2 \geq 0
उत्तर (Answers):(1.)(60,50),(40,60) पर Max. Z=160
(2.) x_1=\frac{5}{4}, x_2=\frac{5}{4} तथा Min.Z=-10
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 (Linear Programming Class 12),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Linear Programming Class 12),रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन कक्षा 12 (Linear Programming Class 12) के इस आर्टिकल में रैखिक
असमिकाओं/समीकरणों के सवालों को रैखिक प्रोग्रामन द्वारा हल करके समझने का प्रयास करेंगे।