Trigonometric Ratio of Multiple Angles
1.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Multiple Angles),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles):
अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Multiple Angles) के इस आर्टिकल में कोण 2A,3A,4A आदि पर आधारित त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात के साधित उदाहरण (Trigonometric Ratio of Multiple Angles Solved Illustrations):
Illustration:1.यदि \sin A=\frac{12}{13} ,तो sin 2A तथा cos 2A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \sin A=\frac{12}{13} \\ \cos A =\sqrt{1-\sin ^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} \\ =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{169-144}{169}} \\ =\pm \sqrt{\frac{25}{169}} \\ \Rightarrow \cos A =\pm \frac{5}{13} \\ \sin 2A=2 \sin A \cos A \\ =2 \times \frac{12}{13} \times \pm \frac{5}{13} \\ \Rightarrow \sin 2 A = \pm \frac{120}{169} \\ \cos 2 A =1-2 \sin ^2 A \\ =1-2 \times\left(\frac{12}{13}\right)^2 \\ =1-2 \times \frac{144}{169} \\ =\frac{169-288}{169} \\ \Rightarrow \cos 2 A=-\frac{119}{169}
Illustration:2.यदि \tan A=\frac{1}{4} ,तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
Illustration:2(i). \tan 2 A
Solution: 2 \tan 2A \\ \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \\ =\frac{2 \times \frac{1}{4}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2} \\ =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{16-1}{16}} \\ =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}}=\frac{1}{2} \times \frac{16}{15} \\ \Rightarrow \tan 2 A=\frac{16}{30} \\ \Rightarrow \tan 2 A=\frac{8}{15}
Illustration:2(ii). \tan 3 A
Solution: \tan 3 A \\ \tan 3 A =\frac{3 \tan A-\tan ^3 A}{1-3 \tan ^2 A} \\ =\frac{3 \times \frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}\right)^3}{1-3 \times\left(\frac{1}{4}\right)^2} \\ =\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{64}}{1-\frac{3}{16}} \\ =\frac{\frac{48-1}{64}}{\frac{16-3}{16}}=\frac{\frac{47}{64}}{\frac{13}{16}} \\ =\frac{47}{64} \times \frac{16}{13}=\frac{47}{4} \times \frac{1}{13} \\ \Rightarrow \tan 3 A=\frac{47}{52}
Illustration:3.यदि \tan A=\sqrt{3} ,तो sin 2 A तथा cos 2 A का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \sin 2 A=\frac{2 \tan A}{1+\tan ^2 A} \\ =\frac{2 \times \sqrt{3}}{1+(\sqrt{3})^2} \\ =\frac{2 \sqrt{3}}{1+3}=\frac{2 \sqrt{3}}{4} \\ \Rightarrow \sin 2 A=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos 2 A=\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A} \\ =\frac{1-(\sqrt{3})^2}{1+(\sqrt{3})^2} \\ =\frac{1-3}{1+3}=-\frac{2}{4} \\ \Rightarrow \cos 2 A=-\frac{1}{2}
Illustration:4.यदि \tan A=\frac{1}{7} और \tan B=\frac{1}{3} तो सिद्ध कीजिए किः
\cos 2A=\sin 4B
Solution: \cos 2 A=\sin 4B \\ \text{L.H.S.} \cos 2A \\ =\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A} \\ =\frac{1-\left(\frac{1}{7}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{7}\right)^2} \\ =\frac{1-\frac{1}{49}}{1+\frac{1}{49}} \\ =\frac{\frac{49-1}{49}}{\frac{49+1}{49}}=\frac{48}{50} \\ \cos 2 A=\frac{24}{25}
R.H.S. \sin 4B=2 \sin 2 B \cos 2 B \\ =2 \times \frac{2 \tan B}{1+\tan ^2 B} \times \frac{1-\tan ^2 B}{1+\tan ^2 B} \\ =4 \times \frac{\frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2} \times \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2} \\ =4 \times \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{9}} \times \frac{1-\frac{1}{9}}{1+\frac{1}{9}} \\ =\frac{\frac{4}{3}}{\frac{9+1}{9}} \times \frac{\frac{9-1}{9}}{\frac{2+1}{5}} \\ =\frac{4}{3} \times \frac{9}{10} \times \frac{\frac{8}{9}}{10} \\ =\frac{96}{100} \\ \Rightarrow \sin 4 B=\frac{24}{25}
L.H.S. = R.H.S.
