1.विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability),विविक्त गणित में विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability in Discrete Mathematics):

Discrete Probability

विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability) के इस आर्टिकल में विविक्त अर्थात् असंतत प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त प्रायिकता पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Discrete Probability):

Illustration:1.एक पासे के फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(Find the probability of getting an even number by throwing a dice):
Solution:एक पासे के फेंकने पर कुल सम्भव परिणाम {1,2,3,4,5,6}=6
पासे पर सम अंक आने के अनुकूल परिणाम {2,4,6}=3
P(सम अंक आना)=\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{निःश्शेष स्थितियाँ}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Illustration:2.दो पासों के एक साथ एक बार फेंकने पर 2 या 8 या 12 के योग प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(Find the probability of getting sum of the numbers as 2 or 8 or 12 with a single throw of two dice.)
Solution:दो पासों को एक साथ एक बार फेंकने पर निःश्शेष परिणाम=6^2=36
दो पासों पर अंकों का योग 2 या 8 या 12 की अनूकूल स्थितियाँ {(1,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(6,6)}
P(अंकों का योग 2 होना)=\frac{1}{36}
P(अंकों का योग 8 होना)=\frac{5}{36}
P(अंकों का योग 12 होना)=\frac{1}{36}
अतः P(अंको का योग 2 या 8 या 12 होना)=\frac{1}{36}+\frac{5}{36}+\frac{1}{36}=\frac{7}{36}
Illustration:3.ताश की एक गड्डी में से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता निकाला गया।इस पत्ते के (a)बेगम होने (b)काले रंग का होने तथा (c)हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(A card is drawn at random from a peak of cards Find the probability of its being (a)queen (b)a black card and (c)an ace of spade.)
Solution:माना ताश की गड्डी में से एक पत्ता बेगम,काले रंग का तथा हुकुम का इक्का निकाले जाने की घटनाएँ क्रमशः E_1, E_2, E_3 हैं।
(a) P\left(E_1\right)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}
(b) P\left(E_2\right)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}
(c) P\left(E_3\right)=\frac{1}{52}
Illustration:4.एक सिक्का चार बार उछाला जाता है।इन उछालों में कम से कम 3 बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(A coin is tossed four time.Find the probability of getting at least 3 heads in these throws.)
Solution:एक सिक्का चार बार उछालने पर निःश्शेष परिणाम
={HHHH,HHHT,HHTH,HTHH,THHH,HHTT,HTHT,HTTH,TTHH,THHT,HTTT,THTT,TTHT,TTTH,TTTT,THTH}
कम से कम 3 बार चित्त आने की घटना E हो तो
E={HHHH,HHHT,HTHH,THHH,HHTH}
n(E)=5
P(E)=\frac{5}{16}
Illustration:5.एक सिक्के के 6 उछालों में केवल एक चित्त आने की क्या प्रायिकता है?
(What is the probability of getting only one head in six tossing of a coin.)
Solution:एक सिक्के के 6 उछालों में कुल परिणाम=2^6=64
6 उछालों में केवल एक चित्त आने की घटना E हो तो
E={TTTTTH,TTTTHT,TTTHTT,TTHTTT,THTTTT,HTTTTT}
n(E)=6
P(E)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}
Illustration:6.एक व्यक्ति 60% अवस्थाओं में सत्य बोलता है और दूसरा व्यक्ति 80% अवस्थाओं में सत्य बोलता है।बताइए कि एक तथ्य का वर्णन करते समय कितनी अवस्थाओं में एक-दूसरे के विरुद्ध बोलेंगे।
(A man speaks the truth in 60% cases and second man speaks the truth in 80% of the cases.In what percentage of case are likely to contradict each other in starting the same fact.)
