1.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 12):

Nature of Roots of Quadratic Equation

द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations) के इस आर्टिकल में द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति समझने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।
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2.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति के उदाहरण (Nature of Roots of Quadratic Equation Illustrations):

Illustration:1.दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 हो।
Solution:माना दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक x,x+2 हैं।
प्रश्नानुसार: x^2+(x+2)^2=290 \\ \Rightarrow x^2+x^2+4 x+4-290=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+4 x-286=0 \\ \Rightarrow 2\left(x^2+2 x-143\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+2 x-143=0 \\ \Rightarrow x^2+13 x-11 x-143=0 \\ \Rightarrow x(x+13)-11(x+13)=0 \\ \Rightarrow(x-11)(x+13)=0 \\ \Rightarrow x-11=0 \Rightarrow x=1) \\ \Rightarrow x+13=0 \Rightarrow x=-13 (असम्भव है)
x=11
\Rightarrow x+2=11+2=13
11,13
Illustration:2.दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या की चार गुना है।दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Solution:माना छोटी संख्या=x
बड़ी संख्या=\frac{x^2}{4}
\left(\frac{x^2}{4}\right)^2-x^2=45 \\ \Rightarrow \frac{x^4}{16}-x^2=45 \\ \Rightarrow x^4-16 x^2=720 \\ \Rightarrow x^4-16 x^2-720=0 \\ \Rightarrow x^4-36 x^2+20 x^2-720=0 \\ \Rightarrow x^2\left(x^2-36\right)+20\left(x^2-36\right)=0 \\ \Rightarrow\left(x^2+20\right)\left(x^2-36\right)=0 \\ \Rightarrow x^2+20=0 (असम्भव है)
x^2-36=0 \Rightarrow x^2=36 \\ \Rightarrow x= \pm \sqrt{36}= \pm 6
x=6 तो बड़ी संख्या=\frac{(6)^2}{4}=\frac{36}{4}=9
x=-6 तो बड़ी संख्या=\frac{(-6)^2}{4}=\frac{36}{4}=9
अतः दोनों संख्याएँ 6,9 या -6,9 हैं।
Illustration:3.16 को दो ऐसे भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि बड़े भाग के वर्ग का दो गुना छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है।
Solution:माना छोटा भाग=x,बड़ा भाग=16-x
2(16-x)^2=x^2+164 \\ \Rightarrow 2\left(256+x^2-32 x\right)=x^2+164 \\ \Rightarrow 2 x^2-64 x+512-x^2-164=0 \\ \Rightarrow x^2-64 x+348=0 \\ \Rightarrow x^2-58 x-6 x+348=0 \\ \Rightarrow x(x-58)-6(x-58)=0 \\ \Rightarrow (x-6)(x-58)=0 \\ \Rightarrow x-6=0 \Rightarrow x=6 \\ \Rightarrow x-58=0 \Rightarrow x=58 (असम्भव है।)
\Rightarrow x=6,16-x=16-6=10 \\ \Rightarrow 6,10
Illustration:4.k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल वास्तविक व भिन्न हैं।
Illustration:4(i). k x^2+2 x+1=0
Solution: k x^2+2 x+1=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=k, b=2,c=1
यदि मूल वास्तविक व भिन्न हैं तो
b^2 > 4ac \\ \Rightarrow(2)^2>4 \times k \times 1 \\ \Rightarrow 4 k < 4 \\ \Rightarrow k<1
Illustration:4(ii). k x^2+6 x+1=0
Solution: k x^2+6 x+1=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=k, b=6,c=1
यदि मूल वास्तविक व भिन्न हैं अतः
b^2 > 4ac \\ \Rightarrow(6)^2>4 \times k \times 1 \\ \Rightarrow 4k < 36 \\ \Rightarrow k < 9
Illustration:4(iii). x^2-k x+9=0
Solution: x^2-k x+9=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=1, b=-k,c=9
यदि मूल वास्तविक व भिन्न हैं अतः
b^2 > 4ac \\ \Rightarrow(-k)^2>4 \times 1 \times 9 \\ \Rightarrow k^2>36 \\ \Rightarrow k^2-36>0 \\ \Rightarrow (k+6)(k-6)>0
\Rightarrow k+6 < 0 तो k-6>0 \\ \Rightarrow k < -6, k > 6 \\ \Rightarrow k>6, k<-6
Illustration:5.k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण x^2+5 k x+16=0 के मूल वास्तविक नहीं है।
Solution: x^2+5 k x+16=0
द्विघात समीकरण के मनक रूप a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=1, b=5k,c=16
मूल वास्तविक नहीं हैं अतः
b^2<4ac \\ \Rightarrow(5 k)^2<4 \times 1 \times 16 \\ \Rightarrow 25 k^2< 64 \\ \Rightarrow k^2<\frac{64}{25} \\ \Rightarrow k< \sqrt{\frac{64}{25}} \\ k< \pm \frac{8}{5} \\ \Rightarrow-\frac{8}{5} < k<\frac{8}{5}
Illustration:6.यदि द्विघात समीकरण (b-c) x^2+(c-a) x+(a-b)=0 के मूल वास्तविक व बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि 2b=a+c
Solution: (b-c) x^2+(c-a) x+(a-b)=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप A x^2+B x+C=0 से तुलना करने परः
A=b-c,B=c-a,C=a-b
मूल वास्तविक व समान हैं अतः
B^2=4 A C \\ \Rightarrow (c-a)^2=4(b-c)(a-b) \\ \Rightarrow c^2-2 a c+a^2=4\left(a b-b^2-a c+b c\right) \\ \Rightarrow c^2-2 a c+a^2=4 a b-4 b^2-4 a c+4 b c \\ \Rightarrow 4 b^2-4 b c+c^2-4 a b+2 a c+a^2=0 \\ \Rightarrow (2 b)^2-4 b c+c^2-2 a(2 b-c)+a^2=0 \\ \Rightarrow (2 b-c)^2-2 a(2 b-c)+ a^2=0 \\ \Rightarrow (2 b-c-a)^2=0 \\ \Rightarrow 2 b-c-a=0 \\ \Rightarrow 2 b=c+a
Illustration:7.एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 वर्गमीटर है।भूखण्ड की लम्बाई (मीटर में),चौड़ाई के दोगुने से 1 अधिक है।अभीष्ट द्विघात समीकरण निरूपित कर भूखण्ड की लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना भूखण्ड की चौड़ाई=x
भूखण्ड की लम्बाई=2x+1
प्रश्नानुसार: क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
x(2 x+1)=528 \\ \Rightarrow 2 x^2+x=528 \\ \Rightarrow 2 x^2+x-528=0 \\ \Rightarrow 2 x^2+33 x-32 x-528=0 \\ \Rightarrow x(2 x+33)-16(2 x+33)=0\\ \Rightarrow(2 x+33)(x-16)=0 \\ \Rightarrow 2 x+33=0 \Rightarrow x=-\frac{33}{2} (असम्भव है।)
\Rightarrow x-16=0 \Rightarrow x=16
लम्बाई=2x+1=2×16+1=32+1=33
चौड़ाई=16,लम्बाई=33

