Euler Modified Method
1.ऑयलर संशोधित विधि (Euler Modified Method),ऑयलर संशोधित विधि से साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Modified Method):
ऑयलर संशोधित विधि (Euler Modified Method) से साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- Numerical Solution by Euler Method
2.ऑयलर संशोधित विधि के साधित उदाहरण (Euler Modified Method Solved Examples):
Example:5.ऑयलर संशोधित विधि के प्रयोग से प्रारम्भिक मान समस्या \frac{d y}{d x}=x^2+y ,y(0)=1 का हल x=0.02,x=0.04 तथा x=0.06 पर ज्ञात कीजिए।
(Using Euler’s modified method,find the solution of initial value problem \frac{d y}{d x}=x^2+y ,y(0)=1 at x=0.02,x=0.04 and x=0.06.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=x^2+y, x_0=0 , y_0=1, h=0.02 और x_n=x_0+n h
(1.)अतः x_1=0.02 पर
y_{1} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(1)} =y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =1+(0.02) f(0,1) \\ =1+(0.02)\left(0^2+1\right) \\ =1+0.02 \times 1 \\ y_1^{(1)} =1.02
y_{1} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(2)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(1)}\right)\right] \\ =1+\frac{0.02}{2}\left[ f(0,1)+f(0.02,1.02) \right] \\ =1+0.01\left[0^2+1+(0.02)^2+1.02\right] \\ =1+ 0.01[1+0.0004+1.02] \\ =1+0.01 \times 2.0204 \\ \approx 1+0.0202 \\ \Rightarrow y_1^{(2)} \approx 1.0202
y_{1} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(3)}=y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(2)}\right)\right] \\ =1+\frac{0.02}{2}[f(0,1)+f(0.02,1.0202)] \\ =1+0.01\left[0^2+1+(0.02)^2+1.0202\right] \\ =1+0.01 [1+0.0004+1.0202] \\ =1+0.01 \times 2.0206 \\ \approx 1+0.0202 \\ \Rightarrow(y_{1})^{(3)} \approx 1.0202
चूँकि \left(y_1\right)^{(2)} तथा \left(y_1\right)^{(3)} के मान समान हैं,अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{1} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_1=0.02 पर y_1=1.0202
(2.)अतः x_2=0.04 पर
y_{2} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(1)}=y_1+h f\left(x_1, y_1\right) \\ =1.0202+(0.02) f(0.02,1.0202) \\ =1.0202+(0.02)\left[(0.02)^2+1.0202\right] \\ =1.0202+0.02[0.0004+1.0202] \\ =1.0202+0.02 \times 1.0206 \\ \approx 1.0202+0.0204 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(1)} \approx 1.0406
y_{2} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(2)}=y_1+\frac{h}{2} \left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(1)}\right)\right] \\ =1.0202+\frac{0.02}{2}[f(0.02,1.0202)+f(0.04,1.0406)] \\=1.0202+0.01\left[(0.02)^2+1.0202+(0.04)^2 +1.0406\right] \\ =1.0202+0.01 \left[ 0.0004+1.0202+0.0016+1.0406 \right] \\ =1.0202+0.01 \times 2.0628 \\ \approx 1.0202+0.0206 \\ \Rightarrow \left(y_2\right)^{(2)} \approx 1.0408
y_{2} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(3)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(2)}\right)\right] \\ =1.0202+\frac{0.02}{2}[f(0.02,1.0202)+f(0.04,1.0408)] \\ =1.0202+0.01\left[(0.02)^2+1.0202+(0.04)^2 +1.0408\right] \\ =1.0202+0.01[0.0004+1.0202+0.0016+1.0408] \\ =1.0202+0.01 \times 2.063 \\ \approx 1.0202+0.0206 \\ \Rightarrow \left(y_2\right)^{(3)} \approx 1.0408