Solution:पहले व्यक्ति द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता
P\left(E_1\right)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5}
दूसरे व्यक्ति द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता
P\left(E_2\right)=\frac{80}{100}=\frac{4}{5}
दोनों के एक-दूसरे के विरुद्ध बोलने की प्रायिकता
=P\left(E_1\right) \cdot P\left(\overline{E}_2\right)+P\left(\overline{E}_1\right) P\left(E_2\right) \\ =\left(\frac{3}{5}\right)\left(1-\frac{4}{5}\right)+\left(1-\frac{3}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) \\ =\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}+\frac{2}{5} \times \frac{4}{5} =\frac{3}{25}+\frac{8}{25}=\frac{11}{25} \\ =\frac{11}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{44}{100}
= 44 %
Illustration:7.बच्चों के तीन समूहों में क्रमशः 3 लड़कियाँ और 1 लड़का,2 लड़कियाँ तथा 2 लड़के,1 लड़की और 3 लड़के हैं।प्रत्येक समूह में से एक बच्चा यादृच्छिक रूप से चुना जाता है प्रदर्शित कीजिए कि चुने हुए तीन में 1 लड़की और 2 लड़के के होने की प्रायिकता \frac{13}{32} है।
(Three groups of children contain 3 girls and 1 boy,2 girls and 2 boys,1 girl and 3 boys.One child is selected at random from each group.Show that the chance that these selected are 1 girls and 2 boys is \frac{13}{32}.)
Solution:प्रत्येक समूह में एक बच्चा चयन के कुल तरीके={}^4 C_1 \times {}^4 C_1 \times {}^4 C_1 \\ =\frac{4!}{3! 1!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{4!}{3! 1!}=64
प्रत्येक समूह में एक बच्चा तथा 1 लड़की और 2 लड़का चुनने के अनुकूल तरीके
={}^3 C_1 (प्रथम समूह से एक लड़की) \times {}^2 C_1 (द्वितीय समूह से एक लड़का) \times {}^3 C_1 (तृतीय समूह से एक लड़का)
={}^3 C_1 \times {}^2 C_1 \times {}^3 C_1=3 \times 2 \times 3=18
={}^1 C_1 (प्रथम समूह से एक लड़का) \times {}^2 C_1 (द्वितीय समूह से एक लड़की) \times {}^3 C_1 (तृतीय समूह से एक लड़का)
={}^1 C_1 \times {}^2 C_1 \times {}^3 C_1=1 \times 2 \times 3=6
={}^1 C_1 (प्रथम समूह से एक लड़का) \times {}^2 C_1 (द्वितीय समूह से एक लड़का) \times {}^1 C_1 (तृतीय समूह से एक लड़की)
={}^1 C_1 \times {}^2 C_1 \times {}^1 C_1=1 \times 2 \times 1=2
तीनों अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः
P(E)=\frac{18}{64}+\frac{6}{64}+\frac{2}{64}=\frac{26}{64}=\frac{13}{32}
Illustration:8.एक ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह इक्का, बादशाह या बेगम होगा।
(A card is drawn at random from a pack of cards.Find the chance that it is an ace,a king or a queen.)
Solution:एक इक्का निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{4}{52}
एक बादशाह निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{4}{52}
एक बेगम निकाले जाने की प्रायिकता=\frac{4}{52}
तोनों परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं अतः
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{4}{52}+\frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}

Discrete Probability

Illustration:9.एक पुस्तक की तीन स्वतन्त्र समालोचकों द्वारा अनुकूल समीक्षा किए जाने के पक्ष में संयोगानुपात क्रमशः 5:2,4:3 तथा 3:4 है।क्या सम्भावना है कि तीन समीक्षकों में से बहुमत पुस्तक के पक्ष में होगा।
(The odds that a book will be favourably reviewed by three independent critics are 5:2,4:3 and 3:4 respectively.What is the probability that,of the three reviews a majority will be favaourable.)
