1.वास्तविक संख्याओं का सांस्थितिकी (Topological of Real Numbers),वास्तविक संख्याओं का प्रारम्भिक सांस्थितिकी (Topological Preliminaries of Real Numbers):

Topological of Real Numbers

वास्तविक संख्याओं का सांस्थितिकी (Topological of Real Numbers) के इस आर्टिकल में विवृत,संवृत समुच्चय,सीमा बिन्दु ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.वास्तविक संख्याओं का सांस्थितिकी पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Topological of Real Numbers):

Illustration:1.सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्या समुच्चय E का सीमा बिन्दु होगा यदि और केवल यदि अन्तराल \left(\alpha-\frac{1}{n}, \alpha+\frac{1}{n}\right), n \in N में E अनन्त बिन्दु हों।
(Prove that a real number x is a limit point of a set E iff the interval \left(\alpha-\frac{1}{n}, \alpha+\frac{1}{n}\right), n \in N contains infinitely many points of E.)
Solution:माना E, R का असीमित परिबद्ध उपसमुच्चय है।
\alpha \in R \Rightarrow \varepsilon>0 ताकि (\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon) \subset E
ε एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,हम ऐसा धनात्मक पूर्णांक का चुनाव कर सकते हैं कि \frac{1}{n}<\varepsilon
परन्तु \frac{1}{n}<\varepsilon \Rightarrow \alpha+\frac{1}{n}<\alpha+\varepsilon \\ \therefore \quad \frac{1}{n}<\varepsilon \Rightarrow-\frac{1}{n}>-\varepsilon \Rightarrow \alpha-\frac{1}{n}>\alpha-\varepsilon \\ \therefore \alpha-\varepsilon<\alpha-\frac{1}{n}<\alpha+\frac{1}{n}<\alpha+\varepsilon \\ \Rightarrow \left(\alpha-\frac{1}{n}>\alpha+\frac{1}{n}\right) \subset (\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon)
अतः E, का प्रतिवेश है,अतः एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक n विद्यमान है ताकि
\left(\alpha-\frac{1}{n}, \alpha+\frac{1}{n} \right) \subset E
विलोमतः माना कि एक धनात्मक पूर्णांक n ऐसा विद्यमान है ताकि
\left(\alpha-\frac{1}{n}, \alpha+\frac{1}{n}\right) \subset E
\alpha , E का उच्चक है \Rightarrow किसी ε > 0 के लिए \exists x \in E ताकि x>\alpha-\frac{1}{n}
अब x \in E \Rightarrow x , E के सीमित अवयवों से बड़ा है
\Rightarrow \alpha-\frac{1}{n}, E के कुछ सीमित अवयवों से बड़ा है।
E के केवल सीमित अवयव \alpha-\frac{1}{n} के वामपक्ष में है।
E के अनन्त अवयव \alpha-\varepsilon के दक्षिण पक्ष में हैं।
चूँकि \alpha ,E का उच्चक है \Rightarrow \alpha+\frac{1}{n} \not \in E
\Rightarrow E के अनन्त अवयवों से \alpha+\frac{1}{n} बड़ा है
\Rightarrow E के अनन्त अवयव \alpha+\frac{1}{n} के वामपक्ष में है।
परन्तु \left(\alpha-\frac{1}{n}, \alpha+\frac{1}{n}\right) , \alpha का प्रतिवेश है।
अतः \alpha ,E का सीमा बिन्दु है।
Illustration:2.यदि समुच्चय का उच्चक (निम्नक) समुच्चय में नहीं हो,तो सिद्ध कीजिए कि यह उस समुच्चय का सीमा बिन्दु होगा।
(If the supremum (infimum) of a set does not belong to the set, then it is a limit point of the set.)
Solution:किसी ε > 0 के एक वास्तविक संख्या n इस प्रकार विद्यमान होगी,ताकि \beta<\frac{1}{n}<\varepsilon (R आर्किमिडीय क्षेत्र है अतः प्रत्येक \varepsilon>0 \exists n \in R ताकि)
n \varepsilon>1 \Rightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon \\ \Rightarrow \frac{1}{n} \in(-\varepsilon, \varepsilon)
प्रत्येक ε > 0 के लिए एक n \in R विद्यमान है ताकि
\frac{1}{n} \in(-\varepsilon, \varepsilon)
अतः \beta ,समुच्चय का सीमा बिन्दु है।यह समुच्चय में उपस्थित नहीं है।
Illustration:3.निम्न समुच्चयों के लिए सीमा बिन्दुओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए:
(i)पूर्णांकों का समुच्चय Z (ii)परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q.
(Find the set of limit points of the following sets):
(i)Z, the set of integers (ii) Q,the set of the rational numbers.)
Solution:(i).पूर्णांकों का समुच्चय Z.