चूँकि \left(y_2\right)^{(2)} तथा \left(y_2\right)^{(3)} के मान समान हैं अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{2} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_2=0.04 पर y_2=1.0408
(3.)अतः x_{3}=0.06 पर
y_3 का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(1)}=y_2+h f\left(x_2, y_2\right) \\ =1.0408+0.02 f(0.04,1.0408) \\ =1.0408+0.02 \left[(0.04)^2+1.0408\right] \\ =1.0408+0.02[0.0016+1.0408] \\ =1.0408+0.02 \times 1.0424 \\ \approx 1.0408+0.0208 \\ \Rightarrow \left(y_3\right)^{(1)} \approx 1.0616
y_{3} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(2)}=y_2+\frac{h}{2}\left[f\left(x_2, y_2\right)+f\left(x_3, y_3^{(1)}\right)\right] \\ =1.0408+\frac{0.02}{2}[f(0.04,1.0408)+f(0.06,1.0616)] \\ =1.0408+0.01\left[(0.04)^2+1.0408+(0.06)^2+1.0616\right] \\ =1.0408+0.01[0.0016+1.0408+0.0036+1.0616] \\=1.0408+0.01 \times 2.0176 \\ \approx 1.0408+0.021 \\ \Rightarrow\left(y_3\right)^{(2)} \approx 1.0618
y_3 का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(3)}=y_2+\frac{h}{2}\left[f\left(x_2, y_2\right)+f\left(x_3, y_3^{(2)}\right)\right] \\ =1.0408+\frac{0.02}{2}[f(0.04,1.0408)+f(0.06) ,1.0618)] \\ =1.0408+0.01\left[(0.04)^2+1.0408+(0.06)^2+ 1.0618\right] \\ =1.0408+0.01(0.0016+1.0408+0.0036+1.0618) \\ =1.0408+0.01 \times 2.1078 \\ \approx 1.0408+0.021 \\ \Rightarrow\left(y_3\right)^{(3)} \approx 1.0618
चूँकि \left(y_3\right)^{(2)} तथा \left(y_3\right)^{(3)} के मान समान हैं अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{3} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_{3}=0.06 पर y_{3}=1.0618
Example:6.ऑयलर संशोधित विधि के प्रयोग से अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=2+\sqrt{x y} ,y(1)=1 का हल x=1.6 पर ज्ञात कीजिए,जहाँ पद लम्बाई 0.2 है।
(Using Euler’s modified method,find the solution of differential equation \frac{d y}{d x}=2+\sqrt{x y} ,y(1)=1 at x=1.6,when step-size is 0.2.)
Solution:यहाँ f\left(x,y\right)=\frac{d y}{d x}=2+\sqrt{x y}; x_0=1, y_0=1, h=0.2 और x_n=x_0+nh
(1.)अतः x_1=1.2 पर
y_{1} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(1)} =y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =1+0.2 f(1,1) \\ =1+(0.2)[2+\sqrt{1 \times 1}] \\=1+(0.2) \times 3 \\ \Rightarrow \left(y_1\right)^{(1)}=1.6
y_{1} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(2)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(1)}\right)\right] \\ =1+\frac{0.2}{2}[f(1,1)+f(1.2,1.6)] \\ =1+0.1(2+\sqrt{1 \times 1}+2+\sqrt{1.2 \times 1.6}) \\ \approx 1+0.1(2+1+2+1.3856) \\ \approx 1+0.1(5+1.3856) \\ \approx 1+0.1 \times 6.3856 \\ \approx 1+0.6386 \\ \Rightarrow\left(y_1\right)^{(2)} \approx 1.6386
