1.समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions),विविक्त गणित में समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions in Discrete Mathematics):

Sets and Propositions

समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions) के इस आर्टिकल में समुच्चय के गुणधर्मों के आधार पर समुच्चय के कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.समुच्चय एवं साध्य पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Sets and Propositions):

Illustration:1.प्रदर्शित कीजिए कि (Show that)
Illustration:1(i). A \supseteq B \Rightarrow A-C \supseteq B-C
Solution: A \supseteq B \Rightarrow A-C \supseteq B-C
माना A \supseteq B
तब x \in B-C \Rightarrow x \in B \wedge x \notin C \\ \Rightarrow x \in A \wedge x \in C[\because A \supseteq B] \\ \Rightarrow x \in A-C \\ \Rightarrow A \supseteq B \Rightarrow A-C \supseteq B-C
Illustration:1(ii). A \supseteq B \Rightarrow A-(A-B)=B
Solution: A \supseteq B \Rightarrow A-(A-B)=B
माना A \supseteq B
तब x \in A-(A-B) \Rightarrow x \in A \wedge x \notin (A-B) \\ \Rightarrow x \in A \wedge \left( x \notin A \wedge x \in B \right) \\ \Rightarrow x \in B \\ \therefore A-(A-B) \subseteq B \cdots(1) \\ x \in B \Rightarrow x \notin A \wedge x \in B \left[\because A \supseteq B \right] \\ \Rightarrow x \in A \wedge \left( x \notin A \wedge x \in B \right) \\ \Rightarrow x \in A \wedge \left( x \notin A-B \right) \\ \Rightarrow x \in A-(A-B) \\ \Rightarrow x \in B \Rightarrow A-(A-B) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
A \supseteq B \Rightarrow A-(A-B)=B
Illustration:1(iii). A-B=A \Rightarrow A \cap B=\phi
Solution: A-B=A \Rightarrow A \cap B=\phi
माना A-B=A
अब x \in A-B=A \Rightarrow B=\phi \\ x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \Rightarrow x \in \phi [B=\phi] \\ \Rightarrow A \cap B \subseteq \phi \cdots(1)
\phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
\phi \subseteq A \cap B \cdots(2)
(1) व (2) सेः
A \cap B=\phi \\ \Rightarrow A-B=A \Rightarrow A \cap B=\phi
Illustration:2.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
Illustration:2(i).(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
Solution:(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
माना x \in(A-B)-C
तब x \in(A-B)-C \Rightarrow x \in(A-B) \wedge x \notin C \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin B) \wedge x \notin C \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin C) \wedge(x \notin B \wedge x \notin C) \\ \Rightarrow x \in (A-C) \wedge x \notin(B-C) \\ \Rightarrow x \in (A-C)-(B-C) \\ \therefore (A-B)-C \subseteq (A-C)-(B-C) \cdots(1)
पुनः माना x \in (A-C)-(B-C)
तब x \in(A-C)-(B-C) \Rightarrow x \in (A-C) \wedge x \notin(B-C) \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin C) \wedge(x \notin B \wedge x \notin C) \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin B) \wedge x \notin C \\ \Rightarrow x \in(A-B) \wedge x \notin C \\ \Rightarrow x \in(A-B)-C \\ \therefore x \in (A-C)-(B-C) \subseteq(A-B)-C \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
Illustration:2(ii). A=B \cup C \Rightarrow A-B=C \cap B^{\prime}
Solution: A=B \cup C \Rightarrow A-B=C \cap B^{\prime}
माना x \in A=B \cup C \Rightarrow x \in A \Leftrightarrow x \in B \vee x \in C
तब x \in A-B \Rightarrow x \in A \wedge x \notin B \\ \Rightarrow x \in C \wedge \in B^{\prime} \left[\because A=B \cup C\right] \\ \Rightarrow x \in C \cap B^{\prime} \\ A-B \subseteq C \cap B^{\prime} \cdots(1)
पुनः x \in C \cap B^{\prime} \Rightarrow x \in C \wedge x \in B^{\prime} \\ \Rightarrow x \in A \wedge x \notin B[\because A=B \cup C] \\ \Rightarrow x \in A-B \\ \therefore C \cap B^{\prime} \subseteq A-B \cdots(2)
(1) व (2) सेः
A=B \cup C \Rightarrow A-B=C \cap B^{\prime}
Illustration:2(iv). A \cap(B-A)=\phi
Solution: A \cap(B-A)=\phi
माना x \in A \cap(B-A)
तब x \in A \cap(B-A) \Rightarrow x \in A \wedge x \in B-A \\ \Rightarrow x \in A \wedge(x \in B \wedge x \notin A) \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin A) \wedge x \in B \\ \Rightarrow x \in \phi \wedge x \in B
यह तभी सम्भव है जब
A \cap (B-A) \subseteq \phi \cdots(1)
\phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
\phi \subseteq A \cap(B-A) \ldots(2)
(1) व (2) सेः
A \cap (B-A)=\phi
Illustration:2(v). A-(A-B)=A \cap B
Solution: A-(A-B)=A \cap B
माना x \in A-(A-B)
तब x \in A-(A-B) \Rightarrow x \in A \wedge x \notin(A-B) \\ \Rightarrow x \in A \wedge(x \notin A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin A) \wedge x \in B
यह तभी सम्भव है जब
A-(A-B) \subseteq A \cap B \cdots(1)
पुनः यदि x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \Rightarrow x \in A \wedge(x \notin A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in A \wedge x \notin(A-B) \\ \Rightarrow A-(A-B) \\ \therefore A \cap B \subseteq A-(A-B) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
A-(A-B)=A \cap B

