1.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Multiple Angle),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles):

Trigonometric Ratios of Multiple Angle

अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Multiple Angle) के इस आर्टिकल में अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों को समझने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे तथा उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के उदाहरण (Trigonometric Ratios of Multiple Angle Examples):

वस्तुनिष्ठ प्रश्न [1 से 21 तक]
Example:1. यदि \sin A=\frac{3}{5} हो,तो sin 2A
(a) \frac{4}{25} (b) \frac{24}{25} (c) \frac{5}{24} (d) \frac{4}{5}
Solution: \sin A=\frac{3}{5} \\ \cos A =\sqrt{1-\sin ^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} \\ =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25-9}{25}} \\ =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow \cos A =\frac{4}{5} \\ \sin 2 A =2 \sin A \cos A \\ =2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{24}{25}
विकल्प (b) सही है।
Example:2.यदि \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}} हो,तो Cos 2A का मान होगाः
(a) \frac{3}{5} (b) \frac{4}{5} (c) \frac{2}{5} (d) 1
Solution: \cos A=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos 2 A =2 \cos ^2 A-1 \\ =2 \times\left(\frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2-1 \\ =2 \times \frac{4}{5}-1=\frac{8}{5}-1 \\ \Rightarrow \cos 2 A =\frac{8-5}{5}=\frac{3}{5}
विकल्प (a) सही है।
Example:3.यदि \sin A=\frac{6}{\sqrt{75}} हो,तो Cos 2A का मान होगा:
(a) \frac{6}{75} (b) \frac{6}{85} (c) –\frac{3}{75} (d) \frac{7}{75}
Solution: \sin A=\frac{6}{\sqrt{75}} \\ \cos A =\sqrt{1-\sin ^2 A} \\ =\sqrt{1-\left(\frac{6}{\sqrt{75}}\right)^2} \\ =\sqrt{1-\frac{36}{75}} \\ =\sqrt{\frac{75-36}{75}} \\ =\sqrt{\frac{39}{75}} \\ =\sqrt{\frac{13}{25}} \\ \cos 2A=\cos ^2 A-\sin ^2 A \\ =\left(\frac{6}{\sqrt{75}}\right)^2-\left(\sqrt{\frac{13}{25}}\right)^2 \\ =\frac{36}{75}-\frac{13}{25}=\frac{36-39}{25} \\ \Rightarrow \cos 2 A =\frac{-3}{75}
विकल्प (c) सही है।
Example:4यदि \tan A=\frac{1}{4} हो,तो \sin 2A का मान होगाः
(a) \frac{17}{8} (b) \frac{8}{17} (c) \frac{18}{17} (d) \frac{16}{17}
Solution: \tan A=\frac{1}{4} \\ \sin 2 A =\frac{2 \tan A}{1+\tan ^2 A} \\ =\frac{2 \times \frac{1}{4}}{1+\left(\frac{1}{4}\right)^2} \\ =\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{16}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{16+1}{16}}=\frac{1}{2} \times \frac{16}{17} \\ \Rightarrow \sin 2 A=\frac{8}{17}
विकल्प (b) सही है।
Example:5.यदि \cos A=\frac{3}{5} हो,तो \cos 3A का मान होगा:
(a) \frac{117}{125} (b)-\frac{44}{125} (c) \frac{44}{125} (d)-\frac{117}{125}
Solution: \cos A=\frac{3}{5} \\ \cos 3 A =4 \cos ^3 A-3 \cos A \\ =4 \times\left(\frac{3}{5}\right)^3-3 \times \frac{3}{5} \\ =4 \times \frac{27}{125}-\frac{9}{5} \\ =\frac{108-225}{125} \\ =-\frac{117}{125} \\ \Rightarrow \cos 3A=-\frac{117}{125}
विकल्प (d) सही है।
Example:6.यदि \sin A=\frac{3}{4} हो,तो \sin 3A का मान होगाः
(a) \frac{9}{16} (b) \frac{9}{32} (c)-\frac{9}{16} (d) \frac{7}{16}