y_{1} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(3)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(2)}\right)\right] \\ =1+\frac{0.2}{2}[f(1,1)+f(1.2,1.6386)] \\ =1+0.1[2+\sqrt{1 \times 1}+2+\sqrt{1.2 \times 1.6386}] \\ =1+0.1[2+1+2+\sqrt{1.96632}] \\ \approx 1+0.1[5+1.4023] \\ \approx 1+0.1 \times 6.4023 \\ \approx 1+0.64023 \\ \Rightarrow\left(y_1\right)^{(3)} \approx 1.6402
y_{1} का चतुर्थ सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(4)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(3)}\right)\right] \\ =1+\left[\frac{0.2}{2}[f(1,1)+f(1.2,1.6402)\right] \\ =1+0.1[2+\sqrt{1 \times 1}+2+\sqrt{1.2 \times 1.6402}] \\ =1+0.1[2+1+2+\sqrt{1.96824}] \\ \approx 1+0.1[5+1.4029] \\ \approx 1+0.1 \times 6.4029 \\ \approx 1 +0.64029 \\ \Rightarrow\left(y_1\right)^{(4)} \approx 1.6403
चूँकि \left(y_1\right)^{(3)} तथा \left(y_1\right)^{(4)} के मान समान हैं,अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{1} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_{1}=1.2 पर
y_{1} \approx 1.6403
(2.)अतः x_{2}=1.4 पर
y_{2} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(1)}=y_1+h f\left(x_1, y_1\right) \\ =1.6403+0.2 f(1.2,1.6403) \\ =1.6403+0.2 \times[2+\sqrt{1.2 \times 1.6403}] \\ =1.6403+0.2 \times[2+\sqrt{1.96836}] \\ \approx 1.6403+ 0.2(2+1.403) \\ \approx 1.6403+0.2 \times 3.403 \\ \approx 1.6403+0.6806 \\ \approx 2.3209 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(1)} \approx 2.3209
y_{2} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_2^{(2)}\right)=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(1)}\right)\right] \\ =1.6403+\frac{0.2}{2}[f(1.2,1.6403)+f (1.4,2.3209)] \\ =1.6403+0.1[2+\sqrt{1.2 \times 1.6403}+2+\sqrt{1.4 \times 2.3209}] \\ =1.6403+0.1[4+\sqrt{1.96836}+\sqrt{3.24926}] \\ \approx 1.6403+0.1(4+1.403+1.8026) \\ \approx 1.6403+0.1 \times 7.2056 \\ \approx 1.6403+0.72056 \\ \left(y_2\right)^{(2)} \approx 2.3609
y_{2} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(3)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(2)}\right)\right] \\=1.6403+\frac{0.2}{2}[f(1.2,1.6403)+f(1.4,2.3609)] \\ =1.6403+0.1 \times[2+\sqrt{1.2 \times 1.6403}+ 2+\sqrt{1.4 \times 2.3609}] \\ =1.6403+0.1 \times[4+\sqrt{1.96836}+\sqrt{3.30526}] \\ \approx 1.6403+0.1 \times[4+1.403+1.818] \\ \approx 1.6403+0.1 \times 7.221 \\ \approx 1.6403+0.7221 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(3)} \approx 2.3624
y_{2} का चतुर्थ सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(4)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(3)}\right)\right] \\ =1.6403+\frac{0.2}{2}[f(1.2,1.6403)+f(1.4,2.3624)] \\ =1.6403+0.1[2+\sqrt{1.2 \times 1.6403}+2+\sqrt{1.4 \times 2.3624} \\ =1.6403+0.1[4+\sqrt{1.96836}+\sqrt{3.30736}] \\ \approx 1.6403+0.1 \times[(4+1.403 +1.8186) \\ \approx 1.6403+0.1 \times 7.2216 \\ \approx 1.6403+6.72216 \\ \Rightarrow \left(y_2\right)^{(4)} \approx 2.3625
