1.समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 (Sum of Arithmetic Progression Class 10),समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योग (Sum of Terms of Arithmetic Progression):

Sum of Arithmetic Progression Class 10

समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 (Sum of Arithmetic Progression Class 10) के इस आर्टिकल में समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 के उदाहरण (Sum of Arithmetic Progression Class 10 Illustrations):

Illustration:1.निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी का योगफल ज्ञात करो।
1,3,5,7,…….12 पदों तक
Solution: 1,3,5,7,…….12 पदों तक
a=1,d=3-1=2, n=12 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ =\frac{12}{2}[2 \times 1+(12-1) \times 2] \\ =6[2+11 \times 2] \\ =6[2+22] \\ =6 \times 24 \\ \Rightarrow S_{12}=144
Illustration:2.निम्नलिखित का योगफल ज्ञात कीजिए:
3+11+19+……….. +803
Solution: 3+11+19+……….. +803
a=3, d=11-3=8, a_n=803 \\ a_n=a+(n-1) d \\ 803=3+(n-1) \times 8 \\ \Rightarrow \frac{803-3}{8}=n-1 \\ \Rightarrow 100=n-1 \\ \Rightarrow n=101 \\ S_n=\frac{n}{2}[a+l] \\ \Rightarrow=\frac{101}{2}[3+803] \\ =\frac{101}{2} \times 806 \\ \Rightarrow S_{101}=40703
Illustration:3.पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Illustration:3(i).समान्तर श्रेढ़ी 9,17,25,…..के कितने पद लिए जायें कि उनका योगफल 636 हो।
Solution: a=9,d=17-9=8, S_n=636\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ 636=\frac{n}{2}[2 \times 9+(n-1) \times 8] \\ \Rightarrow 636 \times 2=n[18+8 n-8] \\ \Rightarrow 1272=8 n^2+10 n \\ \Rightarrow 8 n^2+10 n-1272=0 \\ \Rightarrow 2\left[4 n^2+5 n-636\right]=0 \\ \Rightarrow 4 n^2+5 n-636=0 \\ \Rightarrow 4 n^2+53 n-48 n-636=0 \\ \Rightarrow n(4 n+53)-12(4 n+53)=0 \\ \Rightarrow(4 n+53)(n-12)=0 \\ \Rightarrow 4 n+53=0 \Rightarrow n=-\frac{53}{4} (असम्भव है)
\Rightarrow n-12=0 \Rightarrow n = 12
Illustration:3(ii).समान्तर श्रेढ़ी 63,60,57,……के कितने पद लिए जाएं कि उनका योगफल 693 हो।
Solution: a=63, d=60-63=-3, S_n=693\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[2 \times 63+(n-1)(-3)] \\ \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[126-3 n+3] \\ \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[129-3 n] \\ \Rightarrow 1386=129 n-3 n^2 \\ \Rightarrow 3 n^2-129 n+1386=0 \\ \Rightarrow 3\left(n^2-43 n+462\right)=0 \\ \Rightarrow n^2-28 n-21 n+462=0 \\ \Rightarrow n(n-28)-21(n-28)=0 \\ \Rightarrow (n-21)(n-28)=0 \\ \Rightarrow n-21=0 \Rightarrow n=21 \\ \Rightarrow n-28=0 \Rightarrow n=28 \\ \Rightarrow n=21,28
Illustration:4.किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 है।यदि सार्व अन्तर 9 हो तो समान्तर श्रेढ़ी में पदों की संख्या कितनी है तथा उसका योग क्या है?
Solution: a=17, a_n=350, d=9, n=1? \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 350=17+(n-1) \times 9 \\ \Rightarrow \frac{350-17}{9}=n-1 \\ \Rightarrow \frac{333}{9}=n-1 \\ \Rightarrow 37+1=n \\ \Rightarrow n=38
