1.विविक्त गणित में ग्रुप (Groups in Discrete Mathematics),ग्रुप (Groups):

Groups in Discrete Mathematics

विविक्त गणित में ग्रुप (Groups in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में ग्रुप और आबेली ग्रुप पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त गणित में ग्रुप के साधित उदाहरण (Groups in Discrete Mathematics Solved Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि समुच्चय G={0,1,2,3,4} संक्रिया ‘+_{5}‘ के लिए एक क्रमविनिमेय ग्रुप है,जहाँ निम्न प्रकार परिभाषित है:
(Show that G={0,1,2,3,4} is an abelian group for the operation ‘+_{5}‘ defined as follows):
a +_{5} b =\left\{\begin{array}{l}a+b \text {, यदि (if) } a+b<5 \\ a+b-5 \text {, यदि (if) } a+b \geq 5\end{array}\right.
Solution: a +_{5} b =\left\{\begin{array}{l}a+b \text {, यदि (if) } a+b<5 \\ a+b-5 \text {, यदि (if) } a+b \geq 5\end{array}\right. \\ \begin{array}{c|ccccc} +_{5} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}
सारणी से स्पष्ट है कि:
(1.)G,+_{5} संक्रिया के लिए संवृत है क्योंकि सारणी का प्रत्येक अवयव G का अवयव है।
(2.)समस्त योग सहचारी संक्रिया है अतः उपसमुच्चय G में भी होगी।
(3.)G का तत्समक अवयव 0 है।
(4.) (0)^{-1}=0,1^{-1}=4,2^{-1}=3, 3^{-1}=2,4^{-1}=1 अर्थात् 0,1,2,3,4 का प्रतिलोम अवयव क्रमशः 0,4,3,2,1 है।
(5.)सारणी मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है अतः G एक क्रमविनिमेय (आबेली) ग्रुप है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि अशून्य वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R_{o} पर चार एकाकी आच्छादक रूपान्तरणों f_1, f_2, f_3 तथा f_4 तथा जो कि निम्न प्रकार परिभाषित है का समुच्चय,संयुक्त फलन के लिए एक ग्रुप है।
(Prove that the set of four bijective transformations f_1, f_2, f_3 , f_4 of R_{o} defined as give below for a group under composite of functions):
f_1(x)=x, f_2(x)=-x, f_3(x)=\frac{1}{x}, f_4(x)=-\frac{1}{x}
Solution:संयुक्त फलन की क्रिया को o द्वारा परिभाषित करें तो
\left(f_1 \circ f_1\right)(x)=f_1\left(f_1(x)\right)=f_1(x)=x=f_1(x) \\ \left(f_1 \circ f_2\right)(x)= f_1\left(f_2(x)\right)=f_1(-x)=-x=f_2(x) \\ \therefore f_1 \circ f_1=f_1, f_1 \circ f_2=f_2
इसी प्रकार f_1 \circ f_3=f_3, f_1 \circ f_4=f_4 \\ \left(f_2 \circ f_1\right)(x)=f_2\left(f_1(x)\right)=f_2(x)=-x=f_2(x) \\ \therefore f_2 \circ f_1=f_2 \\ \left(f_2 \circ f_2\right)(x)=f_2\left(f_2(x)\right)=f_2(-x)=x=f_1(x) \\ \therefore f_2 \circ f_2=f_1 \\ \left(f_2 \circ f_3\right)(x)=f_2\left(f_3(x)\right)=f_2\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}=f_4(x) \\ \therefore f_2 \circ f_3=f_4 \\ \left(f_2 \circ f_4\right)(x)=f_2\left(f_4(x)\right)=f_2\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}=f_3(x) \\ \therefore f_2 \circ f_4=f_3 \\ \left(f_3 \circ f_1\right)(x)=f_3\left(f_1(x)\right)=f_3(x)=\frac{1}{x}=f_3(x) \\ \therefore f_3 \circ f_1=f_3 \\ \left(f_3 \circ f_2\right)(x)=f_3\left(f_2(x)\right)=f_3(-x)=-\frac{1}{x}=f_4(x) \\ \therefore f_3 \circ f_2=f_4 \\ \left(f_3 \circ f_3\right)(x)=f_3\left(f_3(x)\right)=f_3(x)=x=f_1(x) \\ \therefore f_3 \circ f_3=f_1 \\ \left(f_3 \circ f_4\right)(x)=f_3\left(f_4(x)\right)=f_3\left(-\frac{1}{x}\right)=-x=f_2(x) \\ \therefore f_3 \circ f_4=f_2 \\ \left(f_4 \circ f_1\right)(x)=f_4\left(f_1(x)\right)=f_4(x)=-\frac{1}{x}=f_4(x) \\ \therefore f_4 \circ f_1=f_4 \\ \left(f_4 \circ f_2\right)(x)=f_4\left(f_2(x)\right)=f_4(-x)=\frac{1}{x}=f_3(x) \\ \left(f_4 \circ f_2=f_3\right)(x)= f_4\left(f_3(x)\right)=f_4\left(\frac{1}{x}\right)=-x=f_2(x) \\ \therefore f_4 \circ f_3=f_2 \\ \left(f_4 \circ f_4\right)(x)=f_4\left(f_4(x)\right)=f_4\left(-\frac{1}{x}\right)=x=f_1(x) \\ \therefore f_4 \circ f_4=f_1