चूँकि \left(y_2\right)^{(3)} तथा \left(y_2\right)^{(4)} के मान समान हैं अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{2} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_{2}=1.4 पर
\left(y_2\right) \approx 2.3625
(3.)अतः x_{3}=1.6 पर
y_{3} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(1)}= y_2+h f\left(x_2, y_2\right) \\ =2.3625+0.2 f(1.4,2.3625) \\ =2.3625+ 0.2(2+\sqrt{1.4 \times 2.3625}) \\ =2.3625+0.2(2+\sqrt{3.3075}) \\ \approx 2.3625+0.2(2+1.8187) \\ \approx 2.3625+0.2 \times 3.8187 \\ \approx 2.3625+0.76374 \\ \Rightarrow \left(y_3\right)^{(1)} \approx 3.1262
y_{3} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(2)}=y_2+\frac{h}{2}\left[f\left(x_2, y_2\right)+f\left(x_3, y_3^{(1)}\right)\right] \\ =2.3625+\frac{0.2}{2}[f(1.4,2.3625)+f(1.6,3.1262)] \\=2.3625+0.1[2+\sqrt{1.4 \times 2.3625}+2+\sqrt{1.6 \times 3.1262}] \\ =2.3625+0.1[4+\sqrt{3.3075}+\sqrt{5.00192}] \\ \approx 2.3625+0.1[4+1.8187+2.2365] \\ \approx 2.3625+0.1 \times 8.0552 \\ \approx 2.3625+0.80552 \\ \Rightarrow\left(y_3\right)^{(2)} \approx 3.1680
y_{3} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(3)}=y_2+\frac{h}{2}\left[f\left(x_2, y_2\right)+f\left(x_3, y_3^{(2)}\right)\right] \\ =2.3625+\frac{0.2}{2}[f(1.4,2.3625)+f(1.6,3.1680)] \\ =2.3625+0.1[2+\sqrt{1.4 \times 2.3625}+2+\sqrt{1.6 \times 3.1680}] \\ =2.3625+0.1 \times[4+\sqrt{3.3075}+\sqrt{5.0688}] \\ \approx 2.3625+0.1 \times(4+1.8187+2.2514) \\ \approx 2.3625+0.1 \times 8.0701 \\ \approx 2.3625+0.80701 \\ \left(y_3\right)^{(3)} \approx 3.1695
y_{3} का चतुर्थ सन्निकट मानः
\left(y_3\right)^{(4)}=y_2+\frac{h}{2}\left[f\left(x_2, y_2\right)+f\left(x_3, y_3^{(3)}\right)\right] \\ =2.3625+\frac{0.2}{2}[f(1.4,2.3625)+f(1.6,3.1695) \\ =2.3625+0.1 \times[2+\sqrt{1.4 \times 2.3625} +2+\sqrt{1.6 \times 3.1695}] \\ =2.3625+0.1 \times[4+\sqrt{3.3075}+\sqrt{5.0712}] \\ \approx 2.3625+0.1 \times[4+1.8187+2.2519] \\ \approx 2.3625+0.1 \times 8.0706 \\ \Rightarrow \left(y_3\right)^{(4)} \approx 3.16956
चूँकि \left(y_3\right)^{(3)} तथा \left(y_3\right)^{(4)} के मान समान हैं अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{3} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_2=1.6 पर y_3 \approx 3.1695
Example:7.ऑयलर संशोधित विधि के प्रयोग से x=0.4 पर y का मान ज्ञात कीजिए,जबकि \frac{d y}{d x}=\log (x+y),y(0)=1 तथा पद लम्बाई 0.2 है।
(Using Euler’s modified method, find the value of y at x=0.4,when \frac{d y}{d x}=\log (x+y) ,y(0)=1 and step-size is 0.2.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=\log (x+y), x_0=0, y_0=1, h=0.2 और x_n=x_0+n h
(1.)अतः x_{1}=0.2 पर
y_{1} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(1)} =y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =1+0.2 f(0,1) \\ =1+0.2 \log (0+1) \\ =1+0.2 \times 0 \\ \Rightarrow\left(y_1\right)^{(1)} =1
y_{1} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(2)}=y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(1)}\right)\right] \\=1+\frac{0.2}{2}[f(0,1)+f(0.2,1)] \\ =1+0.1[\log (0+1)+\log (0.2+1)] \\ =1+0.1 \times[0+\log (1.2)] \\ \approx 1+0.1 \times 0.07918 \\ \approx 1+0.007918 \\ \Rightarrow \left(y_1\right)^{(2)} \approx 1.0079