सिद्ध कीजिए: [प्रश्न 5 से 18]
Illustration:5. \frac{\sin 2 A}{1-\cos 2 A}=\cot A
Solution: \frac{\sin 2 A}{1-\cos 2 A}=\cot A \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin 2 A}{1-\cos 2 A} \\ =\frac{2 \sin 2 A}{1-\left(1-2 \sin ^2 A\right)} \quad[\sin 2 A=2 \sin A \cos A ] \\ =\frac{2 \sin A \cos A}{1-1+2 \sin ^2 A} \quad\left[\cos 2 A=1-2 \sin ^2 A\right] \\ =\frac{2 \sin A \cos A}{2 \sin^ 2 A} \\ =\frac{\cos A}{\sin A} \\ =\cot A=R.H.S
Illustration:6. \tan A+\cot A =2 \operatorname{cosec} 2 A
Solution: \tan A+\cot A=2 \operatorname{cosec} 2 A \\ \text { L.H.S. } \tan A+\cot A \\ =\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}\\ =\frac{\sin ^2 A+\cos ^2 A}{\sin A \cos A} \\ =\frac{2}{2 \sin A \cos A} =\frac{2}{\sin 2 A}[2 \sin A \cos A=\sin 2 A] \\ =2 \operatorname{cosec} 2 A=R.H.S.
Illustration:7. \frac{1+\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)}{1-\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)} =\operatorname{cosec} 2 A
Solution: \frac{1+\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)}{1-\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)} =\operatorname{cosec} 2 A \\ \text { L.H.S. } \frac{1+\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)}{1-\tan ^2 \left(45^{\circ}-A\right)} \\ \frac{1}{\frac{1-\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)}{1+\tan ^2\left(45^{\circ}-A\right)} } \\=\frac{1}{\cos 2\left(45^{\circ}-A\right)}\left[\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A}=\cos 2 A\right] \\ =\frac{1}{\cos \left(90^{\circ}-2 A\right)} \\ =\frac{1}{\sin 2 A} \ =\operatorname{cosec} 2 A= R.H.S
Illustration:8. \cot A-\tan A=2 \cot 2 A
Solution: \cot A-\tan A=2 \cot 2 A \\ \text { L.H.S. } \cot A-\tan A \\ =\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{\sin A}{\cos A} \\ =\frac{\cos ^2 A-\sin ^2 A}{\sin A \cos A} \\ =\frac{\cos 2 A}{\sin A \cos A}\left[\cos ^2 A-\sin ^2 A=\cos 2 A\right] \\ =\frac{2 \cos 2 A}{2 \sin A \cos A} \\ =\frac{2 \cos 2 A}{\sin 2 A} \\ =2 \cot 2 A=R.H.S.
Illustration:9. \tan \left(45^{\circ}+A\right)-\tan \left(45^{\circ}-A\right) =2 \tan 2 A
Solution: \tan \left(45^{\circ}+A\right)-\tan \left(45^{\circ}-A\right)=2 \tan 2 A \\ \text{ L.H.S. } \tan \left(45^{\circ}+A\right)-\tan \left(45^{\circ}-A\right) \\ =\frac{\tan 45^{\circ}+\tan A}{1-\tan 45^{\circ} \tan A}-\frac{\tan 45^{\circ}-\tan A}{1+\tan 45^{\circ} \tan A} \\ =\frac{1+\tan A}{1-\tan A}-\frac{1-\tan A}{1+\tan A} \\ =\frac{(1+\tan A)^2-(1-\tan A)^2}{(1-\tan A)(1+\tan A)} \\ =\frac{1+\tan ^2 A+2 \tan A-1-\tan ^2 A+2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \\ =\frac{4 \tan A}{1-\tan ^2 A} \\ =2\left(\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A}\right) \\ =2 \tan ^2 A= R.H.S.
