1.वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम (Sub-Sequence in Real Analysis),उपानुक्रम (Sub-Sequence):

Sub-Sequence in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम (Sub-Sequence in Real Analysis) के इस आर्टिकल में कोशी अनुक्रम तथा अभिसारी अनुक्रम पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम के साधित उदाहरण (Sub-Sequence in Real Analysis Solved Examples):

Example:1.जाँच कीजिए कि निम्न में से कौन-से अनुक्रम कोशी अनुक्रम हैं?
(Examine whether the following sequences are Cauchy’s sequences):
Example:1(i). \left\{\frac{n}{n+1}\right\}
Solution: \left\{\frac{n}{n+1}\right\}
माना \varepsilon>0 , यदि n >k तब
\left|\frac{n}{n+1}-\frac{k}{k+1}\right|=\left|\frac{n k+n-n k-k}{(n+1)(k+1)}\right| \\ =\left|\frac{n-k}{(n+1)(k+1)}\right|<\frac{1}{k}
k का मान इतना बड़ा लेते हैं कि \frac{1}{k}<\varepsilon \\ \Rightarrow\left|\frac{n}{n+1}-\frac{k}{k+1} \right| <\varepsilon \quad \forall n \geq k
अतः दिया गया अनुक्रम कोशी अनुक्रम है।
Example:1(ii). \left\{(-1)^n n\right\}
Solution: \left\{(-1)^n n\right\}
माना \varepsilon>0 , यदि n > k तब
\left|(-1)^n n-(-1)^k k\right|>k>1
किसी भी k के मान के लिए
अतः हम \varepsilon=1 ,किसी भी धनात्मक मान k के लिए ऐसा प्राप्त नहीं करते हैं कि
\mid (-1)^n n-(-1)^kk|<\varepsilon \quad \forall n \geq k
अतः दिया हुआ अनुक्रम कोशी अनुक्रम नहीं है।
Example:1(iii). \left\{x_n\right\} , जहाँ x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}
Solution: x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}
माना \varepsilon>0 ,यदि n > k तब
\left|x_n-x_k\right|=\left\lvert\ 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}-\right. \left. \left(1+ \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{k!}\right) \right\rvert\ \\ =\left|\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!} +\cdots+\frac{1}{k!}\right|<\frac{1}{k}
k का मान इतना बड़ा लेते हैं कि \frac{1}{k}<\varepsilon \\ \Rightarrow \left|x_{n}-x_k\right|<\varepsilon \quad \forall n>k
अतः दिया गया अनुक्रम कोशी अनुक्रम है।
Example:2.यदि \{x_n\} अभिसारी अनुक्रम है तथा \{y_n\} कोई अनुक्रम है ताकि
\left|y_n-y_m\right| \leq\left|x_n-x_m\right|, \forall m, n \in N
तो सिद्ध कीजिए कि \{y_n\} भी अभिसारी है।
(If be a convergent sequence \{x_n\} and \{y_n\} be any sequence such that
\left|y_n-y_m\right| \leq\left|x_n-x_m\right|, \forall m, n \in N
Prove that \{y_n\} is also convergent.)
Solution: \left|y_n-y_m\right| \leq\left|x_n-x_m\right|, \forall m, n \in N \cdots(1)
माना \varepsilon>0
अतः अनुक्रम x_n अभिसारी है फलतः यह कोशी अनुक्रम है और एक ऐसे m \in N का अस्तित्व है ताकि
\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon, \forall n \geq m \\ \Rightarrow \left|y_n-y_m\right|<\varepsilon, \forall n \geq m [(1) से]
अतः अनुक्रम \{y_n\} कोशी अनुक्रम है और इस प्रकार कोशी अभिसरण नियम से \{y_n\} अभिसारी है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम (Sub-Sequence in Real Analysis),उपानुक्रम (Sub-Sequence) को समझ सकते हैं।

3.कोशी अनुक्रम पर आधारित महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems Based on Cauchy Sequences):

