1.12वीं में प्रायिकता (Probabity in Class 12th),प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12):

Probabity in Class 12th

12वीं में प्रायिकता (Probabity in Class 12th) के इस आर्टिकल में सप्रतिबन्ध प्रायिकता,प्रायिकता का गुणन नियम,बेज प्रमेय,यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन आदि पर आधारित प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.12वीं में प्रायिकता के साधित उदाहरण (Probabity in Class 12th Solved Illustrations):

Illustration:1.A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) \neq 0, P\left(\frac{B}{A}\right) ज्ञात कीजिए यदि
Illustration:1(i).A,समुच्चय B का उपसमुच्चय है
Solution: A \subset B \\ A \cap B=A \\ P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)}=1 \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=1
Illustration:1(ii). A \cap B=\phi
Solution: A \cap B=\phi \\ P(A \cap B)=0 \\ P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{0}{P(A)}=0 \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right)=0
Illustration:2.एक दम्पति के दो बच्चे हैं:
Illustration:2(i).दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम से कम एक बच्चा लड़का है।
Solution:माना A=दोनों बच्चे लड़के हैं
B=कम से कम एक बच्चा लड़का है
प्रतिदर्श समष्टि S={BB,GG,GB,BG}
A={BB} , P(A)=\frac{1}{4}
B={BB,GB,BG}
A \cap B=\{B B\} \\ P(A \cap B)=\frac{1}{4} \\ P(B)=\frac{3}{4} \\ P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{1}{3}
Illustration:2(ii).दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
Solution:A=दोनों बच्चे लड़की है
A={GG}
B=बड़ा बच्चा लड़की है
\Rightarrow B={GG,GB}
P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ (A \cap B)=\{G G\}, P(A \cap B)=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{A}{B}\right) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \times \frac{2}{1}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{1}{2}
Illustration:3.कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं।एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है।इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
Solution: E_1=पुरुष चुनने की घटना
E_2 =महिला चुनने की घटना
E=सफेद बाल होना
P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=\frac{1}{2} \\ P\left(\frac{A}{E_1}\right)=5 \%_0=0.05 \\ P\left(\frac{A}{E_2}\right)=\frac{0.25}{100}=0.0025 \\ P\left(\frac{E_1}{A}\right)=\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times 0.05}{\frac{1}{2} \times 0.05+\frac{1}{2} \times 0.0025} \\ =\frac{\frac{0.05}{2}}{\frac{0.05}{2}+\frac{0.0025}{2}} \\ =\frac{0.05}{0.0525}=\frac{\frac{5}{100}}{\frac{525}{10000}} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{A}\right) =\frac{5}{100} \times \frac{10000}{525}=\frac{20}{21}
Illustration:4.मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
Solution: p=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}, q=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}
P(अधिक से अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+……..+P(6)
=1-[P(7)+P(8)+P(9)+P(10)]
=1-\left[{ }^{10} C_7 \left(\frac{9}{10}\right)^7\left(\frac{1}{10}\right)^{10-7}+{ }^{10} C_8 \left(\frac{9}{10}\right)^8\right. \left(\frac{1}{10}\right)^{10-8}+{ }^{10} C_9 \left(\frac{9}{10}\right)^9 \left(\frac{1}{10}\right)^{10-9}+ \left.{ }^{10} C_{10} \left(\frac{9}{10}\right)^{10}\left(\frac{1}{10} \right)^{10-10}\right] \\ =1-\sum_{r=7}^{10} {}^{10} C_r (0.9)^r (0.1)^{10-r}
Illustration:5.एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं,जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह ‘X’ अंकित है और शेष 15 पर चिन्ह ‘Y’ अंकित है।कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिन्ह को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है।यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों,तो अग्रलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
Illustration:5(i).सभी पर चिन्ह ‘X’ अंकित हो।
Solution: p=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}, q=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}
P(सभी पर X चिन्ह अंकित हो)={}^6 C_6\left(\frac{2}{5}\right)^6\left(\frac{3}{5}\right)^{6-6} \\ =\left(\frac{2}{5}\right)^6
Illustration:5(ii).2 से अधिक पर चिन्ह ‘Y’ नहीं अंकित हो।
Solution:P(2 से अधिक पर चिन्ह ‘Y’ नहीं अंकित हो)=P(0)+P(1)+P(2)
={ }^6 C_0\left(\frac{3}{5}\right)^0\left(\frac{2}{5}\right)^6+ { }^6 C_1 \left(\frac{3}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^{6-1} +{ }^6 C_2 \left(\frac{3}{5}\right)^2\left(\frac{2}{5}\right)^{6-2} \\ =\left(\frac{2}{5}\right)^6+6\left(\frac{3}{5}\right) \times\left(\frac{2}{5}\right)^5+15 \times\left(\frac{3}{5}\right)^2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^4 \\ =\left(\frac{2}{5}\right)^4\left[\left(\frac{2}{5}\right)^2+6 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}+15 \times\left(\frac{3}{5}\right)^2\right] \\ =\left(\frac{2}{5}\right)^4\left[\frac{4}{25}+\frac{36}{25}+\frac{135}{25}\right] \\ =\left(\frac{2}{5}\right)^4 \cdot\left(\frac{175}{25}\right)=7 \left(\frac{2}{5}\right)^4
