1.सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test in Statistics),प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test):

Variance Ratio Test-F-Test in Statistics

सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test in Statistics) के इस आर्टिकल में दो सांख्यिकीय प्रतिदर्शों में प्रसरण अनुपात परीक्षण से सार्थकता परीक्षण ज्ञात करने वाले सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Variance Ratio Test-F-Test in Statistics):

Illustration:29.10 बालकों के दो प्रतिदर्शों में दो भिन्न भोजन (D_1 तथा D_2 ) देने पर उसी काल-पक्ष में पौण्ड में भार-वृद्धि निम्नलिखित थी।परीक्षण कीजिए कि क्या उनके प्रसरणों में तथा समान्तर माध्यों में सार्थक अन्तर है?
(In two samples of 10 children,the increases in weight (in lbs.) due to two different kinds of diets (D_1 and D_2 ) in the same period were as under. Find whether their variances and means differ significantly):

Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

प्रसरण अनुपात परीक्षण
S_1^2=\frac{\sum \left(D_1-\bar{D}_1\right)^2}{n-1}=\frac{37.6}{10-1} \approx 4.178 \\ S_2^2=\frac{\sum\left(D_2-\bar{D}_2\right)^2}{n-1}=\frac{15.6}{10-1} \approx 1.733
प्रसरण अनुपात F=\frac{\text{वृहत्तर प्रसरण}}{\text{लघुत्तर प्रसरण}} \\ =\frac{S_1^2}{S_2^2} \\ =\frac{4.178}{1.733} \approx 2.4108 \\ \Rightarrow F \approx 2.411
अधिक प्रसरण वाले प्रतिदर्श का स्वातन्त्र्यांश v_{1}=10-1=9
कम प्रसरण वाले प्रतिदर्श का स्वातन्त्र्यांश v_{2}=10-1=9
F_{0.05} वाली में पहले खाने में v_{2}=9 के सामने और बायें से दाहिने बढ़ते हुए ऊपर v_{1}=9 वाले खाने में नीचे की ओर जो संख्या (3.18) है वही सम्बन्धित सारणी मूल्य है
परिकलित F (2.411) < सारणी F_{0.05} (3.18)
अतः दोनों प्रतिदर्शों के प्रसरण में अन्तर सार्थक नहीं है।
t-परीक्षण
s=\sqrt{\frac{\Sigma d_1^2+\Sigma d_2^2}{n_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{37.6+15.6}{10+10-2}} \\ \Rightarrow s=\sqrt{\frac{53.2}{18}}\approx 1.719 \\ t=\frac{\left|\bar{D}_1-\bar{D}_2\right|}{s} \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|5.8-4.8|}{1.719} \sqrt{\frac{10 \times 10}{10+10}} \\ =\frac{1}{1.719} \times \sqrt{5} \approx \frac{2.236}{1.719} \approx 1.30 \\ \Rightarrow t \approx 1.30 < t_{0.05}
अन्तर सार्थक नहीं है।
Illustration:30.दो प्रसामान्य समग्रों से लिए गए दो यादृच्छिक प्रतिदर्श निम्न प्रकार हैं-समग्रों के प्रसरण के अनुपात ज्ञात कीजिए और यह परीक्षण कीजिए कि क्या दोनों समग्रों का एक समान प्रसरण है।F-परीक्षण का प्रयोग कीजिए:
(Two random samples drawn from two normal populations are as under.Obtain estimates of the variances of the populations and test whether the two populations have the same variance. Use F-test):

Solution:Calculation Table of Difference of Mean and Standard Deviation

प्रसरण अनुपात F=\frac{\text{वृहत्तर प्रसरण आकलन}}{\text{लघुत्तर प्रसरण आकलन}} \\ =\frac{s_2^2}{s_1^2} \\ =\frac{28.545}{13.333} \approx 2.141 \\ \Rightarrow F \approx 2.141 < F_{.05}(=3.11)
वृहत्तर प्रसरण से सम्बद्ध-स्वातन्त्र्य संख्या v_{1}=12-1=11
लघुत्तर प्रसरण से सम्बद्ध-स्वातन्त्र्य संख्या v_{2}=10-1=9
F_{.05} का सारणी मूल्य=3.11
अतः दोनों प्रतिदर्श एक ही मूल समष्टि से चुने गए हैं।