इसी प्रकार सभी सम्भावित संयोजन करके उन्हें सारणी द्वारा निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
\begin{array}{l|llll} 0 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ \hline f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_2 & f_1 & f_4 & f_3 \\ f_3 & f_3 & f_4 & f_1 & f_2 \\ f_4 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 \end{array}
सारणी से स्पष्ट है कि:
(1.)R_{o} संयुक्त फलन संक्रिया के लिए संवृत है क्योंकि सारणी का प्रत्येक अवयव R_{o} का अवयव है।
(2.)समस्त रूपान्तरणों के समुच्चय में ‘संयुक्त फलन’ एक सहचारी संक्रिया है अतः उपसमुच्चय R_{o} में भी होगी।
(3.) R_{o} का तत्समक अवयव f_{1} है।
(4.) f_1^{-1}=f_1, f_2^{-1}=f_2, f_3^{-1}=f_3, f_4^{-1}=f_4 अर्थात् f_1 ,f_2, f_3, f_4 के प्रतिलोम अवयव क्रमशः f_1 ,f_2, f_3, f_4 हैं।
(5.)सारणी मुख्य विकर्ण के सापेक्ष सममित है अतः R_{o} एक क्रमविनिमेय (आबेली) ग्रुप है।
Example:3.सिद्ध कीजिए कि निम्न आव्यूहों का समुच्चय मैट्रिक्स-गुणन संक्रिया के लिए क्रमविनिमेय ग्रुप है:
(Show that the set of the following matrices is a commutative group for multiplication of matrices):
\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]
यहाँ A एक एकिक मैट्रिक्स (unit matrix) है इसलिए
AA=A,AB=B,AC=C,AD=DA=D
BB=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=A \\ B C=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=D \\ BD=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=C \\ CB=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=D \\ C D=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=B \\ CC=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=A \\ DB=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=C \\ D C=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=B \\ DD=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=A
उपर्युक्त गुणनफलों के आधार पर उपर्युक्त आव्यूहों के मैट्रिक्स गुणन की निम्न संक्रिया सारणी प्राप्त होती हैः
\begin{array}{c|cccc} \text { मैट्रिक्स गुणन } & A & B & C & D \\ \hline A & A & B & C & D \\ B & B & A & D & C \\ C & C & D & A & B \\ D & D & C & B & A \end{array}
अब सारणी का अवलोकन करने पर निम्न तथ्य स्पष्ट हैंः
(1.)उपर्युक्त सारणी में सभी अवयव G के सदस्य हैं अतः G में मैट्रिक्स गुणन एक द्विचर संक्रिया है।
(2.)A(BC)=AD=D तथा (AB)C=BC=D इत्यादि।
अतः G में मैट्रिक्स गुणन संक्रिया साहचर्य है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of identity element):
सारणी से स्पष्ट है कि मैट्रिक्स A, (G,आव्यूह गुणन) निकाय का तत्समक अवयव है,क्योंकि सारणी में उच्चतम पंक्ति तथा A से प्रारम्भ होने वाली पंक्ति एक समान है।
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):सारणी से स्पष्ट है कि A,B,C तथा D के प्रतिलोम क्रमशः A,B,C,D हैं।
(5.)चूँकि सारणी मुख्य विकर्ण के प्रति सममित है अतः G एक आबेली ग्रुप है।
फलतः G,आव्यूह गुणन के लिए एक आबेली ग्रुप है।