Sets and Propositions

Illustration:3.समुच्चयों A और B के लिए सिद्ध कीजिए कि
(For any sets A and B,prove that)
Illustration:3(i). (A-B) \cup(A \cap B)=A
Solution: (A-B) \cup(A \cap B)=A
माना x \in(A-B) \cup(A \cap B)
तब x \in(A-B) \cup(A \cap B) \Rightarrow x \in A-B \vee x \in A \cap B \\ \Rightarrow (x \in A \cap x \notin B) \vee(x \in A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in A \\ \therefore (A-B) \cup(A \cap B) \subseteq A
पुनः x \in A \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin B) \vee(x \in A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in A-B \vee x \in A \cap B \\ \Rightarrow x \in(A-B) \cup(A \cap B) \\ \therefore A \subseteq(A-B) \cup(A \cap B) \cdots(2)
(1) और (2) सेः
(A-B) \cup(A \cap B)=A
Illustration:3(ii). (A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A)=A \cup B
Solution: (A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A)=A \cup B
माना x \in(A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A)
तब x \in(A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A) \\ \Rightarrow x \in(A-B) \vee x \in A \cap B \vee x \in B-A \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin B) \vee(x \in A \wedge x \in B) \vee \left( x \in B \wedge x \notin A \right) \\ \Rightarrow[(x \in A \wedge x \notin B) \vee(x \in B \wedge x \notin A)] \vee(x \in A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in(A \cup B) \vee x \in(A \cap B) \\ \Rightarrow x \in A \cup B \\ \therefore(A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A) \subseteq A \cup B \cdots(1)
पुनः x \in A \cup B \\ \Rightarrow x \in(A \cup B) \vee x \in(A \cap B) \\ \Rightarrow [x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)] \vee x \in (A \cap B) \\ \Rightarrow(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in(A \cap B) \vee(x \notin A \wedge x \notin B) \\ \Rightarrow x \in(A-B) \vee x \in(A \cap B) \vee x \in(B-A) \\ \Rightarrow x \in(A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A) \\ \Rightarrow A \cup B \subseteq(A-B) \cup(A \cap B) \cup(B-A) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(A-B) \cup (A \cap B) \cup(B-A)=A \cup B
Illustration:3(iii). (A-B) \cap(A \cap B)=\phi
Solution: (A-B) \cap(A \cap B)=\phi
माना कि x \in(A-B) \cap (A \cap B)
तब x \in(A-B) \cap(A \cap B) \Rightarrow x \in(A - B) \wedge x \in(A \cap B) \\ \Rightarrow (x \in A \wedge x \notin B) \wedge(x \in A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in A \wedge(x \notin B \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in A \wedge x \in \phi \\ \Rightarrow x \in \phi \\ \Rightarrow (A-B) \cap(A \cap B) \subseteq \phi \cdots(1)
परन्तु \phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
\therefore \phi \subseteq(A-B) \cap(A \cap B) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(A-B) \cap(A \cap B)=\phi
Illustration:3(iv). (B-A) \cap(A \cap B)=\phi