Solution: \sin A=\frac{3}{4} \\ \sin 3 A= 3 \sin A-4 \sin ^3 A \\ = 3 \times \frac{3}{4}-4 \times\left(\frac{3}{4}\right)^3 \\ = \frac{9}{4}-4 \times \frac{27}{64} \\ = \frac{9}{4}-\frac{108}{64} \\ = \frac{144-108}{64} \\ \Rightarrow \sin 3 A =\frac{36}{64}=\frac{9}{16}
विकल्प (a) सही है।
Example:7.यदि \tan A=\frac{1}{5} हो,तो \tan 3A का मान होगाः
(a) \frac{47}{25} (b)\frac{37}{11} (c)\frac{37}{55} (d)\frac{47}{55}
Solution: \tan A=\frac{1}{5} \\ \tan 3 A =\frac{3 \tan A-\tan ^3 A}{1-3 \tan ^2 A} \\ =\frac{3 \times \frac{1}{5}-\left(\frac{1}{5}\right)^3}{1-3 \times\left(\frac{1}{5}\right)^2} \\ =\frac{\frac{3}{5}-\frac{1}{125}}{1-\frac{3}{25}} \\ =\frac{\frac{75-1}{125}}{\frac{25-3}{25}} = \frac{74}{125} \times \frac{25}{22} \\ \Rightarrow \tan 3 A =\frac{37}{55}
विकल्प (c) सही है।
Example:8. \tan 15^{\circ}+\cot 15^{\circ} का मान होगाः
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 1
Solution: \tan 15^{\circ}+\cos t 15^{\circ} \\ =\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}+\frac{\cos 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} \\ =\frac{\sin ^2 15^{\circ}+\cos ^2 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} \\ =\frac{1}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} \times 2 \\ =\frac{2}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4
विकल्प (b) सही है।
Example:9. \sin ^2 24^{\circ}-\sin^2 6^{\circ} का मान होगाः
(a) \frac{\sqrt{3}-1}{4} (b) \frac{\sqrt{5}+1}{8}
(c) \frac{\sqrt{3}+1}{8} (d) \frac{\sqrt{5}-1}{8}
Solution: \sin ^2 24^{\circ}-\sin ^2 6^{\circ} \\ =\sin \left(24^{\circ}+6^{\circ}\right) \sin \left(24^{\circ}-6^{\circ}\right)
[ \because \sin (A+B) \sin (A-B) =\sin ^2 A-\sin ^2 B से]
=\sin 30^{\circ} \sin 18^{\circ} \\ =\frac{1}{2} \times\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right) \quad \left[\because \sin 18^{\circ}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right] \\ =\frac{-1+\sqrt{5}}{8}
विकल्प (d) सही है।
Example:10. 2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13} का मान होगाः
(a) 1 (b) 5 (c)0 (d) 3
Solution: 2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{13}\right) \\ =2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+2 \cos \left(\frac{\frac{3 \pi}{13}+\frac{5 \pi}{13}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{3 \pi}{13}-\frac{5 \pi}{13}}{2}\right) \\ \left[\because \cos C+\cos D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D)}{2}\right)\right] \\ =2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right) \cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+2 \cos \left(\frac{4 \pi}{13}\right) \cos \left(\frac{\pi}{23}\right) \\ =2 \cos \left(\frac{\pi}{13}\right)\left[\cos \left(\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{13}\right)\right] \\ =2 \cos \frac{\pi}{13} \times 2 \cos \left(\frac{\frac{9 \pi}{13}+\frac{4 \pi}{13}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{9 \pi}{13}-\frac{4 \pi}{13}}{2}\right) \\ =4 \cos \frac{\pi}{13} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{26}\right) \\ =4 \cos \frac{\pi}{13} \times 0 \times \cos \left(\frac{5 \pi}{26}\right) \\ =0
विकल्प (c) सही है।

