1.गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (To Solve Quadratic Equation by Factor),द्विघात समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Type Examples of Quadratic Equation):

To Solve Quadratic Equation by Factor

गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (To Solve Quadratic Equation by Factor) के इस आर्टिकल में द्विघात समीकरण के सवालों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना के साधित उदाहरण (To Solve Quadratic Equation by Factor Solved Examples):

निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल कीजिए:
Example:1. 25 x^2-10 x-8=0
Solution: 25 x^2-10 x-8=0 \\ \Rightarrow 25 x^2-20 x+10 x-8=0 \\ \Rightarrow 5 x(5 x-4)+2(5 x-4)=0 \\ \Rightarrow(5 x+2)(5 x-4)=0 \\ \Rightarrow 5 x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{5} \\ \Rightarrow 5 x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow x=-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}
Example:2. 3 x^2+2 a x-a^2=0 जहाँ a वास्तविक संख्या है।
Solution: 3 x^2+2 a x-a^2=0 \\ \Rightarrow 3 x^2+3 a x-a x-a^2=0 \\ \Rightarrow 3 x(x+a)-a(x+a)=0 \\ \Rightarrow(x+a)(3 x-a)=0 \\ \Rightarrow x+a=0 \Rightarrow x=-a \\ \Rightarrow 3 x-a=0 \Rightarrow x=\frac{a}{3} \\ \Rightarrow x=-a, \frac{a}{3}
Example:3. 20 x^2-x-12=0
Solution: 20 x^2-x-12=0 \\ \Rightarrow 20 x^2-16 x+15 x-12=0 \\ \Rightarrow 4 x(5 x-4)+3(5 x-4)=0 \\ \Rightarrow(4 x+3)(5 x-4)=0 \\ \Rightarrow 4 x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{4} \\ \Rightarrow 5 x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow x=\frac{4}{5},-\frac{3}{4}
Example:4. x^2+7 x=0
Solution: x^2+7 x=0 \\ \Rightarrow x(x+7)=0 \\ \Rightarrow x=0, x+7=0 \Rightarrow x=-7 \\ \Rightarrow x=0,-7
Example:5. 10 x-\frac{1}{x}=3
Solution: 10 x-\frac{1}{x}=3 \\ \Rightarrow 10 x^2-1=3 x \\ \Rightarrow 10 x^2-3 x-1=0 \\ \Rightarrow 10 x^2-5 x+2 x-1=0 \\ \Rightarrow 5 x(2 x-1)+1(2 x-1)=0 \\ \Rightarrow(5 x+1)(2 x-1)=0 \\ \Rightarrow 5 x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{5} \\ \Rightarrow 2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2},-\frac{1}{5}
Example:6. \frac{2}{x^2}-\frac{5}{x}+2=0
Solution: \frac{2}{x^2}-\frac{5}{x}+\frac{2}{1}=0 \\ \Rightarrow \frac{2-5 x+2 x^2}{x^2}=0 \\ \Rightarrow 2 x^2-5 x+2=0 \times x^2 \\ \Rightarrow 2 x^2-4 x-x+2=0 \\ \Rightarrow 2 x(x-2)-1(x-2)=0 \\ \Rightarrow(x-2)(2 x-1)=0 \\ \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2 \\ \Rightarrow 2 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow x=2, \frac{1}{2}
Example:7. \left(x-\frac{1}{2}\right)^2=4
Solution: \left(x-\frac{1}{2}\right)^2=4 \\ \Rightarrow(x-\frac{1}{2})^2-4=0 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-2^2=0 \\ \Rightarrow (x-\frac{1}{2}-2)(x-\frac{1}{2}+2)=0 \\ \Rightarrow \left(x-\frac{5}{2}\right) \left(x+\frac{3}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow x-\frac{5}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2} \\ \Rightarrow x+\frac{3}{2}=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \\ \Rightarrow x=\frac{5}{2},-\frac{3}{2}