Solution:माना कि E_1, E_2 तथा E_3 तीन समालोचकों द्वारा पुस्तक की अनुकूल समीक्षा किये जाने की घटनाएँ हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{5}{7}, P\left(E_2\right)=\frac{4}{7}, P\left(E_3\right)=\frac{3}{7} \\ P\left(\overline{E}_1\right)=\frac{2}{7}, P\left(\overline{E}_2\right)=\frac{3}{7}, P\left(\overline{E}_3\right) =\frac{4}{7}
तीन समालोचकों का बहुमत पुस्तक के पक्ष में होने की स्थितियाँ निम्न होगीः
E_1 E_2 E_3, \overline{E_1} E_2 E_3, E_1, \overline{E_2} E_3, E_1 E_2 \overline{E_3}
अतः इनकी प्रायिकताएँ होंगी (स्वतन्त्र घटनाएँ हैं)
P\left(E_1 E_2 E_3\right)=P\left(E_1\right) \cdot P\left(E_2\right) \cdot P\left(E_3\right) \\ =\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}=\frac{60}{343} \\ P\left(\overline{E}_1 \cdot E_2 E_3\right)= P\left(\overline{E}_1\right) \cdot P\left(E_2\right) \cdot P\left(E_3\right) \\ =\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}=\frac{24}{343} \\ P\left(E_1 \overline{E}_2 E_3\right)=P\left(E_1\right) \cdot P\left(\overline{E}_2\right) \cdot P\left(E_3\right) \\ =\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} =\frac{45}{343} \\ P\left(E_1 E_2 \overline{E}_3\right)=P\left(E_1\right) \cdot P\left(E_2\right) \cdot P\left(\overline{E}_3\right) \\ =\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}=\frac{80}{343}
उपर्युक्त चारों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता
= P\left(E_1 E_2 E_3\right)+P\left(\overline{E_1} E_2 E_3\right)+P\left(E_1 \overline{E}_2 E_3\right) +P\left(E_1 E_2 \overline{E}_3\right) \\=\frac{60}{343}+\frac{24}{343}+\frac{45}{343}+\frac{80}{343}=\frac{209}{343}
Illustration:10.एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है।चित्त H एवं पुट T बारी-बारी से प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(Find the chance of throwing head or tail alternatively in 3 successive tossing a coin.)
Solution:एक सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल सम्भव परिणाम=2^3=8
बारी-बारी से H एवं T की अनुकूल सम्भावनाएँ {HTH,THT}=2
अतः अभीष्ट प्रायिकता=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
Illustration:11.तीन पासे फेंके जाते हैं।एक पासे पर एक होने की सम्भावना ज्ञात कीजिए।
(Three dice were rolled.What is the probability that there was an ace on one dice.)
Solution:तीन पासे फेंके जाने पर कुल सम्भव परिणाम=6^3=216
पहले पासे पर एक होने पर अनुकूल परिणाम
={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)
(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6)
…….         …..       ………        ……      ……..
=36
इसी प्रकार दूसरे पासे पर 1 होने पर अनुकूल परिणाम=36
तीसरे पासे पर 1 होने पर अनुकूल परिणाम=36
कुल अनूकूल परिणाम=36+36+36=108
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{108}{216}=\frac{1}{2}
Illustration:12.एक थैले में 3 सफेद,4 काली तथा 5 लाल गेंदें हैं।एक ही बार यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकालने पर निकाली गई गेंद सफेद या लाल होगी इसकी प्रायिकता क्या है?
(A bag contains 3 white, 4 black and 5 red balls.What is the probability of getting a white or a red ball at random in a single draw of one ball?)
Solution:माना एक सफेद या लाल गेंद निकालने की घटनाएँ क्रमशः E_1, E_2 हैं।
P\left(E_1\right)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}, P\left(E_2\right)=\frac{5}{12}
दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं अतः
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{1}{4}+\frac{5}{12}=\frac{3+5}{12}=\frac{8}{12} \\ =\frac{2}{3}
Illustration:13.एक थैले में 20 गेंदों को क्रमानुसार नम्बर डाल कर रखा गया है।प्रथम गेंद जो निकाली जाए उस पर 3 या 5 के गुणक अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(20 balls are serially numbered and placed in a bag.Find the chance that first ball drawn has a number which is a multiple of 3 and 5.)