Nature of Roots of Quadratic Equation

Illustration:8.द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल कीजिए।
Solution: x^2+4 x-5=0 \\ \Rightarrow x^2+4 x=5
दोनों पक्षों में x के गुणांक का आधा \frac{4}{2}=2 का वर्ग जोड़ने परः
\Rightarrow x^2+4 x+2^2=5+2^2 \\ \Rightarrow(x+2)^2=5+4 \\ \Rightarrow(x+2)^2=9 \\ \Rightarrow x+2= \pm \sqrt{9} \\ \Rightarrow x+2= \pm 3 \\ \Rightarrow x=-2 \pm 3 \\ \Rightarrow x=-2+3,-2-3 \\ \Rightarrow x=1,-5
Illustration:9.यदि द्विघात समीकरण 2 x^2+p x-15=0 का एक मूल -5 हो तथा द्विघात समीकरण p\left(x^2+x\right)+k=0 के मूल बराबर हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: 2 x^2+p x-15=0
x=-5 रखने परः
2(-5)^2+p \times -5-15=0 \\ \Rightarrow 25 \times 2-5 p-15=0 \\ \Rightarrow -5 p=-50+15 \\ \Rightarrow p=\frac{-35}{-5}=7
p\left(x^2+x\right)+k=0 के मूल बराबर हैं अतः
b^2-4 a c=0 \\ \Rightarrow p^2-4 \times p \times k=0 \\ \Rightarrow(7)^2-4 \times 7 \times k=0 \\ \Rightarrow 28 k=49 \\ \Rightarrow k=\frac{49}{28}=\frac{7}{4}
Illustration:10.श्रीधर आचार्य द्विघाती सूत्र का उपयोग करके निम्न समीकरणों को हल कीजिए:
Illustration:10(i). p^2 x^2+\left(p^2-q^2\right) x-q^2=0
Solution: p^2 x^2+\left(p^2-q^2\right) x-q^2=0
उपर्युक्त समीकरण की a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=p^2 , b=p^2-q^2, c=-q^2
द्विघाती सूत्र: x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ = \frac{-\left(p^2-q^2\right) \pm \sqrt{\left(p^2-q^2\right)^2-4 \times p^2 \times-q^2}}{2 \times p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2 \pm \sqrt{p^4+q^4-2 p^2 q^2+4 p^2 q^2}}{2 p^2} \\=\frac{-p^2+q^2 \pm\sqrt{p^4+q^4+2 p^2 q^2}}{2 p^2} \\ =\frac{-p^2+ q^2 \pm \sqrt{\left(p^2+q^2\right)^2}}{2 p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2 \pm\left(p^2+q^2\right)}{2 p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2+p^2+q^2}{2 p^2},-\frac{p^2+q^2-p^2-q^2}{2 p^2} \\ =\frac{2 q^2}{2 p^2},-\frac{2 p^2}{2 p^2} \\ \Rightarrow x=\frac{q^2}{p^2},-1x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ = \frac{-\left(p^2-q^2\right) \pm \sqrt{\left(p^2-q^2\right)^2-4 \times p^2 \times-q^2}}{2 \times p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2 \pm \sqrt{p^4+q^4-2 p^2 q^2+4 p^2 q^2}}{2 p^2} \\=\frac{-p^2+q^2 \pm\sqrt{p^4+q^4+2 p^2 q^2}}{2 p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2 \pm \sqrt{\left(p^2+q^2\right)^2}}{2 p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2 \pm \left(p^2+q^2 \right)}{2 p^2} \\ =\frac{-p^2+q^2+p^2+q^2}{2 p^2},\frac{-p^2+q^2-p^2-q^2}{2 p^2} \\ =\frac{2 q^2}{2 p^2},-\frac{2 p^2}{2 p^2} \\ \Rightarrow x=\frac{q^2}{p^2},-1