Illustration:5.1 से 1000 के बीच 3 से भाज्य सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
Solution: a=3, d= 6, a_n=999 , n=?, S_n=? \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 959=3+(n-1) \times 6 \\ \Rightarrow \frac{999-3}{6}=n-1 \\ \Rightarrow n=166+1=167 \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ =\frac{167}{2}[2 \times 3+(167-1) \times 6] \\ =\frac{167}{2}[6+166 \times 6] \\ =\frac{167}{2}(6+996) \\ =\frac{167}{2} \times 1002 \\ =167 \times 501 \\ \Rightarrow S_{167}=83667
Illustration:6.एक समान्तर श्रेढ़ी में प्रथम पद 8 है,nवाँ पद 33 है।तथा पहले n पदों का योग 123 है तो n तथा सार्वअन्तर d को ज्ञात कीजिए।
Solution: a=8,a_n=33, S_n=123 \\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 33=8+(n-1) d \\ \Rightarrow 25=n d-d \\ \Rightarrow d=\frac{25}{n-1} \cdots(1) \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ 123=\frac{n}{2}[2 \times 8+(n-1) d] \\ 246=n[16+n d-d] \\ \Rightarrow 246=16 n+n^2 d-n d \cdots(2)
d का मान समीकरण (2) में रखने परः
\Rightarrow 246=16 n+n(n-1) \times \frac{25}{n-1} \\ \Rightarrow 246 = 16 n+25 n \\ \Rightarrow 246=41 n \\ \Rightarrow n=\frac{246}{41}=6
Illustration:7.280 रु० की राशि चार पुरस्कार देने के लिए रखी गई है।यदि प्रथम पुरस्कार के बाद का प्रत्येक पुरस्कार,अपने ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु० कम हो,तो प्रत्येक पुरस्कार की राशि ज्ञात कीजिए।
Solution: d=-20, n=4, S_n=280\\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ \Rightarrow 280=\frac{4}{2}[2 a+(4-1) \times (-20)] \\ \Rightarrow \frac{280}{2}=2 a-60 \\ \Rightarrow \frac{140+60}{2}=a \Rightarrow a=100 \\ a_2=a+d=110-20=80 \\ a_3=a+2 d=100+2 \times-20=60 \\ a_4=a+3 d=100+3 x-20=40
अतः चार पुरस्कार राशि हैं:100,80,60,40
Illustration:8.एक टेलीविजन सेटों का निर्माता,तीसरे वर्ष 600 टी०वी० तथा सातवें वर्ष में 700 टी०वी० सेटों का उत्पादन करता है।यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है,ज्ञात कीजिए:
(i)प्रथम वर्ष में उत्पादन (ii)10वें वर्ष में उत्पादन (iii)7 वर्षों में कुल उत्पादन
Solution:(i). a_3=600, a_7=700 \\ \Rightarrow a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow a_3=a+(3-1) d \\ \Rightarrow 600=a+2 d \ldots(1) \\ a_7=a+(7-1) d \\ \Rightarrow 700=a+6 d \ldots(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने परः
700-600=6d-2d \\ \Rightarrow \frac{100}{4}=d \Rightarrow d=25
d का मान समीकरण (1) में रखने परः
600=a+2 \times 25 \\ \Rightarrow a=600-50=550
(ii) a_{10}=a+(n-1) d \\ \Rightarrow a_{10}=550+(10-1) \times 25 \\ =550+9 \times 25 \\ =550+225=775 \\ \Rightarrow a_{10}=775
(iii) n=7, S_7= ? \\ S_n=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ \Rightarrow S_7=\frac{7}{2}[2 \times 550+(7-1) \times 25] \\ =\frac{7}{2} [1100+150] \\ =\frac{7}{2} \times 1250 \\ \Rightarrow S_7=4375

Sum of Arithmetic Progression Class 10

Illustration:9.समान्तर श्रेढ़ी 3,5,7,9,……,201 का अन्त से 5वाँ पद लिखिए।
Solution: a=201 , d=7-9=-2, n=5 \\ a_n=a+(n-1) d \\ a_5=201+(5-1) \times-2 \\ =201+4 \times-2 \\ =201-8 \\ \Rightarrow a_5=193
Illustration:10.यदि एक समान्तर श्रेढ़ी के तीन क्रमागत पद \frac{4}{5},a,2 है,तो a का मान लिखिए।
Solution: a=\frac{\frac{4}{5}+2}{2}=\frac{\frac{14}{5}}{2}=\frac{7}{5}
Illustration:11.प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
Solution:प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1000(1000+1)}{2} \\=500500
Illustration:12.क्या संख्याओं का अनुक्रम 5,11,17,23,……..में कोई पद 299 है?
Solution: a=5, d=11-5=6, a_n=299 \\ \Rightarrow a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 299=5+(n-1) \times 6 \\ \Rightarrow \frac{299-5}{6}=n-1 \\ \Rightarrow 49=n-1 \Rightarrow n=50
299 अनुक्रम का 50वाँ पद है।
Illustration:13.चार संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हैं।यदि उनका योग 20 तथा उनके वर्गों का योग 120 हो,तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना समान्तर श्रेढ़ी के चार पद क्रमशः a-3d,a-d,a+d,a+3d हैं।
a-3 d+a-d+a+d+a+3 d=20 \\ \Rightarrow 4 a=20 \Rightarrow a=5 \\ (a-3 d)^2+(a-d)^2+(a+d)^2 +(a+3 d)^2=120 \\ \Rightarrow(5-3 d)^2+(5-d)^2+(5+d)^2+(5+3 d)^2=120 \\ \Rightarrow 25-30 d+9 d^2+25-10 d+d^2+25+10 d+d^2+25+30 d+9 d^2=120 \\ \Rightarrow 100+20 d^2=120 \\ \Rightarrow 20 d^2=120-100 \\ \Rightarrow d^2=\frac{20}{20}=1 \\ \Rightarrow d= \pm 1
जब d=1 तो चार संख्याएँ 5-3×1=2, 5-1=4, 5+1=6,5+3×1=8
2,4,6,8
जब d=-1 तो चार संख्याएँ
5-3×-1=8, 5-1×-1=6, 5+1×-1=4, 5+3×-1=2
8,6,4,2
Illustration:14.यदि एक समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग \frac{3 n^2}{2}+\frac{5 n}{2} हो,तो उसका 25वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: S_n=\frac{3 n^2}{2}+\frac{5 n}{2}\\ S_1 =\frac{3 \times(1)^2}{2}+\frac{5 \times(1)}{2}=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4 \\ S_2=\frac{3 \times(2)^2}{2}+\frac{5 \times(2)}{2}=6+5=11 \\ a_2=S_2-S_1=11-4=7, a=4 \\ d=a_2-a=7-4=3, n=25 \\ a_n=a+(n-1) d \\ =4+(25-1) \times 3 \\ =4+24 \times 3 \\ =4+ 72 \Rightarrow a_{25}=76
Illustration:15.समान्तर श्रेढ़ी 20, 19 \frac{1}{4} , 18 \frac{1}{2} , 17 \frac{3}{4} , \ldots \ldots का कौन-सा पद,प्रथम ऋणात्मक पद है?
Solution: a=20,d=19 \frac{1}{4}-20=-\frac{3}{4}\\ a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 20+(n-1) \left(\frac{-3}{4}\right)<0 \\ \Rightarrow 20-\frac{3}{4} n+\frac{3}{4}<0 \\ \Rightarrow \frac{83}{4}-\frac{3}{4} n<0 \\ \Rightarrow \frac{3}{4} n> \frac{83}{4} \\ \Rightarrow n > \frac{83}{4} \times \frac{4}{3} \\ \Rightarrow n > 27 \frac{1}{3}
से ठीक अधिक 28वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 (Sum of Arithmetic Progression Class 10),समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योग (Sum of Terms of Arithmetic Progression) को समझ सकते हैं।

3.समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 के सवाल (Sum of Arithmetic Progression Class 10 Questions):

Sum of Arithmetic Progression Class 10

(1.)स०श्रे० 12+15+18+……..के 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि किसी स०श्रे० का pवाँ पद \frac{1}{q} तथा qवाँ पद \frac{1}{p} है,तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी के pq पदों का योगफल \frac{1}{2}(p q+1) होगा।
उत्तर (Answer):(1.)810 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 (Sum of Arithmetic Progression Class 10),समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योग (Sum of Terms of Arithmetic Progression) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 (Frequently Asked Questions Related to Sum of Arithmetic Progression Class 10),समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योग (Sum of Terms of Arithmetic Progression) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान्तर श्रेढ़ी का योगफल कक्षा 10 (Sum of Arithmetic Progression Class 10) के इस
आर्टिकल में समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे
और समझने का प्रयास करेंगे।