Solution:गेंद पर 3 का गुणक होने की अनुकूल स्थितियाँ \left(E_1\right)={3,6,9,12,18}
\Rightarrow n\left(E_1\right)=6 \\ P\left(E_1\right)=\frac{6}{20}
गेंद पर 5 का गुणक होने की अनुकूल स्थितियाँ \left(E_2\right)={5,10,15,20}
n\left(E_2\right)=4 \\ P\left(E_2\right)=\frac{4}{20} \\ E_1 \cap E_2=15, n\left(E_1 \cap E_2\right)=1 \\ \Rightarrow P\left(E_1 \cap E_2\right)=\frac{1}{20} \\ P\left(E_1 \cup E_2\right) =P\left(E_1\right) +P\left(E_2\right)-P\left(E_1 \cap E_2\right) \\ =\frac{6}{20}+\frac{4}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20} \\ \Rightarrow P\left(E_1 \cup E_2\right)=\frac{9}{20}
Illustration:14.A और B दो पासों को बारी-बारी से फेंकते हैं।यदि B के 7 फेंकने से पहले A,6 फेंकता है तो वह जीतता है और यदि A के 6 फेंकने से पहले B,7 फेंकता है तो वह जीतता है।यदि A फेंकना प्रारम्भ करे,तो सिद्ध कीजिए कि A के जीतने की प्रायिकता \frac{30}{61} है।
(A and B throw alternatively with a pair of dice.A wins if he throws 6 before B throws,7 and B wins,if he throws 7 before A throws 6.If A begins,prove that the chance of A’s winning is \frac{30}{61} .)
Solution:माना दो पासों पर अंकों का योग 6 आना घटना E_1 है।
घटना E_1 के लिए निःश्शेषी स्थितियाँ=6^2=36
तथा अनुकूल स्थितियाँ (1,5),(2,4),(3,3),(4,2) और (5,1) अर्थात् कुल अनुकूल स्थितियाँ 5 हैं।
\therefore P\left(E_1\right)=\frac{5}{36} \Rightarrow P\left(\overline{E}_1\right)=1-\frac{5}{36}=\frac{31}{36}
पुनः माना कि दो पासों पर अंकों का योग 7 आना घटना E_2 है।
घटना E_2 के लिए निःश्शेषी स्थितियाँ=36
तथा अनुकूल स्थितियाँ=(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5) और (1,6) अर्थात् कुल अनुकूल स्थितियाँ 6 हैं।
\therefore P\left(E_2\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} \Rightarrow P\left(\overline{E_2}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
यदि A खेल प्रारम्भ करता है तो उसके जीत की सम्भावनाएँ:
(1.)A की पहली फेंक में जीतने की प्रायिकता P\left(E_1\right)=\frac{5}{36}
(2.)A की पहली फेंक में 6 न आवे,B की पहली फेंक में 7 न आवे और और A की दूसरी फेंक में 6 आने की प्रायिकता=P\left(\overline{E_1}\right) P\left(\overline{E_2}\right) P\left(E_{1}\right) \\ =\frac{31}{36} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{36}=\frac{31}{36}\left(\frac{5^2}{6^3}\right)
(3.)इसी प्रकार A के तीसरी फेंक में जीतने की प्रायिकता
P\left(\overline{E_1} \quad \overline{E_2} \quad \overline{E_1} \quad \overline{E_2} \quad E_1\right)=P\left(\overline{E_1}\right) \cdot P\left(\overline{E_2}\right) \cdot P\left(\overline{E_1}\right) \cdot P\left(\overline{E_2}\right) \cdot P\left(E_1\right) \\ =\frac{31}{36} \times \frac{5}{6} \times \frac{31}{36} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{36}=\left(\frac{31}{36}\right)^2 \cdot\left(\frac{5^3}{6^4}\right)
इसी प्रक्रिया से आगे की फेंकों के लिए प्रायिकताएँ ज्ञात की जा सकती हैं।अतः A के जीतने की प्रायिकता
=\frac{5}{36}+\left(\frac{31}{36}\right) \times\left(\frac{5^2}{6^3}\right)+\left(\frac{31}{36}\right)^2 \cdot\left(\frac{5^3}{6^4}\right)+ \cdots \cdots
यह अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका सार्व अनुपात r=\frac{\left(\frac{31}{36}\right) \times\left(\frac{5^2}{6^3}\right)}{\frac{5}{36}} \\ r=\frac{31 \times 5}{6^3}, a=\frac{5}{36} \\ S_{\infty}=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{5}{36}}{1- \frac{31 \times 5}{6^3}} \\ =\frac{\frac{5}{36}}{\frac{216-155}{6^3}}=\frac{30}{61}
Illustration:15.एक आदमी एक पक्षी को तीन निशानों में एक बार मार सकता है।यह मानते हुए वह तीन निशाने दागता है।पक्षी के मरने की प्रायिकता क्या होगी?