Trigonometric Ratios of Multiple Angle

Example:11.यदि \tan A=\frac{3}{4} ,तो \cos 2A का मान होगाः
(A) \frac{7}{25} (B) \frac{15}{7} (C) \frac{24}{25} (D) \frac{25}{24}
Solution: \tan A=\frac{3}{4} \\ \cos 2 A =\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A} \\ =\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}} \\ =\frac{\frac{16-9}{16}}{\frac{16+9}{16}} \\ =\frac{7}{16} \times \frac{16}{25}=\frac{7}{25}
विकल्प (A) सही है।
Example:12.यदि \cos \theta=\frac{3}{5} ,तो \sin 3 \theta का मान होगाः
(A) \frac{117}{125} (B) –\frac{117}{125} (C) –\frac{44}{125} (D) \frac{44}{125}
Solution: \cos \theta =\frac{3}{5} \\ \sin \theta =\sqrt{1-\cos ^2 \theta} \\ = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5} \right)^2} \\ = \sqrt{1-\frac{9}{25}} \\ =\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}} \\ \Rightarrow \sin \theta =\frac{4}{5} \\ \sin 3 \theta =-4 \sin ^3 \theta+3 \sin \theta \\ = -4 \times\left(\frac{4}{5}\right)^3+3 \times \frac{4}{5} \\ =-4 \times \frac{64}{125}+\frac{12}{5} \\ = -\frac{256}{125}+\frac{12}{5} \\ =\frac{-256+300}{125} \\ \Rightarrow \sin 3 \theta =+\frac{44}{125}
विकल्प (D) सही है।
Example:13. \frac{\sin ^2 3 A}{\sin ^2 A}-\frac{\cos ^2 3 A}{\cos ^2 A} का मान हैः
(A) \cos 2A  (B) 8 \cos 2A (C) \frac{1}{8} \cos 2A (D) \frac{1}{4} \cos 2A
Solution: \frac{\sin ^2 3 A}{\sin ^2 A}-\frac{\cos ^2 3 A}{\cos ^2 A} \\ =\frac{\left[3 \sin A-4 \sin ^3 A\right]^2}{\sin ^2 A}-\frac{\left[4 \cos ^3 A-3 \cos A\right]^2}{\cos ^2 A} \\ =\frac{\sin ^2 A\left(3-4 \sin ^2 A\right)^2}{\sin ^2 A}-\frac{\cos ^2 A\left(4 \cos ^2 A-3\right)^2}{\cos ^2 A} \\ =\left(3-4 \sin ^2 A\right)^2-\left(4 \cos ^2 A-3\right)^2\\=\left(3-4 \sin ^2 A-4 \cos ^2 A+3\right)\left(3-4 \sin ^2 A+4 \cos ^2 A-3\right) \\ =\left[6-4\left(\sin ^2 A+\cos ^2 A\right)\right]\left(4 \cos ^2 A-4 \sin ^2 A\right) \\ =(6-4) \times 4\left(\cos ^2 A-\sin ^2 A\right)=8 \cos 2 A
विकल्प (B) सही है।
Example:14.यदि \sin 2 \theta=\cos 3 \theta हो जहाँ \theta न्यून कोण है तब \sin \theta का मान है:
(A) \frac{\sqrt{5}-1}{4}    (B)-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)   (C) \frac{\sqrt{5}+1}{4}     (D)-\frac{\sqrt{5}+1}{4}
Solution: \sin 2 \theta=\cos 3 \theta \\ \Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta\left(4 \cos ^2 \theta-3\right)-2 \sin \theta \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \cos \theta\left[4 \cos ^2 \theta-3-2 \sin \theta\right]=0 \\ \Rightarrow 4 \cos ^2 \theta-2 \sin \theta-3=0 \\ \Rightarrow 4\left(1-\sin ^2 \theta\right)-2 \sin \theta-3=0 \\ \Rightarrow 4-4 \sin ^2 \theta-2 \sin \theta-3=0 \\ \Rightarrow-4 \sin ^2 \theta-2 \sin \theta+1=0 \\ \Rightarrow-\left(4 \sin ^2 \theta+2 \sin \theta-1\right)=0 \\ \Rightarrow 4 \sin ^2 \theta+2 \sin \theta-1=0 \\ \sin \theta =\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4 \times 4 \times-1}}{2 \times 4} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{8} \\ =\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} \\ =\frac{-2 \pm 2 \sqrt{5}}{8} \\ =\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}
\theta न्यून कोण है अतः \sin \theta धनात्मक मान होगाः
\sin \theta=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}
विकल्प (A) सही है।
Example:15. \sin ^2 \frac{\theta}{2} का मान हैः
(A)1-\cos ^2 \theta (B)1-\cos \theta (C) \frac{1+\cos \theta}{2} (D) \frac{1+\cos \theta}{2}
Solution: \sin ^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}
विकल्प (D) सही है।
Example:16. 8 \sin \frac{x}{8} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{8} का मान हैः
(A) 8 \sin x (B) \sin x  (C) \cos x  (D) 8 \cos x
Solution: 8 \sin \frac{x}{8} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{8} \\ =4\left(2 \sin \frac{x}{8} \cos \frac{x}{8}\right) \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \\ =4\left(\sin \frac{x}{4}\right) \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \\ =2\left(2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}\right) \cos \frac{x}{2} \\ =2\left(\sin \frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2} \\ =\sin x
