1.कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन (Volume of Cylinder and Cone in Class 9),बेलन और शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cylinder and Cone):

Volume of Cylinder and Cone in Class 9

कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन (Volume of Cylinder and Cone in Class 9) के इस आर्टिकल में बेलन और शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और उन्हें समझेंगे।
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2.कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन के उदाहरण (Volume of Cylinder and Cone in Class 9 Illustrations):

Illustration:1.55 घन सेमी लोहे के ठोस लम्बवृत्तीय बेलनाकार सरिया बनाया जाता है।यदि सरिया की त्रिज्या 0.5 सेमी हो,तो सरिया की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Solution:बेलन का आयतन=\pi r^2 h\\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times(0.5)^2 \times h=55 \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times 0.25 \times h=55 \\ \Rightarrow h=\frac{53 \times 7}{22 \times 0.25} \\ \Rightarrow h=70 सेमी
Illustration:2.एक खोखले बेलन की ऊँचाई 21 डेसीमीटर है तथा इसके बाह्य व्यास और अन्तःव्यास क्रमशः 10 सेमी व 6 सेमी है बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:h=21 डेसीमीटर=210 सेमी
r_1=\frac{10}{2}=5 सेमी , r_2=\frac{6}{2}=3 सेमी
खोखले बेलन का आयतन=\pi\left(r_1^2-r_2^2\right) h \\ =\frac{22}{7}\left(5^2-3^2\right) \times 210 \\ =\frac{22}{7} \times(25-9) \times 210 \\ =22 \times 16 \times 30=10560 घनसेमी
Illustration:3.लोहे के बेलनाकार पाइप का आयतन 748 घन सेमी तथा लम्बाई 14 सेमी और बाहरी त्रिज्या 9 सेमी है।पाइप की मोटाई ज्ञात कीजिए।
Solution:h=14 सेमी , r_1=9 सेमी , r_2= ?
खोखले बेलनाकार पाइप का आयतन=\pi\left(r_1^2-r_2^2\right) h=748 \\ \Rightarrow \frac{22}{7}\left(9^2-r_2^2\right) \times 14=78,8 \\ \Rightarrow 81-r_2^2=\frac{748 \times 7}{22 \times 14}=17 \\ \Rightarrow r_2^2=81-17=64 \\ \Rightarrow r_2=\sqrt{64}=8
मोटाई= 9-8=1
Illustration:4.एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है इसका वक्रपृष्ठ,सम्पूर्ण पृष्ठ का एक तिहाई है।बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution: 2 \pi r h=\frac{1}{3} \times 462=154 \cdots(1) \\ 2 \pi r(h+r)=462 \cdots(2)
समीकरण (2) में समीकरण (1) का भाग देने परः
\frac{2 \pi r(h+r)}{2 \pi r h}=\frac{462}{154} \\ \Rightarrow \frac{h+r}{h}=3 \\ \Rightarrow h+r=3h \\ \Rightarrow 2 h=r
r का मान समीकरण (1) में रखने परः
2 \pi(2 h) \times h=154 \\ \Rightarrow 4 \times \frac{22}{7} \times h^2=154 \\ \Rightarrow h^2=\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\frac{49}{4} \\ \Rightarrow h=\frac{7}{2}=3.5 सेमी
r=2h=2×3.5=7 सेमी
बेलन का आयतन=\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 35 \\=539 घनसेमी
Illustration:5.एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 1:3 है तथा बेलन का आयतन 3234 घनसेमी है।बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना बेलन की त्रिज्या=x
बेलन की ऊँचाई=3x
बेलन का आयतन=\pi r^2 h \\ \Rightarrow \frac{22}{7} \times x^2 \times 3 x=3234 \\ \Rightarrow x^3=\frac{3234 \times 7}{22 \times 3}=343 \\ \Rightarrow x=\sqrt[3]{343}=7
त्रिज्या=7,ऊँचाई h=3x=3×7=21
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल=2 \pi r(h+r) \\ =2 \times \frac{22}{7} \times 7(21+7) \\ =44 \times 28 =1232 वर्गसेमी