(A man can kill a bird once in three shots on this assumption he fire three shots,what is the probability that the bird is killed.)
Solution:माना पक्षी को मारने की घटना=E तथा पक्षी को न मारने की घटना= \overline{E} है।
P(E)=\frac{1}{3}, P(\overline{E})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
पहले निशाने में पक्षी मर जाए=\frac{1}{3}
पहले निशाने में न मरे और दूसरे निशाने पर मरने की प्रायिकता P(E \overline{E)}= P(E) P(\overline{E})=\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}
पहले व दूसरे निशाने में न मरे तथा तीसरे निशाने में मर जाए
P(\overline{E} \overline{E} E)=P(\overline{E}) \cdot P(\overline{E}) \cdot P(E) =\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{27}
अतः पक्षी के मरने की प्रायिकता होगी=P(E)+P(E) P(\overline{E})+P(\overline{E}) \cdot P(\overline{E}) \cdot P(E) \\ =\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}=\frac{9+6+4}{27}=\frac{19}{27}
Illustration:16.एक शहर में 70% नागरिक हिन्दी और 50% अँग्रेजी बोल सकते हैं,नागरिकों का कितना प्रतिशत दोनों भाषा बोल सकता है यदि 10% नागरिक इनमें से दोनों भाषा नहीं बोल सकते हैं?
(If in a city 70% of the residents can speak Hindi and 50% can speak English,What is the percentage of residents can speak both the language,if 10% residence can not speak any of these two language?)
Solution: P(H)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}, P(E)=\frac{50}{100}=\frac{5}{10}, P(H \cup E)=1-\frac{10}{100}=\frac{90}{100} \\ \Rightarrow P(H \cup E)=\frac{9}{10} \\ \Rightarrow P(H \cup E)=P(H)+P(E)-P(H \cap E) \\ \Rightarrow \frac{9}{10}=\frac{7}{10}+\frac{5}{10}-P(H \cap E) \\ \Rightarrow P(H \cap E)=\frac{12}{10}-\frac{9}{10} \\ \Rightarrow P\left(H \cap E\right)=\frac{3}{10}=30 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability),विविक्त गणित में विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability in Discrete Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.विविक्त प्रायिकता की समस्याएँ (Discrete Probability Problems):

Discrete Probability

(1.)A और B दो पासों को बारी-बारी से फेंकते हैं।किसी के जीतने के लिए दोनों पासों पर प्राप्त हुई संख्याओं का योग 9 होना आवश्यक है।यदि A खेल प्रारम्भ करता है तो सिद्ध कीजिए कि दोनों के जीतने की प्रायिकताएँ 9:8 के अनुपात में हैं।
(2.)A 75% स्थितियों में तथा B,80% स्थितियों सत्य बोलते हैं,ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत स्थितियों में वे एक-दूसरे का विरोध करते हैं?
उत्तर (Answer): (2.) \frac{35}{100} =35 \%
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability),विविक्त गणित में विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability in Discrete Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विविक्त प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Discrete Probability),विविक्त गणित में विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability in Discrete Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त प्रायिकता (Discrete Probability) के इस आर्टिकल में विविक्त अर्थात् असंतत
प्रायिकता के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।