मानाकि n \in Z स्पष्टतः n के प्रतिवेश \left(n-\frac{1}{2}, n+\frac{1}{2}\right) में n के अतिरिक्त Z का कोई बिन्दु आविष्ट नहीं है अतः Z का कोई सीमा बिन्दु नहीं है।
अतः पूर्णांकों का समुच्चय Z के लिए सीमा बिन्दुओं का समुच्चय \phi है।
(ii)परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q.
चूँकि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के मध्य अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं अतः x \in Q का प्रत्येक प्रतिवेश x के अतिरिक्त अनन्त परिमेय संख्याओं को आविष्ट करता है:अतः Q का प्रत्येक बिन्दु इसका सीमा बिन्दु है।
Illustration:4.निम्न में से कौन से समुच्चय विवृत हैं? अपने उत्तर की विवेचना कीजिए।
(Which of the following sets are open? Also discuss your answer.)
Illustration:4(i).Q
Solution:Q
माना n \in Q ,परिमेय संख्याओं का समुच्चय है तथा माना ε कोई धनात्मक वास्तविक संख्या है।
तब (n-\varepsilon, n+\varepsilon) \not \subset Q
अतः परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय विवृत नहीं है।
Illustration:4(ii). \{x: 0<x<1\}
Solution: \{x: 0<x<1\}
प्रत्येक विवृत समुच्चय का विद्यमान होता है।
माना कि एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है ताकि
x_0 \in\left(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon\right) \subset (0,1)
अब एक छोटी धनात्मक संख्या का चुनाव करते हैं जो दो धनात्मक वास्तविक संख्याएं x_0-0 तथा 1-x_0 से कम है
i.e. \varepsilon< x_0-0 तथा \varepsilon< 1-x_0 \\ \Rightarrow 0< x_0-\varepsilon तथा x_0+\varepsilon< 1
दोनों को संयुक्त करने परः
0< x_0-\varepsilon< x_0<x_0+\varepsilon<1 \\ \Rightarrow x_0 \in\left(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon\right) \subset (0,1)
अतः (0,1), x_0 का प्रतिवेश है।
x_0 , अन्तराल (0,1) का कोई स्वेच्छ अवयव है अतः प्रत्येक विवृत अन्तराल इसके प्रत्येक बिन्दु का प्रतिवेश है।
अतः उपर्युक्त समुच्चय विवृत है।
Illustration:4(iii).[0,1]
Solution:[0,1]
ऐसा कोई भी विवृत अन्तराल विद्यमान नहीं है जिसमें 0,1 शामिल है ताकि वह [0,1] का उपसमुच्चय है।
अतः परिभाषा से उक्त समुच्चय विवृत नहीं है।
Illustration:4(iv). R_0
Solution: R_0
माना x \in R_0 ,तब यदि ε एक छोटी धनात्मक संख्या है ताकि x- ε और x+\varepsilon, R_0 में विद्यमान हो और (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subset R_0 , x स्वेच्छ है,इसलिए \forall x \in R_0
एक ऐसी धनात्मक संख्या ε विद्यमान है ताकि (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subset R_0 तथा विवृत समुच्चय की परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि R_0 विवृत है।

Topological of Real Numbers

Illustration:5(i).क्या प्रत्येक परिमित समुच्चय विवृत है? (Is every finite set open?)
Solution:माना A=\left\{x_1, x_2, x_3 \cdots x_n\right\} एक परिमित समुच्चय है
i.e. माना x_i \in A और एक धनात्मक संख्या \varepsilon \in R .इस प्रकार \left(x_i-\varepsilon, x_i+\varepsilon\right) में अनन्त संख्याएँ हैं और \left(x_i-\varepsilon, x_i+\varepsilon\right) \notin A क्योंकि A परिमित समुच्चय है।
परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि परिमित समुच्चय A विवृत समुच्चय नहीं है।
Illustration:5(ii).क्या प्रत्येक अपरिमित समुच्चय विवृत है? (Is every infinite set open?):
Solution:माना G_n=\left\{x_1, x_2, x_3 \cdots x_n\right\}
जो कि विवृत होना आवश्यक नहीं है क्योंकि अपरिमित समुच्चय भी संवृत हो सकता है जो कि विवृत नहीं है।
Illustration:निम्न में से कौन से समुच्चय संवृत,विवृत,न संवृत और न ही विवृत हैं?
(Which of the following sets are closed, open, neither closed nor open):
Illustration:6(i). \{x \leq 0 \leq 1\}
Solution: \{x \leq 0 \leq 1\} संवृत है।
Illustration:6(ii). [0,1] \cup[2,3]
Solution: [0,1] \cup[2,3] संवृत है।
Illustration:6(iii). \{x: 1<x<8\}
Solution: \{x: 1<x<8\} विवृत है।
Illustration:6(iv). \{x: 4 \leq x \leq 8\}
Solution: \{x: 4 \leq x \leq 8\} संवृत है।
Illustration:7.सिद्ध कीजिए कि अनन्त परिबद्ध समुच्चय का व्युत्पन्न समुच्चय परिबद्ध होगा।
(Prove that the derived set of an infinite bounded set is bounded.)