Illustration:5(iii).कम से कम 1 गेंद पर चिन्ह ‘Y’ अंकित हो।
Solution:P(कम से कम 1 गेंद पर चिन्ह ‘Y’ अंकित हो)=1-[सभी गेंदों पर चिन्ह ‘X’ अंकित हो]
=1-{}^6 C_6\left(\frac{2}{5}\right)^6\left(\frac{3}{5}\right)^{6-6} \\ =1-\left(\frac{2}{5}\right)^6
Illustration:5(iv).’X’ तथा ‘Y’ चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों।’X’ चिन्ह से अंकित गेंदों की संख्या का माध्य भी ज्ञात कीजिए।
Solution:P(“X’ तथा ‘Y’ चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों)={}^6 C_3\left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^{6-3} \\ =20 \times \frac{8}{125} \times \frac{27}{125}=\frac{864}{3125}
Illustration:6.एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी है इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर लेगा \frac{5}{6} है।इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?
Solution: p=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}, q=\frac{5}{6}
P(दो से कम बाधाओं को गिराना)=P(0)+P(1)
={ }^{10} C_0 \left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^{10-0}+{ }^{10} C_1 \left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^{10-1} \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^{10}+10 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^9 \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^9\left[\frac{5}{6}+\frac{5}{3}\right] \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^9\left(\frac{5+10}{6}\right) \\ =\left(\frac{5}{6}\right)^9\left(\frac{15}{6}\right) \\ =\frac{5}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^9
Illustration:7.एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता।इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
Solution:पासे पर 6 का अंक आने की प्रायिकता p=\frac{1}{6}
पासे पर 6 का अंक न आने की प्रायिकता q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
पासे पर 5 उछालों तक 2 बार 6 तथा 3 बार 6 न आने की प्रायिकता
={}^5 C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{6-3} \\ ={}^5 C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3
पासे पर 6 का अंक छठी बार उछालने पर आने की प्रायिकता={}^5 C_2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3 \frac{1}{6} \\ =10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} \times \frac{1}{6}=\frac{625}{23328}
Illustration:8.यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे?
Solution:लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं।364 दिन में प्रत्येक सोमवार से रविवार तक 52 होंगे।बाकी दो दिन निम्न प्रकार हो सकते हैं:
(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,बृहस्पतिवार),(बृहस्पतिवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार),(रविवार,सोमवार)
इसमें मंगलवार आने की अनुकूल स्थितियाँ 2 हैं अतः
लीप वर्ष में 53 मंगलवार आने की प्रायिकता=\frac{2}{7}
Illustration:9.एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है।प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम से कम 4 सफल होंगे।
Solution:सफल:असफल=2:1
p=\frac{2}{3},  q=\frac{1}{3}
अगले छः परीक्षणों में कम से कम 4 सफल होने की प्रायिकता=P(4)+P(5)+P(6)
={}^6 C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^{6-4}+{}^6 C_5 \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^{6-5} +{}^6 C_6 \left(\frac{2}{3}\right)^6\left(\frac{1}{3}\right)^{6-6} \\ =15 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 \times\left(\frac{1}{3}\right)^2+6 \times\left(\frac{2}{3}\right)^5 \times \left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}\right)^6 \\ =\left(\frac{2}{3}\right)^4\left[15 \times \frac{1}{9}+6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^2\right] \\ =\left(\frac{2}{3}\right)^4 \left[\frac{5}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}\right] \\ =\left(\frac{2}{3}\right)^4\left[\frac{15+12+4}{9}\right] \\=\left(\frac{2}{3}\right)^4 \times \frac{31}{9}=\frac{31}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^4
Illustration:10.एक व्यक्ति एक न्य्याय सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम से कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो?
Solution:चित आने की प्रायिकता p=\frac{1}{2}
चित न आने की प्रायिकता q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
माना सिक्के की n उछाल में चित न आने की प्रायिकता =\left(\frac{1}{2}\right)^n
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता 90% से अधिक है
\therefore 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n>90 \% \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^n<1-\frac{9}{10} \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n<\frac{1}{10} \\ \Rightarrow \frac{1}{2^n}<\frac{1}{10} \\ \Rightarrow 2^n>10 \\ n \geq 4