Solution: (B-A) \cap(A \cap B)=\phi
माना कि x \in(B-A) \cap(A \cap B)
तब x \in(B-A) \cap(A \cap B) \Rightarrow x \in(B-A) \wedge x \in A \cap B \\ \Rightarrow(x \in B \wedge x \notin A) \wedge(x \in A \wedge x \in B) \\ \Rightarrow x \in B \wedge(x \notin A \wedge x \notin A) \\ \Rightarrow x \in B \wedge x \in \phi \\ \Rightarrow x \in \phi \\ \therefore (B-A) \cap(A \cap B) \subseteq \phi \cdots(1)
परन्तु \phi प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
\therefore \phi \subseteq(B-A) \cap(A \cap B) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
(B-A) \cap(A \cap B)=\phi
Illustration:4.सिद्ध कीजिए कि (prove that)
Illustration:4(i). A \oplus(A \cap B)=A-B
Solution: A \oplus(A \cap B)=A-B \\ A \oplus(A \cap B)= A \cup(A \cap B)-A \cap(A \cap B) \\ =A-B {[\because A \cup(A \cap B)=A,A \cap(A \cap B)=B]} \\ \Rightarrow A \oplus(A \cap B)=A-B
Illustration:4(ii). (A \oplus B) \cup(A \cap B)=A \cup B
Solution: (A \oplus B) \cup(A \cap B)=A \cup B \\ (A \oplus B) \cup(A \cap B)=\left[ (A \cup B)-(A \cap B) \right] \cup(A \cap B) \\ \left[\because A \oplus B=(A \cup B)-(A \cap B) \right] \\ \Rightarrow(A \oplus B) \cup(A \cap B)=A \cup B
Illustration:4(iii).यदि A \oplus B=\phi और केवल यदि (if and only if) A=B
Solution: A \oplus B=\phi \\ \Rightarrow A \oplus B=(A \cup B)-(A \cap B) \\ \Rightarrow A \oplus B=\phi \quad \left[ \because A \cup B=A, A \cap B=A \because A=B \right] \\ A \oplus B=\phi \\ (A \cup B)-(A \cap B)=\phi [गुणधर्म से]
यह तभी सम्भव है जब
\Rightarrow A \cup B=A \cap B \\ \Rightarrow A=B
Illustration:4(iv). A \cap(B \oplus C)=(A \cap B)(A \cap C)
Solution: A \cap(B \oplus C)=(A \cap B) \oplus(A \cap C) \\ A \cap(B \oplus C)=A \cap[(B \cup C)-(B \cap C)] \\ =A \cap(B \cup C)-A \cap(B \cap C) \\ =[(A \cap B) \cdot \cup (A \cap C)]-[(A \cap B) \cap(A \cap C)] \\ \left[ \because A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) \right] [बंटन नियम से]
=(A \cap B) \oplus(A \cap C) \\ \Rightarrow A \cap(B \oplus C)=(A \cap B) \oplus(A \cap C)
Illustration:5.समुच्चयों A,B,C के लिए सिद्ध कीजिए कि
(For any sets A,B,C prove that)
Illustration:5(i). (A-B) \times C=(A \times C)-(B \times C)
Solution: (A-B) \times C=(A \times C)-(B \times C)
माना (x, y) \in(A-B) \times C
तब (x, y) \in(A-B) \times C \\ \Leftrightarrow x \in(A-B) तथा y \in C \\ \Leftrightarrow x \in A \wedge x \notin B) तथा y \in C \\ \Leftrightarrow (x \in A \text { तथा } y \in C) \wedge (x \notin B \text { तथा } y \in C) \\ \Leftrightarrow (A \times C) \wedge(B \times C) \\ \Leftrightarrow(A-B) \times C=(A \times C)-(B \times C)
Illustration:5(ii).यदि (if) A \subset B तो (then) A \times C \subset B \times C
Solution: A \times C \subset B \times C
माना (x, y) \in A \times C \Rightarrow x \in A तथा y \in C \\ \Rightarrow x \in B तथा y \in C\left[ \because A \subset B \right] \\ \Rightarrow (x, y) \in(B \times C) \\ \Rightarrow A \times C \subset B \times C