Groups in Discrete Mathematics

Example:4.सिद्ध कीजिए कि A_\alpha=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] आकार की सभी मैट्रिक्स का समुच्चय मैट्रिक्स गुणन के लिए क्रमविनिमेय ग्रुप है।
(Show that the set of all matrices of the form A_\alpha=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right], \alpha \in R is an abelian group for matrices multiplication.)
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):माना कि
G=\left[A_\alpha | A_\alpha=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] ; \alpha \in R\right]
हम जानते हैं कि 2×2 क्रम की दो मैट्रिक्स गुणन एक 2×2 की मैट्रिक्स होती है तथा साथ ही यदि
A_{\alpha}=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right], A_{\beta}=\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right] जहाँ \alpha, \beta \in R
तब A_{\alpha} A_{\beta}=\left[\begin{array}{l} \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta-\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{lr} \cos (\alpha+\beta) & -\sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & \cos (\alpha+\beta) \end{array}\right]=A_{\alpha+\beta} \in G \\ \left[ \because \alpha \in R, \beta \in R \Rightarrow \alpha+\beta \in R \right]
फलतः मैट्रिक्स गुणन G में एक द्विचर संक्रिया है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):किसी स्वेच्छ (arbitrary) तीन वास्तविक संख्याओं \alpha, \beta तथा \gamma के लिए माना
A_{\alpha}=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right], A_{\beta}=\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right] तथा A_\gamma=\left[\begin{array}{ll} \cos \gamma & -\sin \gamma \\ \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right]
मैट्रिक्स G में है तब
\left(A_\alpha A_{\beta}\right) A_{\gamma}=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc} \cos \gamma & -\sin \gamma \\ \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc} \cos \left[(\alpha+\beta)+\gamma \right] & -\sin \left[(\alpha+\beta)+\gamma \right] \\ \sin \left[(\alpha+\beta)+\gamma \right] & \cos \left[(\alpha+\beta)+\gamma \right] \end{array}\right] 
परन्तु (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \forall \alpha, \beta , \gamma \in R \\ \therefore \left(A_{\alpha} A_{\beta}\right) A_{\gamma} =\left[\begin{array}{cc} \cos \left[\alpha+(\beta+\gamma) \right] & -\sin \left[\alpha+(\beta+\gamma) \right] \\ \sin \left[\alpha+(\beta+\gamma) \right] & \cos \left[\alpha+(\beta+\gamma) \right] \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos (\beta+\gamma) & -\sin (\beta+\gamma) \\ \sin (\beta+\gamma) & \cos (\beta+\gamma) \end{array}\right] \\=A_{\alpha}\left\{ \left[\begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \gamma & -\sin \gamma \\ \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right] \right\} \\ =A_{\alpha}(A_{\beta} A_{\gamma}) \\ \therefore \left(A_{\alpha} A_{\beta}\right) A_{\gamma} =A_{\alpha}(A_{\beta} A_{\gamma}), \forall A_{\alpha}, A_{\beta}, A_{\gamma} \in G
इससे यह सिद्ध होता है कि G में मैट्रिक्स गुणन संक्रिया साहचर्य है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity):
वास्तविक संख्याओं में यौगिक संक्रिया के लिए 0 तत्समक अवयव है इसलिए
A_0=\left[\begin{array}{cc} \cos 0 & -\sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{array}\right] का अस्तित्व है तथा A_{0} \in G
अब A_0 A_\alpha=A_{0+\alpha}=A_{\alpha+0}=A_\alpha A_0
तथा A_{0+\alpha}=A_{\alpha+0}=A_\alpha
अतः A_0 A_\alpha=A_\alpha=A_\alpha A_0 \quad \forall A_\alpha \in G
अतः A_0 \in G जहाँ A_0=\left[\begin{array}{ll} \cos 0 & -\sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]
मैट्रिक्स गुणन का तत्समक अवयव G में है।
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
यदि \alpha कोई स्वेच्छ वास्तविक संख्या है तथा
A_\alpha=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \in G तब
क्योंकि |A_{\alpha}|=\cos^2 \alpha + \sin ^2 \alpha=1 \neq 0
इसलिए \left( A_\alpha \right)^{-1} का अस्तित्व है साथ ही
\text{Adj.} A_\alpha=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]
इसलिए A_\alpha^{-1} =\frac{\text{Adj.} A_\alpha}{|A_\alpha|}=\frac{1}{1} \cdot\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc} \cos (-\alpha) & -\sin (-\alpha) \\ \sin (-\alpha) & \cos (-\alpha) \end{array}\right] \\ =A_{-\alpha}
अब \alpha \in R \Rightarrow-\alpha \in R \Rightarrow A-\alpha \in G
अतः G में प्रत्येक मैट्रिक्स गुणन संक्रिया के लिए प्रतिलोम का अस्तित्व है तथा वह G का अवयव है।
(5.)क्रमविनिमेय (Commutativity):
\forall A_\alpha, A_\beta \in G, A_\alpha A_\beta=A_{\alpha+\beta} \\ =A_{\beta+\alpha}[\because \alpha+\beta=\beta+\alpha \forall \alpha, \beta \in R] \\ =A_\beta A_\alpha