Solution:माना S अनन्त परिबद्ध समुच्चय है,इसलिए \exists h, k \in R : S \subset[h, k] \\ S \subset[h, k] \Rightarrow D(S) \subset D([h, k])
परन्तु संवृत अन्तराल [h,k] का व्युत्पन्न समुच्चय [h,k] है
i.e. D([h, k])=[h, k] \\ \therefore D(s) \subset [h, k], \therefore D(S) परिबद्ध है।जबकि S एक अनन्त परिबद्ध समुच्चय है,इसलिए बालजनो वायर्स्ट्रास प्रमेय से,S का कम से कम एक सीमा बिन्दु है तथा D(s)=\phi
इस प्रकार D(S),R का अरिक्त परिबद्ध उपसमुच्चय है।
R के पूर्णताक्रम गुणधर्म से,D(S) का निम्नक है उसी प्रकार R का उच्चक है।
माना inf D(S)=p तथा Sup D(S)=q
हम सिद्ध करेंगे कि p व q,D(S) के अवयव हैं,दोनों p व q,S के सीमा बिन्दु है।
माना > 0 दिया हुआ है
अब p= in f D(s) \Rightarrow \exists x \in D(s)
such that p \leq x < p+\varepsilon \\ \Rightarrow p-\varepsilon< x < p+\varepsilon \\ \Rightarrow x \in] p-\varepsilon, p+\varepsilon[ \\ \Rightarrow] p-\varepsilon, p+\varepsilon[, x \in D(s) का प्रतिवेश है
\Rightarrow ] p-\varepsilon, p+\varepsilon[, x का प्रतिवेश है जो कि S का सीमा बिन्दु है।
\Rightarrow ] p-\varepsilon, p+\varepsilon[ , S के अनन्त अनेक बिन्दुओं को रखता है।
इस प्रकार प्रत्येक ε > 0 के लिए,खुला (विवृत) अन्तराल \Rightarrow ] p-\varepsilon, p+\varepsilon[ ,S के अनन्त अनेक बिन्दुओं को रखता है और परिणामस्वरूप p, S का सीमा बिन्दु है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि q,S का सीमा बिन्दु है।
इस प्रकार दोनों p और q i.e. D(S) के निम्नक और उच्चक,D(S) के अवयव हैं।इसलिए D(S) परिबद्ध है।
Illustration:8.सिद्ध कीजिए कि संहत समुच्चय A \subset R का प्रत्येक उपसमुच्चय संहत होता है।
(Prove that every closed subset of a compact set A \subset R is compact.)
Solution:माना I_1=\left[a_1, b_1\right] , R का संवृत और परिबद्ध (संहत) उपसमुच्चय है।माना G=\{(c_i, d_i) : \quad i \in \Delta\},I_1 का विवृत आवरक है।
I_1[/katex] को संहत (compact) सिद्ध करना है,हमें सिद्ध करना होगा कि \exists G आवरक का एक परिमित उपआवरक है।
इसका विलोम माना
तब \exists G दिए आवरक का कोई परिमित उपआवरक नहीं है।
I_1 को दो बराबर विवृत अन्तराल \left[a_1, \frac{a_1+b_1}{2}\right] तथा \left[\frac{a_1+b_1}{2}, b_1\right] में विभाजित किया।यदि दोनों उपअन्तरालों में G के परिमित अवयव ही आविष्ट हो तो G एक परिमित समुच्चय होगा जो कि सत्य नहीं है।इनमें कम से कम एक उपअन्तराल का G में परिमित उपआवरक विद्यमान नहीं होगा।ऐसे अन्तराल को I_2=\left[a_2, b_2\right] से व्यक्त कर दिया।
I_2 को समान संवृत अन्तरालों \left[a_2, \frac{a_2+b_2}{2}\right] तथा \left[\frac{a_2+b_2}{2}, b_2\right] में विभाजित कर दिया।पुनः इनमें कम से कम एक उपअन्तराल का G में परिमित उपआवरक विद्यमान नहीं होगा।ऐसे अन्तराल को I_3=\left[a_3, b_3\right] से व्यक्त कर दिया।
इस प्रक्रिया की बार-बार पुनरावृत्ति करने पर हमें नीडित (nested) अन्तरालों I_1, I_2, I_3 का एक ऐसा अनुक्रम \left[I_n\right] प्राप्त होगा जिसके निम्न गुणधर्म हैं:
(1.) I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots
i.e. I_n \supset I_{n+1} \quad \forall n \in N
(2) I_n संवृत है \forall n \in N
(3)किसी अन्तराल का G में परिमित उपआवरक विद्यमान नहीं है
(4.)\underset{n \rightarrow \infty}{Lt} \left|I_n\right|=0 जहाँ |I_n| ,
I_n अन्तरालों की लम्बाई के लिए प्रयुक्त किया है तथा इसी प्रकार \left|\left[a_r, b_r\right]\right| का अर्थ है।
यह अन्तरालों का अनुक्रम नीडित विवृत अन्तराल गुणधर्म (Nested Closed Interval Property) की सभी शर्तों को सन्तुष्ट करता है।