Illustration:5(iii). A \subseteq B तथा C \subseteq D \Rightarrow A \times C \subseteq B \times D
Solution: A \times C \subseteq B \times D \\ x \in A \Rightarrow x \in B\left[ \because A \subseteq B \right] \cdots(1) \\ y \in C \Rightarrow y \in D \left[\because C \subseteq D \right] \cdots(2) \\ A \times C \Rightarrow(x, y) \in A \times C [(1) व (2) से]
B \times D \Rightarrow(x, y) \in B \times D [(1) व (2) से]
A \times C \subseteq B \times D \\ \Rightarrow A \subseteq B तथा C \subseteq D \Rightarrow A \times C \subseteq B \times D
Illustration:6.सिद्ध कीजिए कि (prove that)
Illustration:6(i). P(\phi)=\{\phi\}
Solution:माना A=\phi \\ \Rightarrow P(A)=\{\phi\} \\ \Rightarrow P(\phi)=\{\phi\}
Illustration:6(ii).यदि A \subset B तो P(A) \subset P(B)
Solution: A \subset B
माना x \in A \Rightarrow x \in B \quad[\because A \subset B] \\ \left\{x \right\} , \phi \in P(A) \cdots(1)
परन्तु \left\{x \right\}, \phi \in P(B) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
P(A) \subset P(B)
Illustration:6(iii). P(A) \cup P(B) \subset P(A \cup B) ,एक उदाहरण द्वारा प्रदर्शित कीजिए कि (given an example to show that) P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)
Solution:यदि A={x}, B={y}
तथा A \cup B=\{x, y\} \\ P(A)=\{\phi,\{x\}\} \\ P(B)=\{\phi,\{y\}\} \\ P(A) \cup P(B)=\{\phi,\{x\},\{y\}\} \cdots(1) \\ P(A \cup B)=\{\phi,\{x\},\{y\},\{x, y\}\} \cdots(2)
(1) व (2) सेः
P(A) \cup P(B) \subset P(A \cup B)
परन्तु P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)
Illustration:6(iv). P(A) \cap P(B)=P(A \cap B)
Solution: P(A) \cap P(B)=P(A \cap B)
माना A={x},B={y}
A \cap B=\phi \\ P(A)=\{\phi,\{x\}\}, P(B)=\{\phi,\{y\}\} \\ P(A \cap B)=\{\phi\}, P(A) \cap P(B)=\{\phi\}
अतः P(A) \cap P(B)=P(A \cap B)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions),विविक्त गणित में समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions in Discrete Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.समुच्चय एवं साध्य पर आधारित सवाल (Questions Based on Sets and Propositions):

Sets and Propositions

सिद्ध करो कि (prove that)
(1.) A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)
(2.) (A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions),समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions),विविक्त गणित में समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions in Discrete Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समुच्चय एवं साध्य (Frequently Asked Questions Related to Sets and Propositions),समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions),विविक्त गणित में समुच्चय एवं साध्य (Sets and Propositions in Discrete Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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के आधार पर समुच्चय के कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।