Variance Ratio Test-F-Test in Statistics

Illustration:31.निम्न समंक भारत के दो राज्यों में सरकारी कर्मचारियों के यादृच्छिक प्रतिदर्श से सम्बन्ध रखते हैं।प्रथम,इस परिकल्पना की जाँच कीजिए कि दोनों समग्रों के प्रसरण समान हैं।फिर उक्त जाँच के परिणामों के सन्दर्भ में इस परिकल्पना का परीक्षण कीजिए कि दोनों समष्टियों के माध्य समान हैं:
(The following data relate to a random sample of government employees in two states of the Indian union.First carry out a test of hypothesis that the variance of the two population are equal.In the light of the result of the above test, carry out a test of hypothesis that the means of the two populations are equal):
\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{राज्य (State I)} & \text{राज्य (State II)} \\ \hline \text{प्रतिदर्श-आकार (Sample size)} & 16 & 25 \\ \hline & & \\ \text{प्रतिदर्श कर्मचारियों की औसत } & 440 & 460 \\ \text{ मासिक आय (रु.)} & & \\ \text{(Mean monthly income of sample }& & \\ \text{  employees in Rs.)}& & \\ \hline \text{प्रतिदर्श प्रसरण (sample variance)} & 40 & 42 \\ \hline \end{array}
Solution: state I : n_1=16, \overline{X_1}=440, \sigma_1^2=40
state II : n_2=25, \overline{x_2}=460, \sigma_2^2=42
बेस्सेल संशोधन के पश्चात
s_1^2=\frac{n_1 \sigma^2}{n_1-1}=\frac{16 \times 40}{16-1}=\frac{640}{15} \\ \Rightarrow s_1^2 \approx 42.667 \\ s_2^2=\frac{n_2 \sigma_2^2}{n_2-1}=\frac{25 \times 42}{25-1}=\frac{1050}{24} \\ \Rightarrow s_2^2 \approx 43.75
प्रसरण अनुपात : F=\frac{s_2^2}{s_1^2}=\frac{43.75}{42.667} \\ \Rightarrow F \approx 1.025 \\ v_1=25-1=24, v_2=16-1=15 के लिए 5% का सारणी मूल्य F_{0.05}=2.29 \\ \Rightarrow F \approx 1.025 < F_{.05}(=2.29)
अतः अन्तर सार्थक नहीं है,प्रसरण समान है।
t-परीक्षण
s=\sqrt{\frac{n_1 \sigma_1^2+n_2 \sigma_2^2}{n_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{16 \times 40+25 \times 42}{16+25-2}} \\ =\sqrt{\left(\frac{640+1050}{39}\right)} \\ =\sqrt{\frac{1690}{39}} \approx 6.583 \\ t= \frac{\left|\bar{X}_1-\bar{X}_2\right|}{S} \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|440-460|}{6.583} \times \sqrt{\frac{16 \times 25}{16+25}} \\ =\frac{20}{6.583} \times \sqrt{\frac{400}{41}} \\ \approx \frac{20}{6.583} \times 3.123 \\ \approx \frac{62.46}{6.583} \approx 9.488 \\ \Rightarrow t \approx 9.488>t_{0.05}(=2.021)
दोनों समष्टियों के माध्य समान नहीं हैं।
Illustration:32.यह निर्णय लेने के लिए कि क्या निम्न दोनों प्रतिदर्श एक ही प्रसामान्य समष्टि से लिए गए हैं या नहीं आप स्टूडेन्ट के t-परीक्षण और स्नेडैकाॅर के F-परीक्षण का किस प्रकार प्रयोग करेंगे:
(How will you use Student’s t-test and Snedecor’s F-test to decide whether the following two samples have been drawn from the same normal population?)
\begin{array}{|c|ccc|} \hline & \text{Size} & \text{Mean} & \text{Sum of squares of} \\ & & & \text{deviations from Mean} \\ \hline \text{sample I}: & 9 & 68 & 36 \\ \text{sample II:} & 10 & 69 & 42 \\ \hline \end{array}
Solution: n_1=9, \bar{X}_1=68 , \left(X_{1}-\bar{X}_1\right)^2=36\\ n_2=10, \bar{X}_2=69,\left(X_2-\bar{X}_2\right)^2=42
t-Test
S=\sqrt{\frac{\Sigma\left(X_1-\overline{X_1}\right)^2+\Sigma\left(X_2-\overline{X_2}\right)^2}{n_1+n_2-2}} \\=\sqrt{\frac{36+42}{9+10-2}} \\ =\sqrt{\frac{78}{17}} \approx 2.142 \\ \Rightarrow S \approx 2.142 \\ t=\frac{\left|\overline{X_1}-\overline{X_2}\right|}{s} \times \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|68-69|}{2.142} \times \sqrt{\frac{9 \times 10}{9+10}} \\ =\frac{1}{2.142} \times \sqrt{\frac{90}{19}} \\ \approx \frac{1}{2.142} \times 2.176 \\ \Rightarrow t \approx 1.015 < t_{.05}
F-Test
s_1^2=\frac{\sum\left(X_1-\bar{X}_1\right)^2}{n_1-1}=\frac{36}{9-1}=\frac{36}{8}=4.5 \\ \Rightarrow s_1^2=4-5 \\ s_2^2=\frac{\sum\left(X_2-\bar{X}_2\right)^2}{n_2-1}=\frac{42}{10-1}=\frac{42}{9} \approx 4.667 \\ \Rightarrow s_2^2 \approx 4.667 \\ F=\frac{s_2^2}{s_1^2}=\frac{4.667}{4.5} \approx 1.037 \\ \Rightarrow v_1=10-1=9, v_2=9-1=8
के लिए 5% वाला F का सारणी मान F_{0.05}=3.39 \\ F \approx 1.037< F_{0.05}(=3.39)
दोनों प्रतिदर्श एक ही प्रसामान्य समष्टि से लिए गए हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test in Statistics),प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच पर आधारित सवाल (Questions Based on Variance Ratio Test-F-Test in Statistics):