Illustration:10.\frac{\cos A+\sin A}{\cos A-\sin A}-\frac{\cos A-\sin A}{\cos A+\sin A}=2 \tan 2A
Solution: \frac{\cos A+\sin A}{\cos A-\sin A}-\frac{\cos A-\sin A}{\cos A+\sin A}=2 \tan 2 A \\ \text { L.H.S. } \frac{\cos A+\sin A}{\cos A-\sin A}-\frac{\cos A-\sin A}{\cos A+\sin A} \\ =\frac{(\cos A+\sin A)^2-(\cos A-\sin A)^2}{(\cos A-\sin A)(\cos A+\sin A)} \\ =\frac{\cos ^2 A+\sin ^2 A+2 \sin A \cos A-\cos ^2 A-\sin ^2 A+2 \sin A \cos A}{\cos ^2 A-\sin ^2 A} \\ =\frac{4 \sin A \cos A}{\cos ^2 A-\sin ^2 A} \\ =\frac{2 \sin 2A}{\cos 2 A}\left[\because 2 \sin A \cos A=\sin 2 A, \cos ^2 A-\sin ^2 A=\cos 2A\right] \\ 2 \tan 2 A=R.H.S.
Illustration:11. 1+\cos ^2 2 A=2\left(\cos ^4 A+\sin ^4 A\right)
Solution: 1+\cos ^2 2 A=2\left(\cos ^4 A+\sin ^4 A\right) \\ \text{L.H.S. } 1+\cos ^2 2 A \\ =1+\left(2 \cos ^2 A-1\right)^2 \quad\left[\because \cos 2 A=2 \cos ^2 A-1\right] \\ =1+4 \cos ^4 A+1-4 \cos ^2 A \\ =4 \cos ^4 A+2-4 \cos ^2 A \\ =4 \cos ^4 A+2-4\left(1-\sin ^2 A\right) \quad \left[\because \cos ^2 A=1-\sin ^2 A\right] \\ =4 \cos ^4 A+2-4+4 \sin ^2 A \\ =4 \cos ^4 A-2+4 \sin ^2 A \\ =2\left(2 \cos ^4 A-1+2 \sin ^2 A\right) \\ =2\left[2 \cos ^4 A-\left(\sin ^2 A+\cos ^2 A\right)^2+2 \sin ^2 A\right] \quad\left[\because \sin ^2 A+\cos ^2 A=1\right] \\ =2\left[2 \cos ^4 A-\sin ^4 A-\cos ^4 A-2 \sin ^2 A \cos ^2 A+2 \sin ^2 A\right] \\ =2\left[\cos ^4 A-\sin ^4 A+2 \sin ^2 A\left(1-\cos ^2 A\right)\right] \\ =2\left[\cos ^4 A-\sin ^4 A+2 \sin ^2 A \sin ^2 A\right] \\ =2\left[\cos ^4 A-\sin ^4 A+2 \sin ^4 A\right] \\ =2\left(\cos ^4 A+\sin ^4 A\right)=R.H.S.
Illustration:12. \sec \left(45^{\circ}+A\right) \sec \left(45^{\circ}-A\right)=2 \sec 2 A
Solution: \sec \left(45^{\circ}+A\right) \sec \left(45^{\circ}-A\right)=2 \sec 2 A \\ \text { L.H.S } \sec \left(45^{\circ}+A\right) \sec \left(45^{\circ}-A\right) \\ =\frac{1}{\cos \left(45^{\circ}+A\right) \cos \left(45^{\circ}-A\right)} \\ =\frac{1}{\left(\cos 45^{\circ} \cos A-\sin 45^{\circ} \sin A\right)\left(\cos 45^{\circ} \cos A+\sin 45^{\circ} \sin A\right)} \\ =\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos A-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin A\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos A+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin A\right)} \\ =\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos A-\sin A) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos A+\sin A)} \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}\left(\cos ^2 A-\sin ^2 A\right)} \\ =\frac{2}{\cos 2 A} \quad\left[\because \cos ^2 A-\sin ^2 A=\cos 2 A\right] \\ =2 \sec 2 A= R.H.S.