To Solve Quadratic Equation by Factor

Example:8. \frac{x}{a}+\frac{a}{x}=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}
Solution: \frac{x}{a}+\frac{a}{x}=\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \\ \Rightarrow \frac{x^2+a^2}{a x}= \frac{b^2+a^2}{a b} \\ \Rightarrow\left(x^2+a^2\right)=x\left(b^2+a^2\right) \\ \Rightarrow b x^2+a^2 b=b^2 x+a^2 x \\ \Rightarrow b x^2-b^2 x-a^2 x+a^2 b=0 \\ \Rightarrow b x(x-b)-a^2(x-b)=0 \\ \Rightarrow(x-b)\left(b x-a^2\right)=0 \\ \Rightarrow x-b=0 \Rightarrow x=b \\ \Rightarrow b x-a^2=0 \Rightarrow x=\frac{a^2}{b} \\ \Rightarrow x=b, \frac{a^2}{b}
Example:9. x^2-2(3 a+4 b) x+48 a b=a
Solution: x^2-2(3 a+4 b) x+48 a b=0 \\ \Rightarrow x^2-6 a x-8 b x+48 a b=0 \\ \Rightarrow x(x-6 a)-8 b(x-6 a)=0 \\ \Rightarrow(x-6 a)(x-8 b)=0 \\ \Rightarrow x-6 a=0 \Rightarrow x=6 a \\ \Rightarrow x-8 b=0 \Rightarrow x=8 b
Example:10. x^2+8 x+7=0
Solution: x^2+8 x+7=0 \\ \Rightarrow x^2+7 x+x+7=0 \\ \Rightarrow x(x+7)+1(x+7)=0 \\ \Rightarrow(x+1)(x+7)=0 \\ \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ x+7=0 \Rightarrow x=-7 \\ \Rightarrow x=-1,-7
Example:11. 5 x^2+8 x=0
Solution: 5 x^2+8 x=0 \\ \Rightarrow x(5 x+8)=0 \\ \Rightarrow x=0,5 x+8=0 \Rightarrow x=-\frac{8}{5} \\ \Rightarrow x=0,-\frac{8}{5}

Example:12. 5 x^2=-16 x-12
Solution: 5 x^2=-16 x-12 \\ \Rightarrow 5 x^2+16 x+12=0 \\ \Rightarrow 5 x^2+10 x+6 x+12=0 \\ \Rightarrow 5 x(x+2)+6(x+2)=0 \\ \Rightarrow(x+2)(5 x+6)=0 \\ \Rightarrow x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ \Rightarrow 5 x+6=0 \Rightarrow x=-\frac{6}{5} \\ \Rightarrow x=-2,-\frac{6}{5}
Example:13. 4 x^2+4 b x-\left(a^2-b^2\right)=0
Solution: 4 x^2+4 b x-\left(a^2-b^2\right)=0 \\ \Rightarrow 4 x^2+2(b-a) x+2(b+a) x-\left(a^2-b^2\right)=0 \\ \Rightarrow 2 x[2 x+b-a]+(b+a)[2 x+b-a]=0 \\ \Rightarrow(2 x+b-a)(2 x+b+a)=0 \\ \Rightarrow 2 x+b-a=0 \Rightarrow x=\left(\frac{a-b}{2}\right) \\ \Rightarrow 2 x+b+a=0 \Rightarrow x=-\left(\frac{a+b}{2}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (To Solve Quadratic Equation by Factor),द्विघात समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Type Examples of Quadratic Equation) को समझ सकते हैं।

3.द्विघात समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Type Examples of Quadratic Equation):

