1.कक्षा 11 में गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning in Class 11),गणितीय विवेचन कक्षा 11 (Mathematical Reasoning Class 11):

Mathematical Reasoning in Class 11

कक्षा 11 में गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning in Class 11) के इस आर्टिकल में कथनों के निषेधन,सप्रतिबन्ध कथनों के विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखने पर आधारित सवालों को हल करके अध्ययन करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Conditional Statements Class 11

2.कक्षा 11 में गणितीय विवेचन पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Mathematical Reasoning in Class 11):

Illustration:1.निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिए:
Illustration:1(i).प्रत्येक धन वास्तविक संख्या x के लिए संख्या x-1 भी धन संख्या है।
Solution:एक ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्या x का अस्तित्व है कि x-1 धनात्मक नहीं है।
Illustration:1(ii).सभी बिल्लियाँ खरोंचती है।
Solution:एक ऐसी बिल्ली का अस्तित्व है जो खरोंचती नहीं है।
Illustration:1(iii).प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए या तो x >1 या x< 1
Solution:एक ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व है कि न तो x >1 और न x< 1.
Illustration:1(iv).एक ऐसी संख्या x का अस्तित्व है कि 0< x< 1
Solution:किसी ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व नहीं है कि 0< x< 1.
Illustration:2.निम्नलिखित सप्रतिबन्ध कथनों (अंतर्भाव) में से प्रत्येक का विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखिए:
Illustration:2(i).एक धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है केवल यदि 1 और पूर्णांक स्वयं के अतिरिक्त उसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
Solution:कथन इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: “यदि एक धन पूर्णांक अभाज्य है,तो 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त इसका कोई अन्य भाज्य नहीं है।” विलोम:यदि एक पूर्णांक के 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाज्य नहीं है तो वह धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है। प्रतिधनात्मक:यदि एक धन पूर्णांक के 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाजक भी है,तो वह पूर्णांक अभाज्य संख्या नहीं है।
Illustration:2(ii).मैं समुद्र तट पर जाता हूँ जब कभी धूप वाला दिन होता है।
Solution:दिए हुए कथन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:यदि दिन में धूप है तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ। विलोम:यदि मैं समुद्र तट पर जाता हूँ,तो दिन में धूप है।
Illustration:2(iii).यदि बाहर गरम है,तो आपको प्यास लगती है।
Solution:विलोम:यदि आपको प्यास लगी है,तो बाहर गरम है। प्रतिधनात्मक:यदि आपको प्यास नहीं लगती है,तो बाहर गर्मी नहीं है।