Illustration:13. \frac{1+\sin 2 A-\cos 2 A}{1+\sin 2 A+\cos 2 A}=\tan A
Solution: \frac{1+\sin 2 A-\cos 2 A}{1+\sin 2 A+\cos 2 A}=\tan A\\ \text { L.H.S. } \frac{1+\sin 2 A-\cos 2 A}{1+\sin 2 A+\cos 2 A} \\ =\frac{1+2 \sin A \cos A-\left(1-2 \sin ^2 A\right)}{1+2 \sin A \cos A+2 \cos ^2 A-1} [\because \sin 2 A=2 \sin A \cos A, \cos 2 A=1-2 \sin ^2 A =2 \cos ^2 A-1] \\ =\frac{1+2 \sin A \cos A-1+2 \sin ^2 A}{2 \sin A \cos A+2 \cos ^2 A} \\ =\frac{2 \sin A \cos A+2 \sin ^2 A}{2 \cos A \cos A+\sin A)} \\ =\frac{2 \sin A(\cos A+\sin A)}{2 \cos A(\cos A+\sin A)} =\tan A=R.H.S.
Illustration:14. \frac{\sec 8 A-1}{\sec 4 A-1}=\frac{\tan 8 A}{\tan 2 A}
Solution: \frac{\sec 8 A-1}{\sec 4 A-1}=\frac{\tan 8 A}{\tan 2 A} \\ \text { L.H.S. } \frac{\sec 8 A-1}{\sec 4 A-1} \\ \quad=\frac{\frac{1}{\cos 8 A}-1}{\frac{1}{\cos 4 A}-1} \quad\left[\because \sec A=\frac{1}{\cos A}\right] \\ =\frac{\frac{1-\cos 8 A}{\cos 8 A}}{\frac{1-\cos 4 A}{\cos 4 A}} \\ =\frac{(1-\cos 8 A) \cos 4 A}{\cos 8 A(1-\cos 4 A)} \\ =\frac{\left[1-\left(1-2 \sin ^2 4 A\right) \cos 4 A\right]}{\cos 8 A\left[1-\left(1-2 \sin ^2 2 A\right)\right]}\left[\cos 2 A=1-2 \sin ^2 A=2 \cos^2 A-1\right] \\=\frac{\left(1-1+2 \sin ^2 A \right) \cos 4 A}{\cos 8 A\left(1-1+2 \sin ^2 2 A\right)} \\ =\frac{2 \sin ^2 4 A \cos 4 A}{\cos 8 A \cdot 2 \sin ^2 2 A} \\ =\frac{(2 \sin 4 A \cos 4 A) \sin 4 A}{\cos 8 A \cdot 2 \sin ^2 2 A} \\ =\frac{\sin 8 A \sin 4 A}{\cos 8 A \cdot 2 \sin ^2 2 A} \quad[\because 2 \sin A \cos A=\sin 2 A] \\ =\tan 8 A \cdot \frac{1}{\frac{2 \sin ^2 2 A}{\sin 4 A}} \\ =\tan 8 A \cdot \frac{1}{\left(\frac{2 \sin ^2 2 A}{2 \sin 2 A \cos 2 A}\right)} \\ =\tan 8 A \cdot \frac{1}{\left(\frac{\sin 2 A}{\cos 2 A}\right)} \\ =\frac{\tan 8 A }{\tan 2 A} = R.H.S.
Illustration:15. \sin ^2 A+\sin ^2\left(120^{\circ}+A\right)+\sin ^2\left(120^{\circ}-A\right)=\frac{3}{2}
Solution: \sin ^2 A+\sin ^2\left(120^{\circ}+A\right)+\sin ^2\left(120^{\circ}-A\right)=\frac{3}{2} \\ \text { L.H.S. } \sin ^2 A+\sin ^2\left(120^{\circ}+A\right)+\sin ^2\left(120^{\circ}-A\right) \\ =\sin ^2 A+\left[\sin \left(90^{\circ}+30^{\circ}+A\right)\right]^2+\left[\sin \left(90^{\circ}+30^{\circ}-A\right)\right]^2 \\ =\sin ^2 A+\left[\cos \left(30^{\circ}+A\right)\right]^2+\left[\cos \left(30^{\circ}-A\right)\right]^2 \\ =\sin ^2 A+\left[\cos 30^{\circ} \cos A-\sin 30^{\circ} \sin A\right]^2+\left[\cos 30^{\circ} \cos A+\sin 30^{\circ} \sin A\right]^2 \\ =\sin ^2 A+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A-\frac{1}{2} \sin A\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A+\frac{1}{2} \sin A\right)^2 \\ =\sin ^2 A+\frac{3}{2} \cos ^2 A+\frac{1}{4} \sin ^2 A-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A \sin A +\frac{3}{4} \cos ^2 A+\frac{1}{4} \sin ^2 A+ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A \sin A \\ =\sin ^2 A+\frac{3}{2} \cos ^2 A+\frac{1}{2} \sin ^2 A \\ =\frac{3}{2} \sin ^2 A+\frac{3}{2} \cos ^2 A \\ =\frac{3}{2}\left(\sin ^2 A+\cos ^2 A\right)=\frac{3}{2}=R.H.S.