Probabity in Class 12th

Illustration:11.एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्य्याय पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है।एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है,कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा।उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
Solution:एक पासे पर 6 आने की प्रायिकता
p=\frac{1}{6}, q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
P(पहली बार 6 प्राप्त होना)=\frac{1}{6}
P(दूसरी बार में 6 प्राप्त होना)=\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}
P(तीसरी में 6 प्राप्त होना)=\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}
पहली बार में 6 आने पर उसे 1 रुपया मिलता है।दूसरी बार 6 आने पर -1+1=0 रुपया मिलता है।तीसरी बार में 6 आने पर -1-1+1=-1 रुपया मिलता है।
प्रायिकता बंटन
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 0 & -1 \\ \hline P(X) & \frac{1}{6} & \frac{5}{36} & \frac{25}{216} \\ \hline \end{array}
\therefore प्रत्याशा =1 \times \frac{1}{6}+0 \times \frac{5}{36}+(-1) \times \frac{25}{216} \\ =\frac{1}{6}-\frac{25}{216}=\frac{36-25}{216}=\frac{11}{216}
अतः जीती गई राशि की प्रत्याशा= \frac{11}{216}
Illustration:12.मान लीजिए हमारे पास A,B,C और D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल,सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बाॅक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है।यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बाॅक्स A,बाॅक्स B,बाॅक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?
\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{बाॅक्स } &  \text{संगमरमर की} & \text{टुकड़ियों} & \text{ का रंग} \\ \hline  & \text{लाल} & \text{सफेद} & \text{काला} \\ \hline A & 1 & 6 & 3 \\ B & 6 & 2 & 2 \\ C & 8 & 1 & 1 \\ D & 0 & 6 & 4 \\ \hline \end{array}
Solution:एक बाॅक्स चुने जाने की घटना क्रमशः E_1, E_2, E_3, E_4 है।
P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)=P\left(E_4\right)=\frac{1}{4} \\ P\left(\frac{A}{E_1}\right)=\frac{1}{10}, P\left(\frac{A}{E_2}\right)=\frac{6}{10}, P\left(\frac{A}{E_3}\right)=\frac{8}{10} ,P\left(\frac{A}{E_4}\right)=\frac{0}{10} \\ P\left(\frac{E_1}{A}\right)= \frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right) +P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_3}\right)+P\left(E_4\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_4}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{0}{10}} \\ =\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40}+\frac{6}{40}+\frac{8}{40}}=\frac{\frac{1}{40}}{\frac{15}{40}}=\frac{1}{15} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{A}\right)=\frac{1}{15} \\ P\left(\frac{E_2}{A}\right)= \frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right)+P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_3}\right)+P\left(E_4\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_4}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{0}{10}} \\=\frac{\frac{6}{40}}{\frac{1}{40}+\frac{6}{40}+\frac{8}{40}}=\frac{\frac{6}{40}}{\frac{15}{40}} \\ =\frac{6}{15}=\frac{2}{5} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_2}{A}\right)=\frac{2}{5} \\ P\left(\frac{E_3}{A}\right) =\frac{P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_3}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right)+P\left(E_3\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_3}\right)+P\left(E_4\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_4}\right)} \\=\frac{\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{0}{10}} \\ =\frac{\frac{8}{40}}{\frac{1}{40}+\frac{6}{40}+\frac{8}{40}+0} \\ =\frac{\frac{8}{40}}{\frac{15}{40}}=\frac{8}{15} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_3}{A}\right)=\frac{8}{15}
Illustration:13.मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है।यह मान लिया जाता है कि ध्यान और योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है।किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है।यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों में किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है।रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:माना  E_1 तथा E_2 क्रमशः ध्यान और योग विधि तथा दवा द्वारा इलाज चयन करने की घटनाएँ है।
E=दिल के दौरे से ग्रसित होने की घटना
P\left(E_1\right)=P\left(E_2\right)=\frac{1}{2}, P(E)=0.40 \\ P\left(\frac{E}{E_1}\right)=0.40 \times 0.70=0.28 \\ P\left(\frac{E}{E_2}\right)=0.40 \times 0.75=0.30 \\ P\left(\frac{E_1}{E}\right)= \frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right) +P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{2} \times 0.28}{\frac{1}{2} \times 0.28+\frac{1}{2} \times 0.30} \\ =\frac{\frac{0.28}{2}}{\frac{0.28}{2}+\frac{0.30}{2}}=\frac{0.28}{0.58} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_1}{E}\right)=\frac{14}{29}