Mathematical Reasoning in Class 11

Illustration:3.निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को “यदि p,तो q” के रूप में लिखिए।
Illustration:3(i).सर्वर पर लाग आन करने के लिए पासवर्ड का होना आवश्यक है।
Solution:यदि सर्वर पर लाग आन है,तो पासवर्ड ज्ञात है।
Illustration:3(ii).जब कभी वर्षा होती है यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
Solution:यदि वर्षा होती है, तो यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
Illustration:3(iii).आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं केवल यदि आपने निर्धारित शुल्क का भुगतान किया हो।
Solution:यदि आप निर्धारित शुल्क का भुगतान करते हैं,तो आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं।
Illustration:4.निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को “p यदि और केवल यदि q” के रूप में पुनः लिखिए:
Illustration:4(i).यदि आप दूरदर्शन (टेलीविजन) देखते हैं,तो आपका मन मुक्त होता है तथा यदि आपका मन मुक्त है,तो आप दूरदर्शन देखते हैं।
Solution:आप टेलीविजन देखते हैं यदि और केवल आपका मन मुक्त है।
Illustration:4(ii).आपके द्वारा A-ग्रेड प्राप्त करने के लिए यह अनिवार्य और पर्याप्त है कि आप गृहकार्य नियमित रूप से करते हैं।
Illustration:4(iii).यदि एक चतुर्भुज समान कोणिक है,तो वह एक आयत होता है तथा यदि एक चतुर्भुज आयत है,तो वह समान कोणिक होता है।
Solution:एक चतुर्भुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि वह एक आयत है।
Illustration:5.नीचे दो कथन दिए हैं,
p: 25 संख्या 5 का एक गुणज है।
q: 25 संख्या 8 का एक गुणज है।
उपरोक्त कथनों का संयोजक ‘और’ तथा ‘या’ द्वारा संयोजक करके मिश्र कथन लिखिए।दोनों दशाओं में प्राप्त मिश्र कथनों की वैधता जाँचिए।
Solution:”और” से प्रयुक्त मिश्र कथन: $\to$ 25 संख्या 5 और 8 का गुणज है।
यह असत्य है।
“या” से प्रयुक्त मिश्र कथन: $\to$ 25 संख्या 5 या 8 का गुणज है। यह सत्य है।
Illustration:6.नीचे लिखे कथनों की वैधता की जाँच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए।
Illustration:6(i).p:एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है (विरोधोक्ति विधि)।
Solution:माना कि $\sqrt{a}$ अपरिमेय तथा b परिमेय संख्याएँ हैं। दोनों का योग=$b+\sqrt{a}=z$
माना कि यह योग अपरिमेय नहीं है।यदि z अपरिमेय नहीं है तो यह परिमेय संख्या है।
$\therefore b+\sqrt{a}=\frac{p}{q} \cdots(1)$
जबकि p और q पूर्णांक हैं, $q \neq 0$ तथा उनमें कोई समान गुणनखण्ड नहीं है।समीकरण (1) से:
$\sqrt{a}=\frac{p}{q}-b$
LHS=$\sqrt{a}$= एक अपरिमेय संख्या
RHS=$\frac{p}{q}-b$=एक परिमेय संख्या यह दोनों विरोधात्मक हैं।अतः योग z परिमेय संख्या नहीं हो सकती।
Illustration:6(ii).q:यदि n एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि n >3, तो $n^2 > 9$ (विरोधोक्ति विधि)।
Solution:माना कि $n^2 > 9$ नहीं है जबकि n >3
n=3+a रखने पर:
$n^2=(3+a)^2 \\ =a^2+6 a+9 \\ =9+\left(a^2+6 a\right) \\ \Rightarrow n^2 > 9$
पूर्वनिर्धारित कथन और यह कथन विरोधात्मक है। अतः जब n>3 तो $n^2 > 9$
Illustration:7.निम्नलिखित कथन को पाँच भिन्न-भिन्न तरीकों से इस प्रकार व्यक्त कीजिए कि उनके अर्थ समान हों
q:’यदि एक त्रिभुज समान कोणिक है,तो वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।’
Solution:(i)एक त्रिभुज समान कोणिक है का तात्पर्य है वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।
(ii)कोई त्रिभुज समान कोणिक है केवल यदि वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।
(iii)किसी त्रिभुज के समान कोणिक होने के लिए यह अनिवार्य है कि वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।
(iv)किसी अधिक कोण त्रिभुज होने के लिए यह पर्याप्त है कि वह त्रिभुज समान कोणिक है।
(v)यदि एक अधिक कोण त्रिभुज नहीं है,तो वह त्रिभुज समान कोणिक नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning in Class 11),गणितीय विवेचन कक्षा 11 (Mathematical Reasoning Class 11) को समझ सकते हैं।

Mathematical Reasoning in Class 11

Also Read This Article:- Validating Statements Class 11

3.कक्षा 11 में गणितीय विवेचन (Frequently Asked Questions Related to Mathematical Reasoning in Class 11),गणितीय विवेचन कक्षा 11 (Mathematical Reasoning Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 11 में गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning in Class 11) के इस आर्टिकल में
कथनों के निषेधन,सप्रतिबन्ध कथनों के विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखने पर आधारित
सवालों को हल करके अध्ययन करेंगे।