Illustration:16. \sin A \sin \left(60^{\circ}-A\right) \sin \left(60^{\circ}+A\right)=\frac{1}{4} \sin 3 A
Solution: \sin A \sin \left(60^{\circ}-A\right) \sin \left(60^{\circ}+A\right)=\frac{1}{4} \sin 3 A \\ \text{L.H.S.} \sin A \sin \left(60^{\circ}-A\right) \sin \left(60^{\circ}+A\right) \\ =\sin A\left(\sin ^2 60^{\circ}-\sin ^2 A\right) \left[\because \sin (A+B) \sin (A-B)=\sin^2 A-\sin ^2 B\right] \\ =\sin A\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\sin ^2 A\right] \\ =\sin A\left[\frac{3}{4}-\sin ^2 A\right]\\=\frac{3 \sin A-4 \sin^3 A}{4} \\ =\frac{1}{4} \sin 3 A \quad\left[\because 3 \sin ^3 A-4 \sin ^3 A=\sin 3 A\right] =R.H.S.
Illustration:17. \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 80^{\circ}=3
Solution: \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 80^{\circ}=3 \\ \text { L.H.S } \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 60^{\circ} \tan 80^{\circ} \\ = \sqrt{3} \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ} \\=\frac{\sqrt{3}\left(2 \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ}\right) \sin 80^{\circ}}{\sqrt{3}\left[\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}\right) \cos 80^{\circ}} \\ \frac{\sqrt{3}\left[\cos \left(20^{\circ}-40^{\circ}\right)-\cos \left(20^{\circ}+40^{\circ}\right)\right] \sin 80^{\circ}}{\left[\cos \left(20^{\circ}+40^{\circ}\right) +\cos \left(20^{\circ}-40^{\circ}\right)\right] \cos 80^{\circ}} \\ =\frac{\sqrt{3}\left(\cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ}\right) \sin 80^{\circ}}{\left(\cos 60^{\circ}+\cos 20^{\circ}\right) \cos 80^{\circ}} \\ =\frac{\sqrt{3}\left(\cos 20^{\circ}-\frac{1}{2}\right) \sin 80^{\circ}}{\left(\frac{1}{2}+\cos 20^{\circ}\right) \cos 80^{\circ}} \\ =\frac{\sqrt{3}\left(\frac{1}{2} \times 2 \cos 20^{\circ} \sin 80^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 80^{\circ}\right)}{\left(\frac{1}{2} \cos 80^{\circ}+\frac{1}{2} \times 2 \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ}\right)} \\ =\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} \frac{\left[\sin \left(80^{\circ}+20^{\circ}\right)+\sin \left(80^{\circ}-20^{\circ} \right)\right.}{\left[\cos 80^{\circ}+\cos \left(20^{\circ}+80^{\circ}\right)+\cos \left(20^{\circ}-80^{\circ} \right)\right]} \\ =\frac{\sqrt{3}\left(\sin 100^{\circ}+\sin 60^{\circ}-\sin 80^{\circ}\right)}{\left(\cos 80^{\circ}+\cos 100^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right)} \\ =\frac{\sqrt{3}\left[\sin \left(180^{\circ}-80^{\circ} \right)+\sin 60^{\circ}-\sin 80^{\circ}\right]}{\left[\cos 80^{\circ}+\cos \left(180^{\circ}-80^{\circ} \right)+\cos 60^{\circ}\right]} \\ =\frac{\sqrt{3}\left[\sin 80^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin 80^{\circ}\right]}{\left[\cos 80^{\circ}-\cos 80^{\circ}+\frac{1}{2}\right]} \\=\frac{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=3= R.H.S.