अतः G में मैट्रिक्स गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय है फलतः यह सिद्ध होता है (G,मैट्रिक्स गुणन) एक आबेली ग्रुप है।
Example:5.सिद्ध कीजिए कि सामान्य गुणा संक्रिया के लिए सब पूर्णांकों का समुच्चय ग्रुप (समूह) नहीं है।
(Prove that the set of all integers is not a group under the operation of ordinary multiplication.)
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):माना कि G=\{x \mid x \in I\} \\ x \times y=x y \in I
अतः सामान्य गुणन G में संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):
x, y, z \in I \\ (x y) z=x y z \\ \Rightarrow(x y) z=x(y z)
अतः सामान्य गुणन सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
माना तत्समक अवयव b है; b \in I \\ x b=x \Rightarrow b=\frac{x}{x} \\ \Rightarrow b=1 \in I
सामान्य गुणन संक्रिया के लिए तत्समक अवयव 1 है जो पूर्णांक है।
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना प्रतिलोम अवयव a है
x a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{x}
यदि x=0 तो a अपरिभाषित है।
अतः सामान्य गुणन के लिए सब पूर्णांकों का समुच्चय समूह नहीं है।
Example:6.सिद्ध कीजिए कि \left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right] , a, b \in R आकार की सभी आव्यूहों का समुच्चय योग संक्रिया के लिए ग्रुप है।
(Show that the set of all matrices of the form \left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right] , a, b \in R is a group for matrix multiplication):
Solution:(1.)संवृतता (Closure Property):
माना कि A=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right] तथा B=\left[\begin{array}{ll} 0 & c \\ 0 & d \end{array}\right] , a,b,c,d \in R समुच्चय G के दो अवयव हैं।अतः A+B=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & c \\ 0 & d \end{array}\right] \\ \Rightarrow A+B=\left[\begin{array}{ll} 0 & a+c \\ 0 & b+d \end{array}\right] \\ \left[ \because a,b,c,d \in R \Rightarrow a+c,b+d \in R \right] \\ \therefore A+B \in G, अतः G मैट्रिक्स गुणन के लिए संवृत है।
(2.)साहचर्यता (Associativity):मैट्रिक्स योग सहचारी होता है अतः यह G में भी सहचारी है।
(3.)तत्समक अवयव का अस्तित्व (Existence of Identity Element):
2×2 इकाई मैट्रिक्स I_2=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \in G तथा यह समुच्चय G में मैट्रिक्स के सापेक्ष तत्समक अवयव है क्योंकि \left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right]
(4.)प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Inverse):
माना कि A=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right] \in G, a, b \in R
माना B प्रतिलोम मैट्रिक्स है तब प्रतिलोम की परिभाषा से
A+B=0 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right]+B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right] \\ \Rightarrow B=\left[\begin{array}{cc} 0 & -a \\ 0 & -b \end{array}\right] \in G,-a,-b \in R
अतः मैट्रिक्स A का योग के सापेक्ष,G में प्रतिलोम अवयव है।
(5.)क्रमविनिमेयता (Commutativity):
माना A=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} 0 & c \\ 0 & d \end{array}\right] \\ A+B=\left[\begin{array}{ll} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & c \\ 0 & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & a+c \\ 0 & b+d \end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ll} 0 & c+a \\ 0 & d+b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & c \\ 0 & d \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & b \end{array}\right]
अतः योग संक्रिया,R में क्रमविनिमेय है।अतः G मैट्रिक्स योग के लिए क्रमविनिमेय ग्रुप है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में ग्रुप (Groups in Discrete Mathematics),ग्रुप (Groups) को समझ सकते हैं।

3.विविक्त गणित में ग्रुप की समस्याएँ (Groups in Discrete Mathematics Problems):

Groups in Discrete Mathematics

(1.)समुच्चय {1,-1,i,-i} जबकि i=\sqrt{(-1)} सम्मिश्र संख्याओं के लिए एक सीमित अबेलियन ग्रुप है।इसे सिद्ध कीजिए।
(The set where i=\sqrt{(-1)} is a finite abelian group for multiplication of complex numbers prove it.)
(2.)सिद्ध कीजिए कि समुच्चय G={A,B,C,D},
जहाँ (Prove that the set G{A,B,C,D} where)
तथा (and)
आव्यूह गुणन के लिए क्रमविनिमेय समूह है।
(forms an abelian group for matrix multiplication)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विविक्त गणित में ग्रुप (Groups in Discrete Mathematics),ग्रुप (Groups) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विविक्त गणित में ग्रुप (Frequently Asked Questions Related to Groups in Discrete Mathematics),ग्रुप (Groups) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त गणित में ग्रुप (Groups in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल
में ग्रुप और आबेली ग्रुप पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।