Volume of Cylinder and Cone in Class 9

Illustration:6.एक आयताकार कागज का टुकड़ा 30 सेमी×18 सेमी माप का है।इसे लम्बाई तथा चौड़ाई की ओर मोड़कर बेलन बनाए जा सकते हैं।दोनों तरह प्राप्त बेलनों के आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Solution:लम्बाई की ओर से मोड़ने पर
h=18 सेमी, 2 \pi r=30 \\\Rightarrow \frac{2 \times 22}{7} \times r=30 \\ \Rightarrow r=\frac{30 \times 7}{2 \times 22}=\frac{210}{44}
बेलन का आयतन=\pi r^2 h \\ =\frac{22}{7} \times \frac{210}{44} \times \frac{210}{44} \times 18=\frac{14175}{11}
चौड़ाई की ओर से मोड़ने पर
h=30 सेमी
2 \pi r=18 \\ \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r=18 \\ \Rightarrow r=\frac{18 \times 7}{2 \times 22}=\frac{63}{22}
बेलन का आयतन=\frac{22}{7} \times \frac{63}{22} \times \frac{63}{22} \times 30=\frac{8505}{11}
दोनों आयतनों में अनुपात=\frac{14175}{11}: \frac{8505}{11}
=5:3
Illustration:7.एक बेलनाकार लोहे का रोलर 1 मीटर चौड़ा है।इसका अन्तःव्यास 54 सेमी है।रोलर पर 9 सेमी की लोहे की परत चढ़ाई जाती है यदि 1 घनसेमी लोहे का वजन 8 ग्राम हो,तो रोलर पर चढ़ाई गई परत का वजन ज्ञात कीजिए।
Solution:h=1 मीटर=100 सेमी, r_2=\frac{54}{2}=27 सेमी
r_1=27+9=36 सेमी
रोलर (लोहे की परत) का आयतन=\pi\left(r_1^2-r_2^2\right) h \\ =\frac{22}{7} \times\left(36^2-27^2\right) \times 100 \\ =\frac{22}{7} \times(1296-729) \times 100 \\ =\frac{22}{7} \times 567 \times 100=178200 सेमी
चढ़ाई गई परत का वजन=\frac{178200 \times 8}{1000} \mathrm{~kg}
=1425.6 kg
Illustration:8.किसी शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 5:12 और आयतन 2512 घनसेमी है,तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना शंकु की त्रिज्या (r)=5x
तथा शंकु की ऊँचाई(h)=12x
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h=2512 \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \times 3.14 \times(5 x)^2 \times 12 x=2512 \\ \Rightarrow x^3=\frac{2512 \times 3}{3.14 \times 25 \times 12} \\ \Rightarrow x^3=\frac{2512 \times 3 \times 100}{314 \times 25 \times 12}=8 \\ \Rightarrow x=\sqrt[3]{8}=2
त्रिज्या (r)=5x=5×2=10 सेमी
शंकु की ऊँचाई (h)=12x=12×2=24 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{(24)^2+(10)^2} \\ =\sqrt{578+100} \\ =\sqrt{676}
l=26 सेमी
Illustration:9.यदि किसी शंकु की ऊँचाई,वक्र पृष्ठ और आयतन क्रमशः h,C और V हो,तो सिद्ध कीजिए 3 \pi V h^3-c^2 h^2+9 V^2=0
Solution:शंकु का वक्रपृष्ठ (C)=\pi r l
शंकु का आयतन (V)=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ 3 \pi V h^3-c^2 h^2+9 V^2=0
L.H.S. =3 \pi V h^3-c^2 h^2+9 v^2 \\ \Rightarrow 3 \pi \times \frac{1}{3} \pi r^2 h \times h^3-(\pi r l)^2 h^2+9\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h^2\right)^2 \\ \Rightarrow \pi^2 r^2 h^4-\pi^2 r^2 l^2 h^2 +\frac{9}{9} \pi^2 r^4 h^2 \\ =\pi^2 h^4-\pi^2 r^2\left(h^2+r^2\right) h^2+\pi^2 r^4 h^2 \left[ \because l^2=h^2+r^2 \right] \\ =\pi^2 r^2 h^4-\pi^2 r^2 h^4-\pi r^4 h^2+\pi^2 r^4 h^2
=0= R.H.S.
Illustration:10.एक शंकु की ऊँचाई 3.6 सेमी और आधार की त्रिज्या 1.6 सेमी है।इसे पिघलाकर एक नया शंकु बनाया जाता है जिसके आधार की त्रिज्या 1.2 सेमी है,तो ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:पहले शंकु की ऊँचाई (h)=3.6 सेमी
तथा त्रिज्या (r)=1.6 सेमी
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \pi \times(1.6)^2 \times 3.6 \\ =3.072 \pi
नये शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi R^2 H \\ \frac{1}{3} \pi \times(1.2)^2 H=3.072 \pi \\ \Rightarrow  H=\frac{3.072 \pi \times 3}{\pi \times 1.44}
=6.4 सेमी
Illustration:11.एक त्रिज्यखंड की त्रिज्या 12 सेमी और कोण 120° है।इसकी सीधी कोरों को संपाती करके एक शंकु बनाया जाता है।शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:त्रिज्यखंड के चाप की लम्बाई=\frac{\pi r \theta}{180}=\frac{22}{7} \times \frac{12 \times 120}{180}=\frac{176}{7}
2 \pi r=\frac{176}{7} \\ \Rightarrow \frac{2 \times 22}{7} \times r=\frac{176}{7} \\ \Rightarrow r=\frac{176}{7} \times \frac{7}{44}=4
शंकु की ऊँचाई (h)=\sqrt{\ell^2-r^2}=\sqrt{12^2-4^2} \\ =\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8 \sqrt{2}
शंकु का आयतन=\frac{1}{3} \pi r^2 h \\ =\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4 \times 4 \times 8 \sqrt{2}=\frac{3982.425}{21} \\ \approx 189.639 घनसेमी
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन (Volume of Cylinder and Cone in Class 9),बेलन और शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cylinder and Cone) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन के सवाल (Volume of Cylinder and Cone in Class 9 Qestions):

Volume of Cylinder and Cone in Class 9

(1.)एक आयताकार कागज की माप 44 सेमी×18 सेमी है।इसे लम्बाई की ओर मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है।बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
(2.)एक शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 3:4 है।यदि इसका आयतन 301.44 घनसेमी हो,तो शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)बेलन का आयतन=2772 घनसेमी (2.)त्रिज्या=6 सेमी,तिर्यक ऊँचाई (l)=10 सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन (Volume of Cylinder and Cone in Class 9),बेलन और शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cylinder and Cone) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन (Frequently Asked Questions Related to Volume of Cylinder and Cone in Class 9),बेलन और शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cylinder and Cone) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 9 में बेलन और शंकु का आयतन (Volume of Cylinder and Cone in Class 9) के इस
आर्टिकल में बेलन और शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को
हल करेंगे और उन्हें समझेंगे।