Illustration:14.यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हो तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है। (मान लीजिए की सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतन्त्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता \frac{1}{2} है।)
Solution:2 कोटि के चार अवयव हैं।
सारणिकों की संख्या=2^4=16
सारणिक का मान धनात्मक हैः
\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right|
सारणिक का मान धनात्मक होने की प्रायिकता=\frac{3}{16}
Illustration:15.एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं।पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं:
P(A के असफल होने की)=0.2
P(B के अकेले असफल होने की)=0.15
P(A और B के असफल होने की)=0.15
तो,निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
Illustration:15 (i).P(\frac{\text{A असफल}}{\text{B असफल हो चुकी हो}} )
Solution: P(\bar{A})=0.2 \cdots(1) \\ P(\text { अकेले } \bar{B})=P(\bar{B})-P(\bar{A} \cap \bar{B})=0.15 \\ P(\bar{A} \cap \bar{B})=0.15
(2) व (3) सेः
\Rightarrow P(\bar{B})-0.15=0.15 \\ \Rightarrow P(\bar{B})=0.15+0.15 \\ \Rightarrow P(\bar{B})=0.30 \\ P\left(\frac{\overline{A}}{\overline{B}}\right)=\frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} \\ \Rightarrow P\left(\frac{\overline{A}}{\overline{B}}\right)=\frac{0.15}{0.30}=\frac{1}{2}
Illustration:15(ii).P(A के अकेले असफल होने की)
Solution: P(\text { अकेले } \bar{A})=P(\bar{A})-P(\bar{A} \cap \bar{B}) \\ =0.2-0.15 \\ \Rightarrow P(\text { अकेले } \bar{A})=0.05
Illustration:16.थैला 1 में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें तथा थैले II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं।एक गेंद को थैला 1 से थैला 2 में स्थानान्तरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला 2 से निकाली जाती है।निकाली गई गेंद लाल रंग की है।स्थानान्तरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Solution:माना E_1=स्थान्तरित गेंद का लाल होना
E_2 =स्थान्तरित गेंद का काली होना
E=लाल गेंद निकालने की घटना
P\left(E_1\right)=\frac{3}{7}, P\left(E_2\right)=\frac{4}{7} \\ P\left(\frac{E}{E_1}\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, P\left(\frac{E}{E_2}\right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \\ \therefore P\left(\frac{E_2}{E}\right) =\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_1}\right) +P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{E}{E_2}\right)} \\ =\frac{\frac{4}{7} \times \frac{2}{5}}{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{4}{2} \times \frac{2}{5}}\\ =\frac{\frac{8}{35}}{\frac{3}{14}+\frac{8}{35}}=\frac{\frac{8}{35}}{\frac{15+16}{70}} \\=\frac{8}{35} \times \frac{70}{31}=\frac{16}{31} \\ \Rightarrow P\left(\frac{E_2}{E}\right)=\frac{16}{31}
निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए:
Illustration:17.यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) \neq 0 और P\left(\frac{B}{A}\right)=1 तब
(A) A \subset B  (B) B \subset A (C) B=\phi (D) A=\phi
Solution: P\left(\frac{B}{A}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=1 \\ \Rightarrow P(A \cap B)=P(A) \\ \Rightarrow A \cap B=A \Rightarrow A \subset B
अतः विकल्प (A) सही है।
Illustration:18.यदि P\left(\frac{B}{A}\right) > P(B) तब निम्न में से कौन सही हैः
(A) P\left(\frac{B}{A}\right)<P(B) (B) P(A \cap B)< P(A) P(B)
(c) P\left(\frac{B}{A}\right)>P(B) (D) P\left(\frac{B}{A}\right)=P(B)
Solution: P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}>P(A) \\ \Rightarrow P(A \cap B)>P(A) P(B) \\ \Rightarrow \frac{P(A \cap B)}{P(A)}>P(B) \\ \Rightarrow P\left(\frac{B}{A}\right) > P(B)
विकल्प (C) सही है।
Illustration:19.यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A)+P(B)-P(A \text { और } B)
P(A)+P(B)-P(A और B)=P(A),तब
(A) P\left(\frac{B}{A}\right)=1 (B) P\left(\frac{A}{B}\right)=1 (c) P\left(\frac{B}{A}\right)=0 (D) P\left(\frac{A}{B}\right)=0
Solution: P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A) \\ \Rightarrow P(A \cap B)=P(B) \\ \Rightarrow \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=1 \\ \Rightarrow P\left(\frac{A}{B}\right)=1
विकल्प (B) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा 12वीं में प्रायिकता (Probabity in Class 12th),प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12) को समझ सकते हैं।

Probabity in Class 12th

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3.12वीं में प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Probabity in Class 12th),प्रायिकता कक्षा 12 (Probability Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

12वीं में प्रायिकता (Probabity in Class 12th) के इस आर्टिकल में सप्रतिबन्ध प्रायिकता,
प्रायिकता का गुणन नियम,बेज प्रमेय,यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन आदि पर आधारित
प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।