y_{1} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(3)}=y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(2)}\right)\right] \\=1+\frac{0.2}{2}[f(0,1)+f(0.2,1.0079)] \\ =1+0.1[\log (0+1)+\log (0.2+1.0079)] \\ =1+0.1[0+\log (1.2079)] \\ \approx 1+0.1 \times 0.0820 \\ \approx 1 \approx 0.0082 \\ \Rightarrow\left(y_1\right)^{(3)} \approx 1.0082
y_{1} का चतुर्थ सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(4)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_{0,} y_0\right)+f\left(x_{1,} y_1^{(3)}\right)\right] \\ =1+\frac{0.2}{2}[f(0,1)+f(0.2,1.0082)] \\ =1+0.1[\log (0+1)+\log (0.2+1.0082)] \\ =1+0.1 \times[0+\log (1.2082)] \\ \approx 1+0.1 \times 0.0821 \\ \approx 1+0.00821 \\ \Rightarrow \left(y_1\right)^{(4)} \approx 1.0082
चूँकि \left(y_1\right)^{(3)} तथा \left(y_1\right)^{(4)} के मान समान हैं,अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{1} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_1=0.2 पर y_1=1.0082
(2.)अतः x_2=0.4 पर
y_{2} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(1)}=y_1+h f\left(x_1, y_1\right) \\ =1.0082+0.2 f(0.2,1.0082) \\ =1.0082+0.2 \log (0.2+1.0082) \\ =1.0082+0.2 \log(1.2082) \\ \approx 1.0082+0.2 \times 0.0821 \\ \approx 1.0082+0.01642 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(1)} \approx 1.0246
y_{2} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(2)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(1)}\right)\right] \\ =1.0082+\frac{0.2}{2}[f(0.2,1.0182)+f(0.4,1.0246)] \\=1.0082+0.1[\log (0.2+1.0082)+\log (0.4+1.0246)] \\ =1.0082+0.1[\log(1.2082)+\log (1.4246)] \\ \approx 1.0082+0.1(0.0821+0.1537) \\ \approx 1.0082+0.1 \times 0.2358 \\ \approx 1.0082+0.02358 \\ \left(y_2\right)^{(2)} \approx 1.03178 \approx 1.0318
y_{2} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(3)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(2)}\right)\right] \\ =1.0082+\frac{0.2}{2}[f(0.2,1.0082)+f(0.4,1.0318)] \\ =1.0082+0.1[\log (0.2+1.0082)+\log (0.4+1.0818)] \\ =1.0082+0.1[\log (1.2082)+\log (1.4318)] \\ \approx 1.0082+0.1(0.0821+0.1559) \\ \approx 1.0082+0.1 \times 0.238 \\ \approx 1.0082+0.0238 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(3)} \approx 1.0320
चूँकि \left(y_2\right)^{(2)} तथा \left(y_2\right)^{(3)} के मान समान हैं अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{2} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_2=0.4 पर y_2 \approx 1.0320 होगा।
Example:8.ऑयलर संशोधित विधि के प्रयोग से अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=1-y,y(0)=0 का हल परिसर में ज्ञात कीजिए जबकि पद-लम्बाई 0.1 हो।
(Using Euler’s modified method,find the solution of differential equation \frac{d y}{d x}=1-y,y(0)=0 in the range by taking step-size 0.1.)