Illustration:10(ii). 9 x^2-9(a+b) x+\left(2 a^2+5 a b+2 b^2\right)=0
Solution: 9 x^2-9(a+b) x+\left(2 a^2+5 a b+2 b^2\right)=0
उपर्युक्त समीकरण की A x^2+B x+C=0 से तुलना करने परः
A=9, B=-9(a+b), C=2 a^2+5 a b+2 b^2
द्विघाती सूत्र: x=\frac{-B \pm \sqrt{B^2-4 A C}}{2 A} \\ =\frac{9(a+b) \pm \sqrt{[-9(a+b)]^2-4 \times 9 \times \left(2 a^2+5a b+2 b^2\right)}}{2 \times 9} \\ =\frac{9 a+9 b \pm \sqrt{81\left(a^2+b^2+2 a b \right)-36\left(2 a^2+5 a b+2 b^2\right)}}{18} \\ =\frac{9 a+9 b \pm \sqrt{81 a^2+81 b^2+162 a b-72 a^2-180 a b-72 b^2}}{18} \\ =\frac{9 a+9 b \pm \sqrt{9 a^2+9 b^2-18 a b}}{18} \\ =\frac{9 a+9 b \pm \sqrt{9\left(a^2+b^2-2 a b\right)}}{18} \\ =\frac{9 a+9 b \pm 3 \sqrt{(a-b)^2}}{18} \\ =\frac{9 a+9 b \pm 3(a-b)}{18} \\ =\frac{9 a+9 b \pm(3 a-3 b)}{18} \\ =\frac{9 a+9 b+3 a-3 b}{18}, \frac{9 a+9 b-3 a+3 b}{18} \\ =\frac{12 a+6 b}{18}, \frac{6 a+12 b}{18} \\ =\frac{6(2 a+b)}{18}, \frac{6(a+2 b)}{18} \\ \Rightarrow x=\frac{2 a+b}{3}, \frac{a+2 b}{3}
मूलों को ज्ञात किए बिना ही निम्न समीकरणों के मूलों की प्रकृति पर टिप्पणी कीजिए:
Illustration:11. 3 x^2-6 x+5=0
Solution: 3 x^2-6 x+5=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=3, b=-6,c=5
b^2-4 a c \\ =(-6)^2-4 \times 3 \times 5=36-60 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=-24<0
अतः मूल वास्तविक नहीं है।
Illustration:12. p^2 x^2+4 p q x+4 q^2=0
Solution: p^2 x^2+4 p q x+4 q^2=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप से a x^2+b x+c=0 तुलना करने परः
a=p^2, b =4 p q, c=4 q^2 \\ b^2-4 a c =(4 p q)^2-4 \times p^2 \times 4 q^2 \\ =16 p^2 q^2-16 p^2 q^2 \\=0 \\ \Rightarrow b^2-4ac=0
मूल वास्तविक व बराबर हैं।
Illustration:13. 5 y^2+12 y-9=0
Solution: 5 y^2+12 y-9=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=5, b=12,c=-9
b^2-4 a c=(12)^2-4 \times 5 \times-9=144+180 \\ \Rightarrow b^2-4 a c=324>0
मूल वास्तविक व पृथक-पृथक विद्यमान हैं।
Illustration:14. 6 x^2-7 x+2=0
Solution: 6 x^2-7 x+2=0
द्विघात समीकरण के मानक रूप  a x^2+b x+c=0 से तुलना करने परः
a=6, b=-7,c=2
b^2-4ac =(-7)^2-4 \times 6 \times 2 \\ =49-48=1 \\ \Rightarrow b^2-4ac=1>0
मूल वास्तविक व पृथक-पृथक विद्यमान हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 12) को समझ सकते हैं।

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3.द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Frequently Asked Questions Related to Nature of Roots of Quadratic Equation),द्विघात समीकरण कक्षा 10 (Quadratic Equation Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots of Quadratic Equations) के इस
आर्टिकल में द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति समझने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।