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर चार विकल्प के रूप में दिये गये है।सही उत्तर चुनिए [प्रश्न 13-23]
Example:13.समीकरण x^2-9=0 के मूल हैं:
(a) \sqrt{3} (b) -\sqrt{3} (C) 9 (d) \pm 3
Solution: x^2-9=0 \\ \Rightarrow x^2=9 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{9}= \pm 3
विकल्प (d) सही है।
Example:14.समीकरण (x-3)^2=3 के मूल हैं:
(a) 3 \pm \sqrt{3} (b) -3 \pm \sqrt{3} (c) 0 (d) 6
Solution: (x-3)^2=3 \\ \Rightarrow x-3= \pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow x=3 \pm \sqrt{3}
विकल्प (a) सही है।
Example:15.समीकरण x=\frac{25}{x} के मूल हैं:
(a) \frac{1}{5} (b) \pm \frac{1}{5} (c) \pm 5 (d) 5
Solution: x=\frac{25}{x} \\ \Rightarrow x^2=25 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{25}= \pm 5
विकल्प (c) सही है।
Example:16.समीकरण (x+4)(x-4)=9 के मूल हैं:
(a) 4,-4 (b) \pm 5 (c) \pm \sqrt{7} (d) \pm \frac{1}{5}
Solution: (x+4)(x-4)=9 \\ \Rightarrow x^2-16=9 \\ \Rightarrow x^2=16+9 \\ \Rightarrow x^2=25 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{25} \\ \Rightarrow x= \pm 5
विकल्प (b) सही है।
Example:17.समीकरण x^2-4 x=0 के हल हैं:
(a) 4,4 (b) 2,2 (c) 0,4 (d) 0,2
Solution: x^2-4 x=0 \\ \Rightarrow x(x-4)=0 \\ \Rightarrow x=0,4
विकल्प (c) सही है।
Example:18.बहुपद P(x)=x^2=5 x+6 का शून्य अवयव है:
(a) 1 (b)-1 (c) 3 (d) 4
Solution: P(x)=x^2-5 x+6 \\ \Rightarrow x^2-3 x-2 x+6=0 \\ \Rightarrow x(x-3)-2(x+3)=0 \\ \Rightarrow (x-2)(x+3) \\ x-2=0 \Rightarrow x=2, x-3=0, x=3 \\ x=2,3
विकल्प (c) सही है।
Example:19.द्विघात समीकरण p x^2+q x+r=0 , p \neq 0 के मूल समान होंगे यदि:
(a)p^2 < 4qr (b)p^2 > 4qr (c)q^2=4pr (d)p^2=4qr
Solution: p x^2+q x+r=0 के मूल समान होंगे यदि
b^2-4ac=0 \\ \Rightarrow q^2-4pr =0 \\ \Rightarrow q^2=4 pr
विकल्प (c) सही है।
Example:20.समीकरण a x^2+b x+c=0, a \neq 0 के मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि:
(a) b^2 < 4ac (b)b^2 > 4ac (c)b^2=4ac (d)b=4ac
Solution:मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि b^2-4ac< 0
विकल्प (a) सही है।
Example:21. a x^2+x+b=0 के मूल समान होंगे यदि:
(a) b^2=4 a (b) b^2< 4a (c)b^2 >4 a (d)ab=\frac{1}{4}
Solution: a x^2+b x+c=0 के मूल समान हैं अतः 1^2=4 \times a \times b \Rightarrow a b=\frac{1}{4}
विकल्प (d) सही है।
Example:22.यदि किसी समीकरण के मूलों का योग 2 हो तथा गुणा 5 हो तो समीकरण होगाः
(a)x^2+5 x-2=0 (b) x^2+2 x+5 x=0 (c) x^2+2 x-5=0 (d) x^2-2 x+5=0
Solution: x^2-2 x+5=0
विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (To Solve Quadratic Equation by Factor),द्विघात समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Type Examples of Quadratic Equation) को समझ सकते हैं।

4.गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना की समस्याएँ (To Solve Quadratic Equation by Factor Problems):

To Solve Quadratic Equation by Factor

(1.)समीकरण 2 x^2-8=0 को हल कीजिए।
(2.)समीकरण \frac{x+1}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}=\frac{10}{3} का हल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers): (1.) x= \pm 2 (2.) x= \pm 2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (To Solve Quadratic Equation by Factor),द्विघात समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Type Examples of Quadratic Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (Frequently Asked Questions Related To Solve Quadratic Equation by Factor),द्विघात समीकरण के वस्तुनिष्ठ उदाहरण (Objective Type Examples of Quadratic Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल करना (To Solve Quadratic Equation by Factor)
के इस आर्टिकल में द्विघात समीकरण के सवालों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।