Solution:यहाँ f(x, y)=\frac{d y}{d x}=1-y, x_0=0, y_0=0, h=0.1
और x_n=x_0+n h
(1.)अतः x_1=0.1 पर
y_{1}का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(1)} =y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =0+0.1 f(0,0) \\ =0.1(1-0) \\ \Rightarrow \left(y_1\right)^{(1)} =0.1
y_{1} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(2)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(1)}\right)\right] \\ =0+\frac{0.1}{2}[f(0,0)+f(0.1,0.1) \\ =\frac{0.1}{2}[1-0+1-0.1] \\ =\frac{0.1}{2} \times 1.9 \\ \Rightarrow \left(y_1\right)^{(2)} =0.095
y_{1} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(3)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(2)}\right)\right] \\ =0+\frac{0.1}{2}[f(0,0)+f(0.1,0.095)] \\ =\frac{0.1}{2}[1-0+1-0.095] \\ =\frac{0.1}{2} \times 1.905 \\ \Rightarrow \left(y_1\right)^{(3)}=0.09525
y_{1} का चतुर्थ सन्निकट मानः
\left(y_1\right)^{(4)} =y_0+\frac{h}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1^{(3)}\right)\right] \\=0+\frac{0.1}{2}[f(0,0)+f(0.1,0.09525)] \\=\frac{0.1}{2}[1.0+1-0.09525] \\ =\frac{0.1}{2} \times 1.90475 \\ \approx 0.09524
चूँकि \left(y_{1}\right)^{(3)} तथा \left(y_{1}\right)^{(4)} के मान समान हैं,अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{1} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_1=0.1 पर y_{1} \approx 0.09524
(2.)अतः x_1=0.2 पर
y_{2} का प्रथम सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(1)} =y_1+h f\left(x_1, y_1\right) \\ =0.09524+(0.1) f(0.1,0.09524) \\ =0.09524+0.1 \times(1-0.09524) \\ =0.09524+0.1 \times 0.90476 \\ \approx 0.09524+0.09048 \\ \Rightarrow \left(y_2\right)^{(1)} \approx 0.18572
y_{2} का द्वितीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(2)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(1)}\right)\right] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2}[f(0.1,0.09524)+f(0.2,0.18572)] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2}[1-0.09524+1-0.18572] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2} \times 1.71904 \\ \approx 0.09524+0.08595 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(2)} \approx 0.18119
y_{2} का तृतीय सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(3)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(2)}\right)\right] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2}[f(0.1,0.09524)+f(0.2,0.18119)] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2}(1-0.09524+1-0.18119) \\ =0.09524+\frac{0.1}{2} \times 1.72357 \\ \approx 0.09524+0.08618 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(3)} \approx 0.18142
y_{2} का चतुर्थ सन्निकट मानः
\left(y_2\right)^{(4)}=y_1+\frac{h}{2}\left[f\left(x_1, y_1\right)+f\left(x_2, y_2^{(3)}\right)\right] \\=0.09524+\frac{0.1}{2}[f(0.1,0.09524)+f(0.2, 0.18142)] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2}[1-0.09524+1-0.18142] \\ =0.09524+\frac{0.1}{2} \times 1.72334 \\ \approx 0.09524+0.08617 \\ \Rightarrow\left(y_2\right)^{(4)} \approx 0.18141
चूँकि \left(y_2\right)^{(3)} तथा \left(y_2\right)^{(4)} के मान समान हैं अतः आगे और पुनरावृत्ति द्वारा y_{2} के मान में कोई उन्नति नहीं होगी।अतः x_{2}=0.2 पर y_2 \approx 0.18141
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ऑयलर संशोधित विधि (Euler Modified Method),ऑयलर संशोधित विधि से साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Modified Method) को समझ सकते हैं।
3.ऑयलर संशोधित विधि पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Euler Modified Method):
(1.)ऑयलर संशोधित विधि के प्रयोग से अवकल समीकरण \frac{d y}{d x}=x^2+y ,y(0)=1 का हल ज्ञात कीजिए।
(Use Euler’s modified method to determine y(0.2) in two stop from \frac{d y}{d x}=x^2+y ,given that at y(0)=1.)
(2.)दिया है (Given ) \frac{d y}{d x}=x+y ,y(0)=1.ज्ञात करो (Find) y for x=0.05 और (and) x=0.1.सही चार दशमलव स्थानों तक (correct to 4 decimal places.)