\therefore \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \cdot I_n \neq 0, \therefore \exists एक संख्या \in \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \cdot I_n \\ \Rightarrow p_0 \in I_n \quad \forall n \in N \cdots(1) \\ \underset{n \rightarrow \infty}{Lt} \left|I_n\right|=0 \Rightarrow \varepsilon>0 ; \exists n_0 \in N \text { s.t. }\left|I_n\right|<\varepsilon \\ p_0 \in I_{n_0} [(1) के अनुसार]
\varepsilon=\min \left\{\left|\left[p_0-a_1, p_0+b_1\right]\right|,\left|\left[p_0-a_2, p_0+b_2\right] \right| \ldots\right. \left. \left|\left[p_0-a_n, p_0+b_n\right]\right| \ldots \right\}
तब \left|I_{n_0}\right|<\varepsilon \Rightarrow I_{n_0}, \subset \left(p_0-\varepsilon, p_0+\varepsilon\right)
यह अन्तराल I_n के गुणधर्म (3) का उल्लंघन करता है।
जो कि विरोधाभास है।
अतः अभीष्ट परिणाम सिद्ध होता है।
Illustration:10.ऐसे समुच्चय लिखिए जिनका कोई सीमा बिन्दु नहीं हो,एक सीमा बिन्दु हो और अनन्त सीमा बिन्दु हो।
(Write the sets having no limit point, one limit point and infinite number of limit points.):
Solution:पूर्णांकों का समुच्चय Z का कोई बिन्दु नहीं है।
\{ \frac{1}{n} : n \in N\} का एक सीमा बिन्दु 0 है।
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R के अनन्त सीमा बिन्दु हैं।
Illustration:11.सिद्ध करो कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N,a का एक सामीप्य है यदि और केवल यदि एक ऐसे धन पूर्णांक n का अस्तित्व हो कि
(Prove that the set N natural number is a neighborhood of a iff \exists a positive integer n such that)
\left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right) \subset N
Solution:प्राकृत संख्याओं के संख्याओं का प्रतिवेश बिन्दु a \in N है।
तब \exists \varepsilon >0 ताकि a \in(a-\varepsilon, a+\varepsilon) \subset N
अब किसी दिए हुए वास्तविक धनात्मक संख्या \varepsilon ,हम हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक n का चुनाव करते हैं जो बड़ा है \frac{1}{n}<\varepsilon
परन्तु \frac{1}{n}< \varepsilon \Rightarrow a+\frac{1}{n}<a+\varepsilon
तथा \frac{1}{n}<\varepsilon \Rightarrow-\frac{1}{n} x-\varepsilon \\ \Rightarrow a-\frac{1}{n}>a-\varepsilon \\ \therefore a-\varepsilon<a-\frac{1}{n}<a+\frac{1}{n}<a+\varepsilon \\ \Rightarrow\left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right)<(a-\varepsilon, a+\varepsilon)
अतः N, a का प्रतिवेश है,एक धनात्मक पूर्णांक विद्यमान हैं ताकि
\left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right) \subset N
विलोमतः माना एक धनात्मक पूर्णांक n विद्यमान है ताकि
\left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right) \subset N
तब N,a का प्रतिवेश (nbd) है क्योंकि \left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right) विवृत अन्तराल है जिसमें a स्थित है तथा जो N में है।
अभीष्ट कथन सिद्ध हुआ।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक संख्याओं का सांस्थितिकी (Topological of Real Numbers),वास्तविक संख्याओं का प्रारम्भिक सांस्थितिकी (Topological Preliminaries of Real Numbers) को समझ सकते हैं।

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3.वास्तविक संख्याओं का सांस्थितिकी (Frequently Asked Questions Related to Topological of Real Numbers),वास्तविक संख्याओं का प्रारम्भिक सांस्थितिकी (Topological Preliminaries of Real Numbers) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक संख्याओं का सांस्थितिकी (Topological of Real Numbers) के इस आर्टिकल
में विवृत,संवृत समुच्चय,सीमा बिन्दु ज्ञात करने के बारे में अध्ययन करेंगे।