1.विषमता और विचरण का गुणांक (Coefficient of Skewness and Variation),सांख्यिकी में विषमता का गुणांक (Coefficient of Skewness in Skewness):

Coefficient of Skewness and Variation

विषमता और विचरण का गुणांक (Coefficient of Skewness and Variation) के इस आर्टिकल में विषमता गुणांक और विचरण गुणांक को समझने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।
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2.विषमता और विचरण का गुणांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Coefficient of Skewness and Variation):

Example:1.निम्न सारणी में एक स्कूल की दो कक्षाओं के विद्यार्थियों का वितरण तौल के हिसाब से दिखाया गया है।प्रत्येक मात्रा का विचरण गुणांक निकालिए।कौन-सी माला में विचरण अधिक है?
(In the following table,distribution of students is shown according to their weights in kgms.Find the coefficient of variation of each series which series has greater variation?)

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation

Class A
समान्तर माध्य
(\overline{X})=A+\frac{f \Sigma d x}{N} \\ =45+\frac{80}{62} \\ \approx 45+1.29 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 46.29
प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N -(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{62} \sqrt{8400 \times 62-(80)^2} \\ =\frac{1}{62} \sqrt{520800-6400} \\ =\frac{1}{62} \sqrt{512400} \approx \frac{1}{62} \times 715.82 \\ \Rightarrow \sigma \approx 11.5454
C.V. of A=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{11.5454}{46.29} \times 100 \\ \Rightarrow C.V. of A=\frac{1154.54}{46.29} \approx 24.94 \%
Class B
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =45+\frac{80}{56} \approx 45+1.4286 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 46.4286
प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N -(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{56} \sqrt{6800 \times 56-(80)^2} \\ =\frac{1}{56} \sqrt{380800-6400} \\ =\frac{1}{56} \sqrt{374400} \approx \frac{611.822}{56} \\ \Rightarrow \sigma \approx 10.925
C.V. of B=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{10.925}{46.4286} \times 100 \approx 23.53 \%
A में विचरण अधिक है।

Coefficient of Skewness and Variation

Example:2.विचरण-गुणांक का परिकलन करके यह ज्ञात कीजिए कि निम्न दोनों श्रेणियों में से किसमें अधिक विचरण है।
(By calculating the coefficient of variation,find which of the following two series has greater variation.)

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation

Town A
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\sum f d x}{ N} \\ =35-\frac{710}{79} \approx 35-8.987 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 26.013
प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N -(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{79} \sqrt{30500 \times 79-(-710)^2} \\ =\frac{1}{79} \sqrt{2409500-504100} \\ =\frac{1}{79} \sqrt{1905400} \\ \approx \frac{1}{79} \times 1380.362 \\ \Rightarrow \sigma \approx 17.4729
C.V. of Town A=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{17.4729}{26.013} \times 100 \approx 67.169 \%
C.V. of Town A \approx 67.17 \%
Town B
समान्तर माध्य \overline{X}=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =35-\frac{140}{122} \approx 35-1.1475 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 33.8525
प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N -(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{122} \sqrt{27800 \times 122-(-140)^2} \\ =\frac{1}{122} \sqrt{3391600-19600} \\ =\frac{1}{122} \sqrt{3372000} \\ \approx \frac{1}{122} \times 1836.3006 \\ \Rightarrow \sigma \approx 15.0516
C.V. of Town B=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{15.0516}{33.8525} \times 100 \approx 44.46 \%
\Rightarrow C.V. of Town B \approx 44.46 \%
A में विचरण अधिक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विषमता और विचरण का गुणांक (Coefficient of Skewness and Variation),सांख्यिकी में विषमता का गुणांक (Coefficient of Skewness in Skewness) को समझ सकते हैं।

3.विषमता का गुणांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Coefficient of Skewness):

Example:3.निम्न समंकों से विचरण गुणांक और विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate the coefficient of variation and coefficient of skewness):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation and Skewness

समान्तर माध्य (\overline{X}) =\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{1080}{10} \\ \Rightarrow \overline{X} =108
मध्यका (M)= size of \left(\frac{N+1}{2}\right)^{\text {th }} item
=size of \left(\frac{10+1}{2}\right)^{\text {th }} item
=size of 5.5 th item
M=\frac{106+109}{2}=\frac{215}{2}=107.5
प्रमाप विचलन \sigma=\sqrt{\frac{\sum d^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{2476}{10}}=\sqrt{247.6} \\ \sigma \approx 15.7353
C.V.=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{15.7353}{108} \times 100 \\ \Rightarrow \text{C.V.} \approx 14.56 \%
विषमता गुणांक J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(108-107.5)}{15.7353} \\ J \approx 0.095
Example:4.चतुर्थक माप द्वारा विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Find the coefficient of skewness through quaritle measures):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Skewness