Sub-Sequence in Real Analysis

मूल या कोशी अनुक्रम (Fundamental or Cauchy’s Sequence):
परिभाषा:एक अनुक्रम \{x_n\} मूल अथवा कोशी अनुक्रम कहलाती है यदि स्वेच्छ \varepsilon>0 के संगत एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक विद्यमान है कि
\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon, \forall n \geq n_0 और  m \geq n_0
अतः यदि \{x_n\} एक कोशी अनुक्रम हो,तो स्वेच्छ \varepsilon>0 के संगत एक धनात्मक पूर्णांक n_0 विद्यमान है कि
\left|x_{n+p}-x_n\right|<\varepsilon, \forall n \geq n_0 एवं p \in N
प्रमेय (Theorem):1.प्रत्येक कोशी अनुक्रम परिबद्ध होती है।
(Every Cauchy sequence is bounded.)
उपपत्ति (Proof):माना कि \{x_n\} एक कोशी अनुक्रम है तो परिभाषानुसार प्रत्येक \varepsilon >0 \exists n_0 \in N ताकि
\left|x_m-x_n\right|<\varepsilon \forall m \geq n_0, n \geq 0
अब \varepsilon=1 लेने पर हम ऐसा n_0 \in N प्राप्त कर सकते हैं कि
\Rightarrow \left|x_n-x_{n_0}\right|<1 \quad \forall n \geq n_0 \\ \Rightarrow x_{n_0}-1 < x_n < x_{n_0}+1 \forall n \geq n_0
माना कि k=\min \left\{x_{n_0}-1 ; x_1, x_2 ; \cdots, x_{n_0}-1\right\} \\ k=\max \left\{x_{n_0}+1 ; x_1, x_2, \ldots, x_{n_0}-1\right\}
तो k \leq x_n \leq K \quad \forall n \in N \Rightarrow\left\{x_n\right\} परिबद्ध है।
प्रमेय (Theorem):2.यदि कोशी अनुक्रम का उपानुक्रम \xi को अभिसृत होती है तो अनुक्रम भी \xi को अभिसृत होती है।
(If a subsequence of a Cauchy sequence converges to \xi then the sequence also converges to \xi .)
उपपत्ति (Proof):माना कि \{x_n\} कोई कोशी अनुक्रम है
\Rightarrow किसी \varepsilon>0 के लिए \exists n_1 \in N ताकि
\left|x_m-x_n\right|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \forall m \geq n_1, n \geq n_1
माना कि \{x_n\} का उपानुक्रम \left\{x_{r_k}\right\} , \xi को अभिसृत होता है तो \exists k_0 \in N ताकि \left|x_{r_k}-\xi\right|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \forall k>k_0 अर्थात् v_k>v_{k_0}
माना कि n_0=\max \left\{n_1, v_{k_0}\right\} तो \forall n>n_{0}, v_k>n_0 के लिए हम देखते हैं कि
\left|x_{r_k}-x_n\right|<\frac{\varepsilon}{2} एवं \left|x_{r_k}-\xi\right|<\frac{\varepsilon}{2}
अतः \left|\xi-x_n\right|=\left|\xi-x_{r_k}+x_{v_k}-x_n\right| \\ \leq \left|\xi-x_{r_k}\right|+\left|x_{r_k}-x_n\right| \\ \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \\ < \varepsilon \quad \forall n>n_0 \\ \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi
फलतः कोशी अनुक्रम \xi को अभिसृत करता है।

4.अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कोशी का सामान्य सिद्धान्त (Cauchy’s General Principle of Convergence for Sequence):

प्रमेय (Theorem):3.अनुक्रम के अभिसारी होने की आवश्यक तथा पर्याप्त शर्त यह है कि दिए कितने ही न्यून \varepsilon>0 के संगत ऐसे धन पूर्णांक n_0 तथा p विद्यमान है ताकि
\left|x_{n+p}-x_n\right|<\varepsilon \forall n \geq n_0, p \in N ( \text{or} \quad p \geq 1 )
अथवा ‘एक अनुक्रम अभिसारी है यदि और केवल यदि कोशी अनुक्रम है’।
(The necessary and sufficient condition for a sequence \{x_n\} to be convergent is that for given \varepsilon>0 ,however small,there exists a positive integer n_0 and p such that
\left|x_{n+p}-x_n\right|<\varepsilon \forall n \geq n_0, p \in N ( \text{or} \quad p \geq 1 ) A sequence is convergent iff it is Cauchy’s sequence.)
उपपत्ति (Proof):आवश्यक शर्त (Necessary Condition):
माना कि अनुक्रम \left\{x_{n}\right\} , \xi को अभिसृत होती है,तो कितने ही न्यून \varepsilon >0 के संगत n_0 \in N विद्यमान है ताकि
\left|x_n-\xi\right|< \frac{\varepsilon}{2} \forall n \geq n_0 \\ \therefore \left|x_{n+p}-\xi\right|<\frac{\varepsilon}{2} \forall n \geq n_0 , p \in N
अब \left|x_{n+p}-x_n\right|=\left|\left(x_{n+p}-\xi\right)+\left(\xi-x_n\right)\right| \\ \quad \leq \left|x_{n+p}-\xi\right|+\left|\xi-x_n\right| \\ \quad<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon, \forall n \geq n_0, p \in N \\ \Rightarrow\left|x_{n+p}-x_n\right|<\varepsilon, \forall n \geq n_0, p \in N
अतः \{x_n\} कोशी अनुक्रम है।
पर्याप्त शर्त (Sufficient Condition):
माना कि \{x_n\} कोशी अनुक्रम है,तो प्रमेय 1 से यह परिबद्ध होता है।पुनः प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का एक अभिसारी उपानुक्रम होता है।
अतः \{x_n\} का \{x_{v_k}\} अभिसारी अनुक्रम होगा।माना कि \lim x_{r_k}=\xi \Rightarrow \lim x_m=\xi [प्रमेय 2 से] फलतः \{x_n\} अभिसारी है।

5.वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम पर आधारित सवाल (Questions Based on Sub-Sequence in Real Analysis):

Sub-Sequence in Real Analysis

(1.)क्या अनुक्रम <n^2> कोशी अनुक्रम है?
(Is the sequence <n^2> Cauchy sequence?)
(2.)सिद्ध करो कि अनुक्रम <S_n> जो
S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} द्वारा परिभाषित है,अभिसारी नहीं है।
(Show that the sequence <S_n> defined by
S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} does not convergent)
उत्तर (Answer):(1.)कोशी अनुक्रम नहीं है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम (Sub-Sequence in Real Analysis),उपानुक्रम (Sub-Sequence) को ठीक से समझ सकते हैं।

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6.वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम (Frequently Asked Questions Related to Sub-Sequence in Real Analysis),उपानुक्रम (Sub-Sequence) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में उपानुक्रम (Sub-Sequence in Real Analysis) के इस आर्टिकल में कोशी
अनुक्रम तथा अभिसारी अनुक्रम पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।