Variance Ratio Test-F-Test in Statistics

(1.)निम्न सारणी में A और B दो मजदूरों द्वारा प्रतिदिन उत्पादित इकाइयों की संख्या (कुछ दिनों के लिए) दी गई है:

क्या इन परिणामों को इस बात के प्रमाण के रूप में स्वीकार किया जा सकता है कि B अधिक स्थिर (stable) कर्मचारी है? F-test का प्रयोग कीजिए।
(2.)8 अवलोकनों के एक प्रतिदर्श में मूल्यों के प्रतिदर्श-माध्य से विचलनों के वर्गों का जोड़ 84.4 था और 10 अवलोकनों के एक अन्य प्रतिदर्श में माध्य से विचलन-वर्गों का जोड़ 102.6 था।परीक्षण कीजिए कि 5% स्तर पर यह अन्तर सार्थक है या नहीं? (ज्ञात है कि n_1=7 व n_2=9 स्वातन्त्र्यशों के लिए F_{0.05}=3.29 है)
उत्तर (Answers):(1.) F=1.33< F_{0.05}(=3.97) प्रसरण में अन्तर सार्थक नहीं है।इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि B अधिक स्थिर कर्मचारी है।
(2.) F=1.06< F_{0.05}(=3.29)
दोनों प्रसरणों में अन्तर सार्थक नहीं है और प्रतिदर्श एक ही मूल समष्टि से लिये गए हैं।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test in Statistics),प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Frequently Asked Questions Related to Variance Ratio Test-F-Test in Statistics),प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में प्रसरण अनुपात परीक्षण-एफ-जाँच (Variance Ratio Test-F-Test in Statistics)
के इस आर्टिकल में दो सांख्यिकीय प्रतिदर्शों में प्रसरण अनुपात परीक्षण से सार्थकता परीक्षण
ज्ञात करने वाले सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।