उत्तर (Answers): y_2=y(0.2)=1.2359
(2.)1.0520,1.1104
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ऑयलर संशोधित विधि (Euler Modified Method),ऑयलर संशोधित विधि से साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Modified Method) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Solve Equations by Gauss-Seidel Method
4.ऑयलर संशोधित विधि (Frequently Asked Questions Related to Euler Modified Method),ऑयलर संशोधित विधि से साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Modified Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.साधारण अवकल समीकरण के संख्यात्मक हल करने की विधियों का महत्त्व स्पष्ट करो। (Explain the Importance of Methods for Numerical Solving of Ordinary Differential Equations):
उत्तर:अवकल समीकरणों का संवर्ग जिनका हल साधारण फलनों के रूप में विश्लेषिक विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है बहुत ही संकीर्ण है।इसलिए,ऑयलर के समय से ही सन्निकट हल (संख्यात्मक हल) ज्ञात करने के लिए अनेक विधियाँ विकसित की गई हैं,जो कि अवकल समीकरणों के सिद्धान्त का एक महत्त्वपूर्ण अंग बन गई हैं।वर्तमान समय में जबकि उच्च गति के कम्प्यूटर उपलब्ध हैं ये संख्यात्मक विधियाँ (Numerical methods) शीघ्र हल प्रदान करती हैं तथा प्रयोगात्मक दृष्टि से अधिक महत्त्व रखती हैं।
प्रश्न:2.ऑयलर संशोधित विधि किसे कहते हैं? (What is Euler Modified Method?):
उत्तर:ऑयलर विधि में हम फलन के दिये गये अन्तराल के आरम्भिक बिन्दु पर प्रवणता (slope) का प्रयोग करते हैं।त्रुटि को कम करने के लिए आरम्भिक बिन्दु प्रवणता के स्थान पर हम अन्तराल के दोनों चरम बिन्दुओं (end points) पर प्रवणताओं की माध्य लेते हैं।इस विधि को ऑयलर संशोधित विधि के नाम से पुकारते हैं।
प्रश्न:3.ऑयलर संशोधित विधि का सूत्र लिखो। (Write the Formula for Euler Modified Method):
उत्तर: y\left(x_1\right)=y_0+\int_{x_0}^{x_1} f\left(x_1 ,y_1\right) d x \cdots(1)
प्रथम सन्निकटन के लिए हम अन्तराल \left[x_0, x_1\right] में समाकल्य f(x, y) को \frac{1}{2}\left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1\right)\right] से प्रतिस्थापित करते हैं अर्थात्
\Rightarrow y_1=y_0+\frac{h}{2} \left[f\left(x_0, y_0\right)+f\left(x_1, y_1\right)\right] \cdots(2)
समीकरण (2) में एक कठिनाई यह है कि y_{1} का मान अज्ञात है।यदि हम y_{1} के प्रथम सन्निकट मान को सरल ऑयलर विधि द्वारा प्राप्त कर अर्थात्
y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \ldots(3)
समीकरण (2) के दाँये पक्ष में y_{1} के स्थान पर रखे तो दाहिना पक्ष की गणना की जा सकती है।
उपर्युक्त प्रक्रिया की पुनरावृत्ति तब तक करते हैं जब तक कि y_{1} के दो उत्तरोत्तर मान लगभग समान प्राप्त नहीं हो जाते।
व्यापक रूप में y_n=y_{n-1}+\frac{h}{2}\left[f\left(x_{n-1} ; y_{n-1}\right) +f\left(x_n , y_{n} \right)\right] \cdots(4)
जहाँ (4) के दाँये पक्ष में
y_n=y_{n-1}+h\left(x_{n-1}, y_{n-1}\right) \cdots(5)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ऑयलर संशोधित विधि (Euler Modified Method),ऑयलर संशोधित विधि से साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Modified Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here | |
| 7. | click here |
Euler Modified Method
ऑयलर संशोधित विधि
(Euler Modified Method)
Euler Modified Method
ऑयलर संशोधित विधि (Euler Modified Method) से साधारण अवकल समीकरणों के
संख्यात्मक हल ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और उन्हें समझने
का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