विकल्प (B) सही है।
Example:17. \frac{1-\tan ^2 \frac{\pi}{8}}{1+\tan ^2 \frac{\pi}{8}} का मान हैः
(A)\frac{1}{2} (B)2 (C)0 (D)\frac{1}{\sqrt{2}}
Solution: \frac{1-\tan ^2 \frac{\pi}{8}}{1+\tan ^2 \frac{\pi}{8}} \\ =\cos \left(2 \times \frac{\pi}{8}\right)=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}
विकल्प (D) सही है।
Example:18. (\cos A+\cos B)^2+(\sin A-\sin B)^2 का मान है:
(A) 4 \cos ^2\left(\frac{A-B}{2}\right) (B) 4 \cos ^2\left(\frac{A+B}{2}\right)
(C) 4 \sin ^2\left(\frac{A-B}{2}\right) (D)4 \sin ^2\left(\frac{A+B}{2}\right)
Solution: (\cos A+\cos B)^2+(\sin A-\sin B)^2 \\ =\cos ^2 A+\cos ^2 B+2 \cos A \cos B+\sin ^2 A+\sin ^2 B-2 \sin A \sin B \\ =\left(\cos ^2 A+\sin ^2 A\right)+\left(\cos ^2 B+\sin ^2 B\right) +2(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \\ =1+1+2 \cos (A+B) \\ = 2[1+\cos (A+B)] \\ = 2 \times 2 \cos ^2\left(\frac{A+B}{2}\right)=4 \cos ^2\left(\frac{A+B}{2}\right)
विकल्प (B) सही है।
Example:19. \sin 2 \theta का मान हैः
(A) \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^2 \theta} (B) \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}
(c) \frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta} (D)\frac{1+\tan ^2 \theta}{1-\tan ^2 \theta}
Solution: \sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}
विकल्प (B) सही है।
Example:20. \sin ^2 \frac{\pi}{8}+\sin ^2 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^2 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^2 \frac{7 \pi}{8} का मान हैः
(A) 2 (B)0 (C) 1 (D)-1
Solution: \sin ^2 \frac{\pi}{8}+\sin ^2 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^2 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^2 \frac{7 \pi}{8} \\ =\sin ^2 \frac{\pi}{8}+1-\cos ^2\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+1-\cos ^2 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^2 \frac{7 \pi}{81} \\ =\left(\sin ^2 \frac{\pi}{8}-\cos ^2 \frac{3 \pi}{8}\right)+2-\left(\cos ^2 \frac{5 \pi}{8}-\sin ^2 \frac{7 \pi}{8}\right) \\ =-\cos \left(\frac{\pi}{8}+\frac{3 \pi}{8}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{8}-\frac{\pi}{8}\right)+2-\cos \left(\frac{5 \pi}{8}+\frac{7 \pi}{8}\right) \cos \left(\frac{5 \pi}{8}-\frac{7 \pi}{8}\right)
\left[\because \cos (A+B) \cos (A-B)=\cos ^2 A-\sin ^2 B \text{से } \right]
=-\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+2-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ =-0 \times \frac{1}{\sqrt{2}}+2-\frac{1}{\sqrt{2}} \times 0=2
विकल्प (A) सही है।
Example:21. 1+\cos ^2 2 A का मान बराबर हैः
(A)\sin ^4 A+\cos ^4 A (B) \sin ^2 2 A
(C)2\left(\cos ^4 A+\sin ^4 A\right) (D) \frac{1}{2}\left(\cos ^4 A+\sin ^4 A\right)
Solution: 1+\cos ^2 2 A \\ =\left(\sin ^2 A+\cos ^2 A\right)^2+\left(\cos ^2 A-\sin ^2 A\right)^2 \\ =\sin ^4 A+\cos ^4 A+2 \sin ^2 A \cos ^2 A+\cos ^4 A +\sin ^4 A-2 \sin ^2 A \cos ^2 A \\ =2\left(\sin ^4+\cos ^4 A\right)
विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Multiple Angle),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) को समझ सकते हैं।

3.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Trigonometric Ratios of Multiple Angle):

Trigonometric Ratios of Multiple Angle

(1.)मान ज्ञात कीजिए:
\tan 75^{\circ}+\cot 75^{\circ}
(2.)मान ज्ञात कीजिए:
\sin ^4 \frac{\pi}{8}+\sin ^4 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{7 \pi}{8}
उत्तर (Answers): (1.) 4 (2.) \frac{3}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Multiple Angle),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Ratios of Multiple Angle),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Multiple Angle) के
इस आर्टिकल में अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों को समझने के
लिए कुछ सवालों को हल करेंगे तथा उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।