Illustration:18. \tan A+\tan \left(60^{\circ}+A\right)+\tan \left(120^{\circ}+A\right)=3 \tan 3 A
Solution: \tan A+\tan \left(60^{\circ}+A\right)+\tan \left(120^{\circ}+A\right) =3 \tan 3 A \\ \text { L.H.S. } \tan A+\tan \left(60^{\circ}+A\right)+\tan \left(120^{\circ}+A\right) \\ =\tan A+\tan \left(60^{\circ}+A\right)+\tan \left[180^{\circ}-\left(60^{\circ}-A\right)\right] \\=\tan A+\frac{\tan 60^{\circ}+\tan A}{1-\tan 60^{\circ} \tan A}-\tan \left(60^{\circ}-A\right)\\=\tan A+\frac{\sqrt{3}+\tan A}{1-\sqrt{3} \tan A}-\frac{\tan 60^{\circ}-\tan A}{1+\tan 60^{\circ} \tan A} \\ =\tan A+\frac{\sqrt{3}+\tan A}{1-\sqrt{3} \tan A}-\frac{\sqrt{3}-\tan A}{1+\sqrt{3} \tan A} \\ =\tan A+\frac{(\sqrt{3}+\tan A)(1+\sqrt{3} \tan A)-(\sqrt{3}-\tan A)(1-\sqrt{3} \tan A)}{(1-\sqrt{3} \tan A)(1+\sqrt{3} \tan A)} \\=\tan A+\left( \frac{\sqrt{3}+3 \tan A+\tan A+\sqrt{3} \tan ^2 A-\sqrt{3}+3 \tan A+\tan A-\sqrt{3} \tan ^2 A}{1-3 \tan ^2 A}\right) \\ =\tan A+\frac{6 \tan A+2 \tan A }{1-3 \tan ^2 A} \\ =\frac{\tan A-3 \tan ^3 A+6 \tan A+2 \tan A}{1-3 \tan ^2 A} \\ =\frac{9 \tan A-3 \tan ^3 A}{1-3 \tan ^2 A} \\ =\frac{3\left(3 \tan A-\tan ^3 A\right)}{1-\tan 3 A} \\ =3 \tan 3A=R.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Multiple Angles),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) को समझ सकते हैं।
3.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Trigonometric Ratio of Multiple Angles):
(1.) a \cos 2 A+b \sin 2 A का मान ज्ञात कीजिए जबकि \tan A=\frac{b}{a}
(2.)सिद्ध कीजिए कि:
\frac{1+\sin 2 A}{1-\sin 2 A}=\tan ^2\left(\frac{\pi}{4}+A\right)
उत्तर (Answer):(1.)a
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Multiple Angles),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Trigonometry Ratio of Compound Angles
4.अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Multiple Angles),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अपवर्त्य कोण किसे कहते हैं? (What is the Multiple Angle?):
उत्तर:कोण A के गुणज अर्थात् 2A,3A,4A,….. अपवर्त्य कोण कहलाते हैं।
प्रश्न:2.अपवर्तक कोण की परिभाषा दीजिए। (Define the Sub-Multiple Angle):
उत्तर:कोण A के सहगुणज कोण अर्थात् कोण \frac{A}{2}, \frac{A}{3}, \frac{A}{4}, \cdots अपवर्तक कोण कहलाते हैं।
प्रश्न:3.कोण 2A के त्रिकोणमितीय अनुपातों को कोण A के पदों में व्यक्त करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae to Express the Trigonometric Ratios of Angle 2A in Terms of Angle A):
उत्तर: (1.) \sin 2 A=2 \sin A \cos A
(2.) \cos 2 A=\cos ^2 A-\sin ^2 A=2 \cos ^2 A-1=1-2 \sin ^2 A
(3.) \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A}
(4.) \sin 2 A=\frac{2 \tan A}{1+\tan ^2 A}
(5.) \cos 2 A=\frac{1-\tan ^2 A}{1+\tan ^2 A}
प्रश्न:4.कोण 3A के त्रिकोणमितीय अनुपातों को कोण A के पदों में व्यक्त करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulas for Expressing the Trigonometric Ratios of Angle 3A in Terms of Angle A):
उत्तर: (1.) \sin 3 A=3 \sin A-4 \sin ^3 A
(2.) \cos 3 A=4 \cos ^3 A-3 \cos A
(3.) \tan 3 A=\frac{3 \tan A-\tan ^3 A}{1-3 \tan ^2 A}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अपवर्त्य कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Multiple Angles),अपवर्त्य और अपवर्तक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Multiple and Sub-Multiple Angles) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
