कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11) के इस लेख में किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषा को रेडियन माप के पदों में तथा त्रिकोणमितीय फलन के रूप में अध्ययन करेंगे। आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
2.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन के उदाहरण (Trigonometric Function in Class 11 Examples):
निम्नलिखित प्रश्नों में पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिएः Example:1. cosx=2−1, x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। Solution:cosx=−21secx=−2sin2x+cos2x=1⇒sin2x=1−cos2x=1−(−21)2=1−41=43sinx=±23 x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है तो sin x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए
sinx=−23cosecx=−32tanx=cosxsinx=2−12−3=3cotx=sinxcosx=−23−21=31 Example:2. sinx=53, x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। Solution: sinx=53cosecx=35sin2x+cos2x=1⇒cos2x=1−sin2x=1−(53)2=1−259=2525−9=2516⇒cosx=±2516⇒cosx=±54 x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है तो cos x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए
cosx=−54secx=−45tanx=cosxsinx=−5453=−43cotx=sinxcosx=53−54=−34 Example:3. cotx=43, x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है। Solution: cotx=43tanx=341+cot2x=cossc2x⇒1+(43)2=cossc2x⇒coscex=1+169=1616+9=1625⇒cosecx=±1625cosecx=±45 x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है तो cosec x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए
cosecx=−45sinx=−54sin2x+cos2x=1cos2x=1−sin2x=1−(−54)2=1−2516=2525−16=259cosx=±259cosx=±53 x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है तो cos x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए
cosx=−53secx=−35 Example:4. secx=513, x चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है। Solution: secx=513cosx=135sin2x+cos2x=1⇒sin2x=1−cos2x⇒sin2x=1−(535)2=1−16925=169165−25=169144⇒sinx=±169144sinx=±1312 x चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है तो sin x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए
sinx=−1312cosecx=12−13tanx=cosxsinx=135−1312=−512cotx=tanx1=−125sinx=−1312,cosx=135,tanx=5−12,cotx=12−5,cosecx=12−13 Example:5. tanx=−125, x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है। Solution: tanx=−125cotx=tanx1=−5121+tan2x=sec2x⇒sec2x=1+(−125)2=1+14425=144144+25=144169secx=±144169=±1213 x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है तो sec x का मान ऋणात्मक होगा।इसलिए
secx=−1213,cosx=−1312sin2x+cos2x=1⇒sin2x=1−cos2x⇒sin2x=1−(−1312)2=1−169144=169169−147=16925⇒sinx=±16925=±135 x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है तो sin x का मान धनात्मक होगा।इसलिए
प्रश्न संख्या 6 से 10 के मान ज्ञात कीजिएः Example:6. sin765∘ Solution: sin765∘=sin(360×2+45∘)=sin45∘=21 Example:7. cosec(−1410∘) Solution: cosec(−1410∘)=cosec(1410∘)[∵cosec(−θ)=−cosecθ]=cosec(360∘×4−30∘)=cosec30∘=2[∵cosec(360−θ)=−cosecθ] Example:8. tan319π Solution: tan319π=tan(π×3+3π)=tan3π[∵tan(2π+θ)=tanθ]=3 Example:9. sin(−311π) Solution: sin(−311π)=−sin(−311π)[∵sin(−θ)=−sinθ]=−sin(2π×2−3π)=sin3π[∵sin(2π−θ)=−sinθ]=23 Example:10. cot(−415π) Solution: cot(−415π)=−cot(415π)[∵cot(−θ)=−cotθ]=−cot[2π×2−4π]=cot4π[∵cot(2π−θ)=−cotθ]=1 उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) को समझ सकते हैं।
3.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन समस्याएँ (Trigonometric Function in Class 11 Problems):
(1.)sin(360∘−θ)cos(360∘+θ)cosec(−θ)sin(270∘+θ)sin(180∘+θ)⋅cos(90∘+θ)tan(270∘−θ)cot(360∘−θ)=1 (2.) cosec(90∘+θ)+tan(180∘−θ)cosec(90∘+θ)+cot(450∘+θ)+tan(360∘+θ)−sec(−θ)tan(180∘+θ)+sec(180∘−θ)=2 (3.)निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिएः
xcot(90∘+θ)+tan(90∘+θ)sinθ+cosec(90∘+θ)=0 उत्तर (Answers):(3.) x=sinθ उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
4.कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Frequently Asked Questions Related to Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः
प्रश्न:1.विभिन्न चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय अनुपातों को न्यून कोण के पदों में व्यक्त करो। (Express Trigonometrical Ratios in Different Quadrants of Acute Angle):
उत्तर:(1.)कोण (90∘−θ) के त्रिकोणमितीय अनुपात को \theta के पदों में व्यक्त करनाः sin(90∘−θ)=cosθcos(90∘−θ)=sinθtan(90∘−θ)=cotθcot(90∘−θ)=tanθsec(90∘−θ)=cosecθcosec(90∘−θ)=secθ (2.)(90∘+θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(90∘+θ)=cosθcos(90∘+θ)=−sinθtan(90∘+θ)=−cotθcot(90∘+θ)=−tanθsec(90∘+θ)=−cosecθcosec(90∘+θ)=secθ (3.) (180∘−θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(180∘−θ)=sinθcos(180∘−θ)=−cosθtan(180∘−θ)=−tanθcot(180∘−θ)=−cotθsec(180∘−θ)=−secθcosec(180∘−θ)=cosecθ (4.)(180∘+θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(180∘+θ)=−sinθcos(180∘+θ)=−cosθtan(180∘+θ)=tanθcot(180∘+θ)=cotθsec(180∘+θ)=−secθcosec(180∘+θ)=−cosecθ (5.)(270∘−θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(270∘−θ)=−cosθcos(270∘−θ)=−sinθtan(270∘−θ)=cotθcot(270∘−θ)=tanθsec(270∘−θ)=−cosecθcosec(270∘−θ)=−secθ (6.)(270∘+θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(270∘+θ)=−cosθcos(270∘+θ)=sinθtan(270∘+θ)=−cotθcot(270∘+θ)=−tanθsec(270∘+θ)=cosecθcosec(270∘+θ)=−secθ (7.)(360∘−θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(360∘−θ)=−sinθcos(360∘−θ)=cosθtan(360∘−θ)=−tanθcot(360∘−θ)=−cotθsec(360∘−θ)=secθcosec(360∘−θ)=−cosecθ (8.)(360∘+θ) कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(360∘+θ)=sinθcos(360∘+θ)=cosθtan(360∘+θ)=tanθcot(360∘+θ)=cotθsec(360∘+θ)=secθcosec(36θ∘+θ)=cosecθ (9.)कोण (−θ) के त्रिकोणमितीय अनुपात को के पदों में व्यक्त करनाः sin(−θ)=−sinθcos(−θ)=cosθtan(−θ)=−tanθcot(−θ)=−cotθsec(−θ)=secθcosec(−θ)=−cosecθ
प्रश्न:2.त्रिकोणमितीय अनुपातों को न्यूनकोणों में व्यक्त करने की कलन विधि क्या है? (What is the Algorithm to Express Trigonometric Ratios of Any Angle in Terms of Acute Angle?):
उत्तर:इसकी सहायता से निम्नलिखित क्रियाविधि से किसी भी सम्बद्ध कोण को धनात्मक न्यून कोण (0° से 45°) के मध्य व्यक्त कर सकते हैं। (1.)यदि दिया गया कोण (−θ) हो तो उपर्युक्त सूत्र (9) की सहायता से θ के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त कर सकते हैं। (2.)यदि कोण 360° से अधिक हो तो (n×360°+θ) में लिखकर उपर्युक्त सूत्र (8) की सहायता से θ त्रिकोणमितीय अनुपात में बदलना चाहिए। (3.)यदि कोण 180° से अधिक हो तो उसे (180°+θ) में लिखकर उपर्युक्त सूत्र (4) की सहायता से इसको 180° से कम के मानों के त्रिकोणमितीय अनुपातों में बदलना चाहिए। (4.)यदि कोण 90° से अधिक हो तो उसे (90°+θ) या (180°−θ) के सूत्रों की सहायता से 90° से कम के मानों में बदलना चाहिए। (5.)यदि कोण 45° से अधिक हो तो उसे (90°−θ) के सूत्रों की सहायता से 45° से कम के मानों में बदलना चाहिए।
प्रश्न:3.त्रिकोणमितीय फलनों के चिन्ह विभिन्न चतुर्थांशों में सारणी द्वारा दर्शाओ। (Explain the Signs of Trigonometric Angles by Table in Different Quadrant):
उत्तर: sinxcosxtanxcosxsecxcosecxI++++++II+−−−−+III−−++−−IV−+−−+− उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11),त्रिकोणमितीय फलन कक्षा 11 (Trigonometric Function Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function in Class 11) के इस लेख में किसी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषा को रेडियन माप के पदों में तथा त्रिकोणमितीय फलन के रूप में अध्ययन करेंगे।
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I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
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