1.प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance),सांख्यिकी में प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance in Statistics):

Technique of Analysis of Variance

प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) के द्वारा सवालों को हल करके सार्थकता परीक्षण ज्ञात कर उन्हें समझने का प्रयास करेंगे अर्थात् समंकों में सार्थकता है या नहीं।
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2.प्रसरण विश्लेषण प्रविधि पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Technique of Analysis of Variance):

Example:5.राजस्थान के किसी एक गाँव में एक खेत पर किए गए अन्वेषण से गेहूँ के 6 भूमि-खण्डों से प्रति एकड़ उपज (कुन्तल में) के निम्न आँकड़े प्राप्त हुए।इन 6 भू-खण्डों में से तीन में शरबती गेहूं उगाया गया था और बाकी के 3 भू-खण्डों में आस्ट्रेलियन गेहूँ।एक प्रसरण सारणी बनाइए और मालूम कीजिए कि क्या किस्मों में अन्तर सार्थक है? F के मूल्यों का 5% सार्थकता स्तर पर प्रयोग कीजिए:
(In an experiment conducted on a farm in a certain village of Rajasthan,the following information was regarding the yield in quintals per acre of 6 plots of wheat.Three out of these 6 plots produced Sharbati wheat and the rest three produced Australian wheat. Set up if the variety differences are significant. Use values of F at 5% level of significance):

(For v_{1}=4 , v_{2}=1, F_{0.05}=7.71)
Solution:Calculation Table of Mean

प्रतिदर्श माध्य (Sharbati) \overline{X_1}=\frac{36}{3}=12
प्रतिदर्श माध्य (Australian) \overline{X_2}=\frac{42}{3}=14
सामूहिक-माध्य \overline{X}=\frac{\bar{X}_1+\bar{X}_2}{2}=\frac{12+14}{2}=13
प्रतिदर्शों के बीच प्रसरण (Variance between of the Samples):
विचलन वर्गों का योग =n_1(\overline{X_1}-\overline{X})^2+n_2(\overline{X_2}-\overline{X})^2 \\ =3(12-13)^2+3(14-13)^2 \\ =3 \times 1^2+3 \times 1^2=6
स्वातन्त्र्य संख्या df_{1} या v_{1}=k-1=2-1=1
प्रतिदर्शों के अन्तर्गत प्रसरण (Variance within the Samples)
\begin{array}{|ccc|ccc|} \hline & \text{Sharbati} & & &  \text{Australian}\\ \hline \text{उपज} & \text{ विचलन} & \text{ विचलन वर्ग} & \text{उपज} & \text{ विचलन} & \text{ विचलन वर्ग} \\ X_1 & \left(X_1-\bar{X}_1\right) & \left(X_1-\bar{X}_1\right)^2 & X_2 & \left(X_2-\bar{X}_2\right) & \left(X_2-\bar{X}_2\right)^2 \\ \hline 10 & -2 & 4 & 13 & -1 & 1 \\ 15 & +3 & 9 & 12 & -2 & 4 \\ 11 & -1 & 1 & 17 & +3 & 9 \\ \hline &  \sum \left(X_1-\bar{X}_1\right)^2 &=14 & &  \sum \left(X_2-\bar{X}_2\right)^2 &=14 \\ \hline \end{array}
विचलन वर्गों का योग =\sum \left(X_1-\bar{X}_1\right)^2 + \sum \left(X_2-\bar{X}_2 \right)^2 =14+14=28
स्वातन्त्र्य संख्या=N-k=6-2=4
प्रसरण विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्गों का जोड़} & \text{स्वातन्त्र्य संख्या} & \text{प्रसरण} & \text{प्रसरण-अनुपात} \\ \hline \text{(1.)प्रकारों के बीच} & 6 & 1 & 6 & F=\frac{7}{6} \\ \text{(2.)प्रकारों के अन्तर्गत} & 28 & 4 & 7 & \approx 1.167 \\ \hline \text{योग} & 34 & 5 & & \\ \hline \end{array}
प्रसरण अनुपात का सारणी-मूल्य ( F_{0.05} For v_{1}=4 , v_{2}=1 )7.71 है।F-गुणांक का परिकलित मूल्य सारणी मूल्य से कम है,अतः दोनों प्रकार Sharbati और Australian के कारण उपज का अन्तर सार्थक नहीं है ;वह केवल प्रतिचयन उच्चावचन के कारण है।
Example:6.निम्न समंकों के लिए एक प्रसरण-विश्लेषण सारणी स्थापित कीजिए।यह परीक्षण कीजिए कि क्या प्रकारों में अन्तर है?
(From the following data set up a table of analysis of variance and calculate the value of F test whether there is difference between varieties):

Solution:Calculation Table of Mean

माध्य \overline{X}_1=\frac{630}{3}=210, \overline{X}_2=\frac{650}{3} \approx 216.67 \\ \overline{X}_3=\frac{695}{3} \approx 231.67, \overline{X}_4=\frac{750}{3}=250
सामूहिक समान्तर माध्य (Grand Mean):
\overline{X}=\frac{210+216.67+231.67+250}{4} \\ \Rightarrow \overline{X}=227.085
प्रतिदर्शों के बीच प्रसरण (Variance between the samples)
n_1 \left(X_1-\overline{X}_1\right)^2+n_2 \left(X_2-\overline{X}_2\right)^2+n_3 \left(X_3-\overline{X}_3\right)^2+n_4 \left(X_4-\overline{X}_4\right)^2 \\ =3(210-227.085)^2+3(216.67-227.085)^2+3(231.67-227.085)^2+3(250-227.085)^2\\=3(-17.085)^2+3(-10.415)^2+3(4.585)^2+ 3(22.915)^2 \\ \approx 875.69+325.42+63.067+1575.29 \\ \approx 2839.47
स्वातन्त्र्य संख्या v_{1}=k-1=4-1=3
प्रतिदर्शों के अन्तर्गत प्रसरण (Variance within the Samples):

विचलन वर्गों का योग=1400+7466.67+12516.67+7800
=29183.34
स्वातन्त्र्य कोटियाँ=\left(n_1-1\right)+\left(n_2- 1\right)+\left(n_3-1\right)+\left(n_4-1\right)
=k(n-1)=4(3-1)=8
प्रसरण विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्गों का जोड़} & \text{स्वातन्त्र्य संख्या} & \text{प्रसरण} & \text{प्रसरणानुपात} \\ & \text{(S.S.) } & \text{(df)} & \text{ (M.S.)} & F\\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 2839.47 & 3 & 946.49 & F=\frac{3647.92}{946.49} \\ \text{(2.)प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 29183.34 & 8 & 3647.92 & \approx 3.85 \\ \hline \text{योग} & 32590.41 & 11 & & \\ \hline \end{array}
v_{1}=8, v_{2}=3 के लिए F_{0.5} का सारणी मान 8.84 है।F का परिकलित मान (3.85) F_{0.5} से कम है।अतः वे एक ही मूल समग्र से चुने गए हैं।No difference

Technique of Analysis of Variance

Example:7.खाद्य उर्वरक चार भूमि-खण्डों में से प्रत्येक पर प्रयोग किए गए।निम्न सारणी में इन खेतों में से प्रत्येक पर आलू की उपज दी गई है।इस तथ्य की जाँच कीजिए कि क्या उपज पर इन उर्वरकों के सार्थक रूप से भिन्न हैं?
(Five fertilizers were applied to four plots each.The yields of potatoes on each of these plots are given in the following table.Examine whether the effects of these fertilizers on the yields are significantly different):
\left[ \text{Given} F_{4,15,5 \%}=3.06 ; F_{4,15,1 \%}=4.89\right]

Solution:प्रतिदर्श इकाईयों और वर्गों के जोड़

T=\sum X_1+\sum X_2+\sum X_3+\sum X_4+\sum X_5 \\ \Rightarrow T=82+78+96+87+88=431
संशोधन कारक C F=\frac{T^2}{N}=\frac{431 \times 431}{20}=9288.05
कुल विचलन वर्ग (Total S.S.-SST):
\sum X_1^2+\sum X_2^2+\sum X_3^2 +\sum X_4^2-\frac{T^2}{N} \\ =1716+1530+2314+1929+ 1942-9288.05=142.95
प्रतिदर्शों के बीच विचलन-वर्गों का योग (Between Samples S.S.-SSC):
\frac{\left(\Sigma X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\Sigma X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma X_3\right)^2}{n_3}+\frac{\left(\Sigma X_4\right)^2}{n_4}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(82)^2}{4}+\frac{(78)^2}{4}+\frac{(96)^2}{4}+\frac{(87)^2}{4}+\frac{(88)^2}{4}-9288.05 \\ =1681+1521+2304+1892.25+1936-9288.05 \\=46.2
प्रतिदर्शान्तर्गत विचलन-वर्गों का जोड़ (Within Sample S.S.-SSR):
कुल विचलन-वर्गों का जोड़-प्रतिदर्शों के बीच विचलन वर्गों का जोड़=142.95-46.2=96.75
स्वातन्त्र्य कोटियों की संख्या
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ d f_1 या v_2=5-1=4
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ v_1=N-K=20-5=15
प्रसरण विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्गों का जोड़} & \text{स्वातन्त्र्य संख्या} & \text{प्रसरण} & \text{प्रसरणानुपात} \\ & \text{(S.S.) } & \text{(df)} & \text{ (M.S.)} & F\\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 46.2 & 4 & 11.55 & F=\frac{11.45}{6.45} \\ \text{(2.)प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 96.75 & 15 & 6.45 & \approx 1.79 \\ \hline \text{योग} & 142.95 & 19 & \\ \hline \end{array}
v_1=15,v_2=4 के लिए F_{0.5}=3.06 :F का परिकलित मान (1.79) F के सारणी मान 3.06 तथा F_{.01}=4.89 से कम है।अतः उर्वरकों के प्रभाव अन्तर सार्थक नहीं है वह मात्र संयोगवश है।
Example:8.हितेन्द्र पेट्रो-प्रोडक्ट लि० इस तथ्य की जाँच करना चाहती है कि उसके तीन विक्रेता-A,B व C एक ही आकार की बिक्री करते हैं या विक्रय के औसत आकार के आधार पर तीनों की विक्रय-क्षमता में अन्तर है।गत सप्ताह बिक्री के लिए 14 आव्हान किए गए-A ने 5,B ने 4 और C ने 5।तीनों विक्रेताओं के साप्ताहिक विक्रय-लेखे निम्न प्रकार हैं।प्रसरण विश्लेषण की सहायता से यह ज्ञात कीजिए कि तीनों विक्रेता आदेश प्राप्त करने में एक समान हैं:
(The Hitendra Petro-products Ltd wishes to test whether its three salesmen A,B and C tend to make whether they differ in their selling ability as measured by the average size of their sales.During the last week,there have been 14 sale calls-A made 5 calls, B 4 and C 5.Following are the weekly sale records of the three salesmen. Find out with the help of analysis of variance whether the three salesmen are alike in procuring sale orders):

Solution:सब मूल्यों में से 500 घटाकर शेष को 100 से भाग देने पर अर्थात् मूलबिन्दु को \frac{X-500}{100} पर बदलने से निम्न रूप में प्रतिदर्श इकाइयों को प्रस्तुत किया जाएगा:
\begin{array}{|ccc|ccc|} \hline \text{मूलबिन्दु} & \text{परिवर्तित} & \text{समंक}  & \text{वर्ग} \\ \hline A & B & C & A & B & C \\ -2 & +1 & +2 & 4 & 1 & 4 \\ -1 & -2 & -2 & 1 & 4 & 4\\ -2 & -2 & -1 & 4 & 4 & 1\\ 0 & -1 & +1 & 0 & 1 & 1 \\ -5 & - & 0 & 25 & - & 0 \\ \hline \Sigma x_1=-10 & \Sigma x_2=-4 & \Sigma x_3=0 & \Sigma x_1^2=34 & \Sigma x_2^2=10 & \Sigma x_3^2=10 \\ \hline\end{array} \\ T=\Sigma x_1+\Sigma x_2+\Sigma x_3=-10-4+0=-14 \\ \text{C.F}=\frac{T^2}{N}=\frac{-14 \times-14}{14}=14
कुल वर्गों का जोड़ =\Sigma x_1^2+\Sigma x_2^2+\Sigma x_3^2-\frac{T^2}{N}
=34+10+10-14=40
स्वातन्त्र्य संख्या=N-1=14-1=13
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ वर्गों का जोड़ (Between Sample S.S.) =\left[\frac{\left(\Sigma x_1\right)^2}{n_1}+ \frac{\left(\Sigma x_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\Sigma x_3^2\right)^2}{n_3}\right]-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(-10)^2}{5}+\frac{(-4)^2}{4}+\frac{(0)^2}{5}-14 \\ =20+4+0-14=10
स्वातन्त्र्य संख्या df=v_{2}=k-1=3-1=2
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ वर्गों का जोड़ (within sample S.S.)
=Total S.S.-Between Samples S.S.
=40-10=30
स्वातन्त्र्य संख्या df=v_1=\left(n_1-1\right)+\left(n_2-1\right)+\left(n_3-1\right)
=14-3=11
प्रसरण विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|ccccc|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्गों का जोड़} & \text{स्वातन्त्र्य संख्या} & \text{प्रसरण} & \text{प्रसरणानुपात} \\ & \text{(S.S.) } & \text{(df)} & \text{ (M.S.)} & F\\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 10 & 2 & 5 & F=\frac{5}{2.73} \\ \text{(2.)प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 30 & 11 & 2.73 & \approx 1.83 \\ \hline \text{योग} & 40 & 13 & & \\ \hline\end{array}
F=1.83 < F_{0.05}(=3.98) अतः हमारी शून्य परिकल्पना सत्य है।अन्तर सार्थक नहीं है।तीनों विक्रेता आदेश प्राप्त करने में एक समान हैं।
Example:9.निम्न सारणी में चार-चार खेतों में गेहूँ की तीन किस्मों की उपज (कुन्तलों में) दी गई है।क्या तीनों किस्मों की औसत उपज में अर्थपूर्ण अन्तर है? (The table below gives the yields in Quintals of four plots each of three varieties of wheat.Is there a significant difference between the mean yield of the three varieties?): (F_{0.05} for v_{1}=9 and v_{2}=2 is 4.26)

Solution:प्रतिदर्श इकाइयों और वर्गो के जोड़

T=\Sigma X_1+\Sigma X_2+\Sigma X_3+\Sigma X_4=32+28+24=84
संशोधन कारक
CF=\frac{T^2}{N}=\frac{84 \times 84}{12}=588
कुल विचलन वर्ग (Total S.S.-SST)
\sum X_1^2+\sum X_2^2+\sum X_3^2-\frac{T^2}{N}=266+204+152-588 \\=34
प्रतिदर्शों के बीच विचलन वर्गों का योग (Between Samples S.S.-SSC)
\frac{\left(\sum X_1\right)^2}{n_1}+\frac{\left(\sum X_2\right)^2}{n_2}+\frac{\left(\sum X_3\right)^2}{n_3}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(32)^2}{4}+\frac{(28)}{4}+\frac{(24)^2}{4}-588 \\ =256+196+144-588 \\=8
प्रतिदर्शान्तर्गत वर्गों का जोड़ (within sample S.S.)
=Within Sample S.S.- S.S.R)
कुल विचलन वर्गों का जोड़-प्रतिदर्शों के बीच विचलन वर्गों का जोड़
=34-8=26
स्वातन्त्र्य कोटियों की संख्या
प्रतिदर्शों के ‘बीच’ df या v_2=3-1=2
प्रतिदर्शों के ‘अन्दर’ v_1=N-K=12-3=9
कुल प्रसरण के लिए df=N-1=12-1
प्रसरण विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्गों का जोड़} & \text{स्वातन्त्र्य संख्या} & \text{प्रसरण} & \text{प्रसरणानुपात} \\ & \text{(S.S.) } & \text{(df)} & \text{ (M.S.)} & F\\ \hline \text{(1.)प्रतिदर्शों के बीच} & 8 & 2 & 4 & F=\frac{4}{2.89}\\ \text{(2.)प्रतिदर्शों के अन्तर्गत} & 26 & 9 & 2.89 & \approx 1.38 \\ \hline \text{योग} & 34 & 11 & \\ \hline \end{array}
अतः अन्तर सार्थक नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance),सांख्यिकी में प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.प्रसरण विश्लेषण प्रविधि पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Technique of Analysis of Variance):

Technique of Analysis of Variance

(1.)किसी नगर के 4 जूनियर हाईस्कूलों में से प्रत्येक की छठी कक्षा से 5-5 छात्र यादृच्छिक रूप से चुने गए और उनकी एक सामान्य परीक्षा ली गई।व्यक्तिगत अंक निम्नांकित हैं।चारों स्कूलों के प्राप्तांकों में अन्तर की सार्थकता जाँचने के लिए प्रसरण विश्लेषण कीजिए।

(2.)एक फसल प्रतियोगिता में भाग लेने वाले गेहूं के 6 खेतों की प्रति एकड़ उपज नीचे दी गई है।इन खेतों में से 3 में A किस्म का और 3 में B किस्म का गेहूँ बोया गया है।
\begin{array}{|cccc|} \hline & \text{मन} & \text{मन} & \text{मन}\\ \hline A & 30 & 32 & 22 \\ B & 20 & 18 & 16 \\ \hline \end{array}
उत्तर (Answers):(1.)F=8.1 >F_{.05}(=3.24) अन्तर सार्थक है।
(2.) F=9.4 > F_{.05}(=7.71) अन्तर सार्थक है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance),सांख्यिकी में प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सवालों को हल करने पर प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Frequently Asked Questions Related to Technique of Analysis of Variance),सांख्यिकी में प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रसरण विश्लेषण प्रविधि (Technique of Analysis of Variance) के द्वारा सवालों को हल करके
सार्थकता परीक्षण ज्ञात कर उन्हें समझने का प्रयास करेंगे अर्थात् समंकों में सार्थकता है या नहीं।