Q_1=size of \frac{N}{4} th item
=size of \frac{148}{4} th item
\Rightarrow Q_1=size of 37 th item
Q_1 is lies in class 17.5-22.5
l=17.5,i=22.5-17.5,f=28,c=30 , q_1=37
Q_1=l+\frac{i}{f}\left(q_1-c\right) \\ =17.5+\frac{5}{28}(37-30) \\ =17.5+\frac{5}{28} \times 7 \\ =17.5+\frac{35}{28} \\ \approx 17.5+4.25 \\ \Rightarrow Q_1=18.75
Q_3=size of \frac{3N}{4} th item
= size of \frac{3 \times 148}{4} th item
\Rightarrow Q_3= size of 111 th item
Q_3 is lies in class 32.5-37.5
l=32.5,i=37.5-32.5=5,f=20,c=107 , q_3=111
Q_3=l+\frac{i}{f}\left(q_3-c\right) \\ =32.5+\frac{5}{20}(111-107) \\ =32.5+\frac{5 \times 4}{20} \\ =32.5+1 \\ \Rightarrow Q_3=33.5
M=size of \frac{N}{2} th item
=size of \frac{148}{2} th item
M=sizes of 74 th item
M is lies in class 22.5-27.5
l=22.5, i=27.5-22.5=5, f=25 ,c=58, m=74
M=l+\frac{i}{f}(m-c) \\ =22.5+\frac{5}{25}(74-58) \\ =22.5+\frac{1}{5} \times 16=22.5+3.2 \\ \Rightarrow M=25.7
J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ =\frac{33.5+18.75-2 \times 25.7}{33.5-18.75} \\ =\frac{52.25-51.4}{14.75} \\ =\frac{0.85}{14.75} \\ \Rightarrow J_Q \approx 0.0576 \approx 0.058
Example:5.निम्न समंकों के आधार पर कार्ल पियर्सन की रीति द्वारा विषमता-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(on the basis of following data calculate Karl Pearson’s coefficient of skewness):

Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness

समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\sum f d x}{N} \\=61+\frac{75}{187} \approx 61+0.401 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 61.401
मध्यका (M)=size of \frac{N+1}{2} th item
= size of \frac{187+1}{2} th item
= size of \frac{188}{2} th item
= size of 94 th item
यह संचयी बारम्बारता 100 के अन्तर्गत है अतः M=61
\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma f d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{611}{187}-\left(\frac{75}{187}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{611 \times 187-5625}{(187)^2}} \\ =\sqrt{\frac{114257-5625}{\left(187\right)^2}} \\ =\frac{\sqrt{108632}}{187} \approx \frac{329.5936}{187} \\ \Rightarrow \sigma \approx 1.762
कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक
J=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ =\frac{3(61.401-61)}{1.762} \\ =\frac{3 \times 0.401}{1.762}=\frac{1.203}{1.762} \\ J \approx 0.682
or
J=\frac{3(\overline{X}-Z)}{\sigma}=\frac{61.401-61}{1.762}(Z=61) \\ =\frac{0.401}{1.762} \\ J \approx 0.228
Example:6.निम्नलिखित सारणी से चतुर्थक विचलन तथा विषमता-गुणांक,चतुर्थकों तथा मध्यका को मालूम करके,निकालिए:
(From the following table,calculate the coefficient of quartile skewness with the help of median and quartiles):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Quartile Skewness

Q_1=size of \frac{N}{4} th item
=size of \frac{109}{4} th item
Q_1=size of 27.25 th item
It lies in 34 cf whose values is 12-16,so
l=12, i=16-12=4, q_1=27.25, c=16, f=18
Q_1=l+\frac{i}{f}\left(q_1-c\right) \\ Q_1=12+\frac{4}{18}(27.25-16) \\ =12+\frac{2}{9} \times 11.25 \\ =12+\frac{22.50}{9} \\ \Rightarrow Q_1=12+2.5=14.5
M=Size of \frac{N}{2} th item
=Size of \frac{109}{2} th item
\Rightarrow M= size of 54.5 th item
It lies in 64 cf whose values is 16-20
l=16,i=20-16=4,f=30,c=34,m=54.5
M=l+\frac{i}{f}(m-c) \\ =16+\frac{4}{30}(54.5-34) \\ =16+\frac{2}{15} \times 20.5 \\ M \approx 16+2.73 \approx 18.73
Q_3=size of \frac{3 N}{4} th item
=size of \frac{3 \times 109}{4} th item
=size of \frac{327}{4} th item
\Rightarrow Q_3= size of 81.75 th item
It lies in 91 cf Whose values is 24-28
l=24, i=28-24=4, f=12, c=79 , q_3=81.75
Q_3=l+\frac{i}{f}\left(q_3-c\right) \\ =24+\frac{4}{12}(81.75-79) \\ =24+\frac{1}{3} \times 2.75 \\ \approx 24+0.92 \\ Q_3 \approx 24.92
Q.D.=\frac{Q_3-Q_1}{2} =\frac{24.92-14.5}{2} \\ =\frac{10.42}{2} \\ \text{Q.D.} \approx 5.21
विषमता का चतुर्थक गुणांक
J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ =\frac{24.92+14.5-2 \times 18.73}{24.92-14.5} \\ =\frac{39.42-37.46}{10.42} \\ =\frac{1.96}{10.42} \\ \Rightarrow J_Q \approx 0.1881
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विषमता और विचरण का गुणांक (Coefficient of Skewness and Variation),सांख्यिकी में विषमता का गुणांक (Coefficient of Skewness in Skewness) को समझ सकते हैं।

Coefficient of Skewness and Variation

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4.विषमता और विचरण का गुणांक (Frequently Asked Questions Related to Coefficient of Skewness and Variation),सांख्यिकी में विषमता का गुणांक (Coefficient of Skewness in Skewness) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विषमता और विचरण का गुणांक (Coefficient of Skewness and Variation) के इस
आर्टिकल में विषमता गुणांक और विचरण गुणांक को समझने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे।